Kochen-Specker-Theorem – Wikipedia

In der Quantenmechanik ist die Kochen–Specker (KS) Satz,^[1] auch bekannt als die Bell-Kochen-Specker-Theorem,^[2] ist ein “No-Go”-Theorem^[3] bewiesen von John S. Bell im Jahr 1966 und von Simon B. Kochen und Ernst Specker im Jahr 1967. Sie legt bestimmte Beschränkungen an die zulässigen Typen von Theorien über versteckte Variablen fest, die versuchen, die Vorhersagen der Quantenmechanik kontextunabhängig zu erklären. Die von Kochen und Specker bewiesene Version des Theorems lieferte auch ein explizites Beispiel für diese Einschränkung in Form einer endlichen Anzahl von Zustandsvektoren.

Das Theorem ist eine Ergänzung zum Bell-Theorem (zu unterscheiden vom (Bell–)Kochen-Specker-Theorem dieses Artikels). Während Bells Theorem die Nichtlokalität als ein Merkmal jeder versteckten Variablentheorie festlegte, die die Vorhersagen der Quantenmechanik wiederherstellt, stellte das KS-Theorem fest, dass die Kontextualität ein unvermeidliches Merkmal solcher Theorien ist.

Das Theorem beweist, dass ein Widerspruch zwischen zwei Grundannahmen der Theorien der versteckten Variablen besteht, die die Ergebnisse der Quantenmechanik reproduzieren sollen: dass alle versteckten Variablen, die quantenmechanischen Observablen entsprechen, zu jedem Zeitpunkt bestimmte Werte haben, und dass die Werte von diese Variablen sind intrinsisch und unabhängig von dem zu ihrer Messung verwendeten Gerät. Der Widerspruch entsteht dadurch, dass quantenmechanische Observablen nicht kommutativ sein müssen. Es erweist sich als unmöglich, alle kommutierenden Unteralgebren der Algebra dieser Observablen gleichzeitig in eine kommutative Algebra einzubetten, von der angenommen wird, dass sie die klassische Struktur der Theorie der versteckten Variablen repräsentiert, wenn die Hilbert-Raumdimension mindestens drei beträgt.

Das Kochen-Specker-Theorem schließt Theorien mit versteckten Variablen aus, die davon ausgehen, dass Elemente der physikalischen Realität alle konsistent gleichzeitig durch den quantenmechanischen Hilbert-Raum-Formalismus dargestellt werden können, ohne den Kontext eines bestimmten Rahmens (technisch eine projektive Zerlegung des Identitätsoperators) in Bezug auf die Experiment oder analytischer Standpunkt in Betracht gezogen. Wie es von Isham und Butterfield kurz und bündig formuliert wurde,^[4] (unter der Annahme eines universellen probabilistischen Stichprobenraums wie in nicht-kontextuellen Hidden-Variablen-Theorien) behauptet das Kochen-Specker-Theorem “die Unmöglichkeit, allen physikalischen Größen Werte zuzuordnen, während gleichzeitig die funktionalen Beziehungen zwischen ihnen erhalten bleiben”.

Geschichte[edit]

Das KS-Theorem ist ein wichtiger Schritt in der Debatte um die (Un-)Vollständigkeit der Quantenmechanik, die 1935 durch die Kritik an der Kopenhagener Vollständigkeitsannahme im Artikel von Einstein, Podolsky und Rosen angeheizt wurde und das sogenannte EPR-Paradox hervorrief. Dieses Paradoxon leitet sich aus der Annahme ab, dass ein quantenmechanisches Messergebnis deterministisch als Folge der Existenz eines vor der Messung als Eigenschaft des mikroskopischen Objekts angenommenen physikalischen Realitätselements erzeugt wird. Im EPR-Artikel war es vermutet dass der Messwert einer quantenmechanischen Observablen die Rolle eines solchen Elements der physikalischen Realität spielen kann. Als Folge dieser metaphysischen Annahme wurde die EPR-Kritik von der Mehrheit der Physikergemeinde nicht sehr ernst genommen. Außerdem in seiner Antwort^[5] Bohr hatte in dem EPR-Artikel auf eine Mehrdeutigkeit hingewiesen, die besagt, dass der Wert einer quantenmechanischen Observablen nicht kontextabhängig (dh unabhängig von der Messanordnung) ist. Die Berücksichtigung der Kontextualität, die sich aus der Messanordnung ergibt, würde laut Bohr die EPR-Überlegung obsolet machen. Es wurde später von Einstein beobachtet^[6] dass Bohrs Abhängigkeit von Kontextualität Nichtlokalität impliziert (“spooky action at a distance”), und dass man folglich Unvollständigkeit akzeptieren müsste, wenn man Nichtlokalität vermeiden wollte.

In den 1950er und 1960er Jahren standen denjenigen, die der Metaphysik nicht abgeneigt waren, zwei Entwicklungslinien offen, die beide einen “No-Go”-Theorem von von Neumann verbesserten,^[7] die vorgeben, die Unmöglichkeit der Theorien der versteckten Variablen zu beweisen, die dieselben Ergebnisse wie die Quantenmechanik liefern. Zunächst entwickelte Bohm eine Interpretation der Quantenmechanik, die allgemein als eine Theorie versteckter Variablen akzeptiert wird, die der Quantenmechanik zugrunde liegt. Die Nichtlokalität der Bohmschen Theorie veranlasste Bell zu der Annahme, dass die Quantenrealität nichtlokal, und das wahrscheinlich nur lokal Theorien der versteckten Variablen stehen im Widerspruch zur Quantenmechanik. Noch wichtiger ist, dass es Bell gelungen ist, das Problem von der Ebene der Metaphysik auf die Physik zu heben, indem eine Ungleichung abgeleitet wurde, die Bell-Ungleichung, die experimentell überprüft werden kann.

Eine zweite Linie ist die Kochen-Specker-Linie. Der wesentliche Unterschied zu Bells Ansatz besteht darin, dass die Möglichkeit, die Quantenmechanik durch eine Theorie versteckter Variablen zu untermauern, unabhängig von einem Bezug auf Lokalität oder Nichtlokalität behandelt wird, stattdessen aber eine stärkere Einschränkung als Lokalität gemacht wird, nämlich dass versteckte Variablen ausschließlich mit das gemessene Quantensystem; keine sind mit dem Messgerät verbunden. Dies wird als Annahme der Nicht-Kontextualität bezeichnet. Kontextualität ist hier verbunden mit inKompatibilität quantenmechanischer Observablen, wobei Inkompatibilität mit gegenseitiger Ausschließlichkeit von Messanordnungen verbunden ist. Das Kochen-Specker-Theorem besagt, dass kein kontextunabhängiges Modell mit versteckten Variablen die Vorhersagen der Quantentheorie reproduzieren kann, wenn die Dimension des Hilbert-Raums drei oder mehr beträgt.

Bell veröffentlichte 1966 einen Beweis des Kochen-Specker-Theorems in einem Artikel, der früher als sein berühmter Bell-Ungleichheitsartikel bei einer Zeitschrift eingereicht worden war, aber zwei Jahre lang auf dem Schreibtisch eines Herausgebers verschollen war. Wesentlich einfachere Beweise als der Kochen-Specker lieferte später unter anderem Mermin^[8][9] und von Peres.^[10] Viele einfachere Beweise begründen den Satz jedoch nur für Hilberträume höherer Dimension, zB ab Dimension vier.

Überblick[edit]

Das KS-Theorem untersucht, ob es möglich ist, die Menge der quantenmechanischen Observablen in eine Menge von klassisch Größen, obwohl alle klassischen Größen miteinander kompatibel sind. Die erste Beobachtung im Kochen-Specker-Artikel ist, dass dies auf triviale Weise möglich ist, nämlich indem man die algebraische Struktur der Menge der quantenmechanischen Observablen ignoriert. In der Tat, lass P_EIN(ein_k) sei die Wahrscheinlichkeit, dass Observable EIN hat Wert ein_k, dann das Produkt Π_EIN P_EIN(ein_k), alle möglichen Observablen übernommen EIN, ist eine gültige gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung, die alle Wahrscheinlichkeiten von quantenmechanischen Observablen unter Verwendung von Marginalzahlen liefert. Kochen und Specker weisen darauf hin, dass diese gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung jedoch nicht akzeptabel ist, da sie alle Korrelationen zwischen den Observablen ignoriert. Also in der Quantenmechanik EIN² hat Wert ein_k² wenn EIN hat Wert ein_k, was bedeutet, dass die Werte von EIN und EIN² sind stark korreliert.

Allgemeiner wird von Kochen und Specker gefordert, dass für eine beliebige Funktion F der Wert

${displaystyle v{big(}f(mathbf{A}){big)}}$

von beobachtbarem

${displaystyle f(mathbf{A})}$

erfüllt

${displaystyle v{big(}f(mathbf{A}){big)}=f{big(}v(mathbf{A}){big)}.}$

Wenn EIN₁ und EIN₂ sind kompatibel (kommeasurable) Observablen, dann sollten wir aus dem gleichen Grund die folgenden beiden Gleichungen haben:

${displaystyle v(c_{1}mathbf {A} _{1}+c_{2}mathbf {A} _{2})=c_{1}v(mathbf {A} _{1}) +c_{2}v(mathbf{A}_{2}),}$

${displaystyle c_{1}}$

und

${displaystyle c_{2}}$

echt, und

${displaystyle v(mathbf{A}_{1}mathbf{A}_{2})=v(mathbf{A}_{1})v(mathbf{A}_{2}). }$

Die erste davon ist eine erhebliche Abschwächung gegenüber von Neumanns Annahme, dass diese Gleichheit unabhängig davon gelten sollte, ob EIN₁ und EIN₂ kompatibel oder nicht kompatibel sind. Kochen und Specker konnten nachweisen, dass eine Wertzuordnung auch unter diesen schwächeren Annahmen nicht möglich ist. Dazu beschränkten sie die Observablen auf eine spezielle Klasse, nämlich sogenannte Ja-Nein-Observablen, die nur die Werte 0 und 1 haben, entsprechend Projektion Operatoren auf den Eigenvektoren bestimmter orthogonaler Basen eines Hilbertraums.

Solange der Hilbert-Raum mindestens dreidimensional ist, konnten sie eine Menge von 117 solcher Projektionsoperatoren finden, nicht erlaubt, jedem von ihnen eindeutig entweder den Wert 0 oder 1 zuzuordnen. Anstelle des ziemlich komplizierten Beweises von Kochen und Specker ist es aufschlussreicher, hier einen der viel einfacheren Beweise wiederzugeben, die viel später gegeben werden und eine niedrigere Zahl verwenden der Projektionsoperatoren, beweist den Satz aber nur, wenn die Dimension des Hilbert-Raums mindestens 4 beträgt.^[11]

Um dies zu tun, genügt es zu wissen, dass wenn du₁, du₂, du₃ und du₄ die vier orthogonalen Vektoren einer orthogonalen Basis im vierdimensionalen Hilbertraum sind, dann sind die Projektionsoperatoren P₁, P₂, P₃, P₄ auf diesen Vektoren sind alle wechselseitig (und entsprechen daher kompatiblen Observablen, die eine gleichzeitige Zuweisung der Werte 0 oder 1 ermöglichen). Schon seit

${displaystylemathbf{P}_{1}+mathbf{P}_{2}+mathbf{P}_{3}+mathbf{P}_{4}=mathbf{I},}$

es folgt dem

${displaystyle v(mathbf{P}_{1}+mathbf{P}_{2}+mathbf{P}_{3}+mathbf{P}_{4})=v(mathbf {I} )=1.}$

Aber seit

${displaystyle v(mathbf{P}_{1}+mathbf{P}_{2}+mathbf{P}_{3}+mathbf{P}_{4})=v(mathbf {P}_{1})+v(mathbf{P}_{2})+v(mathbf{P}_{3})+v(mathbf{P}_{4}),}$

es folgt von

${displaystyle v(mathbf{P}_{i})}$

= 0 oder 1,

${displaystyle i=1,ldots ,4}$

, dass von den vier Werten

${displaystyle v(mathbf{P}_{1}),v(mathbf{P}_{2}),v(mathbf{P}_{3}),v(mathbf{P}_ {4})}$

einer muss 1 sein, während die anderen drei 0 sein müssen.

Cabello,^[12][13] Erweiterung eines von Kernaghan . entwickelten Arguments^[14] betrachtet 9 orthogonale Basen, wobei jede Basis einer Spalte der folgenden Tabelle entspricht, in der die Basisvektoren explizit angezeigt werden. Die Grundlagen sind so gewählt, dass jeder Projektor in genau zwei Kontexten erscheint und so funktionale Zusammenhänge zwischen Kontexten herstellen.

du1	(0, 0, 0, 1)	(0, 0, 0, 1)	(1, −1, 1, −1)	(1, −1, 1, −1)	(0, 0, 1, 0)	(1, −1, −1, 1)	(1, 1, −1, 1)	(1, 1, −1, 1)	(1, 1, 1, −1)
du2	(0, 0, 1, 0)	(0, 1, 0, 0)	(1, −1, −1, 1)	(1, 1, 1, 1)	(0, 1, 0, 0)	(1, 1, 1, 1)	(1, 1, 1, −1)	(−1, 1, 1, 1)	(−1, 1, 1, 1)
du3	(1, 1, 0, 0)	(1, 0, 1, 0)	(1, 1, 0, 0)	(1, 0, −1, 0)	(1, 0, 0, 1)	(1, 0, 0, −1)	(1, −1, 0, 0)	(1, 0, 1, 0)	(1, 0, 0, 1)
du4	(1, −1, 0, 0)	(1, 0, −1, 0)	(0, 0, 1, 1)	(0, 1, 0, −1)	(1, 0, 0, −1)	(0, 1, −1, 0)	(0, 0, 1, 1)	(0, 1, 0, −1)	(0, 1, −1, 0)

Nun folgt das “No-Go”-Theorem, indem sichergestellt wird, dass Folgendes unmöglich ist: einen Wert, entweder eine 1 oder eine 0, in jedes Kompartiment der obigen Tabelle so zu setzen, dass:

(a) der Wert 1 erscheint genau einmal pro Spalte, die anderen Einträge in der Spalte sind 0;

(b) gleichfarbige Fächer enthalten denselben Wert – entweder enthalten beide 1 oder beide enthalten 0.

Nun müssen wir uns nur noch die Frage stellen, wie oft der Wert 1 in der Tabelle vorkommen soll. Einerseits impliziert (a) dass 1 9 mal vorkommen soll: es gibt 9 Spalten und (a) sagt, dass 1 genau einmal pro Spalte vorkommen soll. Auf der anderen Seite impliziert (b), dass 1 eine gerade Anzahl von Malen erscheinen sollte: die Kompartimente kommen alle in gleichfarbigen Paaren vor, und (b) sagt, wenn ein Mitglied eines Paares 1 enthält, muss das andere Mitglied 1 . enthalten sowie. Um es zu wiederholen, (a) sagt, dass 1 9-mal vorkommt, während (b) sagt, dass es gerade oft vorkommt. Da 9 nicht gerade ist, folgt daraus, dass (a) und (b) einander widersprechen; keine Verteilung von Einsen und Nullen in die Kompartimente könnte möglicherweise beide befriedigen.

Der übliche Beweis des Bell-Theorems (CHSH-Ungleichung) kann auch in einen einfachen Beweis des KS-Theorems in Dimension mindestens 4 umgewandelt werden. Bells Aufbau umfasst vier Messungen mit vier Ergebnissen (vier Paare einer gleichzeitigen binären Messung in jedem Flügel des Experiments ) und vier mit zwei Ergebnissen (die beiden binären Messungen in jedem Flügel des Experiments, unbegleitet), also 24 Projektionsoperatoren.

Kontextualität[edit]

Im Kochen-Specker-Artikel wird die Möglichkeit diskutiert, dass die Wertzuschreibung

${displaystyle v(mathbf{A})}$

kann kontextabhängig sein, dh Observablen, die gleichen Vektoren in verschiedenen Spalten der Tabelle entsprechen, müssen nicht gleiche Werte haben, da verschiedene Spalten entsprechen unterschiedlich Messanordnungen. Da die Subquantenrealität (wie durch die Theorie der versteckten Variablen beschrieben) vom Messkontext abhängen kann, ist es möglich, dass die Beziehungen zwischen quantenmechanischen Observablen und versteckten Variablen eher homomorph als isomorph sind. Damit würde das Erfordernis einer kontextunabhängigen Wertzuschreibung obsolet werden. Daher schließt das KS-Theorem nur nicht-kontextuelle versteckte Variablentheorien aus. Die Möglichkeit der Kontextualität hat zu den sogenannten modalen Interpretationen der Quantenmechanik geführt.

Verschiedene Beschreibungsebenen[edit]

Mit dem KS-Theorem wird die Unmöglichkeit von Einsteins Annahme bewiesen, dass ein Element der physikalischen Realität durch einen Wert einer quantenmechanischen Observablen repräsentiert wird. Der Wert einer quantenmechanischen Observablen bezieht sich in erster Linie auf die Endposition des Zeigers eines Messgeräts, das erst während der Messung entsteht und daher nicht die Rolle eines Elements physikalischer Wirklichkeit. Elemente der physikalischen Realität, falls vorhanden, scheinen für ihre Beschreibung eher eine Subquantentheorie (versteckte Variablen) als die Quantenmechanik zu benötigen. In späteren Veröffentlichungen^[15] die Bell-Ungleichungen werden auf der Grundlage von Theorien über versteckte Variablen diskutiert, in denen sich die versteckte Variable auf a . beziehen soll Subquantum Eigenschaft des mikroskopischen Objekts, die sich vom Wert einer quantenmechanischen Observablen unterscheidet. Dies eröffnet die Möglichkeit, verschiedene Realitätsebenen zu unterscheiden, die durch unterschiedliche Theorien beschrieben werden, die bereits von Louis de Broglie praktiziert wurden. Für solche allgemeineren Theorien ist das KS-Theorem nur anwendbar, wenn angenommen wird, dass die Messung getreu ist, in dem Sinne, dass es a deterministisch Beziehung zwischen einem Subquantenelement der physikalischen Realität und dem bei der Messung gefundenen Wert der Observablen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]

• Carsten Held, Das Kochen-Specker-Theorem, Stanford Encyclopedia of Philosophy *[1]
• S. Kochen und EP Specker, Das Problem versteckter Variablen in der Quantenmechanik, Volltext [2]