Begriffsschrift – Wikipedia

Buch über Logik

Begriffsschrift (Deutsch für ungefähr “Konzept-Skript”) ist ein Buch über Logik von Gottlob Frege, das 1879 veröffentlicht wurde, und das in diesem Buch dargelegte formale System.

Begriffsschrift wird normalerweise übersetzt als Konzept schreiben oder Konzeptnotation; der vollständige Titel des Buches identifiziert es als “eine Formelsprache nach dem Vorbild der Arithmetik zum reinen Denken”. Freges Motivation, seinen formalen Zugang zur Logik zu entwickeln, ähnelte der Motivation von Leibniz für seinen Calculus ratiocinator (obwohl Frege im Vorwort klar bestreitet, dass er dieses Ziel erreicht hat und dass sein Hauptziel darin besteht, eine ideale Sprache wie die von Leibniz zu konstruieren, die Frege erklärt eine ziemlich schwierige und idealistische – wenn auch nicht unmögliche – Aufgabe zu sein). Frege setzte seinen logischen Kalkül in seinen Forschungen über die Grundlagen der Mathematik ein, die im nächsten Vierteljahrhundert durchgeführt wurden. Dies ist die erste Arbeit in der Analytischen Philosophie, einem Gebiet, das zukünftige britische und anglo-amerikanische Philosophen wie Bertrand Russell weiterentwickelten.

Notation und das System[edit]

Der Kalkül enthält das erste Auftreten quantifizierter Variablen und ist im Wesentlichen klassische bivalente Logik zweiter Ordnung mit Identität. Es ist insofern zweiwertig, als Sätze oder Formeln entweder Wahr oder Falsch bedeuten; zweiter Ordnung, da es neben Objektvariablen auch Beziehungsvariablen enthält und eine Quantifizierung über beide ermöglicht. Der Modifikator “mit Identität” gibt an, dass die Sprache die Identitätsbeziehung = enthält. Frege erklärte, sein Buch sei seine Version einer charakteristischen universalis, eines Leibnizschen Konzepts, das in der Mathematik angewendet werden würde.^[1]

Frege präsentiert seinen Kalkül mit einer eigenwilligen zweidimensionalen Notation: Konnektoren und Quantoren werden mit Linien geschrieben, die Formeln verbinden, und nicht mit den heute verwendeten Symbolen ¬, ∀ und ∀. Zum Beispiel dieses Urteil B impliziert materiell ein Urteil EIN, dh

${displaystyle Brightarrow A}$

wird geschrieben als .

Im ersten Kapitel definiert Frege Grundideen und Notation, wie den Satz (“Urteil”), den universellen Quantor (“die Allgemeinheit”), das Bedingte, die Negation und das “Zeichen für die Identität des Inhalts”.

${displaystyle equiv}$

(die er verwendet hat, um sowohl die materielle Gleichwertigkeit als auch die eigentliche Identität anzuzeigen); im zweiten Kapitel deklariert er neun formalisierte Aussagen zu Axiomen.

In Kapitel 1, §5 definiert Frege die Bedingung wie folgt:

„Beziehen sich A und B auf bewertbare Inhalte, dann sind die vier Möglichkeiten:

1. A wird behauptet, B wird behauptet;
2. A wird behauptet, B wird negiert;
3. A wird negiert, B wird behauptet;
4. A wird negiert, B wird negiert.

Lassen

bedeuten, dass die dritte dieser Möglichkeiten nicht gegeben ist, aber eine der drei anderen. Also wenn wir negieren , das heißt, die dritte Möglichkeit ist gültig, dh wir negieren A und behaupten B.”

Das Kalkül in Freges Werk[edit]

Frege erklärte neun seiner Aussagen zu Axiomen und begründete sie damit, dass sie informell argumentierten, dass sie angesichts ihrer beabsichtigten Bedeutungen selbstverständliche Wahrheiten ausdrücken. In zeitgenössischer Notation neu ausgedrückt, sind diese Axiome:

1. 
   ${displaystyle vdash Arightarrow left(Brightarrow Aright)}$

   

2. 
   ${displaystyle vdash left[ Arightarrow left(Brightarrow Cright) right] rightarrow left[ left(Arightarrow Bright)rightarrow left(Arightarrow Cright) right]}$

   

3. 
   ${displaystyle vdash left[ Drightarrow left(Brightarrow Aright) right] rightarrow left[ Brightarrow left(Drightarrow Aright) right]}$

   

4. 
   ${displaystyle vdash left(Brightarrow Aright) rightarrow left(not Arightarrow lnot Bright)}$

   

5. 
   ${displaystyle vdash not lnot Arightarrow A}$

   

6. 
   ${displaystyle vdash Arightarrow lnot lnot A}$

   

7. 
   ${displaystyle vdash left(c=dright)rightarrow left(f(c)=f(d)right)}$

   

8. 
   ${displaystyle vdash c=c}$

   

9. 
   ${displaystyle vdash forall a f(a)rightarrow f(c)}$

   

Dies sind die Sätze 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 und 58 in der Begriffsschrift. (1)–(3) regeln materielle Implikation, (4)–(6) Negation, (7) und (8) Identität und (9) den universellen Quantor. (7) drückt Leibniz’ Ununterscheidbarkeit von Identischen aus und (8) behauptet, dass Identität eine reflexive Beziehung ist.

Alle anderen Aussagen werden aus (1)–(9) abgeleitet, indem eine der folgenden Inferenzregeln aufgerufen wird:

Die Hauptergebnisse des dritten Kapitels mit dem Titel “Teile einer allgemeinen Reihentheorie” betreffen das, was heute die Vorfahren einer Relation genannt wird R. “ein ist ein R-Vorfahr von b” ist geschrieben “aR*b“.

Frege hat die Ergebnisse der Begriffsschrift, einschließlich derer über die Vorfahren einer Beziehung, in seinem späteren Werk Die Grundlagen der Arithmetik. Wenn wir also nehmen xRy die Beziehung sein ja = x + 1, dann 0R*ja ist das Prädikat “ja ist eine natürliche Zahl.” (133) sagt, dass wenn x, ja, und z natürliche Zahlen sind, dann muss eine der folgenden Bedingungen gelten: x < ja, x = ja, oder ja < x. Dies ist das sogenannte “Gesetz der Trichotomie”.

Einfluss auf andere Werke[edit]

Für eine sorgfältige aktuelle Studie, wie die Begriffsschrift wurde in der deutschen mathematischen Literatur besprochen, siehe Vilko (1998). Einige Rezensenten, insbesondere Ernst Schröder, waren im Großen und Ganzen positiv. Alle Arbeiten in formaler Logik im Anschluss an die Begriffsschrift ist ihr zu Dank verpflichtet, weil ihre Logik zweiter Ordnung die erste formale Logik war, die in der Lage war, ein gutes Stück Mathematik und natürliche Sprache darzustellen.

Einige Überreste von Freges Notation sind im “Drehkreuz”-Symbol erhalten

${displaystyle vdash}$

abgeleitet von seinem “Urteilsstrich” (Schlaganfall beurteilen/ableiten) │ und “Inhaltsstrich” (dh Inhaltsstrich) . Frege hat diese Symbole in der Begriffsschrift in der vereinheitlichten Form ├─ für die Aussage, dass ein Satz wahr ist. In seinen späteren “Grundgesetzen” revidiert er seine Interpretation des ├─-Symbols leicht.

In der “Begriffsschrift” wird der “Definitionsdoppelstrich” Definition Doppelhub) │├─ gibt an, dass ein Satz eine Definition ist. Außerdem ist das Verneinungszeichen

${displaystyle neg}$

kann als Kombination der Horizontalen gelesen werden Inhaltsstrich mit einem vertikalen Negationsstrich. Dieses Negationssymbol wurde von Arend Heyting wieder eingeführt^[2] 1930, um die intuitionistische von der klassischen Negation zu unterscheiden. Es erscheint auch in der Dissertation von Gerhard Gentzen.

In dem Tractatus Logico Philosophicus, Ludwig Wittgenstein huldigt Frege mit dem Begriff Begriffsschrift als Synonym für logischen Formalismus.

Freges Essay “On Sense and Reference” aus dem Jahr 1892 widerruft einige der Schlussfolgerungen der Begriffsschrift über Identität (in der Mathematik durch das Zeichen “=” gekennzeichnet). Insbesondere weist er die Auffassung der “Begriffsschrift” zurück, dass das Identitätsprädikat eine Beziehung zwischen Namen ausdrücke, zugunsten der Schlussfolgerung, dass es eine Beziehung zwischen den Objekten ausdrücke, die mit diesen Namen bezeichnet werden.

Zitate[edit]

„Wenn es die Aufgabe der Philosophie ist, die Herrschaft der Worte über den menschlichen Geist zu brechen […], dann kann meine für diese Zwecke entwickelte Konzeptnotation ein nützliches Instrument für Philosophen sein […] Ich glaube, die Sache der Logik ist bereits durch die Erfindung dieser Begriffsnotation vorangebracht worden.” (Vorwort zum Begriffsschrift)

Editionen[edit]

• Gottlob Frege. Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildeten Formelsprache des reinen Denkens. Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879.

Übersetzungen:

• Bynum, Terrell Ward, übers. und Hrsg., 1972. Konzeptuelle Notation und verwandte Artikel, mit Biographie und Einführung. Oxford-Uni. Drücken Sie.
• Bauer-Mengelberg, Stefan, 1967, “Concept Script” in Jean van Heijenoort, Hrsg., Von Frege bis Gödel: Ein Quellenbuch in mathematischer Logik, 1879-1931. Harvard-Uni. Drücken Sie.
• Beaney, Michael, 1997, “Begriffsschrift: Selections(Preface and Part I)” in Der Frege-Leser. Oxford: Blackwell.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Weiterlesen[edit]

Externe Links[edit]