Zufallsmatrix – Wikipedia

Matrixbewertete Zufallsvariable

In Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Physik, a Zufallsmatrix ist eine Zufallsvariable mit Matrixwert, d. h. eine Matrix, in der einige oder alle Elemente Zufallsvariablen sind. Viele wichtige Eigenschaften physikalischer Systeme lassen sich mathematisch als Matrixprobleme darstellen. Beispielsweise kann die Wärmeleitfähigkeit eines Gitters aus der dynamischen Matrix der Partikel-Partikel-Wechselwirkungen innerhalb des Gitters berechnet werden.

Anwendungen[edit]

Physik[edit]

In der Kernphysik wurden von Eugene Wigner Zufallsmatrizen eingeführt, um die Kerne schwerer Atome zu modellieren.^[1] Er postulierte, dass die Abstände zwischen den Linien im Spektrum eines schweren Atomkerns den Abständen zwischen den Eigenwerten einer Zufallsmatrix ähneln und nur von der Symmetrieklasse der zugrunde liegenden Evolution abhängen sollten.^[2] In der Festkörperphysik modellieren Zufallsmatrizen das Verhalten großer ungeordneter Hamiltonoperatoren in der Mean-Field-Approximation.

Im Quantenchaos behauptet die Bohigas-Giannoni-Schmit (BGS)-Vermutung, dass die Spektralstatistik von Quantensystemen, deren klassische Gegenstücke chaotisches Verhalten aufweisen, durch die Zufallsmatrixtheorie beschrieben wird.^[3]

In der Quantenoptik sind Transformationen, die durch zufällige unitäre Matrizen beschrieben werden, entscheidend, um den Vorteil von Quanten gegenüber klassischer Berechnung zu demonstrieren (siehe zB das Boson-Sampling-Modell).^[4] Darüber hinaus können solche zufälligen einheitlichen Transformationen direkt in einer optischen Schaltung implementiert werden, indem ihre Parameter auf optische Schaltungskomponenten (d. h. Strahlteiler und Phasenschieber) abgebildet werden.^[5]

Die Zufallsmatrixtheorie hat auch Anwendungen für den chiralen Dirac-Operator in der Quantenchromodynamik gefunden.^[6]Quantengravitation in zwei Dimensionen,^[7]mesoskopische Physik,^[8]Spin-Transfer-Drehmoment,^[9] der fraktionale Quanten-Hall-Effekt,^[10]Anderson-Lokalisierung,^[11]Quantenpunkte,^[12] und Supraleiter^[13]

Mathematische Statistik und numerische Analysis[edit]

In der multivariaten Statistik wurden von John Wishart Zufallsmatrizen für die statistische Analyse großer Stichproben eingeführt;^[14] siehe Schätzung von Kovarianzmatrizen.

Es wurden signifikante Ergebnisse gezeigt, die die klassischen skalaren Chernoff-, Bernstein- und Hoeffding-Ungleichungen auf die größten Eigenwerte endlicher Summen von zufälligen Hermiteschen Matrizen erweitern.^[15] Korollarergebnisse werden für die maximalen Singulärwerte von rechteckigen Matrizen abgeleitet.

In der numerischen Analysis werden seit den Arbeiten von John von Neumann und Herman Goldstine Zufallsmatrizen verwendet^[16] Berechnungsfehler bei Operationen wie der Matrixmultiplikation zu beschreiben. Siehe auch^[17][18] für neuere Ergebnisse.

Zahlentheorie[edit]

In der Zahlentheorie wird die Verteilung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion (und anderer L-Funktionen) durch die Verteilung der Eigenwerte bestimmter Zufallsmatrizen modelliert.^[19] Die Verbindung wurde zuerst von Hugh Montgomery und Freeman J. Dyson entdeckt. Es ist mit der Hilbert-Pólya-Vermutung verbunden.

Theoretische Neurowissenschaften[edit]

Auf dem Gebiet der theoretischen Neurowissenschaften werden zunehmend Zufallsmatrizen verwendet, um das Netzwerk synaptischer Verbindungen zwischen Neuronen im Gehirn zu modellieren. Dynamische Modelle neuronaler Netze mit zufälliger Konnektivitätsmatrix zeigen einen Phasenübergang ins Chaos^[20] wenn die Varianz der synaptischen Gewichte einen kritischen Wert überschreitet, an der Grenze der unendlichen Systemgröße. Die statistischen Eigenschaften des Spektrums biologisch inspirierter Zufallsmatrixmodelle mit dem dynamischen Verhalten zufällig verbundener neuronaler Netze in Beziehung zu setzen, ist ein intensives Forschungsthema.^{[21][22][23][24][25]}

Optimale Kontrolle[edit]

In der Theorie der optimalen Kontrolle ist die Entwicklung von n Zustandsvariablen im Laufe der Zeit hängt zu jeder Zeit von ihren eigenen Werten und von den Werten von ab k Steuervariablen. Bei der linearen Evolution erscheinen Koeffizientenmatrizen in der Zustandsgleichung (Evolutionsgleichung). Bei einigen Problemen sind die Werte der Parameter in diesen Matrizen nicht mit Sicherheit bekannt, in diesem Fall gibt es zufällige Matrizen in der Zustandsgleichung und das Problem wird als stochastische Kontrolle bezeichnet.^{[26]: CH. 13[27][28]} Ein wesentliches Ergebnis bei der linear-quadratischen Regelung mit stochastischen Matrizen ist, dass das Gewissheitsäquivalenzprinzip nicht gilt: während ohne Multiplikatorunsicherheit (d. h. mit nur additiver Unsicherheit) die optimale Politik mit einer quadratischen Verlustfunktion mit was entschieden würde, wenn die Unsicherheit ignoriert würde, gilt dies bei Vorhandensein von Zufallskoeffizienten in der Zustandsgleichung nicht mehr.

Gaußsche Ensembles[edit]

Die am häufigsten untersuchten Zufallsmatrix-Ensembles sind die Gaußschen Ensembles.

Die Gaußsches Einheitsensemble

${displaystyle {text{GUE}}(n)}$

wird durch das Gauß-Maß mit Dichte . beschrieben

${displaystyle {frac {1}{Z_{{text{GUE}}(n)}}}e^{-{frac {n}{2}}mathrm {tr} H^{2}} }$

auf dem raum von

${displaystyle nmal n}$

Hermitesche Matrizen

${displaystyle H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}}$

. Hier

${displaystyle Z_{{text{GUE}}(n)}=2^{n/2}pi^{{frac {1}{2}}n^{2}}}$

ist eine Normierungskonstante, die so gewählt wird, dass das Integral der Dichte gleich eins ist. Der Begriff einheitlich bezieht sich auf die Tatsache, dass die Verteilung bei unitärer Konjugation invariant ist. Das Gaußsche unitäre Ensemble modelliert Hamilton-Operatoren ohne Zeitumkehrsymmetrie.

Die Gaußsches orthogonales Ensemble

${displaystyle {text{GOE}}(n)}$

wird durch das Gauß-Maß mit Dichte . beschrieben

${displaystyle {frac {1}{Z_{{text{GOE}}(n)}}}e^{-{frac {n}{4}}mathrm {tr} H^{2}} }$

auf dem raum von n × n echte symmetrische Matrizen h = (h_ij)ⁿ
_ich,J=1. Seine Verteilung ist bei orthogonaler Konjugation invariant, und es modelliert Hamilton-Operatoren mit Zeitumkehrsymmetrie.

Die Gaußsches symplektisches Ensemble

${displaystyle {text{GSE}}(n)}$

wird durch das Gauß-Maß mit Dichte . beschrieben

${displaystyle {frac {1}{Z_{{text{GSE}}(n)}}}e^{-nmathrm {tr} H^{2}},}$

auf dem raum von n × n Hermitesche quaternionische Matrizen, zB symmetrische quadratische Matrizen aus Quaternionen, h = (h_ij)ⁿ
_ich,J=1. Seine Verteilung ist bei Konjugation durch die symplektische Gruppe invariant, und es modelliert Hamilton-Operatoren mit Zeitumkehrsymmetrie, aber ohne Rotationssymmetrie.

Die Gaußschen Ensembles GOE, GUE und GSE werden oft mit ihrem Dyson-Index bezeichnet, β = 1 für GOE, β = 2 für GUE, und β = 4 für GSE. Dieser Index zählt die Anzahl der reellen Komponenten pro Matrixelement. Die hier definierten Ensembles haben Gauß-verteilte Matrixelemente mit Mittelwert ⟨h_ij⟩ = 0, und Zweipunkt-Korrelationen gegeben durch

${displaystyle langle H_{ij}H_{mn}^{*}rangle =langle H_{ij}H_{nm}rangle ={frac {1}{n}}delta_{im} Delta_{jn}+{frac{2-beta}{nbeta}}delta_{in}delta_{jm}}$

,

woraus alle höheren Korrelationen nach dem Satz von Isserlis folgen.

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte für die Eigenwerte λ₁,λ₂,…,λ_n von GUE/GOE/GSE ist gegeben durch

${displaystyle {frac {1}{Z_{beta,n}}}prod_{k=1}^{n}e^{-{frac {beta n}{4}}lambda_ {k}^{2}}prod_{i$

wo Z_β,n ist eine Normierungskonstante, die explizit berechnet werden kann, siehe Selberg-Integral. Im Fall von GUE (β = 2), die Formel (1) beschreibt einen determinanten Punktprozess. Eigenwerte stoßen sich ab, da die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte eine Null (von

${displaystyle beta}$

Ordnung) für übereinstimmende Eigenwerte

${displaystyle lambda_{j}=lambda_{i}}$

.

Zur Verteilung des größten Eigenwerts für GOE-, GUE- und Wishart-Matrizen endlicher Dimensionen siehe.^[29]

Verteilung der Ebenenabstände[edit]

Aus der geordneten Folge von Eigenwerten

${displaystyle lambda_{1}$

, definiert man die normierten Abstände

${displaystyle s=(lambda_{n+1}-lambda_{n})/langle srangle}$

, wo

${displaystyle langle srangle =langle lambda_{n+1}-lambda_{n}rangle}$

ist der mittlere Abstand. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Abstände ist näherungsweise gegeben durch

${displaystyle p_{1}(s)={frac {pi}{2}}s,mathrm {e} ^{-{frac {pi }{4}}s^{2}} }$

für das orthogonale Ensemble GOE

${displaystyle beta=1}$

,

${displaystyle p_{2}(s)={frac {32}{pi^{2}}}s^{2}mathrm {e} ^{-{frac {4}{pi}} s^{2}}}$

für das unitäre Ensemble GUE

${displaystyle beta =2}$

, und

${displaystyle p_{4}(s)={frac {2^{18}}{3^{6}pi^{3}}}s^{4}mathrm {e} ^{-{ frac {64}{9pi}}s^{2}}}$

für das symplektische Ensemble GSE

${displaystyle beta =4}$

.

Die numerischen Konstanten sind so, dass

${displaystyle p_{beta}(s)}$

ist normalisiert:

${displaystyle int_{0}^{infty}ds,p_{beta}(s)=1}$

und der mittlere Abstand ist

${displaystyle int_{0}^{infty}ds,s,p_{beta}(s)=1,}$

zum

${displaystyle beta=1,2,4}$

.

Verallgemeinerungen[edit]

Wigner-Matrizen sind zufällige hermitesche Matrizen

${displaystyle textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$

so dass die Einträge

${displaystyle left{H_{n}(i,j)~,,1leq ileq jleq nright}}$

oberhalb der Hauptdiagonalen befinden sich unabhängige Zufallsvariablen mit Nullmittelwert und identischen zweiten Momenten.

Invariante Matrixensembles sind zufällige hermitesche Matrizen mit Dichte auf dem Raum reeller symmetrischer/ hermitescher/ quaternionischer hermitescher Matrizen, die von der Form

${displaystyle textstyle {frac {1}{Z_{n}}}e^{-nmathrm {tr} V(H)}~,}$

wo die Funktion V heißt Potenzial.

Die Gaußschen Ensembles sind die einzigen gemeinsamen Spezialfälle dieser beiden Klassen von Zufallsmatrizen.

Spektraltheorie zufälliger Matrizen[edit]

Die Spektraltheorie der Zufallsmatrizen untersucht die Verteilung der Eigenwerte, wenn die Größe der Matrix ins Unendliche geht.

Globales Regime[edit]

In dem globales Regime, interessiert man sich für die Verteilung der linearen Statistik der Form

${displaystyle N_{f,H}=n^{-1}{text{tr}}f(H)}$

.

Empirische Spektralmessung[edit]

Die empirisches spektrales Maß μ_h von h ist definiert durch

${displaystyle mu_{H}(A)={frac{1}{n}},#left{{text{Eigenwerte von }}H{text{ in }}Aright }=N_{1_{A},H},quad ATeilmenge mathbb{R} .}$

Normalerweise ist die Grenze von

${displaystyle mu_{H}}$

ist ein deterministisches Maß; dies ist ein besonderer Fall der Selbstmittelung. Die kumulative Verteilungsfunktion des Grenzmaßes heißt integrierte Zustandsdichte und heißt n(λ). Ist die integrierte Zustandsdichte differenzierbar, so nennt man ihre Ableitung Zustandsdichte und heißt ρ(λ).

Die Grenze des empirischen Spektralmaßes für Wigner-Matrizen wurde von Eugene Wigner beschrieben; siehe Wigner-Halbkreisverteilung und Wigner-Vermutung. Bezüglich der Kovarianzmatrizen der Stichprobe wurde eine Theorie von Marčenko und Pastur entwickelt.^[30][31]

Die Grenze des empirischen Spektralmaßes invarianten Matrixensembles wird durch eine bestimmte Integralgleichung beschrieben, die sich aus der Potentialtheorie ergibt.^[32]

Schwankungen[edit]

Für die lineare Statistik n_F,h = n^-1 Σ F(λ_J), interessiert man sich auch für die Schwankungen um ∫ F(λ) dN(λ). Für viele Klassen von Zufallsmatrizen gilt ein zentraler Grenzwertsatz der Form

${displaystyle {frac {N_{f,H}-int f(lambda),dN(lambda)}{sigma_{f,n}}}{overset {D}{longrightarrow} }N(0,1)}$

ist bekannt, siehe,^[33][34] usw.

Lokales Regime[edit]

In dem lokales Regime, interessiert man sich für die Abstände zwischen den Eigenwerten und allgemeiner für die gemeinsame Verteilung der Eigenwerte in einem Intervall der Länge der Ordnung 1/n. Man unterscheidet zwischen Bulk-Statistiken, die sich auf Intervalle innerhalb des Trägers des begrenzenden Spektralmaßes beziehen, und Kantenstatistik, die sich auf Intervalle nahe der Grenze des Trägers beziehen.

Massenstatistiken[edit]

Formell beheben

${displaystyle lambda _{0}}$

im Inneren der Unterstützung von

${displaystyle N(lambda)}$

. Betrachten Sie dann den Punktprozess

${displaystyle Xi(lambda_{0})=sum_{j}delta {Big(}{cdot}-nrho(lambda_{0})(lambda_{j} -lambda_{0}){Groß)}~,}$

wo

${displaystyle lambda_{j}}$

sind die Eigenwerte der Zufallsmatrix.

Der Punktprozess

${displaystyle Xi (lambda_{0})}$

erfasst die statistischen Eigenschaften von Eigenwerten in der Nähe von

${displaystyle lambda _{0}}$

. Für die Gaußschen Ensembles ist der Grenzwert von

${displaystyle Xi (lambda_{0})}$

ist bekannt;^[2] für GUE ist es also ein determinanter Punktprozess mit dem Kernel

${displaystyle K(x,y)={frac {sinpi(xy)}{pi(xy)}}}$

(das Sinuskern).

Die Universalität Prinzip postuliert, dass der Grenzwert von

${displaystyle Xi (lambda_{0})}$

wie

${displaystyle nto infty}$

sollte nur von der Symmetrieklasse der Zufallsmatrix abhängen (und weder vom spezifischen Modell der Zufallsmatrizen noch von

${displaystyle lambda _{0}}$

). Dies wurde für mehrere Modelle von Zufallsmatrizen rigoros bewiesen: für invariante Matrixensembles^[35][36]

für Wigner-Matrizen,^[37][38]

usw.

Kantenstatistik[edit]

Siehe Tracy-Widom-Verteilung.

Korrelationsfunktionen[edit]

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte der Eigenwerte von

${displaystyle nmal n}$

zufällige hermitesche Matrizen

${displaystyle Minmathbf{H}^{ntimes n}}$

, mit Partitionsfunktionen der Form

${displaystyle Z_{n}=int_{Minmathbf{H}^{ntimes n}}dmu_{0}(M)e^{{text{tr}}(V (M))}}$

wo

${displaystyle V(x):=sum_{j=1}^{infty}v_{j}x^{j}}$

und

${displaystyle dmu_{0}(M)}$

ist das Standardmaß von Lebesgue für den Raum

${displaystylemathbf{H}^{ntimes n}}$

von Hermitian

${displaystyle nmal n}$

Matrizen, ist gegeben durch

${displaystyle p_{n,V}(x_{1},dots,x_{n})={frac {1}{Z_{n,V}}}prod_{i$

Die

${displaystyle k}$

-Punktkorrelationsfunktionen (oder Randverteilungen) sind definiert als

${displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},dots,x_{k})={frac {n!}{(nk)!}}int_{mathbf {R} }dx_{k+1}dotsint_{mathbb{R}}dx_{n},p_{n,V}(x_{1},x_{2},dots ,x_{ n}),}$

die schiefsymmetrische Funktionen ihrer Variablen sind. Insbesondere die Ein-Punkt-Korrelationsfunktion, oder Dichte der Staaten, ist

${displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=nint _{mathbb {R} }dx_{2}dots int _{mathbf {R} }dx_ {n},p_{n,V}(x_{1},x_{2},dots,x_{n}).}$

Sein Integral über einer Borel-Menge

${displaystyle Bsubset mathbf {R}}$

gibt die erwartete Anzahl von Eigenwerten in

${displaystyle B}$

:

${displaystyle int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=mathbf {E} left(#{{text{Eigenwerte in }}B} rechts).}$

Das folgende Ergebnis drückt diese Korrelationsfunktionen als Determinanten der Matrizen aus, die aus der Auswertung des entsprechenden Integralkerns an den Paaren . gebildet werden

${displaystyle (x_{i},x_{j})}$

der Punkte, die innerhalb des Korrelators erscheinen.

Satz [Dyson-Mehta]

Für alle

${displaystyle k}$

,

${displaystyle 1leq kleq n}$

das

${displaystyle k}$

-Punktkorrelationsfunktion

${displaystyle R_{n,V}^{(k)}}$

kann als Determinante geschrieben werden

${displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},dots,x_{k})=det_{1leq i,jleq k} links(K_{n,V}(x_{i},x_{j})rechts),}$

wo

${displaystyle K_{n,V}(x,y)}$

ist der

${displaystyle n}$

Christoffel-Darboux-Kernel

${displaystyle K_{n,V}(x,y):=sum_{k=0}^{n-1}psi_{n}(x)psi_{n}(y),}$

verbunden sein mit

${displaystyle V}$

, geschrieben in Form der Quasipolynome

${displaystyle psi_{k}(x)={1 over {sqrt {h_{k}}}},p_{k}(z),{rm {e}}^{-{ 1 über 2}V(z)},}$

wo

${displaystyle {p_{k}(x)}_{kinmathbf{N}}}$

ist eine vollständige Folge von monischen Polynomen der angegebenen Grade, die die Orthogonilitätsbedingungen erfüllen

${displaystyle int_{mathbf{R}}psi_{j}(x)psi_{k}(x)dx=delta_{jk}.}$

Andere Klassen von Zufallsmatrizen[edit]

Wishart-Matrizen[edit]

Wishart-Matrizen sind n × n Zufallsmatrizen der Form h = x x^*, wo x ist ein n × m Zufallsmatrix (m ≥ n) mit unabhängigen Einträgen und x^* ist seine konjugierte Transponierte. In dem von Wishart betrachteten wichtigen Sonderfall sind die Einträge von x sind identisch verteilte Gaußsche Zufallsvariablen (entweder reell oder komplex).

Die Grenze des empirischen Spektralmaßes von Wishart-Matrizen wurde gefunden^[30] von Vladimir Marchenko und Leonid Pastur, siehe Marchenko-Pastur Distribution.

Zufällige unitäre Matrizen[edit]

Siehe Kreisensembles.

Nicht-hermitesche Zufallsmatrizen[edit]

Siehe Rundschreiben.

Leitfaden für Referenzen[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]