Modell mit konzentrierten Elementen – Wikipedia

Das Modell mit konzentrierten Elementen (auch genannt Modell mit konzentrierten Parametern, oder Modell mit konzentrierten Komponenten) vereinfacht die Beschreibung des Verhaltens räumlich verteilter physikalischer Systeme in eine Topologie, die aus diskreten Einheiten besteht, die sich unter bestimmten Annahmen dem Verhalten des verteilten Systems annähern. Es ist nützlich in elektrischen Systemen (einschließlich Elektronik), mechanischen Mehrkörpersystemen, Wärmeübertragung, Akustik usw.

Mathematisch gesehen reduziert die Vereinfachung den Zustandsraum des Systems auf eine endliche Dimension und die partiellen Differentialgleichungen (PDEs) des kontinuierlichen (unendlich dimensionalen) Zeit- und Raummodells des physikalischen Systems in gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) mit a endliche Anzahl von Parametern.

Elektrische Systeme[edit]

Disziplin der konzentrierten Materie[edit]

Das Disziplin der konzentrierten Materie ist eine Reihe von auferlegten Annahmen in der Elektrotechnik, die die Grundlage dafür bilden Abstraktion mit konzentrierten Schaltkreisen wird in der Netzwerkanalyse verwendet.^[1] Die selbst auferlegten Einschränkungen sind:

1. Die zeitliche Änderung des Magnetflusses außerhalb eines Leiters ist Null.

${ displaystyle { frac { teilweise phi _ {B}} { teilweise t}} = 0}$

2. Die zeitliche Änderung der Ladung innerhalb leitender Elemente ist Null.

${ displaystyle { frac { partielle q} { partielle t}} = 0}$

3. Die interessierenden Signalzeitskalen sind viel größer als die Ausbreitungsverzögerung elektromagnetischer Wellen über das konzentrierte Element.

Die ersten beiden Annahmen führen zu Kirchhoffs Schaltungsgesetzen, wenn sie auf Maxwells Gleichungen angewendet werden, und sind nur anwendbar, wenn sich die Schaltung im stationären Zustand befindet. Die dritte Annahme ist die Grundlage des in der Netzwerkanalyse verwendeten Modells mit konzentrierten Elementen. Weniger strenge Annahmen führen zum Modell mit verteilten Elementen, erfordern jedoch nicht die direkte Anwendung der vollständigen Maxwell-Gleichungen.

Modell mit konzentrierten Elementen[edit]

Das Modell mit konzentrierten Elementen elektronischer Schaltungen geht vereinfachend davon aus, dass die Attribute der Schaltung, des Widerstands, der Kapazität, der Induktivität und der Verstärkung in idealisierten elektrischen Komponenten konzentriert sind. Widerstände, Kondensatoren und Induktivitäten usw., die durch ein Netzwerk perfekt leitender Drähte verbunden sind.

Das Modell mit konzentrierten Elementen ist immer gültig

${ displaystyle L_ {c} ll lambda}$

, wo

${ displaystyle L_ {c}}$

bezeichnet die charakteristische Länge der Schaltung und

${ displaystyle lambda}$

bezeichnet die Betriebswellenlänge der Schaltung. Andernfalls müssen wir, wenn die Schaltungslänge in der Größenordnung einer Wellenlänge liegt, allgemeinere Modelle berücksichtigen, beispielsweise das Modell mit verteilten Elementen (einschließlich Übertragungsleitungen), dessen dynamisches Verhalten durch Maxwell-Gleichungen beschrieben wird. Eine andere Möglichkeit, die Gültigkeit des Modells mit konzentrierten Elementen zu betrachten, besteht darin, zu beachten, dass dieses Modell die endliche Zeit ignoriert, die Signale benötigen, um sich in einer Schaltung auszubreiten. Immer wenn diese Laufzeit für die Anwendung nicht von Bedeutung ist, kann das Modell mit konzentrierten Elementen verwendet werden. Dies ist der Fall, wenn die Laufzeit viel kürzer als die Periode des betreffenden Signals ist. Mit zunehmender Laufzeit tritt jedoch ein zunehmender Fehler zwischen der angenommenen und der tatsächlichen Phase des Signals auf, was wiederum zu einem Fehler in der angenommenen Amplitude des Signals führt. Der genaue Punkt, an dem das Modell mit konzentrierten Elementen nicht mehr verwendet werden kann, hängt bis zu einem gewissen Grad davon ab, wie genau das Signal in einer bestimmten Anwendung bekannt sein muss.

Reale Komponenten weisen nicht ideale Eigenschaften auf, die in Wirklichkeit verteilte Elemente sind, aber häufig durch konzentrierte Elemente in einer Näherung erster Ordnung dargestellt werden. Um beispielsweise Leckagen in Kondensatoren zu berücksichtigen, können wir den nicht idealen Kondensator so modellieren, dass ein großer konzentrierter Widerstand parallel geschaltet ist, obwohl die Leckage in Wirklichkeit über das gesamte Dielektrikum verteilt ist. In ähnlicher Weise weist ein drahtgewickelter Widerstand eine signifikante Induktivität sowie einen über seine Länge verteilten Widerstand auf, aber wir können dies als konzentrierten Induktor in Reihe mit dem idealen Widerstand modellieren.

Thermische Systeme[edit]

EIN Modell mit konzentrierter Kapazität, auch genannt konzentrierte Systemanalyse,^[2] reduziert ein thermisches System auf eine Anzahl diskreter „Klumpen“ und geht davon aus, dass der Temperaturunterschied in jedem Klumpen vernachlässigbar ist. Diese Näherung ist nützlich, um ansonsten komplexe Differentialwärmegleichungen zu vereinfachen. Es wurde als mathematisches Analogon der elektrischen Kapazität entwickelt, obwohl es auch thermische Analoga des elektrischen Widerstands enthält.

Das Modell mit konzentrierter Kapazität ist eine übliche Annäherung an die Übergangsleitung, die verwendet werden kann, wenn die Wärmeleitung innerhalb eines Objekts viel schneller ist als die Wärmeübertragung über die Grenze des Objekts. Das Approximationsverfahren reduziert dann in geeigneter Weise einen Aspekt des transienten Leitungssystems (räumliche Temperaturschwankung innerhalb des Objekts) auf eine mathematisch nachvollziehbarere Form (dh es wird angenommen, dass die Temperatur innerhalb des Objekts räumlich völlig gleichmäßig ist, obwohl dies räumlich ist gleichmäßiger Temperaturwert ändert sich mit der Zeit). Die ansteigende gleichmäßige Temperatur innerhalb des Objekts oder eines Teils eines Systems kann dann wie ein kapazitives Reservoir behandelt werden, das Wärme absorbiert, bis es zeitlich einen stabilen thermischen Zustand erreicht (wonach sich die Temperatur innerhalb des Systems nicht ändert).

Ein früh entdecktes Beispiel für ein System mit konzentrierter Kapazität, das aufgrund solcher physikalischer Vereinfachungen ein mathematisch einfaches Verhalten zeigt, sind Systeme, die konform sind Newtons Gesetz der Kühlung. Dieses Gesetz besagt einfach, dass die Temperatur eines heißen (oder kalten) Objekts auf einfache exponentielle Weise in Richtung der Umgebungstemperatur voranschreitet. Objekte folgen diesem Gesetz nur dann streng, wenn die Wärmeleitungsrate in ihnen viel größer ist als der Wärmefluss in sie hinein oder aus ihnen heraus. In solchen Fällen ist es sinnvoll, zu einem bestimmten Zeitpunkt von einer einzelnen “Objekttemperatur” zu sprechen (da es keine räumliche Temperaturschwankung innerhalb des Objekts gibt), und auch die gleichmäßigen Temperaturen innerhalb des Objekts ermöglichen eine proportionale Variation seines gesamten Wärmeenergieüberschusses oder -defizits auf seine Oberflächentemperatur, wodurch das Newtonsche Gesetz der Kühlung festgelegt wird, dass die Temperaturabnahmerate proportional zur Differenz zwischen dem Objekt und der Umgebung ist. Dies führt wiederum zu einem einfachen exponentiellen Heiz- oder Kühlverhalten (Details unten).

Methode[edit]

Zur Bestimmung der Anzahl der Klumpen wird die Biot-Zahl (Bi) verwendet, ein dimensionsloser Parameter des Systems. Bi ist definiert als das Verhältnis des leitenden Wärmewiderstands innerhalb des Objekts zum konvektiven Wärmeübertragungswiderstand über die Objektgrenze mit einem gleichmäßigen Bad unterschiedlicher Temperatur. Wenn der Wärmewiderstand gegen Wärme, der in das Objekt übertragen wird, größer ist als der Wärmewiderstand, der vollständig innerhalb des Objekts diffundiert, ist die Biot-Zahl kleiner als 1. In diesem Fall ist insbesondere für Biot-Zahlen, die noch kleiner sind, die Annäherung an räumlich gleichmäßige Temperatur innerhalb des Objekts kann verwendet werden, da angenommen werden kann, dass die in das Objekt übertragene Wärme aufgrund des geringeren Widerstands im Vergleich zum Widerstand gegen in das Objekt eintretende Wärme Zeit hat, sich gleichmäßig zu verteilen.

Wenn die Biot-Zahl für ein festes Objekt weniger als 0,1 beträgt, hat das gesamte Material nahezu die gleiche Temperatur, wobei sich der dominierende Temperaturunterschied an der Oberfläche befindet. Es kann als “thermisch dünn” angesehen werden. Die Biot-Zahl muss im Allgemeinen kleiner als 0,1 sein, um eine nützliche Näherungs- und Wärmeübertragungsanalyse zu ermöglichen. Die mathematische Lösung für die Näherung des konzentrierten Systems ergibt das Newtonsche Gesetz der Kühlung.

Eine Biot-Zahl größer als 0,1 (eine “thermisch dicke” Substanz) zeigt an, dass man diese Annahme nicht treffen kann, und kompliziertere Wärmeübertragungsgleichungen für “vorübergehende Wärmeleitung” sind erforderlich, um die zeitlich variierende und nicht räumlich gleichmäßige Temperatur zu beschreiben Feld innerhalb des materiellen Körpers.

Der Einzelkapazitätsansatz kann erweitert werden, um viele resistive und kapazitive Elemente mit Bi <0,1 für jeden Klumpen einzubeziehen. Da die Biot-Zahl basierend auf einer charakteristischen Länge des Systems berechnet wird, kann das System häufig in eine ausreichende Anzahl von Abschnitten oder Klumpen unterteilt werden, so dass die Biot-Zahl akzeptabel klein ist.

Einige charakteristische Längen von thermischen Systemen sind:

Für beliebige Formen kann es nützlich sein, die charakteristische Länge als Volumen / Oberfläche zu betrachten.

Wärmeschutzkreise[edit]

Ein nützliches Konzept, das bei Wärmeübertragungsanwendungen verwendet wird, sobald der Zustand der Wärmeleitung im eingeschwungenen Zustand erreicht ist, ist die Darstellung der Wärmeübertragung durch sogenannte Wärmekreise. Ein Wärmekreis ist die Darstellung des Widerstands gegen Wärmefluss in jedem Element eines Kreises, als wäre es ein elektrischer Widerstand. Die übertragene Wärme ist analog zum elektrischen Strom und der Wärmewiderstand ist analog zum elektrischen Widerstand. Die Werte des Wärmewiderstands für die verschiedenen Arten der Wärmeübertragung werden dann als Nenner der entwickelten Gleichungen berechnet. Die Wärmewiderstände der verschiedenen Wärmeübertragungsmodi werden zur Analyse kombinierter Wärmeübertragungsmodi verwendet. Das Fehlen von “kapazitiven” Elementen im folgenden rein resistiven Beispiel bedeutet, dass kein Abschnitt der Schaltung Energie absorbiert oder sich in der Temperaturverteilung ändert. Dies entspricht der Forderung, dass bereits ein Zustand der stationären Wärmeleitung (oder Übertragung wie bei Strahlung) hergestellt wurde.

Die Gleichungen, die die drei Wärmeübertragungsmodi und ihre Wärmewiderstände unter stationären Bedingungen beschreiben, wie zuvor erläutert, sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

In Fällen, in denen Wärme durch verschiedene Medien (z. B. durch ein Verbundmaterial) übertragen wird, ist der äquivalente Widerstand die Summe der Widerstände der Komponenten, aus denen der Verbund besteht. In Fällen, in denen es unterschiedliche Wärmeübertragungsmodi gibt, ist der Gesamtwiderstand wahrscheinlich die Summe der Widerstände der verschiedenen Modi. Unter Verwendung des Wärmekreislaufkonzepts ist die durch ein beliebiges Medium übertragene Wärmemenge der Quotient aus der Temperaturänderung und dem gesamten Wärmewiderstand des Mediums.

Betrachten Sie als Beispiel eine Verbundwand mit einer Querschnittsfläche

${ displaystyle A}$

. Der Verbund besteht aus einem

${ displaystyle L_ {1}}$

langer Zementputz mit einem Wärmekoeffizienten

${ displaystyle k_ {1}}$

und

${ displaystyle L_ {2}}$

langes Glasfaserglas mit Papierbeschichtung und Wärmekoeffizient

${ displaystyle k_ {2}}$

. Die linke Oberfläche der Wand befindet sich bei

${ displaystyle T_ {i}}$

und Luft mit einem Konvektionskoeffizienten von ausgesetzt

${ displaystyle h_ {i}}$

. Die rechte Oberfläche der Wand befindet sich bei

${ displaystyle T_ {o}}$

und Luft mit konvektivem Koeffizienten ausgesetzt

${ displaystyle h_ {o}}$

.

Unter Verwendung des Wärmewiderstandskonzepts ist der Wärmefluss durch den Verbundstoff wie folgt:

${ displaystyle { dot {Q}} = { frac {T_ {i} -T_ {o}} {R_ {i} + R_ {1} + R_ {2} + R_ {o}}} = { frac {T_ {i} -T_ {1}} {R_ {i}}} = { frac {T_ {i} -T_ {2}} {R_ {i} + R_ {1}} = { frac {T_ {i} -T_ {3}} {R_ {i} + R_ {1} + R_ {2}}} = { frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {1}}} = { frac {T_ {3} -T_ {o}} {R_ {0}}}}$

wo

${ displaystyle R_ {i} = { frac {1} {h_ {i} A}}}$

,

${ displaystyle R_ {o} = { frac {1} {h_ {o} A}}}$

,

${ displaystyle R_ {1} = { frac {L_ {1}} {k_ {1} A}}}$

, und

${ displaystyle R_ {2} = { frac {L_ {2}} {k_ {2} A}}}$

Newtons Gesetz der Kühlung[edit]

Newtons Gesetz der Kühlung ist eine empirische Beziehung, die dem englischen Physiker Sir Isaac Newton (1642 – 1727) zugeschrieben wird. Dieses in nicht mathematischer Form angegebene Gesetz lautet wie folgt:

Die Wärmeverlustrate eines Körpers ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen dem Körper und seiner Umgebung.

Oder mit Symbolen:

${ displaystyle { text {Abkühlrate}} sim ! , Delta T}$

Ein Objekt mit einer anderen Temperatur als seine Umgebung erreicht letztendlich eine gemeinsame Temperatur mit seiner Umgebung. Ein relativ heißes Objekt kühlt ab, wenn es seine Umgebung erwärmt. Ein kühles Objekt wird durch seine Umgebung erwärmt. Wenn wir überlegen, wie schnell (oder langsam) sich etwas abkühlt, sprechen wir davon Bewertung Kühlung – wie viele Grad Temperaturänderung pro Zeiteinheit.

Die Abkühlgeschwindigkeit eines Objekts hängt davon ab, wie viel heißer das Objekt ist als seine Umgebung. Die Temperaturänderung pro Minute eines heißen Apfelkuchens ist höher, wenn der Kuchen in einen kalten Gefrierschrank gestellt wird, als wenn er auf den Küchentisch gestellt wird. Wenn der Kuchen im Gefrierschrank abkühlt, ist der Temperaturunterschied zwischen ihm und seiner Umgebung größer. An einem kalten Tag gibt ein warmes Zuhause mehr Wärme nach außen ab, wenn ein großer Unterschied zwischen den Innen- und Außentemperaturen besteht. Das Innere eines Hauses an einem kalten Tag auf hoher Temperatur zu halten, ist daher teurer als es auf einer niedrigeren Temperatur zu halten. Wenn der Temperaturunterschied klein gehalten wird, ist die Abkühlgeschwindigkeit entsprechend niedrig.

Nach dem Newtonschen Gesetz der Abkühlung ist die Abkühlgeschwindigkeit eines Objekts – ob durch Leitung, Konvektion oder Strahlung – ungefähr proportional zur Temperaturdifferenz ΔT.. Tiefkühlkost erwärmt sich in einem warmen Raum schneller als in einem kalten Raum. Beachten Sie, dass die Abkühlungsrate an einem kalten Tag durch den zusätzlichen Konvektionseffekt des Windes erhöht werden kann. Dies wird als Windchill bezeichnet. Zum Beispiel bedeutet eine Windkälte von -20 ° C, dass Wärme mit der gleichen Geschwindigkeit verloren geht, als ob die Temperatur ohne Wind -20 ° C wäre.

Anwendbare Situationen[edit]

Dieses Gesetz beschreibt viele Situationen, in denen ein Objekt eine große Wärmekapazität und eine große Leitfähigkeit aufweist und plötzlich in ein gleichmäßiges Bad eingetaucht ist, das Wärme relativ schlecht leitet. Es ist ein Beispiel für einen Wärmekreis mit einem resistiven und einem kapazitiven Element. Damit das Gesetz korrekt ist, müssen die Temperaturen an allen Punkten im Körper zu jedem Zeitpunkt ungefähr gleich sein, einschließlich der Temperatur an seiner Oberfläche. Somit hängt der Temperaturunterschied zwischen dem Körper und der Umgebung nicht davon ab, welcher Körperteil ausgewählt wird, da alle Körperteile effektiv die gleiche Temperatur haben. In diesen Situationen wirkt das Material des Körpers nicht so, dass es andere Körperteile vor dem Wärmefluss “isoliert”, und die gesamte signifikante Isolierung (oder der “Wärmewiderstand”), die die Geschwindigkeit des Wärmeflusses in der Situation steuert, befindet sich in der Kontaktbereich zwischen dem Körper und seiner Umgebung. Über diese Grenze springt der Temperaturwert diskontinuierlich.

In solchen Situationen kann Wärme durch Konvektion, Leitung oder Diffusion von außen nach innen über die Isolationsgrenze auf das Innere eines Körpers übertragen werden, solange die Grenze in Bezug auf das Innere des Objekts als relativ schlechter Leiter dient. Das Vorhandensein eines physikalischen Isolators ist nicht erforderlich, solange der Prozess, der dazu dient, Wärme über die Grenze zu leiten, im Vergleich zur leitenden Wärmeübertragung innerhalb des Körpers (oder innerhalb des interessierenden Bereichs – des “Klumpens” “” langsam “ist. oben beschrieben).

In einer solchen Situation wirkt das Objekt als “kapazitives” Schaltungselement, und der Widerstand des Wärmekontakts an der Grenze wirkt als (einzelner) Wärmewiderstand. In elektrischen Schaltkreisen würde sich eine solche Kombination gemäß einem einfachen Exponentialgesetz in der Zeit in Richtung der Eingangsspannung laden oder entladen. Im Wärmekreislauf führt diese Konfiguration zu demselben Temperaturverhalten: einer exponentiellen Annäherung der Objekttemperatur an die Badtemperatur.

Mathematische Aussage[edit]

Das Newtonsche Gesetz wird mathematisch durch die einfache Differentialgleichung erster Ordnung angegeben:

Lösung in Bezug auf die Wärmekapazität des Objekts[edit]

Wenn der gesamte Körper als Wärmespeicher mit konzentrierter Kapazität behandelt wird, dessen Gesamtwärmegehalt proportional zur einfachen Gesamtwärmekapazität ist

${ displaystyle C}$

, und

${ displaystyle T}$

, die Körpertemperatur oder

${ displaystyle Q = CT}$

. Es wird erwartet, dass das System mit der Zeit einen exponentiellen Abfall der Körpertemperatur erfährt.

Aus der Definition der Wärmekapazität

${ displaystyle C}$

kommt die Beziehung

${ displaystyle C = dQ / dT}$

. Die Differenzierung dieser Gleichung in Bezug auf die Zeit ergibt die Identität (gültig, solange die Temperaturen im Objekt zu einem bestimmten Zeitpunkt einheitlich sind):

${ displaystyle dQ / dt = C (dT / dt)}$

. Dieser Ausdruck kann zum Ersetzen verwendet werden

${ displaystyle dQ / dt}$

in der ersten Gleichung, die diesen Abschnitt oben beginnt. Dann wenn

${ displaystyle r = hA / C}$

ist eine positive konstante Eigenschaft des Systems, die in Einheiten von angegeben werden muss

${ displaystyle s ^ {- 1}}$

und wird daher manchmal als charakteristische Zeitkonstante ausgedrückt

${ displaystyle t_ {0}}$

gegeben durch:

Mechanische Systeme[edit]

Die vereinfachenden Annahmen in diesem Bereich sind:

Akustik[edit]

In diesem Zusammenhang erweitert das Modell mit konzentrierten Komponenten die verteilten Konzepte der akustischen Theorie, die einer Annäherung unterliegen. In dem akustischen Modell mit konzentrierten Komponenten können bestimmte physikalische Komponenten mit akustischen Eigenschaften so angenähert werden, dass sie sich ähnlich wie elektronische Standardkomponenten oder einfache Kombinationen von Komponenten verhalten.

• Ein starrwandiger Hohlraum, der Luft (oder ein ähnliches komprimierbares Fluid) enthält, kann als Kondensator angenähert werden, dessen Wert proportional zum Volumen des Hohlraums ist. Die Gültigkeit dieser Näherung beruht darauf, dass die kürzeste interessierende Wellenlänge signifikant (viel) größer ist als die längste Abmessung des Hohlraums.
• Ein Reflexanschluss kann als Induktor angenähert werden, dessen Wert proportional zur effektiven Länge des Anschlusses geteilt durch seine Querschnittsfläche ist. Die effektive Länge ist die tatsächliche Länge plus eine Endkorrektur. Diese Annäherung beruht darauf, dass die kürzeste interessierende Wellenlänge signifikant größer ist als die längste Dimension des Ports.
• Bestimmte Arten von Dämpfungsmaterial können als Widerstand angenähert werden. Der Wert hängt von den Eigenschaften und Abmessungen des Materials ab. Die Annäherung beruht darauf, dass die Wellenlängen lang genug sind und die Eigenschaften des Materials selbst.
• Eine Lautsprecheransteuereinheit (typischerweise eine Woofer- oder Subwoofer-Ansteuereinheit) kann als Reihenschaltung einer Spannungsquelle mit Nullimpedanz, eines Widerstands, eines Kondensators und einer Induktivität angenähert werden. Die Werte hängen von den Spezifikationen des Geräts und der interessierenden Wellenlänge ab.

Wärmeübertragung für Gebäude[edit]

Eine vereinfachende Annahme in diesem Bereich ist, dass alle Wärmeübertragungsmechanismen linear sind, was bedeutet, dass Strahlung und Konvektion für jedes Problem linearisiert werden.

Es gibt mehrere Veröffentlichungen, in denen beschrieben wird, wie Modelle mit konzentrierten Elementen von Gebäuden erstellt werden. In den meisten Fällen wird das Gebäude als eine einzige Wärmezone betrachtet. In diesem Fall kann die Umwandlung mehrschichtiger Wände in konzentrierte Elemente eine der kompliziertesten Aufgaben bei der Erstellung des Modells sein. Die Dominant-Layer-Methode ist eine einfache und ziemlich genaue Methode.^[4] Bei diesem Verfahren wird eine der Schichten als dominante Schicht in der gesamten Konstruktion ausgewählt, wobei diese Schicht unter Berücksichtigung der relevantesten Häufigkeiten des Problems ausgewählt wird. In seiner Diplomarbeit^[5]

Modelle mit konzentrierten Elementen von Gebäuden wurden auch verwendet, um die Effizienz von Haushaltsenergiesystemen zu bewerten, indem viele Simulationen unter verschiedenen zukünftigen Wetterszenarien durchgeführt wurden.^[6]

Flüssigkeitssysteme[edit]

Modelle mit konzentrierten Elementen können verwendet werden, um Fluidsysteme zu beschreiben, indem Spannung zur Darstellung von Druck und Strom zur Darstellung von Strömung verwendet werden. Nach Ersetzen dieser beiden Variablen gelten identische Gleichungen aus der Darstellung des Stromkreises. Solche Anwendungen können zum Beispiel die Reaktion des menschlichen Herz-Kreislauf-Systems auf die Implantation einer ventrikulären Hilfsvorrichtung untersuchen. ^[7]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

1. ^ Anant Agarwal und Jeffrey Lang, Kursmaterialien für 6.002 Circuits and Electronics, Frühjahr 2007. MIT OpenCourseWare (PDF), Massachusetts Institute of Technology.
2. ^ Incropera; DeWitt; Bergman; Lavine (2007). Grundlagen der Wärme- und Stoffübertragung (6. Aufl.). John Wiley & Sons. pp. 260–261. ISBN 978-0-471-45728-2.
3. ^ Wärmeübertragung – Ein praktischer Ansatz von Yunus A Cengel
4. ^ Ramallo-González, AP, Eames, ME & Coley, DA, 2013. Modelle mit konzentrierten Parametern für die thermische Modellierung von Gebäuden: Ein analytischer Ansatz zur Vereinfachung komplexer mehrschichtiger Konstruktionen. Energy and Buildings, 60, S. 174-184.
5. ^ Ramallo-González, AP 2013. Modellsimulation und Optimierung von Niedrigenergiegebäuden. PhD. Universität von Exeter.
6. ^ Cooper, SJG, Hammond, GP, McManus, MC, Ramallo-Gonzlez, A. & Rogers, JG, 2014. Einfluss der Betriebsbedingungen auf die Leistung von Haushaltsheizungssystemen mit Wärmepumpen und Brennstoffzellen-Mikro-KWK. Energy and Buildings, 70, S. 52-60.
7. ^ Farahmand M, Kavarana MN, Vertrauenswürdiger Premierminister, Kung EO. IEEE-Transaktionen zur biomedizinischen Technik “Ziel-Durchfluss-Druck-Betriebsbereich für die Entwicklung eines fehlerhaften kontopulmonalen Stützgeräts für Fontan”. DOI: 10.1109 / TBME.2020.2974098 (2020)

Externe Links[edit]