Endliche von Neumann-Algebra – Wikipedia

In der Mathematik a endliche von Neumann-Algebra ist eine von Neumann-Algebra, in der jede Isometrie eine Einheit ist. Mit anderen Worten, für einen Bediener V. in einer endlichen von Neumann-Algebra wenn

${ displaystyle V ^ {*} V = I}$

, dann

${ displaystyle VV ^ {*} = I}$

. In Bezug auf die Vergleichstheorie der Projektionen entspricht der Identitätsoperator (Murray-von Neumann) keiner geeigneten Teilprojektion in der von Neumann-Algebra.

Eigenschaften[edit]

Lassen

${ displaystyle { mathcal {M}}}$

bezeichnen eine endliche von Neumann-Algebra mit Zentrum

${ displaystyle { mathcal {Z}}}$

. Eine der grundlegenden charakteristischen Eigenschaften endlicher von Neumann-Algebren ist die Existenz einer zentralwertigen Spur. Dies ist eine normale positiv begrenzte Karte

${ displaystyle tau: { mathcal {M}} to { mathcal {Z}}}$

mit den Eigenschaften:

Beispiele[edit]

Endlich dimensionierte von Neumann-Algebren[edit]

Die endlichdimensionalen von Neumann-Algebren können mit Wedderburns Theorie der semi-einfachen Algebren charakterisiert werden. Lassen C.^{n × n} sei der n × n Matrizen mit komplexen Einträgen. EIN von Neumann Algebra M. ist eine selbstadjunkte Subalgebra in C.^{n × n} so dass M. enthält den Identitätsoperator ich im C.^{n × n}.

Jeder solche M. wie oben definiert ist eine semisimple Algebra, dh sie enthält keine nichtpotenten Ideale. Annehmen M. ≠ 0 liegt in einem nicht potenten Ideal von M.. Schon seit M * ∈ M. unter der Annahme haben wir M * M., eine positive semidefinite Matrix, liegt in diesem nilpotenten Ideal. Dies impliziert (M * M.)^k = 0 für einige k. Damit M * M. = 0, dh M. = 0.

Das Zentrum einer von Neumann-Algebra M. wird mit bezeichnet Z.((M.). Schon seit M. ist selbstadjunkt, Z.((M.) ist selbst eine (kommutative) von Neumann-Algebra. Eine von Neumann-Algebra N. heißt a Faktor wenn Z.((N.) ist eindimensional, dh Z.((N.) besteht aus Vielfachen der Identität ich.

Satz Jede endlichdimensionale von Neumann-Algebra M. ist eine direkte Summe von m Faktoren, wo m ist die Dimension von Z.((M.).

Beweis: Nach Wedderburns Theorie der semi-einfachen Algebren Z.((M.) enthält eine endliche orthogonale Menge von Idempotenten (Projektionen) {P._ich} so dass P._ichP._j = 0 für ich ≠ j, Σ P._ich = ich, und

${ displaystyle Z ( mathbf {M}) = bigoplus _ {i} Z ( mathbf {M}) P_ {i}}$

wo jeder Z.((M.) P._ich ist eine kommutative einfache Algebra. Jedes komplexe einfache Algebra ist isomorph zur Vollmatrixalgebra C.^{k × k} für einige k. Aber Z.((M.) P._ich ist kommutativ, daher eindimensional.

Die Projektionen P._ich “diagonalisiert” M. auf natürliche Weise. Zum M. ∈ M., M. kann eindeutig in zerlegt werden M. = Σ MP_ich. Deshalb,

${ displaystyle { mathbf {M}} = bigoplus _ {i} { mathbf {M}} P_ {i}.}$

Das kann man sehen Z.((M.P._ich) = Z.((M.) P._ich. Damit Z.((M.P._ich) ist eindimensional und jeweils M.P._ich ist ein Faktor. Dies beweist den Anspruch.

Bei allgemeinen von Neumann-Algebren wird die direkte Summe durch das direkte Integral ersetzt. Das Obige ist ein Sonderfall der zentralen Zerlegung von Neumann-Algebren.

Abelsche von Neumann-Algebren[edit]

Art

${ displaystyle II_ {1}}$

Faktoren[edit]

Verweise[edit]

• Kadison, RV; Ringrose, JR (1997). Grundlagen der Theorie der Operatoralgebren. II: Fortgeschrittene Theorie. AMS. p. 676. ISBN 978-0821808207.

• Sinclair, AM; Smith, RR (2008). Endliche von Neumann-Algebren und Masas. Cambridge University Press. p. 410. ISBN 978-0521719193.