Zeichen (Mathematik) – Wikipedia

In der Mathematik ist die Unterschrift einer reellen Zahl ist ihre Eigenschaft, entweder positiv, negativ oder null zu sein. Abhängig von lokalen Konventionen kann Null weder als positiv noch als negativ angesehen werden (kein Vorzeichen oder ein einzigartiges drittes Vorzeichen haben) oder es kann sowohl als positiv als auch negativ (mit beiden Vorzeichen) betrachtet werden.^{[citation needed]} Wenn nicht ausdrücklich erwähnt, hält sich dieser Artikel an die erste Konvention.

In manchen Kontexten ist es sinnvoll, eine vorzeichenbehaftete Null zu berücksichtigen (z. B. Gleitkommadarstellungen reeller Zahlen in Computern). In der Mathematik und Physik ist der Ausdruck “Vorzeichenwechsel” mit der Erzeugung der additiven Umkehrung (Negation oder Multiplikation mit −1) eines beliebigen Objekts verbunden, das diese Konstruktion zulässt, und ist nicht auf reelle Zahlen beschränkt. Sie gilt unter anderem für Vektoren, Matrizen und komplexe Zahlen, die nicht nur positiv, negativ oder null sein sollen. Das Wort “Zeichen” wird auch oft verwendet, um andere binäre Aspekte mathematischer Objekte anzugeben, die Positivität und Negativität ähneln, wie ungerade und gerade (Vorzeichen einer Permutation), Orientierungs- oder Rotationssinn (cw/ccw), einseitige Grenzen, und andere Konzepte, die in § Andere Bedeutungen unten beschrieben sind.

Zeichen einer Zahl[edit]

Zahlen aus verschiedenen Zahlensystemen, wie ganze Zahlen, rationale Zahlen, komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktonionen, … können mehrere Attribute haben, die bestimmte Eigenschaften einer Zahl festlegen. Trägt ein Zahlensystem die Struktur eines geordneten Rings, zum Beispiel die ganzen Zahlen, muss es eine Zahl enthalten, die beim Hinzufügen keine Zahl ändert (ein additives Identitätselement). Diese Zahl wird allgemein als . bezeichnet 0. Wegen der Gesamtordnung in diesem Ring gibt es Zahlen größer als Null, genannt positiv Zahlen. Für andere Eigenschaften, die innerhalb eines Rings erforderlich sind, gibt es für jede solche positive Zahl eine Zahl kleiner als 0 was, wenn es zur positiven Zahl addiert wird, das Ergebnis ergibt 0. Diese Zahlen kleiner als 0 heißen die Negativ Zahlen. Die Zahlen in jedem dieser Paare sind ihre jeweiligen additiven Umkehrungen. Dieses Attribut einer Zahl ist ausschließlich entweder Null (0), positiv (+), oder Negativ (−), heißt es Unterschrift, und wird oft in die reellen Zahlen kodiert 0, 1, und −1, (ähnlich wie die Vorzeichenfunktion definiert ist).^[1] Da rationale und reelle Zahlen auch geordnete Ringe (gerade Körper) sind, teilen diese Zahlensysteme das Gleiche Unterschrift Attribut.

Während in der Arithmetik ein Minuszeichen normalerweise als Darstellung der binären Subtraktionsoperation angesehen wird, wird es in der Algebra normalerweise als Darstellung der einären Operation angesehen, die die additive Inverse ergibt (manchmal auch als bezeichnet). Negation) des Operanden. Während 0 ist seine eigene additive Inverse (−0 = 0), die additive Umkehrung einer positiven Zahl ist negativ und die additive Umkehrung einer negativen Zahl ist positiv. Eine doppelte Anwendung dieser Operation wird geschrieben als −(−3) = 3. Das Pluszeichen wird in der Algebra überwiegend verwendet, um die binäre Additionsoperation zu kennzeichnen, und nur selten, um die Positivität eines Ausdrucks hervorzuheben.

In der üblichen Zahlennotation (in der Arithmetik und anderswo verwendet) wird das Vorzeichen einer Zahl oft explizit gemacht, indem ein Plus- oder Minuszeichen vor die Zahl gestellt wird. Beispielsweise, +3 bezeichnet “positive drei”, und -3 bezeichnet “negative drei” (algebraisch: die additive Umkehrung von 3). Ohne spezifischen Kontext (oder wenn kein explizites Vorzeichen angegeben ist) wird eine Zahl standardmäßig als positiv interpretiert. Diese Notation stellt eine starke Assoziation des Minuszeichens “−” bei negativen Zahlen und das Pluszeichen “+” bei positiven Zahlen.

Nullzeichen[edit]

Innerhalb der Konvention, dass Null weder positiv noch negativ ist, ist ein bestimmter Vorzeichenwert 0 kann dem Zahlenwert zugeordnet werden 0. Dies wird in der ausgenutzt

sgn{displaystyle operatorname {sgn}}

-Funktion, wie für reelle Zahlen definiert.^[1] In der Arithmetik, +0 und -0 beide bezeichnen dieselbe Zahl 0. Es besteht grundsätzlich keine Verwechslungsgefahr für den Wert mit seinem Vorzeichen, obwohl die Konvention, beide Vorzeichen zu 0 lässt diese Diskriminierung nicht sofort zu.

In manchen Kontexten, insbesondere in der Informatik, ist es nützlich, vorzeichenbehaftete Versionen von Nullen zu berücksichtigen, wobei Nullen mit Vorzeichen auf verschiedene diskrete Zahlendarstellungen verweisen (weitere Informationen finden Sie unter Darstellungen von vorzeichenbehafteten Zahlen).

Die Symbole +0 und -0 erscheinen selten als Ersatz für 0⁺ und 0⁻, in der Analysis und mathematischen Analyse für einseitige Grenzen (rechtsseitige Grenze bzw. linksseitige Grenze) verwendet. Diese Notation bezieht sich auf das Verhalten einer Funktion, wenn sich ihre reale Eingangsvariable annähert 0 entlang positiver (bzw. negativer) Werte; die beiden Grenzen müssen nicht existieren oder übereinstimmen.

Terminologie für Zeichen[edit]

Wann 0 weder positiv noch negativ ist, können sich die folgenden Sätze auf das Vorzeichen einer Zahl beziehen:

• Eine Zahl ist positiv wenn es größer als null ist.
• Eine Zahl ist Negativ wenn es kleiner als null ist.
• Eine Zahl ist nicht negativ wenn es größer oder gleich Null ist.
• Eine Zahl ist nicht positiv wenn es kleiner oder gleich Null ist.

Wann 0 sowohl positiv als auch negativ sein soll, werden modifizierte Phrasen verwendet, um sich auf das Vorzeichen einer Zahl zu beziehen:

• Eine Zahl ist strikt positiv wenn es größer als null ist.
• Eine Zahl ist streng negativ wenn es kleiner als null ist.
• Eine Zahl ist positiv wenn es größer oder gleich Null ist.
• Eine Zahl ist Negativ wenn es kleiner oder gleich Null ist.

Zum Beispiel ist der Absolutwert einer reellen Zahl immer “nicht negativ”, aber in der ersten Interpretation nicht unbedingt “positiv”, während er in der zweiten Interpretation “positiv” genannt wird – wenn auch nicht unbedingt “streng positiv”. .

Dieselbe Terminologie wird manchmal für Funktionen verwendet, die reelle oder andere vorzeichenbehaftete Werte liefern. Zum Beispiel würde eine Funktion a . heißen positive Funktion wenn seine Werte für alle Argumente seines Bereichs positiv sind, oder a nicht negative Funktion wenn alle seine Werte nicht negativ sind.

Komplexe Zahlen[edit]

Komplexe Zahlen lassen sich nicht ordnen, können also nicht die Struktur eines geordneten Rings tragen und können dementsprechend nicht in positive und negative komplexe Zahlen unterteilt werden. Sie teilen jedoch mit den Reals ein Attribut, das als bezeichnet wird absoluter Wert oder Größe. Beträge sind immer nicht-negative reelle Zahlen, und zu jeder von Null verschiedenen Zahl gehört eine positive reelle Zahl, ihr absoluter Wert.

Zum Beispiel der Absolutwert von -3 und der absolute Wert von 3 sind beide gleich 3. Dies wird in Symbolen geschrieben als |-3| = 3 und |3| = 3.

Im Allgemeinen kann jeder beliebige reelle Wert durch seinen Betrag und sein Vorzeichen angegeben werden. Bei der Standardcodierung wird jeder reelle Wert durch das Produkt aus Betrag und Vorzeichen in der Standardcodierung angegeben. Diese Beziehung kann verallgemeinert werden, um a . zu definieren Unterschrift für komplexe Zahlen.

Da sowohl die reellen als auch die komplexen Zahlen einen Körper bilden und die positiven reellen Zahlen enthalten, enthalten sie auch die Kehrwerte der Beträge aller von Null verschiedenen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede Zahl ungleich Null mit dem Kehrwert ihrer Größe multipliziert, dh durch ihre Größe dividiert werden kann. Es ist unmittelbar, dass der Quotient einer beliebigen reellen Zahl ungleich Null durch ihre Größe genau ihr Vorzeichen ergibt. Analog dazu ist die Vorzeichen einer komplexen Zahl z kann als Quotient definiert werden von z und sein Größe |z|. Da der Betrag der komplexen Zahl aufgeteilt, das resultierende Vorzeichen der komplexen Zahl repräsentiert in gewisser Weise ihr komplexes Argument. Dies ist mit dem Vorzeichen reeller Zahlen zu vergleichen, außer mit

eichπ=−1.{displaystyle e^{ipi}=-1.}

Zur Definition einer komplexen Vorzeichenfunktion. siehe § Komplexe Vorzeichenfunktion unten.

Zeichenfunktionen[edit]

Beim Umgang mit Zahlen ist es oft praktisch, deren Vorzeichen als Zahl zur Verfügung zu haben. Dies wird durch Funktionen erreicht, die das Vorzeichen einer beliebigen Zahl extrahieren und auf einen vordefinierten Wert abbilden, bevor sie für weitere Berechnungen zur Verfügung gestellt werden. Beispielsweise kann es von Vorteil sein, einen komplizierten Algorithmus nur für positive Werte zu formulieren und sich erst danach um das Vorzeichen zu kümmern.

Echtzeichenfunktion[edit]

Der Vorzeichenfunktion oder Signum-Funktion extrahiert das Vorzeichen einer reellen Zahl, indem die Menge der reellen Zahlen auf die Menge der drei reellen Zahlen abgebildet wird

{−1,0,1}.{displaystyle {-1,;0,;1}.}

Es kann wie folgt definiert werden:^[1]

sgn:R→{−1,0,1}{displaystyle operatorname {sgn} :mathbb {R} to {-1,0,1}}

x↦sgn⁡(x)={−1wenn x<0, 0wenn x=0, 1wenn x>0.{displaystyle xmapsto operatorname {sgn}(x)={begin{cases}-1&{text{if }}x<0,\~~,0&{text{if }}x=0,\~~,1&{text{if }}x>0.end{Fälle}}}

sgn(x) ist 1, wenn x ist positiv, und sgn(x) ist −1 wenn x ist negativ. Für Werte ungleich Null von x, kann diese Funktion auch durch die Formel definiert werden

sgn⁡(x)=x|x|=|x|x,{displaystyle operatorname {sgn}(x)={frac {x}{|x|}}={frac {|x|}{x}},}

wo |x| ist der absolute Wert von x.

Komplexe Vorzeichenfunktion[edit]

Während eine reelle Zahl eine 1-dimensionale Richtung hat, hat eine komplexe Zahl eine 2-dimensionale Richtung. Die komplexe Vorzeichenfunktion benötigt die Größe ihres Arguments z = x + iy, was berechnet werden kann als

|z|=zz¯=x2+ja2.{displaystyle |z|={sqrt {z{bar {z}}}}={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Analog zu oben ist die komplexe Vorzeichenfunktion extrahiert das komplexe Vorzeichen einer komplexen Zahl, indem die Menge der komplexen Zahlen ungleich Null auf die Menge der unimodularen komplexen Zahlen abgebildet wird, und 0 zu 0:

{z∈C:|z|=1}∪{0}.{displaystyle {zinmathbb{C} :|z|=1}cup {0}.}

Es kann wie folgt definiert werden:

Lassen z auch durch seine Größe und eines seiner Argumente ausgedrückt werden φ wie z = |z|⋅e^ich, dann^[2]

sgn⁡(z)={0Pro z=0z|z|=eichφansonsten.{displaystyle operatorname {sgn}(z)={begin{cases}0&{text{for }}z=0\displaystyle {frac {z}{|z|}}=e^{i varphi }&{text{sonst}}.end{cases}}}

Diese Definition kann auch als normalisierter Vektor erkannt werden, dh als Vektor, dessen Richtung unverändert ist und dessen Länge auf Eins festgelegt ist. Wenn der ursprüngliche Wert R,θ in Polarform war, dann ist sign(R, θ) 1 θ. Die Erweiterung von sign() oder signum() auf beliebig viele Dimensionen ist offensichtlich, wurde aber bereits als Normierung eines Vektors definiert.

Schilder pro Konvention[edit]

In Situationen, in denen es für ein Attribut genau zwei gleichberechtigte Möglichkeiten gibt, werden diese oft per Konvention als . bezeichnet Plus und Minus-, bzw. In manchen Kontexten ist die Wahl dieser Zuweisung (dh welcher Wertebereich als positiv und welcher als negativ angesehen wird) natürlich, während in anderen Kontexten die Wahl willkürlich ist, was eine explizite Vorzeichenkonvention erforderlich macht, die einzige Voraussetzung ist die konsequente Verwendung von Das Treffen.

Vorzeichen eines Winkels[edit]

In vielen Zusammenhängen ist es üblich, einem Winkelmaß, insbesondere einem orientierten Winkel oder einem Drehwinkel, ein Vorzeichen zuzuordnen. In einer solchen Situation zeigt das Vorzeichen an, ob der Winkel im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn verläuft. Obwohl verschiedene Konventionen verwendet werden können, ist es in der Mathematik üblich, Winkel gegen den Uhrzeigersinn als positiv und Winkel im Uhrzeigersinn als negativ zu zählen.^[3]

Es ist auch möglich, einem Drehwinkel in drei Dimensionen ein Vorzeichen zuzuordnen, vorausgesetzt, die Drehachse wurde ausgerichtet. Insbesondere zählt eine rechtshändige Drehung um eine orientierte Achse typischerweise als positiv, während eine linkshändige Drehung als negativ zählt.

Zeichen einer Veränderung[edit]

Wenn eine Menge x ändert sich im Laufe der Zeit, die Änderung des Wertes von x wird typischerweise durch die Gleichung definiert

Δx=xFinale−xInitial.{displaystyle Delta x=x_{text{final}}-x_{text{initial}}.}

Unter Verwendung dieser Konvention wird eine Erhöhung der x gilt als positive Veränderung, während eine Abnahme von x gilt als negative Veränderung. In der Infinitesimalrechnung wird dieselbe Konvention bei der Definition der Ableitung verwendet. Als Ergebnis hat jede ansteigende Funktion eine positive Ableitung, während jede abnehmende Funktion eine negative Ableitung hat.

Wegweiser[edit]

In der analytischen Geometrie und Physik ist es üblich, bestimmte Richtungen als positiv oder negativ zu bezeichnen. Als einfaches Beispiel wird der Zahlenstrahl normalerweise mit positiven Zahlen rechts und negativen Zahlen links gezeichnet:

Daher wird bei der Diskussion über lineare Bewegung, Verschiebung oder Geschwindigkeit eine Bewegung nach rechts normalerweise als positiv angesehen, während eine ähnliche Bewegung nach links als negativ angesehen wird.

Auf der kartesischen Ebene werden die Richtungen nach rechts und nach oben normalerweise als positiv angesehen, wobei rechts positiv ist x-Richtung, und nach oben ist das Positive ja-Richtung. Wenn ein Verschiebungs- oder Geschwindigkeitsvektor in seine Vektorkomponenten zerlegt wird, ist der horizontale Teil positiv für eine Bewegung nach rechts und negativ für eine Bewegung nach links, während der vertikale Teil positiv für eine Bewegung nach oben und negativ für eine Bewegung nach unten ist.

Signedness in der Informatik[edit]

höchstwertiges Bit
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	-1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	-2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	-128
Die meisten Computer verwenden das Zweierkomplement, um das Vorzeichen einer ganzen Zahl darzustellen.

Bei der Berechnung kann ein ganzzahliger Wert entweder mit Vorzeichen oder ohne Vorzeichen sein, je nachdem, ob der Computer ein Vorzeichen für die Zahl verfolgt. Indem eine Integer-Variable nur auf nicht negative Werte beschränkt wird, kann ein weiteres Bit zum Speichern des Werts einer Zahl verwendet werden. Aufgrund der Art und Weise, wie ganzzahlige Arithmetik in Computern durchgeführt wird, speichern vorzeichenbehaftete Zahlendarstellungen normalerweise das Vorzeichen nicht als einzelnes unabhängiges Bit, sondern verwenden beispielsweise das Zweierkomplement.

Im Gegensatz dazu werden reelle Zahlen als Gleitkommawerte gespeichert und manipuliert. Die Gleitkommawerte werden mit drei separaten Werten dargestellt, Mantisse, Exponent und Vorzeichen. Mit diesem separaten Vorzeichenbit ist es möglich, sowohl positive als auch negative Null darzustellen. Die meisten Programmiersprachen behandeln normalerweise positive Nullen und negative Nullen als gleichwertige Werte, obwohl sie Mittel zur Verfügung stellen, mit denen die Unterscheidung erkannt werden kann.

Andere Bedeutungen[edit]

Neben dem Vorzeichen einer reellen Zahl wird das Wortzeichen auch in der Mathematik und anderen Wissenschaften auf verschiedene Weise verwendet:

• Wörter bis zum unterschreiben bedeuten, dass für eine Menge Q, es ist bekannt, dass entweder Q = Q oder Q = −Q ganz bestimmt Q. Es wird oft ausgedrückt als Q = ±Q. Für reelle Zahlen bedeutet dies, dass nur der Absolutwert |Q| der Menge ist bekannt. Für komplexe Zahlen und Vektoren ist eine bis zum Vorzeichen bekannte Größe eine stärkere Bedingung als eine Größe mit bekannter Größe: beiseite Q und −Q, es gibt viele andere mögliche Werte von Q so dass |Q| = |Q|.
• Das Vorzeichen einer Permutation ist positiv, wenn die Permutation gerade ist, und negativ, wenn die Permutation ungerade ist.
• In der Graphentheorie ist ein Graph mit Vorzeichen ein Graph, bei dem jede Kante mit einem positiven oder negativen Vorzeichen markiert wurde.
• In der mathematischen Analyse ist ein Maß mit Vorzeichen eine Verallgemeinerung des Maßkonzepts, bei dem das Maß einer Menge positive oder negative Werte haben kann.
• In einer Zifferndarstellung mit Vorzeichen kann jede Ziffer einer Zahl ein positives oder negatives Vorzeichen haben.
• Die Begriffe Vorzeichenbereich und Vorzeichenvolumen werden manchmal verwendet, wenn es für bestimmte Bereiche oder Volumina zweckmäßig ist, als negativ zu zählen. Dies gilt insbesondere für die Determinantentheorie. In einem (abstrakt) orientierten Vektorraum kann jede geordnete Basis für den Vektorraum entweder als positiv oder negativ orientiert klassifiziert werden.
• In der Physik hat jede elektrische Ladung ein positives oder negatives Vorzeichen. Konventionell ist eine positive Ladung eine Ladung mit dem gleichen Vorzeichen wie die eines Protons und eine negative Ladung eine Ladung mit dem gleichen Vorzeichen wie die eines Elektrons.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]