Stabilisatorcode – Wikipedia
Die Theorie der Quantenfehlerkorrektur spielt eine herausragende Rolle bei der praktischen Realisierung und Entwicklung von Quantencomputing- und Quantenkommunikationsgeräten. Die ersten quantenfehlerkorrigierenden Codes ähneln in ihrer Funktionsweise und Leistungsfähigkeit klassischen Blockcodes auffallend. Quantenfehlerkorrigierende Codes stellen einen verrauschten, dekohärenten Quantenzustand in einen reinen Quantenzustand wieder her. Ein Stabilisator-Quantenfehlerkorrekturcode hängt Ancilla-Qubits an Qubits an, die wir schützen möchten. Eine unitäre Codierungsschaltung dreht den globalen Zustand in einen Unterraum eines größeren Hilbert-Raums. Dieser stark verschränkte, codierte Zustand korrigiert lokale verrauschte Fehler. Ein quantenfehlerkorrigierender Code macht Quantenberechnung und Quantenkommunikation praktisch, indem er einem Sender und Empfänger eine Möglichkeit bietet, einen rauschfreien Qubit-Kanal bei einem verrauschten Qubit-Kanal zu simulieren, dessen Rauschen einem bestimmten Fehlermodell entspricht.
Die Stabilisatortheorie der Quantenfehlerkorrektur erlaubt es, einige klassische binäre oder quaternäre Codes zur Verwendung als Quantencode zu importieren. Beim Importieren des klassischen Codes muss er jedoch die Bedingung der dualen Aufnahme (oder der Selbstorthogonalität) erfüllen. Forscher haben viele Beispiele für klassische Codes gefunden, die diese Einschränkung erfüllen, aber die meisten klassischen Codes tun dies nicht. Trotzdem ist es immer noch sinnvoll, klassische Codes auf diese Weise zu importieren (siehe jedoch, wie der verschränkungsunterstützte Stabilisatorformalismus diese Schwierigkeit überwindet).
Mathematischer Hintergrund[edit]
Der Stabilisatorformalismus nutzt Elemente der Pauli-Gruppe
bei der Formulierung von quantenfehlerkorrigierenden Codes. Der Satz
besteht aus den Pauli-Operatoren:
Die obigen Operatoren wirken auf ein einzelnes Qubit – einen Zustand, der durch einen Vektor in einem zweidimensionalen Hilbert-Raum dargestellt wird. Betreiber in
Eigenwerte haben
und entweder pendeln oder anti-pendeln. Der Satz
besteht aus
-fache Tensorprodukte von Pauli-Operatoren:
Elemente von
handeln auf einem Quantenregister von
Qubits. Im Folgenden lassen wir gelegentlich Tensorproduktsymbole weg, damit
Die
-falten Pauli Gruppe
spielt eine wichtige Rolle sowohl für die Codierschaltung als auch für das Fehlerkorrekturverfahren eines Quantenstabilisator-Codes über
Qubits.
Definition[edit]
Definieren wir an
Stabilisator Quantenfehlerkorrekturcode zu codieren
logische Qubits in
physikalische Qubits. Die Rate eines solchen Codes beträgt
. Sein Stabilisator
ist eine abelsche Untergruppe der
-falten Pauli Gruppe
.
enthält nicht den Operator
. Die gleichzeitige
-Eigenraum der Operatoren bildet den Coderaum. Der Coderaum hat Dimension
damit wir codieren können
Qubits hinein. Der Stabilisator
hat eine minimale Darstellung in Bezug auf
unabhängige Generatoren
Die Generatoren sind in dem Sinne unabhängig, dass keiner von ihnen ein Produkt von zwei anderen ist (bis auf eine globale Phase). Die Betreiber
funktioniert auf die gleiche Weise wie eine Paritätsprüfmatrix für einen klassischen linearen Blockcode.
Stabilisator-Fehlerkorrekturbedingungen[edit]
Einer der Grundbegriffe der Quantenfehlerkorrekturtheorie ist, dass es ausreicht, eine diskrete Fehlermenge mit Unterstützung in der Pauli-Gruppe zu korrigieren
. Angenommen, die Fehler, die einen kodierten Quantenzustand betreffen, sind eine Teilmenge
der Pauli-Gruppe
:
Weil
und
sind beide Teilmengen von
, ein Fehler
die einen kodierten Quantenzustand beeinflusst, kommutiert oder antikommutiert mit einem bestimmten Element
in
. Der Fehler
ist korrigierbar, wenn es mit einem Element antikommutiert
in
. Ein Antipendelfehler
ist durch Messung jedes Elements nachweisbar
in
und ein Syndrom berechnen
identifizieren
. Das Syndrom ist ein binärer Vektor
mit Länge
deren Elemente identifizieren, ob der Fehler
pendelt oder antipendelt mit jedem
. Ein Fehler
das pendelt mit jedem Element
in
ist genau dann korrigierbar, wenn es in . ist
. Es korrumpiert den kodierten Zustand, wenn es mit jedem Element von kommutiert
liegt aber nicht darin
. Daher fassen wir die Stabilisatorfehlerkorrekturbedingungen kompakt zusammen: Ein Stabilisatorcode kann alle Fehler korrigieren
in
wenn
oder
wo
ist der Zentralisierer von
(dh die Untergruppe der Elemente, die mit allen Mitgliedern von kommutieren
, auch Kommutant genannt).
Beziehung zwischen Pauli-Gruppe und binären Vektoren[edit]
Zwischen Elementen von existiert eine einfache, aber nützliche Zuordnung
und der binäre Vektorraum
. Diese Abbildung ergibt eine Vereinfachung der Quantenfehlerkorrekturtheorie. Es repräsentiert Quantencodes mit binären Vektoren und binären Operationen statt mit Pauli-Operatoren bzw. Matrixoperationen.
Wir geben zunächst die Abbildung für den Ein-Qubit-Fall an. Vermuten
ist eine Menge von Äquivalenzklassen eines Operators
die die gleiche Phase haben:
Lassen
sei die Menge der phasenfreien Pauli-Operatoren, wobei
. Definiere die Karte
wie
Vermuten
. Lassen Sie uns die Kurzschrift verwenden
und
wo
,
,
,
. Nehmen wir zum Beispiel an
. Dann
. Die Karte
induziert einen Isomorphismus
weil Addition von Vektoren in
entspricht der Multiplikation von Pauli-Operatoren bis zu einer globalen Phase:
Lassen
bezeichnen das symplektische Produkt zwischen zwei Elementen
:
Das symplektische Produkt
gibt die Kommutierungsrelationen von Elementen von
:
Das symplektische Produkt und das Mapping
geben somit eine nützliche Möglichkeit, Pauli-Beziehungen in Begriffen der binären Algebra zu formulieren. Die Erweiterung der obigen Definitionen und Abbildungen
auf mehrere Qubits ist einfach. Lassen
ein beliebiges Element von bezeichnen
. Ähnlich können wir das phasenfreie
-Qubit-Pauli-Gruppe
wo
Der Gruppenbetrieb
für die obige Äquivalenzklasse lautet wie folgt:
Die Äquivalenzklasse
bildet eine kommutative Gruppe unter Operation
. Bedenke die
-dimensionaler Vektorraum
Sie bildet die kommutative Gruppe
mit Betrieb
definiert als binäre Vektoraddition. Wir verwenden die Notation
beliebige Vektoren darstellen
bzw. Jeder Vektor
und
hat Elemente
und
jeweils mit ähnlichen Darstellungen für
und
. Die symplektisches Produkt
von
und
ist
oder
wo
und
. Lass uns eine Karte definieren
wie folgt:
Lassen
so dass
und
gehören zur gleichen Äquivalenzklasse:
Die Karte
ist ein Isomorphismus aus dem gleichen Grund wie im vorherigen Fall:
wo
. Das symplektische Produkt erfasst die Kommutierungsrelationen beliebiger Operatoren
und
:
Die obige binäre Darstellung und symplektische Algebra sind nützlich, um die Beziehung zwischen der klassischen linearen Fehlerkorrektur und der Quantenfehlerkorrektur expliziter zu machen.
Wenn wir Quantenfehlerkorrekturcodes in dieser Sprache mit symplektischen Vektorräumen vergleichen, können wir Folgendes sehen. Ein symplektischer Unterraum entspricht einer direkten Summe von Pauli-Algebren (dh codierten Qubits), während ein isotroper Unterraum einem Satz von Stabilisatoren entspricht.
Beispiel für einen Stabilisatorcode[edit]
Ein Beispiel für einen Stabilisatorcode sind die fünf Qubits
Stabilisator-Code. Es kodiert
logisches Qubit in
physischen Qubits und schützt vor einem willkürlichen Einzel-Qubit-Fehler. Es hat Code-Distanz
. Sein Stabilisator besteht aus
Pauli-Operatoren:
Die oben genannten Operatoren pendeln. Daher ist der Coderaum der simultane +1-Eigenraum der obigen Operatoren. Angenommen, im codierten Quantenregister tritt ein Einzel-Qubit-Fehler auf. Ein Einzel-Qubit-Fehler ist in der Menge
wo
bezeichnet einen Pauli-Fehler auf qubit
. Es ist einfach zu überprüfen, dass jeder beliebige Einzel-Qubit-Fehler ein einzigartiges Syndrom hat. Der Empfänger korrigiert jeden Einzel-Qubit-Fehler, indem er das Syndrom über eine Paritätsmessung identifiziert und eine Korrekturoperation anwendet.
Verweise[edit]
- D. Gottesman, “Stabilisatorcodes und Quantenfehlerkorrektur”, quant-ph/9705052, Caltech Ph.D. These. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
- Shor, Peter W. (1995-10-01). „Schema zur Verringerung der Dekohärenz im Quantencomputerspeicher“. Physische Überprüfung A. Amerikanische Physikalische Gesellschaft (APS). 52 (4): R2493–R2496. mach:10.1103/physreva.52.r2493. ISSN 1050-2947. PMID 9912632.
- Calderbank, AR; Shor, Peter W. (1996-08-01). „Es gibt gute quantenfehlerkorrigierende Codes“. Physische Überprüfung A. Amerikanische Physikalische Gesellschaft (APS). 54 (2): 1098-1105. arXiv:quant-ph/9512032. mach:10.1103/physreva.54.1098. ISSN 1050-2947. PMID 9913578. S2CID 11524969.
- Steane, AM (1996-07-29). „Fehlerkorrekturcodes in der Quantentheorie“. Physische Überprüfungsschreiben. Amerikanische Physikalische Gesellschaft (APS). 77 (5): 793–797. mach:10.1103/physrevlett.77.793. ISSN 0031-9007. PMID 10062908.
- A. Calderbank, E. Rains, P. Shor und N. Sloane, „Quantenfehlerkorrektur über Codes über GF(4)“, IEEE Trans. Inf. Theorie, Bd. 44, S. 1369–1387, 1998. Erhältlich unter https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006
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