Yuktibhāṣā – Wikipedia

Abhandlung über Mathematik und Astronomie

Yuktibhāṣā (Malayalam: യുക്തിഭാഷ, zündete. “Begründung”^[1]), auch bekannt als Gaṇitanyāyasaṅgraha ((Kompendium der astronomischen Begründung),^[1] ist eine wichtige Abhandlung über Mathematik und Astronomie, die der indische Astronom Jyesthadeva von der Kerala School of Mathematics um 1530 verfasst hat.^[1] Die in Malayalam verfasste Abhandlung ist eine Konsolidierung der Entdeckungen von Madhava aus Sangamagrama, Nilakantha Somayaji, Parameshvara, Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati und anderen Astronomen-Mathematikern der Kerala-Schule.

Das Werk war für seine Zeit einzigartig, da es Beweise und Ableitungen der von ihm präsentierten Theoreme enthielt; etwas Ungewöhnliches für indische Mathematiker dieser Zeit.^[2] Einige seiner wichtigen Themen umfassen die unendlichen Reihenerweiterungen von Funktionen; Potenzreihen, einschließlich von π und π / 4; trigonometrische Reihen von Sinus, Cosinus, Tangens und Arkustangens; Taylor-Reihen, einschließlich Näherungen zweiter und dritter Ordnung von Sinus und Cosinus; Radien, Durchmesser und Umfang; und Konvergenztests.

Yuktibhāṣā basiert hauptsächlich auf Nilakantha Tantra Samgraha.^[3] Es wird als früher Text über die Ideen des Kalküls angesehen, der Jahrhunderte vor Newton und Leibniz liegt.^{[4][5][6][7][8]} Die Abhandlung blieb außerhalb Indiens weitgehend unbemerkt, da sie in der Landessprache Malayalam verfasst war. Es wird oft verallgemeinert, dass frühen indischen Gelehrten in Astronomie und Berechnung Beweise fehlten, aber Yuktibhāṣā zeigt etwas anderes.^[9] In der Neuzeit hat die Welt aufgrund der breiteren internationalen Zusammenarbeit in der Mathematik die Arbeit zur Kenntnis genommen. Zum Beispiel haben sowohl die Universität Oxford als auch die Royal Society of Great Britain wegweisende mathematische Theoreme indischen Ursprungs zugeschrieben, die vor ihren westlichen Kollegen entstanden sind.^[5][6][7][8]

Inhalt[edit]

Yuktibhāṣā enthält die meisten Entwicklungen der früheren Kerala-Schule, insbesondere Madhava und Nilakantha. Der Text ist in zwei Teile gegliedert – der erste befasst sich mit der mathematischen Analyse und der zweite mit der Astronomie.^[1]

Mathematik[edit]

Die ersten vier Kapitel der Yuktibhāṣā enthalten elementare Mathematik wie Division, den Satz von Pythagoras, Quadratwurzeln usw.^[10] Neue Ideen werden erst im sechsten Kapitel über den Umfang eines Kreises diskutiert. Yuktibhāṣā enthält eine Ableitung und einen Beweis für die von Madhava entdeckte Potenzreihe der inversen Tangente.^[3] Im Text beschreibt Jyesthadeva Madhavas Serie folgendermaßen:

Der erste Term ist das Produkt aus dem gegebenen Sinus und dem Radius des gewünschten Bogens geteilt durch den Cosinus des Bogens. Die nachfolgenden Terme werden durch einen Iterationsprozess erhalten, wenn der erste Term wiederholt mit dem Quadrat des Sinus multipliziert und durch das Quadrat des Cosinus geteilt wird. Alle Terme werden dann durch die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, … geteilt. Der Bogen wird erhalten, indem die Terme des ungeraden Ranges und die des geraden Ranges addiert bzw. subtrahiert werden. Es ist festgelegt, dass der Sinus des Bogens oder der seines Komplements, je nachdem, welcher kleiner ist, hier als gegebener Sinus genommen werden sollte. Andernfalls tendieren die durch diese obige Iteration erhaltenen Terme nicht zur verschwindenden Größe.

In der modernen mathematischen Notation

${ displaystyle r theta = {r { frac { sin theta} { cos theta}} – { frac {r} {3}} { frac { sin ^ {3} theta} { cos ^ {3} theta}} + { frac {r} {5}} { frac { sin ^ {5} theta} { cos ^ {5} theta}} – { frac {r} {7}} { frac { sin ^ {7} theta} { cos ^ {7} theta}} + cdots}$

oder, ausgedrückt als Tangenten,

${ displaystyle theta = tan theta – { frac {1} {3}} tan ^ {3} theta + { frac {1} {5}} tan ^ {5} theta – cdots ,}$

das zuvor James Gregory zugeschrieben wurde, der es 1667 veröffentlichte.

Der Text enthält auch Madhavas unendliche Reihenexpansion von π, die er aus der Erweiterung der Arcustangensfunktion erhalten hat.

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = 1 – { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} – { frac {1} {7}} + cdots + { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} + cdots}$

Unter Verwendung einer rationalen Näherung dieser Reihe gab er Werte der Zahl π als 3,14159265359, korrekt auf 11 Dezimalstellen, und als 3,1415926535898, korrekt auf 13 Dezimalstellen, an.

Der Text beschreibt zwei Methoden zur Berechnung des Wertes von π. Erhalten Sie zunächst eine schnell konvergierende Reihe, indem Sie die ursprüngliche unendliche Reihe von π transformieren. Auf diese Weise die ersten 21 Terme der unendlichen Reihe

${ displaystyle pi = { sqrt {12}} left (1- {1 über 3 cdot 3} + {1 über 5 cdot 3 ^ {2}} – {1 über 7 cdot 3 ^ {3}} + cdots right)}$

wurde verwendet, um die Annäherung an 11 Dezimalstellen zu berechnen. Die andere Methode bestand darin, der ursprünglichen Reihe von π einen Restterm hinzuzufügen. Die Restlaufzeit

${ textstyle { frac {n ^ {2} +1} {4n ^ {3} + 5n}}}$

wurde in der unendlichen Serienerweiterung von verwendet

${ displaystyle { frac { pi} {4}}}$

um die Annäherung von π an 13 Dezimalstellen der Genauigkeit zu verbessern, wenn n= 76.

Abgesehen von diesen ist die Yuktibhāṣā enthält viele elementare und komplexe mathematische Themen, darunter:

Astronomie[edit]

Die Kapitel sieben bis siebzehn befassen sich mit Themen der Astronomie: Planetenbahnen, Himmelskugeln, Aufstieg, Deklination, Richtungen und Schatten, sphärische Dreiecke, Ellipsen und Parallaxenkorrektur. Die im Buch beschriebene Planetentheorie ähnelt der später vom dänischen Astronomen Tycho Brahe übernommenen.^[11]

Moderne Ausgaben[edit]

Die Wichtigkeit von Yuktibhāṣā wurde 1832 von CM Whish durch ein in der Transaktionen der Royal Asiatic Society von Großbritannien und Irland.^[9] Der mathematische Teil des Textes wurde jedoch zusammen mit Notizen in Malayalam erst 1948 von Rama Varma Maru Thampuran und Akhileswara Aiyar veröffentlicht.^[1]

Zum ersten Mal veröffentlichte Springer 2008 eine Ausgabe des gesamten Malayalam-Textes sowie eine englische Übersetzung und ausführliche Erläuterungen.^[12]

Ein dritter Band mit einer kritischen Ausgabe des Sanskrit Ganitayuktibhasa wurde 2009 vom Indian Institute of Advanced Study, Shimla, veröffentlicht.^[13]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]