James W. Cannon – Wikipedia

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US-amerikanischer Mathematiker

James W. Cannon (* 30. Januar 1943) ist ein US-amerikanischer Mathematiker, der auf den Gebieten der niederdimensionalen Topologie und der geometrischen Gruppentheorie arbeitet. Er war Orson Pratt Professor für Mathematik an der Brigham Young University.

Biografische Daten[edit]

James W. Cannon wurde am 30. Januar 1943 in Bellefonte, Pennsylvania geboren.[1] Cannon erhielt einen Ph.D. in Mathematik an der University of Utah im Jahr 1969 unter der Leitung von C. Edmund Burgess.

Von 1977 bis 1985 war er Professor an der University of Wisconsin, Madison.[1] 1986 wurde Cannon zum Orson Pratt Professor für Mathematik an der Brigham Young University ernannt.[2] Diese Position hatte er bis zu seiner Pensionierung im September 2012 inne.[3]

Cannon hielt eine AMS Invited Ansprache auf der Tagung der American Mathematical Society in Seattle im August 1977, eine eingeladene Ansprache beim Internationalen Mathematikerkongress in Helsinki 1978 und hielt 1982 die Mathematical Association of America Hedrick Lectures in Toronto, Kanada.[1][4]

Cannon wurde 2003 mit der Amtszeit vom 1. Februar 2004 bis 31. Januar 2007 in den American Mathematical Society Council gewählt.[2][5] 2012 wurde er Fellow der American Mathematical Society.[6]

1993 hielt Cannon die 30. jährliche Karl G. Maeser Distinguished Faculty Lecture an der Brigham Young University.[7]

James Cannon ist ein frommes Mitglied der Kirche Jesu Christi der Heiligen der Letzten Tage.[8]

Mathematische Beiträge[edit]

Frühe Arbeit[edit]

Cannons frühe Arbeit befasste sich mit topologischen Aspekten eingebetteter Oberflächen in R3 und den Unterschied zwischen “zahmen” und “wilden” Oberflächen verstehen.

Sein erstes berühmtes Ergebnis kam in den späten 1970er Jahren, als Cannon eine vollständige Lösung für ein seit langem bestehendes Problem der “Doppelaufhängung” von John Milnor lieferte. Cannon bewies, dass die doppelte Aufhängung einer Homologiekugel eine topologische Kugel ist.[9][10] RD Edwards hatte dies zuvor in vielen Fällen bewiesen.

Die Ergebnisse von Cannons Papier[10] wurden von Cannon, Bryant und Lacher verwendet, um zu beweisen (1979)[11] ein wichtiger Fall des sogenannten Charakterisierungsvermutung für topologische Mannigfaltigkeiten. Die Vermutung besagt, dass eine verallgemeinerte n-Verteiler

m{displaystyle M}

, wo

n≥5{displaystyle ngeq 5}

, die die “disjunkte Scheibeneigenschaft” erfüllt, ist eine topologische Mannigfaltigkeit. Cannon, Bryant und Lacher gegründet[11] dass die Vermutung gilt unter der Annahme, dass

m{displaystyle M}

eine Mannigfaltigkeit sein, außer möglicherweise bei einer Menge von Dimensionen

(n−2)/2{displaystyle (n-2)/2}

. Später Frank Quinn[12] vervollständigte den Beweis, dass die Charakterisierungsvermutung gilt, wenn es auch nur einen einzigen Mannigfaltigkeitspunkt gibt. Im Allgemeinen ist die Vermutung falsch, wie John Bryant, Steven Ferry, Washington Mio und Shmuel Weinberger bewiesen haben.[13]

1980er: Hyperbolische Geometrie, 3-Mannigfaltigkeiten und geometrische Gruppentheorie[edit]

In den 1980er Jahren verlagerte sich der Schwerpunkt von Cannons Arbeit auf das Studium von 3-Mannigfaltigkeiten, hyperbolischer Geometrie und Kleinschen Gruppen und er gilt als eine der Schlüsselfiguren bei der Geburt der geometrischen Gruppentheorie als eigenständiges Fach in den späten 1980er und frühen 1990er Jahren. Cannons Aufsatz von 1984 “Die kombinatorische Struktur kokompakter diskreter hyperbolischer Gruppen”[14] war einer der Vorläufer in der Entwicklung der Theorie der Worthyperbolischen Gruppen, ein Begriff, der drei Jahre später in einer wegweisenden Monographie von Michail Gromov von 1987 eingeführt und weiterentwickelt wurde.[15] Cannons Aufsatz untersuchte kombinatorische und algorithmische Aspekte der Cayley-Graphen von Kleinian-Gruppen und setzte sie in Beziehung zu den geometrischen Merkmalen der Aktionen dieser Gruppen auf den hyperbolischen Raum. Insbesondere bewies Cannon, dass konvex-kokompakte Kleinian-Gruppen endliche Präsentationen zulassen, bei denen der Dehn-Algorithmus das Wortproblem löst. Die letztere Bedingung stellte sich später als eine gleichwertige Charakterisierung als worthyperbolisch heraus, und darüber hinaus ging Cannons ursprünglicher Beweis im Wesentlichen unverändert durch, um zu zeigen, dass das Wortproblem in worthyperbolischen Gruppen durch Dehns Algorithmus lösbar ist.[16] Cannons Papier von 1984[14] führte auch einen wichtigen Begriff ein Kegeltyp eines Elements einer endlich erzeugten Gruppe (ungefähr die Menge aller geodätischen Erweiterungen eines Elements). Cannon bewies, dass eine konvex-kokompakte Kleinsche Gruppe nur endlich viele Kegeltypen hat (in Bezug auf einen festen endlichen Erzeugungssatz dieser Gruppe) und zeigte, wie man diese Tatsache nutzen kann, um zu schließen, dass die Wachstumsreihe der Gruppe eine rationale Funktion ist. Es stellte sich heraus, dass diese Argumente auch auf den Wort-hyperbolischen Gruppenkontext verallgemeinert wurden.[15] Jetzt Standard-Proofs[17] der Tatsache, dass die Menge der geodätischen Wörter in einer worthyperbolischen Gruppe eine reguläre Sprache ist, verwenden auch die Endlichkeit der Anzahl der Kegeltypen.

Cannons Arbeit führte auch einen wichtigen Begriff von fast Konvexität für Cayley-Graphen endlich erzeugter Gruppen,[18] ein Begriff, der zu erheblichen weiteren Untersuchungen und Verallgemeinerungen führte.[19][20][21]

Ein einflussreiches Papier von Cannon und William Thurston “Gruppeninvariante Peano-Kurven”,[22] die Mitte der 1980er Jahre erstmals in Vordruckform zirkulierte,[23] führte den Begriff der sogenannten Cannon-Thurston-Karte ein. Sie betrachteten den Fall einer geschlossenen hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit m dass Fasern über dem Kreis sind, wobei die Faser eine geschlossene hyperbolische Fläche ist S. In diesem Fall die Universalabdeckung von S, die mit der hyperbolischen Ebene identifiziert wird, erlaubt eine Einbettung in die universelle Hülle von m, das ist der hyperbolische 3-Raum. Cannon und Thurston haben bewiesen, dass sich diese Einbettung auf ein kontinuierliches . erstreckt1(S)-äquivariante surjektive Abbildung (jetzt als bezeichnet) Karte Kanone–Thurston) vom idealen Rand der hyperbolischen Ebene (dem Kreis) zum idealen Rand des hyperbolischen 3-Raums (der 2-Sphäre). Obwohl die Arbeit von Cannon und Thurston erst 2007 endgültig veröffentlicht wurde, hat sie in der Zwischenzeit erhebliche weitere Forschungen und eine Reihe bedeutender Verallgemeinerungen (sowohl im Kontext von Kleinian-Gruppen als auch von worthyperbolischen Gruppen) hervorgebracht, einschließlich der Arbeit von Mahan Mitra,[24][25] Erika Klarreich,[26]Brian Bowditch[27] und andere.

1990er und 2000er: Automatische Gruppen, diskrete konforme Geometrie und Cannons Vermutung[edit]

Cannon war einer der Mitautoren des Buches von 1992 Textverarbeitung in Gruppen[17] die die Theorie der automatischen Gruppen einführte, formalisierte und weiterentwickelte. Die Theorie der automatischen Gruppen brachte neue rechnerische Ideen aus der Informatik in die geometrische Gruppentheorie und spielte eine wichtige Rolle bei der Entwicklung des Fachs in den 1990er Jahren.

Eine Arbeit von Cannon aus dem Jahr 1994 lieferte einen Beweis für das “kombinatorische Riemann-Mapping-Theorem”[28] das wurde durch den klassischen Riemannschen Abbildungssatz in der komplexen Analysis motiviert. Das Ziel war zu verstehen, wann eine Aktion einer Gruppe durch Homöomorphismen auf einer 2-Sphäre (bis auf eine topologische Konjugation) eine Aktion auf der Standard-Riemann-Sphäre durch Möbius-Transformationen ist. Das “kombinatorische Riemann-Abbildungstheorem” von Cannon lieferte eine Reihe von hinreichenden Bedingungen, wenn eine Folge von immer feineren kombinatorischen Unterteilungen einer topologischen Oberfläche im richtigen Sinne und nach Durchlaufen der Grenze eine tatsächliche konforme Struktur auf dieser Oberfläche bestimmt. Diese Arbeit von Cannon führte zu einer wichtigen Vermutung, die erstmals 1998 explizit von Cannon und Swenson formuliert wurde[29] (aber auch in impliziter Form in Abschnitt 8 von Cannons Aufsatz von 1994 vorgeschlagen) und heute als Cannons Vermutung bekannt, in Bezug auf die Charakterisierung von Worthyperbolischen Gruppen mit der 2-Sphäre als Grenze. Die Vermutung (Vermutung 5.1 in [29]) besagt, dass wenn die ideale Grenze einer Wort-hyperbolischen Gruppe g homöomorph zur 2-Sphäre ist, dann g lässt eine richtig diskontinuierliche kokompakte isometrische Wirkung auf den hyperbolischen 3-Raum zu (so dass g ist im Wesentlichen eine 3-dimensionale Kleinian-Gruppe). In analytischer Hinsicht ist die Vermutung von Cannon äquivalent zu der Aussage, dass wenn die ideale Grenze einer Wort-hyperbolischen Gruppe g homöomorph zur 2-Sphäre ist, dann ist diese Grenze, wobei die visuelle Metrik aus dem Cayley-Graphen von stammt g, ist quasisymmetrisch zur Standard-2-Sphäre.

Das Papier von Cannon und Swenson aus dem Jahr 1998[29] gaben einen ersten Zugang zu dieser Vermutung, indem sie bewiesen, dass die Vermutung unter der zusätzlichen Annahme gilt, dass die Familie der Standard-“Platten” im Rand der Gruppe eine kombinatorische “konforme” Eigenschaft erfüllt. Das wichtigste Ergebnis von Cannons Arbeit von 1994[28] spielte eine Schlüsselrolle beim Beweis. Diese Herangehensweise an Cannons Vermutung und verwandte Probleme wurde später in der gemeinsamen Arbeit von Cannon, Floyd und Parry weiter vorangetrieben.[30][31][32]

Cannons Vermutung motivierte viele spätere Arbeiten anderer Mathematiker und beeinflusste in erheblichem Maße die spätere Interaktion zwischen der geometrischen Gruppentheorie und der Theorie der Analysis über metrische Räume.[33][34][35][36][37][38] Cannons Vermutung war motiviert (siehe [29]) durch Thurstons Geometrisierungsvermutung und durch den Versuch zu verstehen, warum in Dimension drei variable negative Krümmung zu konstanter negativer Krümmung befördert werden kann. Obwohl die Vermutung der Geometrisierung vor kurzem von Perelman entschieden wurde, bleibt die Vermutung von Cannon weit offen und gilt als eines der wichtigsten offenen Probleme in der geometrischen Gruppentheorie und geometrischen Topologie.

Bewerbungen in der Biologie[edit]

Die Ideen der kombinatorischen konformen Geometrie, die Cannons Beweis des “kombinatorischen Riemannschen Abbildungssatzes” zugrunde liegen,[28] wurden von Cannon, Floyd und Parry (2000) auf die Untersuchung großräumiger Wachstumsmuster biologischer Organismen angewendet.[39] Cannon, Floyd und Parry erstellten ein mathematisches Wachstumsmodell, das zeigte, dass einige durch einfache endliche Unterteilungsregeln bestimmte Systeme zu Objekten (in ihrem Beispiel einem Baumstamm) führen können, deren großräumige Form im Laufe der Zeit wild oszilliert, obwohl die lokalen Unterteilungsgesetze bestehen bleiben das gleiche.[39] Cannon, Floyd und Parry wandten ihr Modell auch auf die Analyse der Wachstumsmuster von Rattengewebe an.[39] Sie schlugen vor, dass die “negativ gekrümmte” (oder nicht-euklidische) Natur der mikroskopischen Wachstumsmuster biologischer Organismen einer der Hauptgründe dafür ist, warum Großorganismen nicht wie Kristalle oder polyedrische Formen aussehen, sondern in vielen Fällen selbst- ähnliche Fraktale.[39] Insbesondere schlugen sie vor (siehe Abschnitt 3.4 von [39]), dass eine solche “negativ gekrümmte” lokale Struktur sich in einer stark gefalteten und stark verbundenen Natur des Gehirns und des Lungengewebes manifestiert.

Ausgewählte Publikationen[edit]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

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  3. ^ 44 Jahre Mathematik. Brigham Young Universität. Abgerufen am 25. Juli 2013.
  4. ^ Earle Raymond Hedrick Lecturers der Mathematical Association of America. Mathematische Vereinigung von Amerika. Aufgerufen am 20. September 2008.
  5. ^ Wahlergebnisse 2003. Mitteilungen der American Mathematical Society, Band 51 (2004), Nr. 2, s. 269.
  6. ^ Liste der Fellows der American Mathematical Society, abgerufen am 10.11.2012.
  7. ^ Matheprofessor hält mittwochs am Y. Wüstennachrichten. 18. Februar 1993.
  8. ^ Susan Easton Schwarz.Glaubensbekundungen: Zeugnisse von Gelehrten der Heiligen der Letzten Tage. Stiftung für Antikenforschung und Mormonenstudien, 1996. ISBN 978-1-57345-091-1.
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  15. ^ ein B M. Gromov, Hyperbolische Gruppen, in: “Essays in Group Theory” (GM Gersten, Hrsg.), MSRI Publ. 8, 1987, S. 75–263.
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