Elliptische Umlaufbahn – Wikipedia

Animation der Umlaufbahn durch Exzentrizität
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Zwei Körper mit ähnlicher Masse, die um ein gemeinsames Schwerpunktzentrum mit elliptischen Bahnen kreisen.

Im oberen rechten Quadranten dieses Diagramms ist eine elliptische Umlaufbahn dargestellt, in der die Gravitationspotentialwanne der Zentralmasse die potentielle Energie und die kinetische Energie der Orbitalgeschwindigkeit rot dargestellt ist. Die Höhe der kinetischen Energie nimmt ab, wenn die Geschwindigkeit des umlaufenden Körpers abnimmt und die Entfernung gemäß den Kepler-Gesetzen zunimmt.

In der Astrodynamik oder Himmelsmechanik elliptische Umlaufbahn oder elliptische Umlaufbahn ist eine Kepler-Umlaufbahn mit einer Exzentrizität von weniger als 1; Dies schließt den Sonderfall einer Kreisbahn mit einer Exzentrizität von 0 ein. Im engeren Sinne handelt es sich um eine Kepler-Bahn mit einer Exzentrizität von mehr als 0 und weniger als 1 (wodurch die Kreisbahn ausgeschlossen wird). Im weiteren Sinne handelt es sich um eine Kepler-Umlaufbahn mit negativer Energie. Dies schließt die radiale elliptische Umlaufbahn mit einer Exzentrizität von 1 ein.

Bei einem Gravitations-Zweikörperproblem mit negativer Energie folgen beide Körper ähnlichen elliptischen Bahnen mit derselben Umlaufzeit um ihr gemeinsames Schwerpunktzentrum. Auch die relative Position eines Körpers in Bezug auf den anderen folgt einer elliptischen Umlaufbahn.

Beispiele für elliptische Bahnen sind: Hohmann-Transferbahn, Molniya-Bahn und Tundra-Bahn.

Geschwindigkeit[edit]

Unter Standardannahmen ist die Umlaufgeschwindigkeit (

) eines Körpers, der entlang einer elliptische Umlaufbahn kann aus der vis-viva-Gleichung wie folgt berechnet werden:

${ displaystyle v = { sqrt { mu left ({2 over {r}} – {1 over {a}} right)}}}$

wo:

Die Geschwindigkeitsgleichung für eine hyperbolische Trajektorie hat entweder +

, oder es ist dasselbe mit der Konvention, die in diesem Fall ein ist negativ.

Umlaufzeit[edit]

Unter Standardannahmen die Umlaufzeit (

) eines Körpers, der sich entlang einer elliptischen Umlaufbahn bewegt, kann wie folgt berechnet werden:

${ displaystyle T = 2 pi { sqrt {a ^ {3} over { mu}}}}$

wo:

Schlussfolgerungen:

• Die Umlaufzeit ist gleich der für eine Kreisbahn mit einem Umlaufradius gleich der Semi-Major-Achse (
  ${ displaystyle a , !}$

  ),

• Für eine gegebene Semi-Major-Achse hängt die Umlaufzeit nicht von der Exzentrizität ab (siehe auch: Keplers drittes Gesetz).

Unter Standardannahmen ist die spezifische Orbitalenergie (

) einer elliptischen Umlaufbahn ist negativ und die Energieerhaltungsgleichung der Umlaufbahn (die Vis-viva-Gleichung) für diese Umlaufbahn kann folgende Form annehmen:

${ displaystyle {v ^ {2} over {2}} – { mu over {r}} = – { mu over {2a}} = epsilon <0}$

wo:

Schlussfolgerungen:

• Für eine gegebene Semi-Major-Achse ist die spezifische Orbitalenergie unabhängig von der Exzentrizität.

Unter Verwendung des Virialsatzes finden wir:

• Der zeitliche Durchschnitt der spezifischen potentiellen Energie ist gleich –2 & epsi;
  • der zeitliche Durchschnitt von r⁻¹ ist ein⁻¹
• das zeitliche Mittel der spezifischen kinetischen Energie ist gleich ε

Energie in Bezug auf die Hauptachse[edit]

Es kann hilfreich sein, die Energie in Bezug auf die Semi-Major-Achse (und die beteiligten Massen) zu kennen. Die Gesamtenergie der Umlaufbahn ist gegeben durch

${ displaystyle E = -G { frac {Mm} {2a}}}$

,

wobei a die Semi-Major-Achse ist.

Ableitung[edit]

Da die Schwerkraft eine zentrale Kraft ist, ist der Drehimpuls konstant:

${ displaystyle { dot { mathbf {L}}} = mathbf {r} times mathbf {F} = mathbf {r} times F (r) mathbf { hat {r}} = 0 }}$

Bei der nächsten und am weitesten entfernten Annäherung ist der Drehimpuls senkrecht zum Abstand von der umkreisten Masse, daher:

${ displaystyle L = rp = rmv}$

.

Die Gesamtenergie der Umlaufbahn ist gegeben durch

${ displaystyle E = { frac {1} {2}} mv ^ {2} -G { frac {Mm} {r}}}$

.

Wir können v ersetzen und erhalten

${ displaystyle E = { frac {1} {2}} { frac {L ^ {2}} {mr ^ {2}}} – G { frac {Mm} {r}}}$

.

Dies gilt für r als nächstgelegene / am weitesten entfernte Entfernung, sodass wir zwei simultane Gleichungen erhalten, die wir für E lösen:

${ displaystyle E = -G { frac {Mm} {r_ {1} + r_ {2}}}}$

Schon seit

und

Wenn Epsilon die Exzentrizität der Umlaufbahn ist, haben wir endlich das angegebene Ergebnis.

Flugbahnwinkel[edit]

Der Flugbahnwinkel ist der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor des umlaufenden Körpers (= der Vektor, der die momentane Umlaufbahn tangiert) und der lokalen Horizontalen. Unter Standardannahmen zur Erhaltung des Drehimpulses ist der Flugbahnwinkel

erfüllt die Gleichung:

${ displaystyle h , = r , v , cos phi}$

wo:

ist der Winkel zwischen dem Orbitalgeschwindigkeitsvektor und der Semi-Major-Achse.

ist die lokale wahre Anomalie.

, deshalb,

${ displaystyle cos phi = sin ( psi – nu) = sin psi cos nu – cos psi sin nu = { frac {1 + e cos nu} { sqrt {1 + e ^ {2} + 2e cos nu}}}}$

${ displaystyle tan phi = { frac {e sin nu} {1 + e cos nu}}}$

wo

ist die Exzentrizität.

Der Drehimpuls hängt mit dem Vektorkreuzprodukt von Position und Geschwindigkeit zusammen, das proportional zum Sinus des Winkels zwischen diesen beiden Vektoren ist. Hier

ist definiert als der Winkel, der sich um 90 Grad davon unterscheidet, sodass der Cosinus anstelle des Sinus erscheint.

Diese Abteilung braucht Erweiterung. Sie können helfen, indem Sie es hinzufügen. ((Juni 2008)

Bewegungsgleichung[edit]

Von der Ausgangsposition und Geschwindigkeit[edit]

Ein Umlaufbahngleichung definiert den Weg eines umlaufenden Körpers

um den zentralen Körper

relativ zu

, ohne die Position als Funktion der Zeit anzugeben. Wenn die Exzentrizität kleiner als 1 ist, beschreibt die Bewegungsgleichung eine elliptische Umlaufbahn. Weil Keplers Gleichung

hat keine allgemeine geschlossene Lösung für die exzentrische Anomalie (E) in Bezug auf die mittlere Anomalie (M), Bewegungsgleichungen als Funktion der Zeit haben auch keine geschlossene Lösung (obwohl numerische Lösungen für beide existieren).

Zeitunabhängige Pfadgleichungen in geschlossener Form einer elliptischen Umlaufbahn in Bezug auf einen Zentralkörper können jedoch nur von einer Anfangsposition aus bestimmt werden (

) und Geschwindigkeit (

).

Für diesen Fall ist es zweckmäßig, die folgenden Annahmen zu verwenden, die sich etwas von den obigen Standardannahmen unterscheiden:

1. Die Position des Zentralkörpers befindet sich am Ursprung und steht im Mittelpunkt (
   ${ displaystyle mathbf {F1}}$

   ) der Ellipse (alternativ kann stattdessen der Schwerpunkt verwendet werden, wenn der umlaufende Körper eine signifikante Masse aufweist)

2. Die Masse des Zentralkörpers (m1) ist bekannt
3. Die Ausgangsposition des umlaufenden Körpers (
   ${ displaystyle mathbf {r}}$

   ) und Geschwindigkeit (

   ${ displaystyle mathbf {v}}$

   ) sind bekannt

4. Die Ellipse liegt in der XY-Ebene

Die vierte Annahme kann ohne Verlust der Allgemeinheit getroffen werden, da drei beliebige Punkte (oder Vektoren) innerhalb einer gemeinsamen Ebene liegen müssen. Unter diesen Voraussetzungen muss der zweite Fokus (manchmal auch als “leerer” Fokus bezeichnet) ebenfalls in der XY-Ebene liegen:

.

Vektoren verwenden[edit]

Die allgemeine Gleichung einer Ellipse unter diesen Annahmen unter Verwendung von Vektoren lautet:

${ displaystyle | mathbf {F2} – mathbf {r} | + | mathbf {r} | = 2a qquad mid z = 0}$

wo:

• 
  ${ displaystyle a , !}$

  ist die Länge der Semi-Major-Achse.

• 
  ${ displaystyle mathbf {F2} = left (f_ {x}, f_ {y} right)}$

  ist der zweite (“leere”) Fokus.

• 
  ${ displaystyle mathbf {p} = left (x, y right)}$

  ist ein beliebiger (x, y) Wert, der die Gleichung erfüllt.

Die Länge der Hauptachse (a) kann berechnet werden als:

${ displaystyle a = { frac { mu | mathbf {r} |} {2 mu – | mathbf {r} | mathbf {v} ^ {2}}}}$

wo

ist der Standard-Gravitationsparameter.

Der leere Fokus (

) kann gefunden werden, indem zuerst der Exzentrizitätsvektor bestimmt wird:

${ displaystyle mathbf {e} = { frac { mathbf {r}} {| mathbf {r} |}} – { frac { mathbf {v} times mathbf {h}} { mu }}}$

Wo

ist der spezifische Drehimpuls des umlaufenden Körpers:

${ displaystyle mathbf {h} = mathbf {r} times mathbf {v}}$

Dann

${ displaystyle mathbf {F2} = 2a mathbf {e}}$

Verwenden von XY-Koordinaten[edit]

Dies kann in kartesischen Koordinaten wie folgt erfolgen:

Die allgemeine Gleichung einer Ellipse unter den obigen Annahmen lautet:

${ displaystyle { sqrt { left (f_ {x} -x right) ^ {2} + left (f_ {y} -y right) ^ {2}}} + { sqrt {x ^ { 2} + y ^ {2}}} = 2a qquad mid z = 0}$

Gegeben:

${ displaystyle r_ {x}, r_ {y} quad}$

die anfänglichen Positionskoordinaten

${ displaystyle v_ {x}, v_ {y} quad}$

die anfänglichen Geschwindigkeitskoordinaten

und

${ displaystyle mu = Gm_ {1} quad}$

der Gravitationsparameter

Dann:

${ displaystyle h = r_ {x} v_ {y} -r_ {y} v_ {x} quad}$

spezifischer Drehimpuls

${ displaystyle r = { sqrt {r_ {x} ^ {2} + r_ {y} ^ {2}}} quad}$

Anfangsabstand von F1 (am Ursprung)

${ displaystyle a = { frac { mu r} {2 mu -r left (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} right)}} quad}$

die Länge der Semi-Major-Achse

${ displaystyle e_ {x} = { frac {r_ {x}} {r}} – { frac {hv_ {y}} { mu}} quad}$

die Exzentrizitätsvektorkoordinaten

${ displaystyle e_ {y} = { frac {r_ {y}} {r}} + { frac {hv_ {x}} { mu}} quad}$

Schließlich koordiniert der leere Fokus

${ displaystyle f_ {x} = 2ae_ {x} quad}$

${ displaystyle f_ {y} = 2ae_ {y} quad}$

Nun können die Ergebniswerte fx, fy und a auf die obige allgemeine Ellipsengleichung angewendet werden.

Orbitalparameter[edit]

Der Zustand eines umlaufenden Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt wird durch die Position und Geschwindigkeit des umlaufenden Körpers in Bezug auf den Zentralkörper definiert, die durch die dreidimensionalen kartesischen Koordinaten (Position des umlaufenden Körpers, dargestellt durch x, y und) dargestellt werden kann z) und die ähnlichen kartesischen Komponenten der Geschwindigkeit des umlaufenden Körpers. Dieser Satz von sechs Variablen wird zusammen mit der Zeit als Orbitalzustandsvektoren bezeichnet. Angesichts der Masse der beiden Körper bestimmen sie die volle Umlaufbahn. Die beiden allgemeinsten Fälle mit diesen 6 Freiheitsgraden sind die elliptische und die hyperbolische Umlaufbahn. Sonderfälle mit weniger Freiheitsgraden sind die kreisförmige und parabolische Umlaufbahn.

Da mindestens sechs Variablen unbedingt erforderlich sind, um eine elliptische Umlaufbahn mit diesem Parametersatz vollständig darzustellen, sind sechs Variablen erforderlich, um eine Umlaufbahn mit einem beliebigen Parametersatz darzustellen. Ein weiterer Satz von sechs Parametern, die üblicherweise verwendet werden, sind die Orbitalelemente.

Sonnensystem[edit]

Im Sonnensystem haben Planeten, Asteroiden, die meisten Kometen und einige Teile des Weltraummülls ungefähr elliptische Bahnen um die Sonne. Genau genommen drehen sich beide Körper um den gleichen Fokus der Ellipse, der näher am massereicheren Körper liegt. Wenn jedoch ein Körper wesentlich massereicher ist, wie z. B. die Sonne im Verhältnis zur Erde, kann der Fokus im größeren enthalten sein Massekörper, und somit soll sich der kleinere um ihn drehen. Die folgende Tabelle des Perihels und Aphels der Planeten, Zwergplaneten und des Halleyschen Kometen zeigt die Variation der Exzentrizität ihrer elliptischen Bahnen. Bei ähnlichen Entfernungen von der Sonne bedeuten breitere Balken eine größere Exzentrizität. Beachten Sie die Exzentrizität von Erde und Venus gegen Null im Vergleich zur enormen Exzentrizität von Halleys Kometen und Eris.

Radiale elliptische Flugbahn[edit]

Eine radiale Trajektorie kann ein Doppelliniensegment sein, bei dem es sich um eine entartete Ellipse mit einer semi-kleinen Achse = 0 und einer Exzentrizität = 1 handelt. Obwohl die Exzentrizität 1 ist, handelt es sich nicht um eine parabolische Umlaufbahn. Die meisten Eigenschaften und Formeln von elliptischen Bahnen gelten. Die Umlaufbahn kann jedoch nicht geschlossen werden. Es ist eine offene Umlaufbahn, die dem Teil der entarteten Ellipse von dem Moment an entspricht, in dem sich die Körper berühren und sich voneinander entfernen, bis sie sich wieder berühren. Bei Punktmassen ist eine vollständige Umlaufbahn möglich, die mit einer Singularität beginnt und endet. Die Geschwindigkeiten am Anfang und am Ende sind in entgegengesetzten Richtungen unendlich und die potentielle Energie ist gleich minus unendlich.

Die radiale elliptische Flugbahn ist die Lösung eines Zweikörperproblems mit einer Geschwindigkeit von Null, wie im Fall des Fallens eines Objekts (Vernachlässigung des Luftwiderstands).

Geschichte[edit]

Die Babylonier erkannten als erste, dass die Bewegung der Sonne entlang der Ekliptik nicht einheitlich war, obwohl sie nicht wussten, warum dies so war; Es ist heute bekannt, dass dies darauf zurückzuführen ist, dass sich die Erde in einer elliptischen Umlaufbahn um die Sonne bewegt, wobei sich die Erde schneller bewegt, wenn sie sich am Perihel näher an der Sonne befindet, und sich langsamer bewegt, wenn sie sich am Aphel weiter entfernt befindet.^[1]

Im 17. Jahrhundert entdeckte Johannes Kepler, dass die Umlaufbahnen, auf denen sich die Planeten um die Sonne bewegen, Ellipsen mit der Sonne in einem Fokus sind, und beschrieb dies in seinem ersten Gesetz der Planetenbewegung. Später erklärte Isaac Newton dies als Folge seines Gesetzes der universellen Gravitation.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]