Gauß ‘fortgesetzte Fraktion – Wikipedia

In der komplexen Analyse Gauß ‘fortgesetzte Fraktion ist eine besondere Klasse fortgesetzter Fraktionen, die aus hypergeometrischen Funktionen abgeleitet sind. Es war eine der ersten analytischen fortgesetzten Brüche, die der Mathematik bekannt sind, und es kann verwendet werden, um mehrere wichtige Elementarfunktionen sowie einige der komplizierteren transzendentalen Funktionen darzustellen.

Geschichte[edit]

Lambert veröffentlichte 1768 mehrere Beispiele für fortgesetzte Fraktionen in dieser Form, und sowohl Euler als auch Lagrange untersuchten ähnliche Konstruktionen.^[1] aber es war Carl Friedrich Gauss, der 1813 die im nächsten Abschnitt beschriebene Algebra verwendete, um die allgemeine Form dieser fortgesetzten Fraktion abzuleiten.^[2]

Obwohl Gauß die Form dieser fortgesetzten Fraktion angab, gab er keinen Beweis für ihre Konvergenzeigenschaften. Bernhard Riemann^[3] und LW Thomé^[4] erzielte teilweise Ergebnisse, aber das letzte Wort über die Region, in der diese fortgesetzte Fraktion konvergiert, wurde erst 1901 von Edward Burr Van Vleck gegeben.^[5]

Ableitung[edit]

Lassen

${ displaystyle f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}, dots}$

eine Folge von analytischen Funktionen sein, so dass

${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} , z , f_ {i + 1}}$

für alle

${ displaystyle i> 0}$

${ displaystyle k_ {i}}$

ist eine Konstante.

Dann

${ displaystyle { frac {f_ {i-1}} {f_ {i}}} = 1 + k_ {i} z { frac {f_ {i + 1}} {f_ {i}}}, { Text {und so}} { frac {f_ {i}} {f_ {i-1}}} = { frac {1} {1 + k_ {i} z { frac {f_ {i + 1}} {f_ {i}}}}}}$

Rahmen

${ displaystyle g_ {i} = f_ {i} / f_ {i-1},}$

${ displaystyle g_ {i} = { frac {1} {1 + k_ {i} zg_ {i + 1}}},}$

So

${ displaystyle g_ {1} = { frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = { cfrac {1} {1 + k_ {1} zg_ {2}}} = { cfrac {1 } {1 + { cfrac {k_ {1} z} {1 + k_ {2} zg_ {3}}}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {k_ {1} z} { 1 + { cfrac {k_ {2} z} {1 + k_ {3} zg_ {4}}}}} = cdots. }$

Das Wiederholen dieses unendlichen Werts erzeugt den fortgesetzten Bruchausdruck

${ displaystyle { frac {f_ {1}} {f_ {0}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {k_ {1} z} {1 + { cfrac {k_ {2} z} {1 + { cfrac {k_ {3} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}$

In Gauß ‘fortgesetzter Fraktion funktionieren die Funktionen

${ displaystyle f_ {i}}$

sind hypergeometrische Funktionen des Formulars

${ displaystyle {} _ {0} F_ {1}}$

,

${ displaystyle {} _ {1} F_ {1}}$

, und

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$

und die Gleichungen

${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} zf_ {i + 1}}$

entstehen als Identitäten zwischen Funktionen, bei denen sich die Parameter um ganzzahlige Beträge unterscheiden. Diese Identitäten können auf verschiedene Weise nachgewiesen werden, beispielsweise durch Erweitern der Reihe und Vergleichen von Koeffizienten oder indem die Ableitung auf verschiedene Weise genommen und aus den erzeugten Gleichungen entfernt wird.

Die Serie ₀F.₁[edit]

Der einfachste Fall betrifft

${ displaystyle , _ {0} F_ {1} (a; z) = 1 + { frac {1} {a , 1!}} z + { frac {1} {a (a + 1) , 2!}} Z ^ {2} + { frac {1} {a (a + 1) (a + 2) , 3!}} Z ^ {3} + cdots.}$

Beginnend mit der Identität

${ displaystyle , _ {0} F_ {1} (a-1; z) – , _ {0} F_ {1} (a; z) = { frac {z} {a (a-1) }} , _ {0} F_ {1} (a + 1; z),}$

wir können nehmen

${ displaystyle f_ {i} = {} _ {0} F_ {1} (a + i; z), , k_ {i} = { tfrac {1} {(a + i) (a + i- 1)}},}$

geben

${ displaystyle { frac {, _ {0} F_ {1} (a + 1; z)} {, _ {0} F_ {1} (a; z)}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {1} {a (a + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {1} {(a + 1) (a + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {1} {(a + 2) (a + 3)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}$

oder

${ displaystyle { frac {, _ {0} F_ {1} (a + 1; z)} {a , _ {0} F_ {1} (a; z)}} = { cfrac {1 } {a + { cfrac {z} {(a + 1) + { cfrac {z} {(a + 2) + { cfrac {z} {(a + 3) + {} ddots}}} }}}}.}$

Diese Expansion konvergiert zu der meromorphen Funktion, die durch das Verhältnis der beiden konvergenten Reihen definiert ist (vorausgesetzt natürlich, dass ein ist weder Null noch eine negative ganze Zahl).

Die Serie ₁F.₁[edit]

Der nächste Fall betrifft

${ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = 1 + { frac {a} {b , 1!}} z + { frac {a (a + 1)} { b (b + 1) , 2!}} z ^ {2} + { frac {a (a + 1) (a + 2)} {b (b + 1) (b + 2) , 3! }} z ^ {3} + cdots}$

für die die beiden Identitäten

${ displaystyle , _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) – , _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) = { frac {(a- b + 1) z} {b (b-1)}} , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)}$

${ displaystyle , _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) – , _ {1} F_ {1} (a; b; z) = { frac {az} {b ( b-1)}} , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)}$

werden abwechselnd verwendet.

Lassen

${ displaystyle f_ {0} (z) = , _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$

${ displaystyle f_ {1} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$

${ displaystyle f_ {2} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 2; z),}$

${ displaystyle f_ {3} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 3; z),}$

${ displaystyle f_ {4} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 4; z),}$

usw.

Das gibt

${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} zf_ {i + 1}}$

wo

${ displaystyle k_ {1} = { tfrac {ab} {b (b + 1)}}, k_ {2} = { tfrac {a + 1} {(b + 1) (b + 2)}} , k_ {3} = { tfrac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}}, k_ {4} = { tfrac {a + 2} {(b + 3) (b + 4)}}}$

produzieren

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {ab} {b (b + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {a + 1} {(b + 1) ) (b + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {a + 2} {(b + 3) (b + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}$

oder

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {b {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {b + { cfrac {(ab) z} {(b + 1) + { cfrac {(a + 1) z} {(b + 2) + { cfrac {(ab- 1) z} {(b + 3) + { cfrac {(a + 2) z} {(b + 4) + {} ddots}}}}}}}}}$

Ähnlich

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {a} {b (b + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {ab-1} {(b + 1) ( b + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {a + 1} {(b + 2) (b + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {ab -2} {(b + 3) (b + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}$

oder

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {b {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {b + { cfrac {az} {(b + 1) + { cfrac {(ab-1) z} {(b + 2) + { cfrac {(a + 1) z} { (b + 3) + { cfrac {(ab-2) z} {(b + 4) + {} ddots}}}}}}}}}$

Schon seit

${ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (0; b; z) = 1}$

, Einstellung ein auf 0 und ersetzen b + 1 mit b in der ersten fortgesetzten Fraktion ergibt sich ein vereinfachter Sonderfall:

${ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (1; b; z) = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-z} {b + { cfrac {z} {(b + 1) ) + { cfrac {-bz} {(b + 2) + { cfrac {2z} {(b + 3) + { cfrac {- (b + 1) z} {(b + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}}}$

Die Serie ₂F.₁[edit]

Der letzte Fall betrifft

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = 1 + { frac {ab} {c , 1!}} z + { frac {a (a + 1) b (b + 1)} {c (c + 1) , 2!}} z ^ {2} + { frac {a (a + 1) (a + 2) b (b + 1) (b + 2)} {c (c + 1) (c + 2) , 3!}} Z ^ {3} + cdots. ,}$

Auch hier werden zwei Identitäten abwechselnd verwendet.

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) – , _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c; z) = { frac {(a-c + 1) bz} {c (c-1)}} , _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) – , _ {2} F_ {1} (a, b + 1; c; z) = { frac {(b-c + 1) az} {c (c-1)}} , _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z).}$

Dies sind im Wesentlichen die gleichen Identitäten mit ein und b vertauscht.

Lassen

${ displaystyle f_ {0} (z) = , _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$

${ displaystyle f_ {1} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z),}$

${ displaystyle f_ {2} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 2; z),}$

${ displaystyle f_ {3} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 1; c + 3; z),}$

${ displaystyle f_ {4} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 2; c + 4; z),}$

usw.

Das gibt

${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} zf_ {i + 1}}$

wo

${ displaystyle k_ {1} = { tfrac {(ac) b} {c (c + 1)}}, k_ {2} = { tfrac {(bc-1) (a + 1)} {(c +1) (c + 2)}}, k_ {3} = { tfrac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}}, k_ {4} = { tfrac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}}$

produzieren

${ displaystyle { frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {(ac) b} {c (c + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(bc -1) (a + 1)} {(c + 1) (c + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

oder

${ displaystyle { frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {c {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}} = { cfrac {1} {c + { cfrac {(ac) bz} {(c + 1) + { cfrac {(bc-1) (a + 1) z} {(c + 2) ) + { cfrac {(ac-1) (b + 1) z} {(c + 3) + { cfrac {(bc-2) (a + 2) z} {(c + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}$

Schon seit

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (0, b; c; z) = 1}$

, Einstellung ein auf 0 und ersetzen c + 1 mit c gibt einen vereinfachten Sonderfall der fortgesetzten Fraktion an:

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (1, b; c; z) = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-bz} {c + { cfrac {(bc) z} {(c + 1) + { cfrac {-c (b + 1) z} {(c + 2) + { cfrac {2 (bc-1) z} {(c + 3) + { cfrac { – (c + 1) (b + 2) z} {(c + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}$

Konvergenzeigenschaften[edit]

In diesem Abschnitt werden die Fälle ausgeschlossen, in denen einer oder mehrere der Parameter eine negative Ganzzahl sind, da in diesen Fällen entweder die hypergeometrischen Reihen undefiniert sind oder Polynome sind, sodass der fortgesetzte Bruch endet. Andere triviale Ausnahmen sind ebenfalls ausgeschlossen.

In den Fällen

${ displaystyle {} _ {0} F_ {1}}$

und

${ displaystyle {} _ {1} F_ {1}}$

Die Reihen konvergieren überall, so dass der Bruch auf der linken Seite eine meromorphe Funktion ist. Die fortgesetzten Brüche auf der rechten Seite konvergieren gleichmäßig auf jedem geschlossenen und begrenzten Satz, der keine Pole dieser Funktion enthält.^[6]

Im Falle

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$

ist der Konvergenzradius der Reihe 1 und der Bruch auf der linken Seite ist eine meromorphe Funktion innerhalb dieses Kreises. Die fortgesetzten Brüche auf der rechten Seite konvergieren überall innerhalb dieses Kreises zur Funktion.

Außerhalb des Kreises repräsentiert der fortgesetzte Bruch die analytische Fortsetzung der Funktion zur komplexen Ebene mit der positiven reellen Achse von +1 bis zum Punkt im Unendlichen entfernt. In den meisten Fällen +1 ist ein Verzweigungspunkt und die Linie von +1 zu positiver Unendlichkeit ist ein Zweigschnitt für diese Funktion. Die fortgesetzte Fraktion konvergiert zu einer meromorphen Funktion in dieser Domäne und konvergiert gleichmäßig in jeder geschlossenen und begrenzten Teilmenge dieser Domäne, die keine Pole enthält.^[7]

Anwendungen[edit]

Die Serie ₀F.₁[edit]

Wir haben

${ displaystyle cosh (z) = , _ {0} F_ {1} ({ tfrac {1} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}}),}$

${ displaystyle sinh (z) = z , _ {0} F_ {1} ({ tfrac {3} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}}),}$

so

${ displaystyle tanh (z) = { frac {z , _ {0} F_ {1} ({ tfrac {3} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}} )} {, _ {0} F_ {1} ({ tfrac {1} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}})}} = { cfrac {z / 2 } {{ tfrac {1} {2}} + { cfrac { tfrac {z ^ {2}} {4}} {{ tfrac {3} {2}} + { cfrac { tfrac {z ^ {2}} {4}} {{ tfrac {5} {2}} + { cfrac { tfrac {z ^ {2}} {4}} {{ tfrac {7} {2}} + {} ddots}}}}}}} = { cfrac {z} {1 + { cfrac {z ^ {2}} {3 + { cfrac {z ^ {2}} {5 + { cfrac {z ^ {2}} {7 + {} ddots}}}}}}}.}$

Diese besondere Erweiterung ist bekannt als Lamberts fortgesetzte Fraktion und stammt aus dem Jahr 1768.^[8]

Daraus folgt leicht

${ displaystyle tan (z) = { cfrac {z} {1 – { cfrac {z ^ {2}} {3 – { cfrac {z ^ {2}} {5 – { cfrac {z ^ {2}} {7 – {} ddots}}}}}}}.}$

Die Erweiterung von Tanh kann verwendet werden, um dies zu beweisen eⁿ ist für jede ganze Zahl irrational n (was leider nicht ausreicht, um das zu beweisen e ist transzendent). Die Expansion von tan wurde sowohl von Lambert als auch von Legendre verwendet, um zu beweisen, dass π irrational ist.

Die Bessel-Funktion

${ displaystyle J _ { nu}}$

kann geschrieben werden

${ displaystyle J _ { nu} (z) = { frac {({ tfrac {1} {2}} z) ^ { nu}} { Gamma ( nu +1)}} , _ { 0} F_ {1} ( nu +1; – { frac {z ^ {2}} {4}}),}$

woraus folgt

${ displaystyle { frac {J _ { nu} (z)} {J _ { nu -1} (z)}} = { cfrac {z} {2 nu – { cfrac {z ^ {2} } {2 ( nu +1) – { cfrac {z ^ {2}} {2 ( nu +2) – { cfrac {z ^ {2}} {2 ( nu +3) – {} ddots}}}}}}}}.}$

Diese Formeln gelten auch für jeden Komplex z.

Die Serie ₁F.₁[edit]

Schon seit

${ displaystyle e ^ {z} = {} _ {1} F_ {1} (1; 1; z)}$

,

${ displaystyle 1 / e ^ {z} = e ^ {- z}}$

${ displaystyle e ^ {z} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-z} {1 + { cfrac {z} {2 + { cfrac {-z} {3 + { cfrac {2z} {4 + { cfrac {-2z} {5 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

${ displaystyle e ^ {z} = 1 + { cfrac {z} {1 + { cfrac {-z} {2 + { cfrac {z} {3 + { cfrac {-2z} {4+ { cfrac {2z} {5 + {} ddots}}}}}}}}}.}$

Mit einigen Manipulationen kann dies verwendet werden, um die einfache fortgesetzte Bruchdarstellung von zu beweisen
e,

${ displaystyle e = 2 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} { 4 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

Die Fehlerfunktion erf (z), gegeben durch

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt ,}$

kann auch anhand der hypergeometrischen Funktion von Kummer berechnet werden:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} , _ {1} F_ {1} (1; { scriptstyle { frac {3} {2}}}; z ^ {2}).}$

Durch Anwenden des fortgesetzten Gauß-Bruchteils eine nützliche Erweiterung, die für jede komplexe Zahl gültig ist z kann erhalten werden:^[9]

${ displaystyle { frac { sqrt { pi}} {2}} e ^ {z ^ {2}} operatorname {erf} (z) = { cfrac {z} {1 – { cfrac {z ^ {2}} {{ frac {3} {2}} + { cfrac {z ^ {2}} {{ frac {5} {2}} – { cfrac {{ frac {3} { 2}} z ^ {2}} {{ frac {7} {2}} + { cfrac {2z ^ {2}} {{ frac {9} {2}} – { cfrac {{ frac {5} {2}} z ^ {2}} {{ frac {11} {2}} + { cfrac {3z ^ {2}} {{ frac {13} {2}} – { cfrac {{ frac {7} {2}} z ^ {2}} {{ frac {15} {2}} + – ddots}}}}}}}}}}}}}.}$

Ein ähnliches Argument kann angeführt werden, um fortgesetzte Fraktionserweiterungen für die Fresnel-Integrale, für die Dawson-Funktion und für die unvollständige Gammafunktion abzuleiten. Eine einfachere Version des Arguments ergibt zwei nützliche fortgesetzte Brucherweiterungen der Exponentialfunktion.^[10]

Die Serie ₂F.₁[edit]

Von

${ displaystyle (1-z) ^ {- b} = {} _ {1} F_ {0} (b ;; z) = , _ {2} F_ {1} (1, b; 1; z) ,}$

${ displaystyle (1-z) ^ {- b} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-bz} {1 + { cfrac {(b-1) z} {2 + { cfrac {- (b + 1) z} {3 + { cfrac {2 (b-2) z} {4 + {} ddots}}}}}}}}}}$

Es ist leicht zu zeigen, dass die Taylor-Reihe Expansion von Arctan z in einer Nachbarschaft von Null ist gegeben durch

${ displaystyle arctan z = zF ({ scriptstyle { frac {1} {2}}}, 1; { scriptstyle { frac {3} {2}}}; – z ^ {2}).}$

Der fortgesetzte Anteil von Gauß kann auf diese Identität angewendet werden, was die Expansion ergibt

${ displaystyle arctan z = { cfrac {z} {1 + { cfrac {(1z) ^ {2}} {3 + { cfrac {(2z) ^ {2}} {5 + { cfrac { (3z) ^ {2}} {7 + { cfrac {(4z) ^ {2}} {9+ ddots}}}}}}}}}}$

die zum Hauptzweig der inversen Tangentenfunktion auf der Schnittkomplexebene konvergiert, wobei sich der Schnitt entlang der imaginären Achse von erstrecktich bis zum Punkt im Unendlichen und von – ich bis zum Punkt im Unendlichen.^[11]

Diese bestimmte fortgesetzte Fraktion konvergiert ziemlich schnell, wenn z = 1, wobei der Wert π / 4 durch die neunte Konvergenz auf sieben Dezimalstellen gegeben wird. Die entsprechende Serie

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {2 + { cfrac {3 ^ {2}} {2+ { cfrac {5 ^ {2}} {2+ ddots}}}}}} = 1 – { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} – { frac {1} {7}} pm cdots}$

konvergiert viel langsamer, wobei mehr als eine Million Terme benötigt werden, um sieben Dezimalstellen Genauigkeit zu erhalten.^[12]

Variationen dieses Arguments können verwendet werden, um fortgesetzte Brucherweiterungen für den natürlichen Logarithmus, die Arcsin-Funktion und die verallgemeinerte Binomialreihe zu erzeugen.

Verweise[edit]