Quasiteilchen – Wikipedia

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Aufkommende Phänomene

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In der Physik Quasiteilchen und kollektive Anregungen (die eng miteinander verwandt sind) sind emergente Phänomene, die auftreten, wenn sich ein mikroskopisch kompliziertes System wie ein Feststoff so verhält, als ob es im Vakuum verschiedene schwach wechselwirkende Partikel enthält. Wenn sich ein Elektron beispielsweise durch einen Halbleiter bewegt, wird seine Bewegung auf komplexe Weise durch seine Wechselwirkungen mit anderen Elektronen und mit Atomkernen gestört. Das Elektron verhält sich so, als hätte es eine andere effektive Masse, die sich ungestört im Vakuum bewegt. Ein solches Elektron heißt ein Elektronenquasiteilchen.[1] In einem anderen Beispiel die Aggregatbewegung von Elektronen im Valenzband eines Halbleiters oder eines Lochbandes in einem Metall[2] verhalten sich so, als ob das Material stattdessen positiv geladene Quasiteilchen enthielt, die als Elektronenlöcher bezeichnet werden. Andere Quasiteilchen oder kollektive Anregungen umfassen das Phonon (ein Teilchen, das aus den Schwingungen von Atomen in einem Feststoff stammt), die Plasmonen (ein Teilchen, das aus Plasmaoszillationen stammt) und viele andere.

Diese Partikel werden typischerweise genannt Quasiteilchen wenn sie mit Fermionen verwandt sind und genannt werden kollektive Anregungen wenn sie mit Bosonen verwandt sind,[1] obwohl die genaue Unterscheidung nicht allgemein vereinbart ist.[3] Daher werden typischerweise Elektronen und Elektronenlöcher (Fermionen) genannt Quasiteilchen, während Phononen und Plasmonen (Baryonen) typischerweise genannt werden kollektive Anregungen.

Das Quasiteilchenkonzept ist in der Physik der kondensierten Materie wichtig, da es das Vielteilchenproblem in der Quantenmechanik vereinfachen kann.

Überblick[edit]

Allgemeine Einführung[edit]

Feststoffe bestehen nur aus drei Arten von Teilchen: Elektronen, Protonen und Neutronen. Quasiteilchen sind keine davon; stattdessen ist jeder von ihnen ein emergentes Phänomen das kommt im Festkörper vor. Während es durchaus möglich ist, ein einzelnes Teilchen (Elektron oder Proton oder Neutron) im Raum schweben zu lassen, kann ein Quasiteilchen nur in wechselwirkenden Mehrteilchensystemen (hauptsächlich Festkörpern) existieren.

Die Bewegung in einem Festkörper ist äußerst kompliziert: Jedes Elektron und Proton wird (nach dem Coulombschen Gesetz) von allen anderen Elektronen und Protonen im Festkörper (die sich möglicherweise selbst in Bewegung befinden) gedrückt und gezogen. Es sind diese starken Wechselwirkungen, die es sehr schwierig machen, das Verhalten von Festkörpern vorherzusagen und zu verstehen (siehe Vielkörperproblem). Andererseits ist die Bewegung von a nicht interagierend klassisches Teilchen ist relativ einfach; es würde sich in einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Dies ist die Motivation für das Konzept der Quasiteilchen: Die komplizierte Bewegung der echt Teilchen in einem Festkörper können mathematisch in die viel einfachere Bewegung imaginärer Quasiteilchen umgewandelt werden, die sich eher wie nicht wechselwirkende Teilchen verhalten.

Zusammenfassend sind Quasiteilchen ein mathematisches Werkzeug zur Vereinfachung der Beschreibung von Festkörpern.

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Beziehung zur Vielkörperquantenmechanik[edit]

Die Hauptmotivation für Quasiteilchen ist, dass dies fast unmöglich ist direkt Beschreiben Sie jedes Partikel in einem makroskopischen System. Zum Beispiel enthält ein kaum sichtbares (0,1 mm) Sandkorn etwa 1017 Kerne und 1018 Elektronen. Jedes von diesen zieht sich nach Coulombs Gesetz an oder stößt sich gegenseitig ab. Im Prinzip sagt die Schrödinger-Gleichung genau voraus, wie sich dieses System verhalten wird. Die Schrödinger-Gleichung ist in diesem Fall jedoch eine partielle Differentialgleichung (PDE) auf einem 3 × 1018-dimensionaler Vektorraum – eine Dimension für jede Koordinate (x, y, z) jedes Partikels. In der Praxis ist es unmöglich, direkt und unkompliziert zu versuchen, eine solche PDE zu lösen. Das Lösen einer PDE in einem zweidimensionalen Raum ist normalerweise viel schwieriger als das Lösen einer PDE in einem eindimensionalen Raum (ob analytisch oder numerisch). Das Lösen einer PDE in einem dreidimensionalen Raum ist noch wesentlich schwieriger. und somit eine PDE auf einem 3 × 10 lösen18-dimensionaler Raum ist mit einfachen Methoden nicht möglich.

Ein vereinfachender Faktor ist, dass das gesamte System wie jedes Quantensystem einen Grundzustand und verschiedene angeregte Zustände mit immer höherer Energie über dem Grundzustand aufweist. In vielen Zusammenhängen sind nur die “tief liegenden” angeregten Zustände relevant, deren Energie dem Grundzustand ziemlich nahe kommt. Dies liegt an der Boltzmann-Verteilung, die impliziert, dass bei einer bestimmten Temperatur keine thermischen Schwankungen mit sehr hoher Energie auftreten können.

Quasiteilchen und kollektive Anregungen sind eine Art tief liegender angeregter Zustand. Zum Beispiel befindet sich ein Kristall mit dem absoluten Nullpunkt im Grundzustand, aber wenn dem Kristall ein Phonon hinzugefügt wird (mit anderen Worten, wenn der Kristall bei einer bestimmten Frequenz leicht vibriert), befindet sich der Kristall jetzt in einem niedrigen Zustand. Liegender aufgeregter Zustand. Das einzelne Phonon heißt ein elementare Erregung. Im Allgemeinen können tief liegende angeregte Zustände eine beliebige Anzahl elementarer Anregungen enthalten (z. B. viele Phononen zusammen mit anderen Quasiteilchen und kollektiven Anregungen).[4]

Wenn das Material als “mehrere elementare Anregungen” charakterisiert ist, setzt diese Aussage voraus, dass die verschiedenen Anregungen miteinander kombiniert werden können. Mit anderen Worten, es setzt voraus, dass die Anregungen gleichzeitig und unabhängig voneinander koexistieren können. Das ist niemals genau wahr. Beispielsweise hat ein Festkörper mit zwei identischen Phononen nicht genau die doppelte Anregungsenergie eines Festkörpers mit nur einem Phonon, da die Kristallschwingung leicht anharmonisch ist. In vielen Materialien sind die elementaren Anregungen jedoch sehr schließen unabhängig zu sein. Daher als Startpunktwerden sie als freie, unabhängige Einheiten behandelt, und dann werden Korrekturen über Wechselwirkungen zwischen den Elementaranregungen wie “Phonon-Phonon-Streuung” eingeschlossen.

Verwenden Sie daher Quasiteilchen / kollektive Anregungen, anstatt 10 zu analysieren18 Teilchen muss man sich nur mit einer Handvoll etwas unabhängiger Elementaranregungen auseinandersetzen. Es ist daher ein sehr effektiver Ansatz, um das Vielteilchenproblem in der Quantenmechanik zu vereinfachen. Dieser Ansatz ist nicht sinnvoll für alle Systeme jedoch: In stark korrelierten Materialien sind die Elementaranregungen so weit davon entfernt, unabhängig zu sein, dass es nicht einmal als Ausgangspunkt nützlich ist, sie als unabhängig zu behandeln.

Unterscheidung zwischen Quasiteilchen und kollektiven Anregungen[edit]

Normalerweise wird eine elementare Erregung als “Quasiteilchen” bezeichnet, wenn es sich um eine Fermion handelt, und als “kollektive Erregung”, wenn es sich um ein Boson handelt.[1] Die genaue Unterscheidung ist jedoch nicht allgemein vereinbart.[3]

Es gibt einen Unterschied in der Art und Weise, wie Quasiteilchen und kollektive Erregungen intuitiv betrachtet werden.[3] Ein Quasiteilchen wird normalerweise als ein gekleidetes Teilchen betrachtet: Es ist um ein echtes Teilchen in seinem “Kern” aufgebaut, aber das Verhalten des Teilchens wird von der Umgebung beeinflusst. Ein Standardbeispiel ist das “Elektronenquasiteilchen”: Ein Elektron in einem Kristall verhält sich so, als hätte es eine effektive Masse, die sich von seiner realen Masse unterscheidet. Andererseits wird eine kollektive Anregung normalerweise als Reflexion des aggregierten Verhaltens des Systems angesehen, wobei kein einzelnes reales Teilchen in seinem “Kern” vorhanden ist. Ein Standardbeispiel ist das Phonon, das die Schwingungsbewegung jedes Atoms im Kristall charakterisiert.

Diese beiden Visualisierungen lassen jedoch einige Unklarheiten zurück. Zum Beispiel kann ein Magnon in einem Ferromagneten auf eine von zwei perfekt äquivalenten Arten betrachtet werden: (a) als mobiler Defekt (fehlgeleiteter Spin) bei perfekter Ausrichtung magnetischer Momente oder (b) als Quantum einer kollektiven Spinwelle das beinhaltet die Präzession vieler Spins. Im ersten Fall wird der Magnon als Quasiteilchen betrachtet, im zweiten Fall als kollektive Erregung. Sowohl (a) als auch (b) sind jedoch äquivalente und korrekte Beschreibungen. Wie dieses Beispiel zeigt, ist die intuitive Unterscheidung zwischen einem Quasiteilchen und einer kollektiven Erregung nicht besonders wichtig oder grundlegend.

Die Probleme, die sich aus der kollektiven Natur von Quasiteilchen ergeben, wurden auch in der Wissenschaftsphilosophie diskutiert, insbesondere in Bezug auf die Identitätsbedingungen von Quasiteilchen und ob sie nach den Maßstäben des Entitätsrealismus als “real” angesehen werden sollten.[5][6]

Auswirkung auf die Bulk-Eigenschaften[edit]

Durch die Untersuchung der Eigenschaften einzelner Quasiteilchen ist es möglich, viele Informationen über Niedrigenergiesysteme zu erhalten, einschließlich der Fließeigenschaften und der Wärmekapazität.

Im Beispiel der Wärmekapazität kann ein Kristall Energie speichern, indem er Phononen und / oder Exzitonen und / oder Plasmonen usw. bildet. Jedes dieser Elemente ist ein separater Beitrag zur gesamten Wärmekapazität.

Geschichte[edit]

Die Idee der Quasiteilchen entstand in Lev Landaus Theorie der Fermi-Flüssigkeiten, die ursprünglich zur Untersuchung von flüssigem Helium-3 erfunden wurde. Für diese Systeme besteht eine starke Ähnlichkeit zwischen dem Begriff des Quasiteilchens und der gekleideten Teilchen in der Quantenfeldtheorie. Die Dynamik der Landauschen Theorie wird durch eine kinetische Gleichung vom Mittelfeldtyp definiert. Eine ähnliche Gleichung, die Vlasov-Gleichung, gilt für ein Plasma in der sogenannten Plasma-Näherung. In der Plasma-Näherung wird angenommen, dass sich geladene Teilchen in dem elektromagnetischen Feld bewegen, das gemeinsam von allen anderen Teilchen erzeugt wird, und harte Kollisionen zwischen den geladenen Teilchen werden vernachlässigt. Wenn eine kinetische Gleichung vom Mittelfeldtyp eine gültige Beschreibung eines Systems erster Ordnung ist, bestimmen Korrekturen zweiter Ordnung die Entropieproduktion und nehmen im Allgemeinen die Form eines Kollisionsterms vom Boltzmann-Typ an, in dem nur “Fernkollisionen” dargestellt sind “zwischen virtuellen Partikeln. Mit anderen Worten, jede Art von kinetischer Mittelfeldgleichung und tatsächlich jede Mittelfeldtheorie beinhaltet ein Quasiteilchenkonzept.

Beispiele für Quasiteilchen und kollektive Anregungen[edit]

Dieser Abschnitt enthält Beispiele für Quasiteilchen und kollektive Anregungen. Der erste Unterabschnitt enthält häufig vorkommende, die unter normalen Bedingungen in einer Vielzahl von Materialien vorkommen. Der zweite Unterabschnitt enthält Beispiele, die nur in speziellen Kontexten auftreten.

Häufigere Beispiele[edit]

  • In Festkörpern kann ein Elektronenquasiteilchen ist ein Elektron, das von den anderen Kräften und Wechselwirkungen im Festkörper beeinflusst wird. Das Elektronenquasiteilchen hat die gleiche Ladung und den gleichen Spin wie ein “normales” (Elementarteilchen-) Elektron und ist wie ein normales Elektron eine Fermion. Seine Masse kann sich jedoch erheblich von der eines normalen Elektrons unterscheiden; siehe den Artikel effektive Masse.[1] Sein elektrisches Feld wird ebenfalls durch die Abschirmung des elektrischen Feldes verändert. In vielerlei Hinsicht, insbesondere in Metallen unter normalen Bedingungen, sind diese sogenannten Landau-Quasiteilchen[citation needed] ähneln stark bekannten Elektronen; Wie Crommies “Quantenkorral” zeigte, kann ein STM ihre Interferenz bei Streuung klar abbilden.
  • EIN Loch ist ein Quasiteilchen, das aus dem Fehlen eines Elektrons in einem Zustand besteht; Es wird am häufigsten im Zusammenhang mit leeren Zuständen im Valenzband eines Halbleiters verwendet.[1] Ein Loch hat die entgegengesetzte Ladung eines Elektrons.
  • EIN Phonon ist eine kollektive Anregung, die mit der Schwingung von Atomen in einer starren Kristallstruktur verbunden ist. Es ist ein Quantum einer Schallwelle.
  • EIN Magnon ist eine kollektive Erregung[1] assoziiert mit der Spinstruktur der Elektronen in einem Kristallgitter. Es ist ein Quantum einer Spinwelle.
  • In Materialien, a Photon Quasiteilchen ist ein Photon, das durch seine Wechselwirkungen mit dem Material beeinflusst wird. Insbesondere hat das Photonenquasiteilchen eine modifizierte Beziehung zwischen Wellenlänge und Energie (Dispersionsrelation), wie durch den Brechungsindex des Materials beschrieben. Es kann auch als a bezeichnet werden Polaritoninsbesondere in der Nähe einer Resonanz des Materials. Zum Beispiel ein Exciton-Polariton ist eine Überlagerung eines Exzitons und eines Photons; ein Phonon-Polariton ist eine Überlagerung eines Phonons und eines Photons.
  • EIN Plasmon ist eine kollektive Anregung, die das Quantum der Plasmaoszillationen ist (wobei alle Elektronen gleichzeitig in Bezug auf alle Ionen schwingen).
  • EIN polaron ist ein Quasiteilchen, das entsteht, wenn ein Elektron mit der Polarisation seiner umgebenden Ionen interagiert.
  • Ein Exziton ist ein Elektron und ein Loch miteinander verbunden.
  • EIN Plasmariton ist ein gekoppeltes optisches Phonon und ein gekleidetes Photon, das aus einem Plasmon und einem Photon besteht.

Spezialisierte Beispiele[edit]

  • EIN Roton ist eine kollektive Erregung, die mit der Rotation einer Flüssigkeit (oft einer Superflüssigkeit) verbunden ist. Es ist ein Quantum eines Wirbels.
  • Zusammengesetzte Fermionen entstehen in einem zweidimensionalen System, das einem großen Magnetfeld ausgesetzt ist, am bekanntesten in solchen Systemen, die den fraktionierten Quanten-Hall-Effekt aufweisen.[7] Diese Quasiteilchen sind in zweierlei Hinsicht ganz anders als normale Teilchen. Erstens kann ihre Ladung geringer sein als die Elektronenladung e. Tatsächlich wurden sie mit Ladungen von e / 3, e / 4, e / 5 und e / 7 beobachtet.[8] Zweitens können sie Anyons sein, eine exotische Art von Teilchen, die weder eine Fermion noch ein Boson ist.[9]
  • Stoner Anregungen in ferromagnetischen Metallen
  • Bogoliubov Quasiteilchen in Supraleitern. Die Supraleitung wird von Cooper-Paaren getragen – üblicherweise als Elektronenpaare bezeichnet -, die sich ohne Widerstand durch das Kristallgitter bewegen. Ein gebrochenes Cooper-Paar wird als Bogoliubov-Quasiteilchen bezeichnet.[10] Es unterscheidet sich vom herkömmlichen Quasiteilchen in Metall dadurch, dass es die Eigenschaften eines negativ geladenen Elektrons und eines positiv geladenen Lochs (eines Elektronenhohlraums) kombiniert. Physikalische Objekte wie Verunreinigungsatome, von denen Quasiteilchen in einem gewöhnlichen Metall streuen, beeinflussen die Energie eines Cooper-Paares in einem herkömmlichen Supraleiter nur schwach. In herkömmlichen Supraleitern ist eine Interferenz zwischen Bogoliubov-Quasiteilchen für ein STM schwer zu erkennen. Aufgrund ihrer komplexen globalen elektronischen Strukturen sind Supraleiter mit hoher Tc-Cuprate jedoch eine andere Sache. Auf diese Weise konnten Davis und seine Kollegen unterschiedliche Muster der Quasiteilcheninterferenz in Bi-2212 auflösen.[11]
  • EIN Majorana Fermion ist ein Teilchen, das seinem eigenen Antiteilchen entspricht und in bestimmten Supraleitern oder in einer Quantenspinflüssigkeit als Quasiteilchen auftreten kann.[12]
  • Magnetische Monopole entstehen in Systemen mit kondensierter Materie wie Spineis und tragen eine effektive magnetische Ladung sowie sind mit anderen typischen Quasiteilcheneigenschaften wie einer effektiven Masse ausgestattet. Sie können durch Spin-Flips in frustrierten Pyrochlor-Ferromagneten gebildet werden und über ein Coulomb-Potential interagieren.
  • Skyrmions
  • Spinon wird durch Quasiteilchen dargestellt, die als Ergebnis der Elektronenspin-Ladungs-Trennung erzeugt werden, und kann in einigen Mineralien wie Herbertsmithit sowohl Quanten-Spin-Flüssigkeit als auch stark korrelierte Quanten-Spin-Flüssigkeit bilden.[13]
  • Angulons kann verwendet werden, um die Rotation von Molekülen in Lösungsmitteln zu beschreiben. Zum ersten Mal theoretisch im Jahr 2015 postuliert,[14] Die Existenz des Angulons wurde im Februar 2017 nach einer Reihe von Experimenten über 20 Jahre bestätigt. In guter Übereinstimmung mit der Angulon-Theorie wurde festgestellt, dass sich schwere und leichte Molekülspezies in superfluiden Heliumtröpfchen drehen.[15][16]
  • Typ-II-Weyl-Fermionen brechen die Lorentz-Symmetrie, die Grundlage der speziellen Relativitätstheorie, die von realen Teilchen nicht gebrochen werden kann.[17]
  • EIN dislon ist ein quantisiertes Feld, das mit der Quantisierung des Gitterverschiebungsfeldes einer Kristallversetzung verbunden ist. Es ist ein Quantum des Schwingungs- und statischen Dehnungsfeldes einer Versetzungslinie.[18]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ ein b c d e f E. Kaxiras, Atomare und elektronische Struktur von Festkörpern, ISBN 0-521-52339-7, Seiten 65–69.
  2. ^ Ashcroft und Mermin (1976). Festkörperphysik (1. Aufl.). Holt, Reinhart und Winston. pp. 299–302. ISBN 978-0030839931.
  3. ^ ein b c Eine Anleitung zu Feynman-Diagrammen im Vielteilchenproblem, von Richard D. Mattuck, S. 10. “Wie wir gesehen haben, besteht das Quasiteilchen aus dem ursprünglichen realen, individuellen Teilchen sowie einer Wolke gestörter Nachbarn. Es verhält sich sehr ähnlich wie ein einzelnes Teilchen, außer dass es eine effektive Masse und eine Lebensdauer hat. Es gibt aber auch andere Arten von fiktiven Teilchen in Vielkörpersystemen, dh “kollektiven Anregungen”. Diese konzentrieren sich nicht auf einzelne Teilchen, sondern beinhalten eine kollektive, wellenförmige Bewegung von alle die Partikel im System gleichzeitig. “
  4. ^ Ohtsu, Motoichi; Kobayashi, Kiyoshi; Kawazoe, Tadashi; Yatsui, Takashi; Naruse, Makoto (2008). Prinzipien der Nanophotonik. CRC Drücken Sie. p. 205. ISBN 9781584889731.
  5. ^ Gelfert, Axel (2003). “Manipulativer Erfolg und das Unwirkliche”. Internationale Studien in der Philosophie der Wissenschaft. 17 (3): 245–263. CiteSeerX 10.1.1.405.2111. doi:10.1080 / 0269859032000169451.
  6. ^ B. Falkenburg, Teilchenmetaphysik (The Frontiers Collection), Berlin: Springer 2007, esp. S. 243–46
  7. ^ “Physik heute Artikel”.
  8. ^ “Cosmos Magazin Juni 2008”. Archiviert von das Original am 9. Juni 2008.
  9. ^ Goldman, Vladimir J (2007). “Fractional Quantum Hall-Effekt: Ein Spiel mit fünf Hälften”. Naturphysik. 3 (8): 517. Bibcode:2007NatPh … 3..517G. doi:10.1038 / nphys681.
  10. ^ “Josephson Junctions”. Wissenschafts- und Technologiebericht. Lawrence Livermore National Laboratory.
  11. ^ JE Hoffman; McElroy, K; Lee, DH; Lang, KM; Eisaki, H; Uchida, S; Davis, JC; et al. (2002). “Imaging Quasipartikel Interferenz in Bi2Sr.2CaCu2Ö8 + δ“. Wissenschaft. 297 (5584): 1148–51. arXiv:cond-mat / 0209276. Bibcode:2002Sci … 297.1148H. doi:10.1126 / science.1072640. PMID 12142440.
  12. ^ Banerjee, A.; Bridges, CA; Yan, J.-Q.; et al. (4. April 2016). “Ungefähres Verhalten der Kitaev-Quantenspinflüssigkeit in einem Wabenmagneten”. Naturmaterialien. 15 (7): 733–740. arXiv:1504.08037. Bibcode:2016NatMa..15..733B. doi:10.1038 / nmat4604. PMID 27043779.
  13. ^ Shaginyan, VR; et al. (2012). “Identifizierung stark korrelierter Spinflüssigkeit in Herbertsmithit”. EPL. 97 (5): 56001. arXiv:1111.0179. Bibcode:2012EL ….. 9756001S. doi:10.1209 / 0295-5075 / 97/56001.
  14. ^ Schmidt, Richard; Lemeshko, Mikhail (18. Mai 2015). “Rotation von Quantenverunreinigungen in Gegenwart einer Vielkörperumgebung”. Briefe zur körperlichen Überprüfung. 114 (20): 203001. arXiv:1502.03447. Bibcode:2015PhRvL.114t3001S. doi:10.1103 / PhysRevLett.114.203001. PMID 26047225.
  15. ^ Lemeshko, Mikhail (27. Februar 2017). “Quasiteilchen-Ansatz für Moleküle, die mit Quantenlösungsmitteln interagieren”. Briefe zur körperlichen Überprüfung. 118 (9): 095301. arXiv:1610.01604. Bibcode:2017PhRvL.118i5301L. doi:10.1103 / PhysRevLett.118.095301. PMID 28306270.
  16. ^ “Existenz eines neuen Quasiteilchens nachgewiesen”. Phys.org. Abgerufen 1. März 2017.
  17. ^ Xu, SY; Alidoust, N.; Chang, G.; et al. (2. Juni 2017). “Entdeckung von Lorentz-verletzenden Typ-II-Weyl-Fermionen in LaAlGe”. Fortschritte in der Wissenschaft. 3 (6): e1603266. Bibcode:2017SciA …. 3E3266X. doi:10.1126 / sciadv.1603266. PMC 5457030. PMID 28630919.
  18. ^ Li, Mingda; Tsurimaki, Yoichiro; Meng, Qingping; Andrejevic, Nina; Zhu, Yimei; Mahan, Gerald D.; Chen, Gang (2018). “Theorie des Elektron-Phonon-Dislon-Interaktionssystems – hin zu einer quantisierten Theorie der Versetzungen”. Neues Journal für Physik. 20 (2): 023010. arXiv:1708.07143. doi:10.1088 / 1367-2630 / aaa383.

Weiterführende Literatur[edit]

  • LD Landau, Sowjetischer Phys. JETP. 3: 920 (1957)
  • LD Landau, Sowjetischer Phys. JETP. 5: 101 (1957)
  • AA Abrikosov, LP Gor’kov und IE Dzyaloshinski, Methoden der Quantenfeldtheorie in der statistischen Physik (1963, 1975). Prentice-Hall, New Jersey; Dover Publications, New York.
  • D. Pines und P. Nozières, Die Theorie der Quantenflüssigkeiten (1966). WA Benjamin, New York. Band I: Normale Fermi-Flüssigkeiten (1999). Westview Press, Boulder.
  • JW Negele und H. Orland, Quanten-Vielteilchensysteme (1998). Westview Press, Boulder

Externe Links[edit]


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