LP-Raum – Wikipedia

Funktionsräume, die endlichdimensionale p-Normräume verallgemeinern

In der Mathematik ist die L^P Leerzeichen sind Funktionsräume, die durch eine natürliche Verallgemeinerung der P-Norm für endlichdimensionale Vektorräume. Sie werden manchmal genannt Lebesgue-Räume, benannt nach Henri Lebesgue (Dunford & Schwartz 1958, III.3), obwohl sie nach der Bourbaki-Gruppe (Bourbaki 1987) erstmals von Frigyes Riesz (Riesz 1910) eingeführt wurden. L^P Leerzeichen bilden eine wichtige Klasse von Banachräumen in der Funktionalanalysis und von topologischen Vektorräumen. Aufgrund ihrer Schlüsselrolle in der mathematischen Analyse von Maß- und Wahrscheinlichkeitsräumen werden Lebesgue-Räume auch in der theoretischen Diskussion von Problemen in Physik, Statistik, Finanzwesen, Ingenieurwissenschaften und anderen Disziplinen verwendet.

Anwendungen[edit]

Statistiken[edit]

In der Statistik werden die Maße der zentralen Tendenz und der statistischen Streuung, wie Mittelwert, Median und Standardabweichung, definiert als L^P Metriken und Maße der zentralen Tendenz können als Lösungen für Variationsprobleme charakterisiert werden.

Bei bestrafter Regression “L1-Strafe” und “L2-Strafe” beziehen sich auf die Bestrafung entweder der L¹ Norm des Vektors der Parameterwerte einer Lösung (dh der Summe ihrer Absolutwerte) oder seiner L² norm (seine euklidische Länge). Techniken, die einen L1-Abzug verwenden, wie LASSO, fördern Lösungen, bei denen viele Parameter null sind. Techniken, die eine L2-Strafe verwenden, wie die Ridge-Regression, fördern Lösungen, bei denen die meisten Parameterwerte klein sind. Die Elastische Netz-Regularisierung verwendet einen Strafterm, der eine Kombination aus L¹ norm und die L² Norm des Parametervektors.

Hausdorff–Junge Ungleichung[edit]

Die Fourier-Transformation für die reelle Gerade (oder für periodische Funktionen siehe Fourier-Reihen), maps L^P(R) zu L^Q(R) (oder L^P(T) zu l^Q) bzw. wobei 1 P 2 und 1/P + 1/Q = 1. Dies ist eine Folge des Riesz-Thorin-Interpolationssatzes und wird mit der Hausdorff-Young-Ungleichung präzisiert.

Im Gegensatz dazu, wenn P > 2, bildet die Fourier-Transformation nicht in L^Q.

Hilbert-Räume[edit]

Hilberträume sind für viele Anwendungen von zentraler Bedeutung, von der Quantenmechanik bis zur stochastischen Berechnung. Die Räume L² und l² sind beide Hilberträume. Durch die Wahl einer Hilbert-Basis E, dh eine maximale orthonormale Teilmenge von L² oder jedem Hilbertraum, sieht man, dass jeder Hilbertraum isometrisch isomorph zu . ist l²(E) (gleich E wie oben), dh ein Hilbertraum vom Typ l².

Die P-Norm in endlichen Dimensionen[edit]

Abbildungen von Einheitskreisen (siehe auch Superellipse) in R² basierend auf verschiedenen P-Normen (jeder Vektor vom Ursprung zum Einheitskreis hat die Länge Eins, wobei die Länge mit Längenformel der entsprechenden berechnet wird P).

Die Länge eines Vektors x = (x₁, x₂, …, x_n) in dem n-dimensionaler reeller Vektorraum Rⁿ wird normalerweise durch die euklidische Norm gegeben:

${displaystyle left|xright|_{2}=left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+dotsb +{x_{n} }^{2}right)^{1/2}.}$

Der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten x und ja ist die länge ||x − ja||₂ der Geraden zwischen den beiden Punkten. In vielen Situationen reicht die euklidische Distanz nicht aus, um die tatsächlichen Distanzen in einem gegebenen Raum zu erfassen. Eine Analogie dazu schlagen Taxifahrer in einem Rasterstraßenplan vor, die Entfernungen nicht anhand der Länge der geraden Linie zu ihrem Ziel, sondern anhand der geradlinigen Entfernung messen sollten, die berücksichtigt, dass Straßen entweder orthogonal oder parallel zueinander. Die Klasse von P-norms verallgemeinert diese beiden Beispiele und hat eine Fülle von Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Informatik.

Definition[edit]

Für eine reelle Zahl P 1, das P-Norm oder L^P-Norm von x ist definiert durch

${displaystyle left|xright|_{p}=left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+dotsb +|x_{n} |^{p}right)^{1/p}.}$

Die Absolutwertbalken sind unnötig, wenn P ist eine rationale Zahl und hat in reduzierter Form einen geraden Zähler.

Die euklidische Norm von oben fällt in diese Klasse und ist die 2-Norm und die 1-norm ist die Norm, die dem geradlinigen Abstand entspricht.

Die L^∞-Norm oder maximale Norm (oder einheitliche Norm) ist die Grenze der L^P-Normen für P → ∞. Es stellt sich heraus, dass diese Grenze der folgenden Definition entspricht:

${displaystyle left|xright|_{infty}=max left{|x_{1}|,|x_{2}|,dotsc ,|x_{n}|right }}$

Sehen L-Unendlichkeit.

Für alle P 1, das P-Normen und maximale Norm wie oben definiert erfüllen tatsächlich die Eigenschaften von a “Längenfunktion” (oder Norm), die das sind:

• nur der Nullvektor hat die Länge Null,
• die Länge des Vektors bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar positiv homogen ist (positive Homogenität), und
• die Länge der Summe zweier Vektoren ist nicht größer als die Summe der Längen der Vektoren (Dreiecksungleichung).

Abstrakt gesprochen bedeutet dies, dass Rⁿ zusammen mit dem P-norm ist ein Banachraum. Dieser Banach-Raum ist der L^P-Platz Über Rⁿ.

Beziehungen zwischen P-Normen[edit]

Der Gitterabstand oder geradlinige Abstand (manchmal auch als bezeichnet) “Manhattan-Entfernung”) zwischen zwei Punkten ist nie kürzer als die Länge des Liniensegments zwischen ihnen (das euklidische oder “wie die Krähe fliegt” Distanz). Formal bedeutet dies, dass die euklidische Norm eines beliebigen Vektors durch ihre 1-Norm beschränkt ist:

${displaystyle left|xright|_{2}leq left|xright|_{1}.}$

Diese Tatsache verallgemeinert sich zu P-Normen darin, dass die P-Norm ||x||_P eines beliebigen Vektors x wächst nicht mit P:

||x||_P+ein ||x||_P für jeden Vektor x und reelle Zahlen P 1 und ein 0. (Tatsächlich gilt dies auch für 0 P < 1 und ein 0.)

Für die entgegengesetzte Richtung gilt die folgende Beziehung zwischen 1-Norm und die 2-Norm ist bekannt:

${displaystyle left|xright|_{1}leq {sqrt {n}}left|xright|_{2}.}$

Diese Ungleichung hängt von der Dimension ab n des zugrundeliegenden Vektorraums und folgt direkt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Im Allgemeinen gilt für Vektoren in Cⁿ wo 0 R < P:

${displaystyle left|xright|_{p}leq left|xright|_{r}leq n^{{frac {1}{r}}-{frac {1}{p}}}links|xrechts|_{p}.}$

Dies ist eine Folge der Hölderschen Ungleichung.

Wann 0 P < 1[edit]

Astroide, Einheitskreis in P = 2/3 metrisch

In Rⁿ Pro n > 1, die Formel

${displaystyle |x|_{p}=left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+cdots +|x_{n}|^{p }right)^{1/p}}$

definiert eine absolut homogene Funktion für 0 P < 1; die resultierende Funktion definiert jedoch keine Norm, da sie nicht subadditiv ist. Andererseits ist die Formel

${displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+dotsb +|x_{n}|^{p}}$

definiert eine subadditive Funktion auf Kosten des Verlustes der absoluten Homogenität. Es definiert jedoch eine F-Norm, die vom Grad her homogen ist P.

Daher ist die Funktion

${displaystyle d_{p}(x,y)=sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$

definiert eine Metrik. Der metrische Raum (Rⁿ, D_P) wird bezeichnet mit l_n^P.

Obwohl die P-Einheitsball B_n^P um den Ursprung in dieser Metrik herum ist “konkav”, die Topologie definiert auf Rⁿ nach der Metrik D_P ist die übliche Vektorraumtopologie von Rⁿ, somit l_n^P ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum. Über diese qualitative Aussage hinaus gibt es eine quantitative Methode, um das Fehlen der Konvexität von . zu messen l_n^P ist zu bezeichnen mit C_P(n) die kleinste Konstante C so dass das Vielfache C B_n^P des P-Einheitsball enthält die konvexe Hülle von B_n^P, gleicht B_n¹. Die Tatsache, dass für feste P < 1 wir haben

${displaystyle C_{p}(n)=n^{{frac {1}{p}}-1}to infty ,quad {text{as }}nto infty}$

zeigt, dass der unendlichdimensionale Folgenraum l^P unten definiert, nicht mehr lokal konvex ist.^{[citation needed]}

Wann P = 0[edit]

Es gibt eine l₀ norm und eine andere Funktion namens l₀ “Norm” (mit Anführungszeichen).

Die mathematische Definition von l₀ Norm wurde von Banachs Theorie der linearen Operationen. Der Folgenraum hat eine vollständige metrische Topologie, die von der F-Norm bereitgestellt wird

${displaystyle (x_{n})mapsto sum_{n}2^{-n}{frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},}$

die von Stefan Rolewicz in . diskutiert wird Metrische lineare Räume.^[1] Die l₀-normierter Raum wird in der Funktionalanalyse, Wahrscheinlichkeitstheorie und harmonischen Analyse untersucht.

Eine andere Funktion wurde als bezeichnet l₀ “Norm” von David Donoho – dessen Anführungszeichen warnen, dass diese Funktion keine richtige Norm ist – ist die Anzahl der von Null verschiedenen Einträge des Vektors x. Viele Autoren missbrauchen die Terminologie, indem sie die Anführungszeichen weglassen. Definieren 0⁰ = 0, die Null “Norm” von x ist gleich

${displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+cdots +|x_{n}|^{0}.}$

Ein animiertes Gif der p-Normen 0,1 bis 2 mit einer Schrittweite von 0,05.

Dies ist keine Norm, da sie nicht homogen ist. Beispiel: Skalierung des Vektors x durch eine positive Konstante ändert sich nicht “Norm”. Trotz dieser Mängel als mathematische Norm ist das Zählen ungleich Null “Norm” wird im wissenschaftlichen Rechnen, in der Informationstheorie und in der Statistik verwendet – insbesondere im Compressed Sensing in der Signalverarbeitung und der computergestützten harmonischen Analyse. Obwohl es sich nicht um eine Norm handelt, ist die zugehörige Metrik, die als Hamming-Distanz bekannt ist, eine gültige Distanz, da für Distanzen keine Homogenität erforderlich ist.

Die P-Norm in unendlichen Dimensionen und l^P Leerzeichen[edit]

Der Sequenzraum l^P[edit]

Die P-norm kann auf Vektoren mit unendlich vielen Komponenten (Folgen) erweitert werden, was den Raum l^P. Diese enthält als Sonderfälle:

Der Raum von Folgen hat eine natürliche Vektorraumstruktur durch Anwenden von Addition und skalarer Multiplikation Koordinate für Koordinate. Explizit sind die Vektorsumme und die Skalarwirkung für unendliche Folgen reeller (oder komplexer) Zahlen gegeben durch:

${displaystyle {begin{ausgerichtet}&(x_{1},x_{2},ldots,x_{n},x_{n+1},ldots)+(y_{1},y_{2} ,ldots ,y_{n},y_{n+1},ldots )\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},ldots ,x_ {n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},ldots),\[6pt]&lambda cdot left(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},x_{n+1},ldotsright)\={}&(lambda x_{1 },lambda x_{2},ldots ,lambda x_{n},lambda x_{n+1},ldots).end{ausgerichtet}}}$

Definiere das P-Norm:

${displaystyle left|xright|_{p}=left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+cdots +|x_{n} |^{p}+|x_{n+1}|^{p}+cdots right)^{1/p}}$

Hier ergibt sich eine Komplikation, nämlich dass die Reihe rechts nicht immer konvergent ist, also zum Beispiel die Folge nur aus Einsen besteht, (1, 1, 1, …), wird unendlich sein P-Norm für 1 P <. Der Raum l^P ist dann definiert als die Menge aller unendlichen Folgen reeller (oder komplexer) Zahlen, so dass P-Norm ist endlich.

Das kann man so überprüfen P erhöht, die Menge l^P wird größer. Zum Beispiel die Sequenz

${displaystyle left(1,{frac {1}{2}},ldots ,{frac {1}{n}},{frac {1}{n+1}},ldots right )}$

ist nicht dabei l¹, aber es ist in l^P Pro P > 1, wie die serie

${displaystyle 1^{p}+{frac {1}{2^{p}}}+cdots +{frac {1}{n^{p}}}+{frac {1}{( n+1)^{p}}}+cdots,}$

divergiert für P = 1 (die harmonische Reihe), ist aber konvergent für P > 1.

Man definiert auch die ∞-norm mit Supremum:

${displaystyle left|xright|_{infty}=sup(|x_{1}|,|x_{2}|,dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+ 1}|,ldots)}$

und der entsprechende Raum l^∞ aller beschränkten Folgen. Es stellt sich heraus, dass^[2]

${displaystyle left|xright|_{infty}=lim_{ptoinfty}left|xright|_{p}}$

wenn die rechte Seite endlich oder die linke Seite unendlich ist. Daher betrachten wir l^P Räume für 1 P ≤ ∞.

Die P-Norm so definiert auf l^P ist in der Tat eine Norm, und l^P zusammen mit dieser Norm ist ein Banachraum. Das ganz allgemeine L^P Raum erhält man – wie unten zu sehen ist – durch Betrachtung von Vektoren, nicht nur mit endlich oder abzählbar-unendlich vielen Komponenten, sondern mit “beliebig viele Komponenten“; mit anderen Worten, Funktionen. Ein Integral statt einer Summe wird verwendet, um die zu definieren P-Norm.

Allgemeines^P-Platz[edit]

In völliger Analogie zur vorhergehenden Definition kann man den Raum definieren

über einen allgemeinen Indexsatz

(und

) wie

${displaystyle ell^{p}(I)=left{(x_{i})_{iin I}inmathbb {K} ^{I}:sum _{iin I }|x_{i}|^{p}$

,

wobei Konvergenz rechts bedeutet, dass nur abzählbar viele Summanden von Null verschieden sind (siehe auch Unbedingte Konvergenz). Mit der Norm

${displaystyle left|xright|_{p}=left(sum_{iin I}|x_{i}|^{p}right)^{1/p}}$

der raum

wird ein Banach-Raum. In dem Fall, wo

ist endlich mit

Elemente ergibt diese Konstruktion Rⁿ mit dem

-Norm oben definiert. Wenn

abzählbar unendlich ist, ist dies genau der Folgenraum

oben definiert. Für unzählige Sets

dies ist ein nicht separierbarer Banachraum, der als lokal konvexer direkter Grenzwert von angesehen werden kann

-Sequenz Leerzeichen.^[3]

Das Index-Set

kann durch Angabe der diskreten σ-Algebra und des Zählmaßes in einen Maßraum umgewandelt werden. Dann der Raum

ist nur ein Spezialfall des allgemeineren

-Raum (siehe unten).

L^P Räume und Lebesgue-Integrale[edit]

Ein L^P Raum kann als Raum messbarer Funktionen definiert werden, für die die

-te Potenz des Absolutwerts ist Lebesgue integrierbar, wobei fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden. Allgemeiner gesagt, lassen Sie 1 P < und (S, , μ) ein Maßraum sein. Betrachten Sie die Menge aller messbaren Funktionen aus S zu C oder R dessen absoluter Wert auf die angehoben wurde P-te Potenz hat ein endliches Integral, oder äquivalent, dass

${displaystyle |f|_{p}equiv left(int _{S}|f|^{p};mathrm {d} mu right)^{1/p}< infty }$

Die Menge solcher Funktionen bildet einen Vektorraum mit den folgenden natürlichen Operationen:

${displaystyle {begin{ausgerichtet}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\(lambda f)(x)&=lambda f(x)end{ ausgerichtet}}}$

für jeden Skalar λ.

Dass die Summe von zwei P-te Leistung integrierbare Funktionen ist wieder da P-te Potenz integrierbar folgt aus der Ungleichung

${displaystyle |f+g|_{p}^{p}leq 2^{p-1}left(|f|_{p}^{p}+|g|_ {p}^{p}right).}$

(Dies kommt von der Konvexität von

Pro

.)

Tatsächlich ist mehr wahr. Minkowskis Ungleichung sagt, die Dreiecksungleichung gilt für || · ||_P. Somit ist die Menge von P-te Leistung integrierbare Funktionen, zusammen mit der Funktion || · ||_P, ist ein seminormierter Vektorraum, der mit bezeichnet wird

.

Für P =, der raum

ist der Raum der meßbaren Funktionen fast überall begrenzt, mit dem wesentlichen Supremum seines Absolutwertes als Norm:

${displaystyle |f|_{infty}equivinf{Cgeq 0:|f(x)|leq C{text{ für fast jedes }}x}.}$

Wie im diskreten Fall, falls existiert Q < so dass  F∈ L^∞(S, μ) ∩ L^Q(S, μ), dann

${displaystyle |f|_{infty}=lim_{ptoinfty}|f|_{p}.}$

kann auf standardisierte Weise in einen normierten Vektorraum umgewandelt werden; man nimmt einfach den Quotientenraum bezüglich des Kerns von || · ||_P. Da für jede messbare Funktion  F  , wir haben das ||F||_P = 0 dann und nur dann, wenn  F= 0 fast überall, der Kern von || · ||_P hängt nicht davon ab P,

${displaystyle {mathcal {N}}equiv {f:f=0\mu {text{-fast überall}}}=ker(|cdot |_{p})qquad forall 1leq p$

Im Quotientenraum zwei Funktionen  F  und g werden identifiziert, wenn  F = g fast überall. Der resultierende normierte Vektorraum ist per Definition

${displaystyle L^{p}(S,mu)equiv {mathcal{L}}^{p}(S,mu)/{mathcal{N}}}$

Im Allgemeinen lässt sich dieser Prozess nicht umkehren: Es gibt keinen einheitlichen Weg, a . zu definieren “kanonisch” repräsentativ für jede Nebenklasse von

in

. Für

, jedoch gibt es eine Theorie von Aufzügen, die eine solche Erholung ermöglichen.

Wenn der zugrunde liegende Maßraum S ist verstanden, L^P(S, μ) wird oft abgekürzt L^P(μ ), oder nur L^P.

Für 1 P ≤ ∞, L^P(S, μ) ist ein Banachraum. Die Tatsache, dass L^P vollständig ist, wird oft als Riesz-Fischer-Theorem bezeichnet und kann mit den Konvergenzsätzen für Lebesgue-Integrale bewiesen werden.

Die obigen Definitionen verallgemeinern auf Bochner-Räume.

Sonderfälle[edit]

Ähnlich wie l^P Räume, L² ist der einzige Hilbert-Raum unter L^P Räume. Im komplexen Fall ist das innere Produkt auf L² ist definiert durch

${displaystyle langle f,grangle =int_{S}f(x){overline {g(x)}},mathrm {d}mu(x)}$

Die zusätzliche innere Produktstruktur ermöglicht eine reichere Theorie mit Anwendungen beispielsweise auf Fourierreihen und Quantenmechanik. Funktionen in L² werden manchmal genannt quadratisch integrierbare Funktionen, quadratintegrierbare Funktionen oder quadratsummierbare Funktionen, aber manchmal sind diese Begriffe Funktionen vorbehalten, die in einem anderen Sinne quadratintegrierbar sind, beispielsweise im Sinne eines Riemann-Integrals (Titchmarsh 1976).

Wenn wir komplexwertige Funktionen verwenden, ist der Raum L^∞ ist eine kommutative C*-Algebra mit punktweiser Multiplikation und Konjugation. Für viele Maßräume, einschließlich aller sigma-endlichen, ist es tatsächlich eine kommutative von Neumann-Algebra. Ein Element von L^∞ definiert einen beschränkten Operator auf jedem L^P Raum durch Multiplikation.

Für 1 P≤ ∞ das l^P Leerzeichen sind ein Sonderfall von L^P Leerzeichen, wenn S= n, und μ ist das Zählmaß an n. Allgemeiner gesagt, wenn man irgendeine Menge betrachtet S mit dem Zählmaß ergibt sich das L^P Raum wird bezeichnet l^P(S ). Zum Beispiel der Raum l^P(Z) ist der Raum aller Folgen, die durch die ganzen Zahlen indiziert sind, und bei der Definition der P-norm auf einem solchen Raum summiert man über alle ganzen Zahlen. Der Raum l^P(n), wo n ist das Set mit n Elemente, ist Rⁿ mit P-Norm wie oben definiert. Wie jeder Hilbertraum, jeder Raum L² ist linear isometrisch zu einem geeigneten l²(ich ), wobei die Kardinalität der Menge ich ist die Kardinalität einer beliebigen Hilbertschen Basis für diese Besonderheit L².

Eigentum von L^P Leerzeichen[edit]

Doppelte Leerzeichen[edit]

Der Dualraum (der Banachraum aller stetigen linearen Funktionale) von L^P(μ ) Pro 1 P < hat einen natürlichen Isomorphismus mit L^Q(μ), wo Q ist so dass  1/P + 1/Q = 1 (dh Q= P/P− 1). Dieser Isomorphismus assoziiert g∈ L^Q(μ) mit der funktionalen κ_P(g) ∈ L^P(μ )^* definiert von

${displaystyle fmapsto kappa_{p}(g)(f)=int fg,mathrm {d}mu}$

für jeden

${displaystyle fin L^{p}(mu)}$

Die Tatsache, dass κ_P(g) ist wohldefiniert und folgt aus der Hölderschen Ungleichung stetig. κ_P : L^Q(μ) → L^P(μ )^* ist eine lineare Abbildung, die eine Isometrie durch den Extremalfall der Hölderschen Ungleichung ist. Es ist auch möglich zu zeigen (zum Beispiel mit dem Radon-Nikodym-Theorem, siehe^[4]) dass irgendjemand g∈ L^P(μ)^* kann so ausgedrückt werden: dh das κ_P ist auf zu. Seit κ_P on und isometrisch ist, ist es ein Isomorphismus von Banach-Räumen. In Anbetracht dieses (isometrischen) Isomorphismus ist es üblich, einfach zu sagen, dass L^Q ist der duale Banachraum von L^P.

Für 1 P<, der raum L^P(μ) ist reflexiv. Lassen κ_P sei wie oben und lass κ_Q : L^P(μ) → L^Q(μ)^* sei die entsprechende lineare Isometrie. Betrachten Sie die Karte von L^P(μ) zu L^P(μ )^**, erhalten durch Komponieren κ_Q mit der Transponierten (oder Adjungierten) der Umkehrung von κ_P:

${displaystyle j_{p}:L^{p}(mu)mathrel {overset {kappa_{q}}{longrightarrow}} L^{q}(mu)^{*}mathrel {overset {left(kappa_{p}^{-1}right)^{*}}{longrightarrow }} L^{p}(mu)^{**}}$

Diese Karte stimmt mit der kanonischen Einbettung überein J von L^P(μ) in sein Biual. Außerdem ist die Karte J_P ist auf, als Zusammensetzung von zwei auf Isometrien, und dies beweist die Reflexivität.

Wenn die Maßnahme μ An S ist sigma-endlich, dann ist das Dual von L¹(μ) isometrisch isomorph zu L^∞(μ) (genauer gesagt die Karte κ₁ korrespondierend zu P = 1 ist eine Isometrie von L^∞(μ) auf zu L¹(μ )^*).

Das duale von L^∞ ist subtiler. Elemente von L^∞(μ )^* kann mit begrenztem Vorzeichen identifiziert werden endlichadditive Maßnahmen an S die bezüglich absolut stetig sind μ. Weitere Informationen finden Sie unter ba space. Wenn wir das Auswahlaxiom annehmen, ist dieser Raum viel größer als L¹(μ) außer in einigen trivialen Fällen. Saharon Shelah bewies jedoch, dass es relativ konsistente Erweiterungen der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie gibt (ZF + DC + “Jede Teilmenge der reellen Zahlen hat die Baire-Eigenschaft”) in dem das Dual von l^∞ ist l¹.^[5]

Einbettungen[edit]

Umgangssprachlich, wenn 1 P< Q≤ ∞, dann L^P(S , μ ) enthält Funktionen, die lokal singulärer sind, während Elemente von L^Q(S, μ) kann weiter verteilt werden. Betrachten Sie das Lebesgue-Maß auf der Halblinie (0, ∞). Eine stetige Funktion in L¹ könnte in der Nähe explodieren 0 muss aber ausreichend schnell gegen unendlich zerfallen. Andererseits sind stetige Funktionen in L^∞ braucht überhaupt nicht zu verfallen, aber ein Aufblasen ist nicht erlaubt. Das genaue technische Ergebnis ist folgendes.^[6] Nehme an, dass 0 P< Q≤ ∞. Dann:

1. L^Q(S, μ) ⊂ L^P(S, μ) wenn S keine Mengen endlicher, sondern beliebig großer Mengen enthält, und
2. L^P(S , μ) ⊂ L^Q(S, μ) wenn S enthält keine Mengen von nicht Null, sondern beliebig kleinen Maßen.

Keine Bedingung gilt für die reelle Linie mit dem Lebesgue-Maß. In beiden Fällen ist die Einbettung stetig, da der Identitätsoperator eine beschränkte lineare Abbildung von
L^Q zu L^P im ersten Fall und L^P zu L^Q in dieser Sekunde. (Dies ist eine Folge des geschlossenen Graphensatzes und der Eigenschaften von L^P Leerzeichen.) In der Tat, wenn die Domäne S endliches Maß hat, kann man mit der Hölderschen Ungleichung die folgende explizite Rechnung machen

${displaystyle |mathbf {1} f^{p}|_{1}leq |mathbf {1} |_{q/(qp)}|f^{p}| _{q/p}}$

führt zu

${displaystyle |f|_{p}leq mu(S)^{1/p-1/q}|f|_{q}}$

.

Die in obiger Ungleichung auftretende Konstante ist optimal, in dem Sinne, dass die Operatornorm der Identität ich: L^Q(S , μ) → L^P(S, μ ) ist genau

${displaystyle |I|_{q,p}=mu(S)^{1/p-1/q}}$

der Fall der Gleichheit ist genau dann erreicht, wenn  F= 1 μ-fast überall.

Dichte Unterräume[edit]

In diesem Abschnitt gehen wir davon aus, dass: 1 P<.

Lassen (S , , μ) ein Maßraum sein. Ein integrierbare einfache Funktion  F  An S ist eine der form

${displaystyle f=sum_{j=1}^{n}a_{j}mathbf {1}_{A_{j}}}$

wo ein_J ist skalar, EIN_J ∈ Σ hat endliches Maß und

ist die Indikatorfunktion des Sets

, zum J= 1, …, n. Durch Konstruktion des Integrals ist der Vektorraum integrierbarer einfacher Funktionen dicht in L^P(S , , μ ).

Mehr kann gesagt werden, wenn S ist ein normaler topologischer Raum und Σ sein Borel σ–Algebra, dh die kleinste σ–Algebra von Teilmengen von S enthält die offenen Mengen.

Vermuten V ⊂ S ist eine offene Menge mit μ (V) < ∞. Es kann bewiesen werden, dass für jede Borel-Menge EIN∈ Σ Enthalten in V, und für jeden ε > 0, es existiert eine abgeschlossene Menge F und eine offene Menge U so dass

${displaystyle Fsubset Asubset Usubset Vquad {text{and}}quadmu(U)-mu(F)=mu(Usetminus F)$

Daraus folgt, dass es eine stetige Urysohn-Funktion gibt 0 φ 1 An S das ist 1 An F und 0 An S ∖ U, mit

${displaystyle int _{S}|mathbf {1} _{A}-varphi |,mathrm {d} mu$

Wenn S kann durch eine aufsteigende Sequenz abgedeckt werden (V_n) offener Mengen mit endlichem Maß, dann ist der Raum von P–integrierbare stetige Funktionen sind dicht in L^P(S , , μ ). Genauer gesagt kann man beschränkte stetige Funktionen verwenden, die außerhalb einer der offenen Mengen verschwinden V_n.

Dies gilt insbesondere, wenn S= R^D und wann μ ist das Lebesgue-Maß. Der Raum kontinuierlicher und kompakt unterstützter Funktionen ist dicht in L^P(R^D). Ebenso ist der Raum von integrierbar Schrittfunktionenist dicht in L^P(R^D); dieser Raum ist die lineare Spanne von Indikatorfunktionen von beschränkten Intervallen, wenn D = 1, von begrenzten Rechtecken, wenn D= 2 und allgemeiner von Produkten beschränkter Intervalle.

Mehrere Eigenschaften allgemeiner Funktionen in L^P(R^D) werden zunächst für stetige und kompakt unterstützte Funktionen (manchmal für Stufenfunktionen) bewiesen, dann durch Dichte auf alle Funktionen erweitert. So wird zum Beispiel bewiesen, dass Übersetzungen auf stetig sind L^P(R^D), im folgenden Sinne:

${displaystyle forall fin L^{p}left(mathbf{R}^{d}right):quad left|tau_{t}ffright|_{p} to 0,quad {text{as }}mathbf{R} ^{d}ni tto 0,}$

wo

${displaystyle (tau_{t}f)(x)=f(xt).}$

L^P (0 P < 1)[edit]

Lassen (S, , μ) ein Maßraum sein. Wenn 0 P < 1, dann L^P(μ) kann wie oben definiert werden: es ist der Vektorraum dieser messbaren Funktionen  F  so dass

${displaystyle N_{p}(f)=int_{S}|f|^{p},dmu$

Nach wie vor dürfen wir vorstellen: P-Norm || F ||_P =n_P(F)^{1/ P}, aber || · ||_P erfüllt in diesem Fall nicht die Dreiecksungleichung und definiert nur eine Quasi-Norm. Die Ungleichung (ein+ B )^P ≤ ein^P +B^P, Gültig für ein , B 0 impliziert, dass (Rudin 1991, §1.47)

${displaystyle N_{p}(f+g)leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}$

und damit die funktion

${displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(fg)=|fg|_{p}^{p}}$

ist eine Metrik auf L^P( μ). Der resultierende metrische Raum ist vollständig; die Verifizierung ähnelt dem bekannten Fall, wenn P 1.

In dieser Einstellung L^P erfüllt a umgekehrte Minkowski-Ungleichung , das ist für du, v in L^P

${displaystyle {Big |}|u|+|v|{Big |}_{p}geq |u|_{p}+|v|_{p}}$

Dieses Ergebnis kann verwendet werden, um die Ungleichungen von Clarkson zu beweisen, die wiederum verwendet werden, um die gleichmäßige Konvexität der Räume zu bestimmen L^P Pro 1P< (Adams & Fournier 2003).

Der Raum L^P Pro 0 P< 1 ist ein F-Raum: er lässt eine vollständige translationsinvariante Metrik zu, bezüglich derer die Vektorraumoperationen stetig sind. Es ist auch lokal begrenzt, ähnlich wie der Fall P1. Es ist das prototypische Beispiel für einen F-Raum, der für die meisten vernünftigen Maßräume nicht lokal konvex ist: in l^P oder L^P([0, 1]), jede offene konvexe Menge, die die 0 Funktion ist unbeschränkt für die P-quasi-Norm; deshalb, die 0 Vektor besitzt kein fundamentales System konvexer Umgebungen. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn der Maßraum S enthält eine unendliche Familie disjunkter messbarer Mengen endlicher positiver Maße.

Die einzige nichtleere konvexe offene Menge in L^P([0, 1]) ist der gesamte Raum (Rudin 1991, §1.47). Als besondere Konsequenz gibt es keine linearen Funktionale ungleich null auf L^P([0, 1]): der Dualraum ist der Nullraum. Beim Zählmaß auf den natürlichen Zahlen (Erzeugung des Folgenraums L^P( μ) =l^P), die beschränkten linearen Funktionale auf l^P sind genau die, an die gebunden ist l¹, nämlich diejenigen, die durch Folgen in . gegeben sind l^∞. Obwohl l^P nicht-triviale konvexe offene Mengen enthält, hat sie nicht genug davon, um eine Basis für die Topologie zu liefern.

Die Situation, keine linearen Funktionale zu haben, ist für Analysezwecke höchst unerwünscht. Im Fall der Lebesgue-Maßnahme am Rⁿ, anstatt mit zu arbeiten L^P Pro 0 P< 1, es ist üblich, mit dem Hardy-Raum zu arbeiten h^P wann immer möglich, da dies einige lineare Funktionale hat: genug, um Punkte voneinander zu unterscheiden. Der Satz von Hahn-Banach versagt jedoch immer noch in h^P Pro P< 1 (Duren 1970, §7.5).

L⁰, der Raum der messbaren Funktionen[edit]

Der Vektorraum von (Äquivalenzklassen von) messbaren Funktionen auf (S, , μ) wird bezeichnet L⁰( S, ,μ) (Kalton, Peck & Roberts 1984). Per Definition enthält es alle L^P, und ist ausgestattet mit der Topologie von Konvergenz in Maß. Wann μ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß (dh μ (S) = 1) heißt dieser KonvergenzmodusKonvergenz der Wahrscheinlichkeit.

Die Beschreibung ist einfacher, wenn μ ist endlich. Wenn μ ist ein endliches Maß auf ( S , ), das 0 Funktion lässt für die Konvergenz in Maß das folgende Fundamentalsystem von Umgebungen zu

${displaystyle V_{varepsilon}={Bigl{}f:mu {bigl (}{x:|f(x)|>varepsilon }{bigr)}0}$

D des Formulars

${displaystyle d(f,g)=int_{S}varphi {bigl(}|f(x)-g(x)|{bigr)},mathrm {d}mu(x )}$

wo φ ist begrenzt stetig konkav und nicht abnehmend auf [0, ∞), with φ(0) = 0 and φ(t) > 0 when t > 0 (for example, φ(t) = min(t, 1)). Such a metric is called Lévy-metric for L⁰. Under this metric the space L⁰ is complete (it is again an F-space). The space L⁰ is in general not locally bounded, and not locally convex.

For the infinite Lebesgue measure λ on Rⁿ, the definition of the fundamental system of neighborhoods could be modified as follows

${displaystyle W_{varepsilon }=left{f:lambda left(left{x:|f(x)|>varepsilon {text{ and }}|x|<{frac {1}{varepsilon }}right}right)$

The resulting space L⁰(Rⁿ, λ) coincides as topological vector space with L⁰(Rⁿ, g(x) dλ(x)), for any positive λ–integrable density g.

Generalizations and extensions[edit]

Schwach L^P[edit]

Lassen ( S,Σ, μ) sei ein Maßraum, und F eine messbare Funktion mit reellen oder komplexen Werten auf S. Die Verteilungsfunktion von F ist definiert für T0 durch

L^{P, w}-norm ist keine echte Norm, da die Dreiecksungleichung nicht gilt. Trotzdem für F in L^P(S, μ ),

${displaystyle |f|_{p,w}leq |f|_{p}}$

und besonders L^P( S,μ ) ⊂L^{P , w}(S ,μ).

Tatsächlich hat man

${displaystyle |f|_{L^{p}}^{p}=int |f(x)|^{p}dmu(x)geq int _{{|f( x)|>t}}t^{p}+int_{{|f(x)|leq t}}|f|^{p}geq t^{p}mu ( {|f|>t})}$

1/ P und nimm das Supremum in T hat man

${displaystyle |f|_{L^{p}}geq sup_{t>0}t;mu ({|f|>t})^{1/p}= |f|_{L^{p,w}}.}$

μ fast überall, dann die räume L^{P, w} vollständig sind (Grafakos 2004).

Für alle 0R<P der Ausdruck

${displaystyle |||f|||_{L^{p,infty}}=sup_{0$

ist vergleichbar mit dem L^{P ,w}-Norm. Weiter im Fall P > 1, dieser Ausdruck definiert eine Norm, wenn R= 1. Daher für P> 1 die schwachen L^P Leerzeichen sind Banachräume (Grafakos 2004).

Ein wichtiges Ergebnis, das die L^{P, w}-Räume ist das Interpolationstheorem von Marcinkiewicz, das breite Anwendungen auf die harmonische Analyse und das Studium singulärer Integrale hat.

Gewichtet L^P Leerzeichen[edit]

Betrachten Sie wie zuvor einen Maßraum ( S, ,μ ). Lassen w :S → [0, ∞) be a measurable function. The w–weighted L^p space is defined as L^p(S, w dμ), where w dμ means the measure ν defined by

${displaystyle nu (A)equiv int _{A}w(x),mathrm {d} mu (x),qquad Ain Sigma ,}$

or, in terms of the Radon–Nikodym derivative, w = dν/dμ  the norm for L^p(S, w dμ) is explicitly

${displaystyle |u|_{L^{p}(S,w,mathrm {d} mu )}equiv left(int _{S}w(x)|u(x)|^{p},mathrm {d} mu (x)right)^{1/p}}$

As L^p-spaces, the weighted spaces have nothing special, since L^p(S, w dμ) is equal to L^p(S, dν). But they are the natural framework for several results in harmonic analysis (Grafakos 2004); they appear for example in the Muckenhoupt theorem: for 1 < p < ∞, the classical Hilbert transform is defined on L^p(T, λ) where T denotes the unit circle and λ the Lebesgue measure; the (nonlinear) Hardy–Littlewood maximal operator is bounded on L^p(Rⁿ, λ). Muckenhoupt’s theorem describes weights w such that the Hilbert transform remains bounded on L^p(T, w dλ) and the maximal operator on L^p(Rⁿ, w dλ).

L^p spaces on manifolds[edit]

Man kann auch Räume definieren L^P( m ) auf einer Mannigfaltigkeit, genannt die intrinsisch L^P Leerzeichen der Mannigfaltigkeit unter Verwendung von Dichten.

Vektorbewertet L^P Leerzeichen[edit]

Gegeben ein Maßraum( x, , μ) und ein lokal-konvexer Raum E, kann man auch einen Raum von definieren P-Integrierbare E-bewertete Funktionen auf verschiedene Weise. Die gebräuchlichsten sind die Räume von Bochner-integrierbaren und Pettis-integrierbaren Funktionen. Unter Verwendung des Tensorprodukts lokal konvexer Räume können diese jeweils definiert werden als

${displaystyle L_{mu}^{p}left(X,Sigma,muright)otimes_{pi}E}$

und

${displaystyle L_{mu}^{p}left(X,Sigma,muright)otimes_{epsilon}E}$

; wo

${displaystyle otimes _{pi}}$

und

${displaystyle otimes_{epsilon}}$

bezeichnen jeweils die projektiven und injektiven Tensorprodukte von lokal konvexen Räumen. Wann E ein nuklearer Raum ist, zeigte Grothendieck, dass diese beiden Konstruktionen nicht zu unterscheiden sind.

Siehe auch[edit]

1. ^ Rolewicz, Stefan (1987), Funktionsanalyse und Kontrolltheorie: Lineare Systeme, Mathematik und ihre Anwendungen (Osteuropäische Reihe), 29 (Übersetzt aus dem Polnischen von Ewa Bednarczuk Hrsg.), Dordrecht; Warschau: D. Reidel Publishing Co.; PWN – Polish Scientific Publishers, S. xvi+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, HERR 0920371, OCLC 13064804^{[page needed]}
2. ^ Maddox, IJ (1988), Elemente der Funktionsanalyse(2. Aufl.), Cambridge: CUP, Seite 16
3. ^ Rafael Dahmen, Gábor Lukács: Lange Colimits topologischer Gruppen I: Stetige Karten und Homöomorphismen. in: Topologie und ihre AnwendungenNr. 270, 2020. Beispiel 2.14
4. ^ Rudin, Walter (1980),Reale und komplexe Analyse(2. Aufl.), Neu-Delhi: Tata McGraw-Hill, ISBN 9780070542341, Satz 6.16
5. ^ Scheiter, Eric (1997), Handbuch der Analysis und ihrer Grundlagen, London: Academic Press Inc. Siehe Abschnitte 14.77 und 27.44–47
6. ^ Villani, Alfonso (1985), “Noch ein Hinweis zur Aufnahme L^P(μ) ⊂ L^Q( μ)“, Amer. Mathematik. Monatlich, 92 (7): 485–487, doi:10.2307/2322503, JSTOR 2322503, HERR 0801221

Verweise[edit]

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• Bourbaki, Nicolas (1987), Topologische Vektorräume, Elemente der Mathematik, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Echte Analyse , Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Lineare Operatoren, Volumen I, Wiley-Interscience.
• Düren, P. (1970), Theorie von H^P-Leerzeichen, New York: Akademische Presse
• Grafakos, Loukas (2004), Klassische und moderne Fourieranalyse, Pearson Education, Inc., S. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Reale und abstrakte Analyse, Springer-Verlag.
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), Ein F-Raum-Sampler, Vorlesungsreihe der London Mathematical Society, 89, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662447, ISBN 0-521-27585-7, HERR 0808777
• Riesz, Frigyes (1910), “Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen”, Mathematische Annalen, 69 (4): 449–497, doi:10.1007/BF01457637, S2CID 120242933
• Rudin, Walter (1991). Funktionsanalyse. Internationale Reihe in Reiner und Angewandter Mathematik. 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: McGraw-Hill Wissenschaft/Ingenieurwesen/Mathematik. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Rudin, Walter (1987),Echte und komplexe Analyse(3. Aufl.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, HERR 0924157
• Titchmarsh, EC (1976),Die Theorie der Funktionen, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

Externe Links[edit]