Silbermaschine – Wikipedia

In der Mengenlehre Silber Maschinen sind Geräte, mit denen die Verwendung von Feinstrukturen in Beweisen für Aussagen in L umgangen werden kann. Sie wurden vom Mengen-Theoretiker Jack Silver erfunden, um globale quadratische Griffe im konstruierbaren Universum zu beweisen.

Vorbereitungen[edit]

Eine Ordnungszahl

${ displaystyle alpha}$

ist *definierbar aus einer Klasse von Ordnungszahlen X genau dann, wenn es eine Formel gibt

${ displaystyle phi ( mu _ {0}, mu _ {1}, ldots, mu _ {n})}$

und

${ displaystyle existiert beta _ {1}, ldots, beta _ {n}, gamma in X}$

so dass

${ displaystyle alpha}$

ist die eindeutige Ordnungszahl für die

${ displaystyle models _ {L _ { gamma}} phi ( alpha ^ { circ}, beta _ {1} ^ { circ}, ldots, beta _ {n} ^ { circ} )}$

wo für alle

${ displaystyle alpha}$

wir definieren

${ displaystyle alpha ^ { circ}}$

der Name sein für

${ displaystyle alpha}$

innerhalb

${ displaystyle L _ { gamma}}$

.

Eine Struktur

${ displaystyle langle X, <, (h_ {i}) _ {i < omega} rangle}$

ist berechtigt dann und nur dann, wenn:

1. 
   ${ displaystyle X subseteq On}$

   .

3. 
   ${ displaystyle forall i, h_ {i}}$

   ist eine Teilfunktion von

   ${ displaystyle X ^ {k (i)}}$

   bis X für eine ganze Zahl k (i).

Wenn

${ displaystyle N = langle X, <, (h_ {i}) _ {i < omega} rangle}$

ist dann eine förderfähige Struktur

${ displaystyle N _ { lambda}}$

ist wie zuvor definiert, wobei jedoch alle Vorkommen von X durch ersetzt werden

${ displaystyle X cap lambda}$

.

Lassen

${ displaystyle N ^ {1}, N ^ {2}}$

zwei förderfähige Strukturen sein, die die gleiche Funktion haben k. Dann sagen wir

${ displaystyle N ^ {1} triangleleft N ^ {2}}$

wenn

${ displaystyle forall i in omega}$

und

${ displaystyle forall x_ {1}, ldots, x_ {k (i)} in X ^ {1}}$

wir haben:

${ displaystyle h_ {i} ^ {1} (x_ {1}, ldots, x_ {k (i)}) cong h_ {i} ^ {2} (x_ {1}, ldots, x_ {k (ich)})}$

Silber Maschine[edit]

Eine Silbermaschine ist eine geeignete Struktur des Formulars

${ displaystyle M = langle On, <, (h_ {i}) _ {i < omega} rangle}$

welches die folgenden Bedingungen erfüllt:

Kondensationsprinzip. Wenn

${ displaystyle N triangleleft M _ { lambda}}$

dann gibt es eine

${ displaystyle alpha}$

so dass

${ displaystyle N cong M _ { alpha}}$

.

Endlichkeitsprinzip. Für jeden

${ displaystyle lambda}$

es gibt eine endliche Menge

${ displaystyle H subseteq lambda}$

so dass für jeden Satz

${ displaystyle A subseteq lambda +1}$

wir haben

${ displaystyle M _ { lambda +1}[A] subseteq M _ { lambda}[(Acap lambda )cup H] cup { lambda }}$

Skolem Eigentum. Wenn

${ displaystyle alpha}$

ist * vom Set definierbar

${ displaystyle X subseteq On}$

, dann

${ displaystyle alpha in M.[X]}}$

;; Darüber hinaus gibt es eine Ordnungszahl

${ displaystyle lambda[sup(X)cup alpha ]^ {+}}$

einheitlich

${ displaystyle Sigma _ {1}}$

definierbar von

${ displaystyle X cup { alpha }}$

, so dass

${ displaystyle alpha in M ​​_ { lambda}[X]}}$

.

Verweise[edit]