Stabilisatorcode – Wikipedia

Die Theorie der Quantenfehlerkorrektur spielt eine herausragende Rolle bei der praktischen Realisierung und Entwicklung von Quantencomputing- und Quantenkommunikationsgeräten. Die ersten quantenfehlerkorrigierenden Codes ähneln in ihrer Funktionsweise und Leistungsfähigkeit klassischen Blockcodes auffallend. Quantenfehlerkorrigierende Codes stellen einen verrauschten, dekohärenten Quantenzustand in einen reinen Quantenzustand wieder her. Ein Stabilisator-Quantenfehlerkorrekturcode hängt Ancilla-Qubits an Qubits an, die wir schützen möchten. Eine unitäre Codierungsschaltung dreht den globalen Zustand in einen Unterraum eines größeren Hilbert-Raums. Dieser stark verschränkte, codierte Zustand korrigiert lokale verrauschte Fehler. Ein quantenfehlerkorrigierender Code macht Quantenberechnung und Quantenkommunikation praktisch, indem er einem Sender und Empfänger eine Möglichkeit bietet, einen rauschfreien Qubit-Kanal bei einem verrauschten Qubit-Kanal zu simulieren, dessen Rauschen einem bestimmten Fehlermodell entspricht.

Die Stabilisatortheorie der Quantenfehlerkorrektur erlaubt es, einige klassische binäre oder quaternäre Codes zur Verwendung als Quantencode zu importieren. Beim Importieren des klassischen Codes muss er jedoch die Bedingung der dualen Aufnahme (oder der Selbstorthogonalität) erfüllen. Forscher haben viele Beispiele für klassische Codes gefunden, die diese Einschränkung erfüllen, aber die meisten klassischen Codes tun dies nicht. Trotzdem ist es immer noch sinnvoll, klassische Codes auf diese Weise zu importieren (siehe jedoch, wie der verschränkungsunterstützte Stabilisatorformalismus diese Schwierigkeit überwindet).

Mathematischer Hintergrund[edit]

Der Stabilisatorformalismus nutzt Elemente der Pauli-Gruppe

${displaystyle Pi}$

bei der Formulierung von quantenfehlerkorrigierenden Codes. Der Satz

${displaystyle Pi =left{I,X,Y,Zright}}$

besteht aus den Pauli-Operatoren:

${displaystyle Iequiv {begin{bmatrix}1&0\0&1end{bmatrix}}, Xequiv {begin{bmatrix}0&1\1&0end{bmatrix}}, Yequiv { begin{bmatrix}0&-i\i&0end{bmatrix}}, Zequiv {begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}.}$

Die obigen Operatoren wirken auf ein einzelnes Qubit – einen Zustand, der durch einen Vektor in einem zweidimensionalen Hilbert-Raum dargestellt wird. Betreiber in

${displaystyle Pi}$

Eigenwerte haben

${displaystyle pm 1}$

und entweder pendeln oder anti-pendeln. Der Satz

${displaystyle Pi^{n}}$

besteht aus

${displaystyle n}$

-fache Tensorprodukte von Pauli-Operatoren:

${displaystyle Pi^{n}=left{{begin{array}{c}e^{iphi}A_{1}otimes cdots otimes A_{n}:forall jin left{1,ldots,nright}A_{j}inPi,\phiinleft{0,pi/2,pi,3pi/2right }end{array}}right}.}$

Elemente von

${displaystyle Pi^{n}}$

handeln auf einem Quantenregister von

${displaystyle n}$

Qubits. Im Folgenden lassen wir gelegentlich Tensorproduktsymbole weg, damit

${displaystyle A_{1}cdots A_{n}equiv A_{1}otimes cdots otimes A_{n}.}$

Die

${displaystyle n}$

-falten Pauli Gruppe

${displaystyle Pi^{n}}$

spielt eine wichtige Rolle sowohl für die Codierschaltung als auch für das Fehlerkorrekturverfahren eines Quantenstabilisator-Codes über

${displaystyle n}$

Qubits.

Definition[edit]

Definieren wir an

${displaystyle left[n,kright]}$

Stabilisator Quantenfehlerkorrekturcode zu codieren

${displaystyle k}$

logische Qubits in

${displaystyle n}$

physikalische Qubits. Die Rate eines solchen Codes beträgt

${displaystyle k/n}$

. Sein Stabilisator

${displaystyle {mathcal{S}}}$

ist eine abelsche Untergruppe der

${displaystyle n}$

-falten Pauli Gruppe

${displaystyle Pi^{n}}$

.

${displaystyle {mathcal{S}}}$

enthält nicht den Operator

${displaystyle -I^{otimes n}}$

. Die gleichzeitige

${displaystyle +1}$

-Eigenraum der Operatoren bildet den Coderaum. Der Coderaum hat Dimension

${displaystyle 2^{k}}$

damit wir codieren können

${displaystyle k}$

Qubits hinein. Der Stabilisator

${displaystyle {mathcal{S}}}$

hat eine minimale Darstellung in Bezug auf

${displaystyle nk}$

unabhängige Generatoren

${displaystyle left{g_{1},ldots ,g_{nk} | forall iin left{1,ldots ,nkright}, g_{i}in { mathcal{S}}right}.}$

Die Generatoren sind in dem Sinne unabhängig, dass keiner von ihnen ein Produkt von zwei anderen ist (bis auf eine globale Phase). Die Betreiber

${displaystyle g_{1},ldots,g_{nk}}$

funktioniert auf die gleiche Weise wie eine Paritätsprüfmatrix für einen klassischen linearen Blockcode.

Stabilisator-Fehlerkorrekturbedingungen[edit]

Einer der Grundbegriffe der Quantenfehlerkorrekturtheorie ist, dass es ausreicht, eine diskrete Fehlermenge mit Unterstützung in der Pauli-Gruppe zu korrigieren

${displaystyle Pi^{n}}$

. Angenommen, die Fehler, die einen kodierten Quantenzustand betreffen, sind eine Teilmenge

${displaystyle {mathcal {E}}}$

der Pauli-Gruppe

${displaystyle Pi^{n}}$

:

${displaystyle {mathcal{E}}subset Pi^{n}.}$

Weil

${displaystyle {mathcal {E}}}$

und

${displaystyle {mathcal{S}}}$

sind beide Teilmengen von

${displaystyle Pi^{n}}$

, ein Fehler

${displaystyle Ein {mathcal {E}}}$

die einen kodierten Quantenzustand beeinflusst, kommutiert oder antikommutiert mit einem bestimmten Element

${displaystyle g}$

in

${displaystyle {mathcal{S}}}$

. Der Fehler

${displaystyle E}$

ist korrigierbar, wenn es mit einem Element antikommutiert

${displaystyle g}$

in

${displaystyle {mathcal{S}}}$

. Ein Antipendelfehler

${displaystyle E}$

ist durch Messung jedes Elements nachweisbar

${displaystyle g}$

in

${displaystyle {mathcal{S}}}$

und ein Syndrom berechnen

${displaystyle mathbf{r}}$

identifizieren

${displaystyle E}$

. Das Syndrom ist ein binärer Vektor

${displaystyle mathbf{r}}$

mit Länge

${displaystyle nk}$

deren Elemente identifizieren, ob der Fehler

${displaystyle E}$

pendelt oder antipendelt mit jedem

${displaystyle gin {mathcal{S}}}$

. Ein Fehler

${displaystyle E}$

das pendelt mit jedem Element

${displaystyle g}$

in

${displaystyle {mathcal{S}}}$

ist genau dann korrigierbar, wenn es in . ist

${displaystyle {mathcal{S}}}$

. Es korrumpiert den kodierten Zustand, wenn es mit jedem Element von kommutiert

${displaystyle {mathcal{S}}}$

liegt aber nicht darin

${displaystyle {mathcal{S}}}$

. Daher fassen wir die Stabilisatorfehlerkorrekturbedingungen kompakt zusammen: Ein Stabilisatorcode kann alle Fehler korrigieren

${displaystyle E_{1},E_{2}}$

in

${displaystyle {mathcal {E}}}$

wenn

${displaystyle E_{1}^{dagger}E_{2}notin {mathcal{Z}}left({mathcal{S}}right)}$

oder

${displaystyle E_{1}^{dagger}E_{2}in {mathcal {S}}}$

wo

${displaystyle {mathcal{Z}}left({mathcal{S}}right)}$

ist der Zentralisierer von

${displaystyle {mathcal{S}}}$

(dh die Untergruppe der Elemente, die mit allen Mitgliedern von kommutieren

${displaystyle {mathcal{S}}}$

, auch Kommutant genannt).

Beziehung zwischen Pauli-Gruppe und binären Vektoren[edit]

Zwischen Elementen von existiert eine einfache, aber nützliche Zuordnung

${displaystyle Pi}$

und der binäre Vektorraum

${displaystyle left(mathbb{Z}_{2}right)^{2}}$

. Diese Abbildung ergibt eine Vereinfachung der Quantenfehlerkorrekturtheorie. Es repräsentiert Quantencodes mit binären Vektoren und binären Operationen statt mit Pauli-Operatoren bzw. Matrixoperationen.

Wir geben zunächst die Abbildung für den Ein-Qubit-Fall an. Vermuten

${displaystyle left[Aright]}$

ist eine Menge von Äquivalenzklassen eines Operators

${displaystyle A}$

die die gleiche Phase haben:

${displaystyle left[Aright]=left{beta A |\betainmathbb{C} ,\leftvert betarightvert =1right}.}$

Lassen

${displaystyle left[Pi right]}$

sei die Menge der phasenfreien Pauli-Operatoren, wobei

${displaystyle left[Pi right]=links{links[Aright] | Ain Pi right}}$

. Definiere die Karte

${displaystyle N:left(mathbb{Z}_{2}right)^{2}rightarrowPi}$

wie

${displaystyle 00nach I,,,01nach X,,,11nach Y,,,10nach Z}$

Vermuten

${displaystyle u,vinleft(mathbb{Z}_{2}right)^{2}}$

. Lassen Sie uns die Kurzschrift verwenden

${displaystyle u=left(z|xright)}$

und

${displaystyle v=left(z^{prime}|x^{prime}right)}$

wo

${displaystyle z}$

,

${displaystyle x}$

,

${displaystyle z^{prime}}$

,

${displaystyle x^{prime}inmathbb{Z}_{2}}$

. Nehmen wir zum Beispiel an

${displaystyle u=left(0|1right)}$

. Dann

${displaystyle Nleft(uright)=X}$

. Die Karte

${displaystyle N}$

induziert einen Isomorphismus

${displaystyle left[Nright]:left(mathbb{Z}_{2}right)^{2}rightarrowleft[Pi right]}$

weil Addition von Vektoren in

${displaystyle left(mathbb{Z}_{2}right)^{2}}$

entspricht der Multiplikation von Pauli-Operatoren bis zu einer globalen Phase:

${displaystyle left[Nleft(u+vright)right]=links[Nleft(uright)right]links[Nleft(vright)right].}$

Lassen

${displaystyleodot}$

bezeichnen das symplektische Produkt zwischen zwei Elementen

${displaystyle u,vinleft(mathbb{Z}_{2}right)^{2}}$

:

${displaystyle uodot vequiv zx^{prime}-xz^{prime}.}$

Das symplektische Produkt

${displaystyleodot}$

gibt die Kommutierungsrelationen von Elementen von

${displaystyle Pi}$

:

${displaystyle Nleft(uright)Nleft(vright)=left(-1right)^{left(uodot vright)}Nleft(vright)N left(uright).}$

Das symplektische Produkt und das Mapping

${displaystyle N}$

geben somit eine nützliche Möglichkeit, Pauli-Beziehungen in Begriffen der binären Algebra zu formulieren. Die Erweiterung der obigen Definitionen und Abbildungen

${displaystyle N}$

auf mehrere Qubits ist einfach. Lassen

${displaystyle mathbf{A} =A_{1}otimes cdots otimes A_{n}}$

ein beliebiges Element von bezeichnen

${displaystyle Pi^{n}}$

. Ähnlich können wir das phasenfreie

${displaystyle n}$

-Qubit-Pauli-Gruppe

${displaystyle left[Pi ^{n}right]=links{links[mathbf {A} right]|\mathbf{A}inPi^{n}right}}$

wo

${displaystyle left[mathbf {A} right]=left{betamathbf{A}|\betainmathbb{C} ,\leftvert betarightvert=1right}.}$

Der Gruppenbetrieb

${displaystyle ast}$

für die obige Äquivalenzklasse lautet wie folgt:

${displaystyle left[mathbf {A} right]ast left[mathbf {B} right]equiv left[A_{1}right]ast left[B_{1}right]otimes cdots otimes left[A_{n}right]ast left[B_{n}right]=links[A_{1}B_{1}right]otimes cdots otimes left[A_{n}B_{n}right]=links[mathbf {AB} right].}$

Die Äquivalenzklasse

${displaystyle left[Pi ^{n}right]}$

bildet eine kommutative Gruppe unter Operation

${displaystyle ast}$

. Bedenke die

${displaystyle 2n}$

-dimensionaler Vektorraum

${displaystyle left(mathbb{Z}_{2}right)^{2n}=left{left(mathbf{z,x}right):mathbf{z} ,mathbf{ x} in left(mathbb{Z}_{2}right)^{n}right}.}$

Sie bildet die kommutative Gruppe

${displaystyle (left(mathbb{Z}_{2}right)^{2n},+)}$

mit Betrieb

${displaystyle +}$

definiert als binäre Vektoraddition. Wir verwenden die Notation

${displaystyle mathbf {u} =left(mathbf {z} |mathbf {x} right),mathbf {v} =left(mathbf {z} ^{prime}|mathbf { x} ^{prime}right)}$

beliebige Vektoren darstellen

${displaystylemathbf{u,v}inleft(mathbb{Z}_{2}right)^{2n}}$

bzw. Jeder Vektor

${displaystyle mathbf{z}}$

und

${displaystylemathbf{x}}$

hat Elemente

${displaystyle left(z_{1},ldots,z_{n}right)}$

und

${displaystyle left(x_{1},ldots,x_{n}right)}$

jeweils mit ähnlichen Darstellungen für

${displaystylemathbf{z}^{prime}}$

und

${displaystylemathbf{x}^{prime}}$

. Die symplektisches Produkt

${displaystyleodot}$

von

${displaystylemathbf{u}}$

und

${displaystylemathbf{v}}$

ist

${displaystyle mathbf {u} odot mathbf {vequiv} sum _{i=1}^{n}z_{i}x_{i}^{prime}-x_{i}z_{i }^{prime},}$

oder

${displaystyle mathbf {u} odot mathbf {vequiv} sum _{i=1}^{n}u_{i}odot v_{i},}$

wo

${displaystyle u_{i}=left(z_{i}|x_{i}right)}$

und

${displaystyle v_{i}=left(z_{i}^{prime}|x_{i}^{prime}right)}$

. Lass uns eine Karte definieren

${displaystyle mathbf{N} :left(mathbb{Z}_{2}right)^{2n}rightarrow Pi^{n}}$

wie folgt:

${displaystylemathbf{N}left(mathbf{u}right)equiv Nleft(u_{1}right)otimescdotsotimes Nleft(u_{n}right). }$

Lassen

${displaystyle mathbf {X} left(mathbf{x} right)equiv X^{x_{1}}otimes cdots otimes X^{x_{n}},,,, ,,,,mathbf {Z} left(mathbf {z} right)equiv Z^{z_{1}}otimes cdots otimes Z^{z_{n}},}$

so dass

${displaystylemathbf{N}left(mathbf{u}right)}$

und

${displaystyle mathbf {Z} left(mathbf {z} right)mathbf {X} left(mathbf {x} right)}$

gehören zur gleichen Äquivalenzklasse:

${displaystyle left[mathbf {N} left(mathbf {u} right)right]=links[mathbf {Z} left(mathbf {z} right)mathbf {X} left(mathbf {x} right)right].}$

Die Karte

${displaystyle left[mathbf {N} right]:left(mathbb{Z}_{2}right)^{2n}rightarrowleft[Pi ^{n}right]}$

ist ein Isomorphismus aus dem gleichen Grund wie im vorherigen Fall:

${displaystyle left[mathbf {N} left(mathbf {u+v} right)right]=links[mathbf {N} left(mathbf {u} right)right]links[mathbf {N} left(mathbf {v} right)right],}$

wo

${displaystylemathbf{u,v}inleft(mathbb{Z}_{2}right)^{2n}}$

. Das symplektische Produkt erfasst die Kommutierungsrelationen beliebiger Operatoren

${displaystylemathbf{N}left(mathbf{u}right)}$

und

${displaystylemathbf{N}left(mathbf{v}right)}$

:

${displaystyle mathbf {Nleft(mathbf {u} right)N} left(mathbf {v} right)=left(-1right)^{left(mathbf {u} odot mathbf {v} right)}mathbf {N} left(mathbf {v} right)mathbf {N} left(mathbf {u} right).}$

Die obige binäre Darstellung und symplektische Algebra sind nützlich, um die Beziehung zwischen der klassischen linearen Fehlerkorrektur und der Quantenfehlerkorrektur expliziter zu machen.

Wenn wir Quantenfehlerkorrekturcodes in dieser Sprache mit symplektischen Vektorräumen vergleichen, können wir Folgendes sehen. Ein symplektischer Unterraum entspricht einer direkten Summe von Pauli-Algebren (dh codierten Qubits), während ein isotroper Unterraum einem Satz von Stabilisatoren entspricht.

Beispiel für einen Stabilisatorcode[edit]

Ein Beispiel für einen Stabilisatorcode sind die fünf Qubits

${displaystyle left[[5,1,3right]]}$

Stabilisator-Code. Es kodiert

${displaystyle k=1}$

logisches Qubit in

${displaystyle n=5}$

physischen Qubits und schützt vor einem willkürlichen Einzel-Qubit-Fehler. Es hat Code-Distanz

${displaystyle d=3}$

. Sein Stabilisator besteht aus

${displaystyle nk=4}$

Pauli-Operatoren:

${displaystyle {begin{array}{ccccccc}g_{1}&=&X&Z&Z&X&I\g_{2}&=&I&X&Z&Z&X\g_{3}&=&X&I&X&Z&Z\g_{4}&=&Z&X&I&X&Zend{array }}}$

Die oben genannten Operatoren pendeln. Daher ist der Coderaum der simultane +1-Eigenraum der obigen Operatoren. Angenommen, im codierten Quantenregister tritt ein Einzel-Qubit-Fehler auf. Ein Einzel-Qubit-Fehler ist in der Menge

${displaystyle left{X_{i},Y_{i},Z_{i}right}}$

wo

${displaystyle A_{i}}$

bezeichnet einen Pauli-Fehler auf qubit

${displaystyle i}$

. Es ist einfach zu überprüfen, dass jeder beliebige Einzel-Qubit-Fehler ein einzigartiges Syndrom hat. Der Empfänger korrigiert jeden Einzel-Qubit-Fehler, indem er das Syndrom über eine Paritätsmessung identifiziert und eine Korrekturoperation anwendet.

Verweise[edit]

• D. Gottesman, “Stabilisatorcodes und Quantenfehlerkorrektur”, quant-ph/9705052, Caltech Ph.D. These. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
• Shor, Peter W. (1995-10-01). „Schema zur Verringerung der Dekohärenz im Quantencomputerspeicher“. Physische Überprüfung A. Amerikanische Physikalische Gesellschaft (APS). 52 (4): R2493–R2496. mach:10.1103/physreva.52.r2493. ISSN 1050-2947. PMID 9912632.
• Calderbank, AR; Shor, Peter W. (1996-08-01). „Es gibt gute quantenfehlerkorrigierende Codes“. Physische Überprüfung A. Amerikanische Physikalische Gesellschaft (APS). 54 (2): 1098-1105. arXiv:quant-ph/9512032. mach:10.1103/physreva.54.1098. ISSN 1050-2947. PMID 9913578. S2CID 11524969.
• Steane, AM (1996-07-29). „Fehlerkorrekturcodes in der Quantentheorie“. Physische Überprüfungsschreiben. Amerikanische Physikalische Gesellschaft (APS). 77 (5): 793–797. mach:10.1103/physrevlett.77.793. ISSN 0031-9007. PMID 10062908.
• A. Calderbank, E. Rains, P. Shor und N. Sloane, „Quantenfehlerkorrektur über Codes über GF(4)“, IEEE Trans. Inf. Theorie, Bd. 44, S. 1369–1387, 1998. Erhältlich unter https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006