Householdertransformation – Wikipedia
In der Mathematik beschreibt die Householdertransformation die Spiegelung eines Vektors an einer Hyperebene durch Null im euklidischen Raum. Im dreidimensionalen Raum ist sie somit eine Spiegelung an einer Ebene (durch den Ursprung). Die Darstellung dieser linearen Abbildung durch eine Matrix wird als Householder-Matrix bezeichnet. Verwendung findet sie vor allem in der numerischen Mathematik, wenn mittels orthogonaler Transformationen Matrizen so gezielt umgeformt werden, dass bestimmte Spaltenvektoren auf das Vielfache des ersten Einheitsvektors abgebildet werden, insbesondere beim QR-Verfahren und der QR-Zerlegung.
Die Householdertransformation wurde 1958 durch den amerikanischen Mathematiker Alston Scott Householder eingeführt.
Die Spiegel-Hyperebene kann durch einen Normalenvektor
v{displaystyle v}v{displaystyle v} , also einen Vektor, der orthogonal zur Hyperebene ist, definiert werden. Ist
I{displaystyle I} als Spaltenvektor gegeben und
die Einheitsmatrix, dann wird die oben beschriebene lineare Abbildung durch die folgende Matrix dargestellt:
Dabei bezeichnet
vT{displaystyle v^{T}}v{displaystyle v} die Transponierte des Spaltenvektors
Der Nenner
v{displaystyle v} ist das Skalarprodukt von
vvT{displaystyle vv^{T}} mit sich selbst,
1vTvvvT{displaystyle {tfrac {1}{v^{T}v}}vv^{T}} das dyadische Produkt. Die Matrix
v{displaystyle v} beschreibt die Orthogonalprojektion auf die durch
Ist
vTv=1{displaystyle v^{T}v=1} auf die Länge eins normiert, also
, so vereinfacht sich die Formel zu
- H=I−2vvT.{displaystyle H=I-2vv^{T}.}
Die Spiegelungseigenschaft ersieht man daraus, dass
- Hx=x−2vvTx=x−2⟨v,x⟩v=(x−⟨v,x⟩v)−⟨v,x⟩v{displaystyle Hx=x-2vv^{T}x=x-2langle v,,xrangle ,v=(x-langle v,,xrangle ,v)-langle v,,xrangle ,v} ,
wobei
⟨⋅,⋅⟩{displaystyle langle cdot ,cdot rangle }⟨v,x⟩{displaystyle langle v,,xrangle } das Standardskalarprodukt bezeichnet. Der Term
x{displaystyle x} entspricht dabei dem Abstand des Punktes
v⊥{displaystyle v^{perp }} zur Hyperebene
x{displaystyle x} . Der Vektor
v{displaystyle v} wird also in zwei zueinander orthogonale Anteile zerlegt, wobei der erste Anteil in der Hyperebene liegt und der zweite ein Vielfaches des Vektors
v{displaystyle v} ist. Unter der Spiegelung wird der Anteil in der Ebene invariant gelassen, der Anteil in Richtung
, also senkrecht zur Ebene, wird „umgeklappt“, also nun abgezogen statt addiert.
Die Householder-Matrix hat folgende Eigenschaften:
Es sei ein Vektor
a{displaystyle a}e{displaystyle e} gegeben, der auf ein Vielfaches des Vektors
v{displaystyle v} gespiegelt werden soll, das heißt, gesucht ist ein Einheitsvektor
Hv=I−2vvT{displaystyle H_{v}=I-2vv^{T}} , so dass mit der zugehörigen Householder-Matrix
Hva=λe{displaystyle H_{v}a=lambda e} gilt
v{displaystyle v} . Geometrisch ist der Vektor
a{displaystyle a} die Richtung einer der zwei Winkelhalbierenden der Geraden in Richtung
e{displaystyle e} und in Richtung
v{displaystyle v} . Die Winkelhalbierende ergibt sich, indem man auf beiden Geraden Punkte mit demselben Abstand zum Nullpunkt wählt und auf der Verbindungsstrecke dieser zwei Punkte den Mittelpunkt konstruiert. Die Gerade durch Nullpunkt und Mittelpunkt hat dann die gesuchte Richtung
v{displaystyle v} , der Vektor
a{displaystyle a} selbst ergibt sich durch Normieren dieser Richtung. Die zweite Winkelhalbierende ergibt sich, indem die Konstruktion ausgehend von
−e{displaystyle -e} und
durchgeführt wird.
Der Einfachheit halber sei
e{displaystyle e}‖e‖=1{displaystyle |e|=1} normiert,
λ=±‖a‖{displaystyle lambda =pm |a|} . Dann muss, wegen der Orthogonalität der Spiegelung,
v{displaystyle v} gelten. Der gesuchte Spiegelungsvektor
12(a−λe){displaystyle {tfrac {1}{2}}(a-lambda ,e)} ergibt sich nun durch Normieren des Differenzvektors
, also
- v=a−λe‖a−λe‖{displaystyle v={frac {a-lambda ,e}{|a-lambda ,e|}}} .
Beide Vorzeichenvarianten führen zum gewünschten Ergebnis (sofern der Nenner von Null verschieden ist). Aus Gründen numerischer Stabilität wird das Vorzeichen von
λ{displaystyle lambda }λ⋅⟨a,e⟩≤0{displaystyle lambda cdot langle a,,erangle leq 0} so gewählt, dass der Nenner am größten ist, also
gilt.
In der Probe ergibt sich
- Hva=a−2v⟨v,a⟩=a−2(a−λe)‖a‖2−λ⟨e,a⟩‖a‖2−2λ⟨a,e⟩+λ2‖e‖2=a−2(a−λe)‖a‖2−λ⟨e,a⟩‖a‖2−2λ⟨a,e⟩+‖a‖2=λe{displaystyle {begin{aligned}H_{v}a=&a-2vlangle v,arangle \[0.5em]=&a-2,(a-lambda e),{frac {|a|^{2}-lambda langle e,arangle }{|a|^{2}-2lambda langle a,erangle +lambda ^{2}|e|^{2}}}\[0.8em]=&a-2,(a-lambda e),{frac {|a|^{2}-lambda langle e,arangle }{|a|^{2}-2lambda langle a,erangle +|a|^{2}}}\[0.5em]=&lambda e\[0.5em]end{aligned}}}
Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Am häufigsten wird der Fall betrachtet, in dem
e=e1{displaystyle e=e_{1}}a=(a1,a¯){displaystyle a=(a_{1},{bar {a}})} der erste kanonische Basisvektor ist. Sei
‖a‖=|a1|2+‖a¯‖2{displaystyle |a|={sqrt {|a_{1}|^{2}+|{bar {a}}|^{2}}}} in erste Komponente und Restvektor zerlegt. Dann gilt für die Norm
λ{displaystyle lambda } . Als Vorzeichen von
−a1{displaystyle -a_{1}} ist das Vorzeichen von
zu wählen, die Richtung der Spiegelung ist dann
- v−λe1=a+sign(a1)‖a‖e1=(sign(a1)(|a1|+‖a‖),a¯){displaystyle v-lambda e_{1}=a+operatorname {sign} (a_{1}),|a|e_{1}={Bigl (}operatorname {sign} (a_{1}),(|a_{1}|+|a|),;{bar {a}}{Bigr )}} .
Dabei ist
sign(a1):={1füra1≥0,−1füra1<0.{displaystyle operatorname {sign} (a_{1}):={begin{cases}1&quad {text{für}}quad a_{1}geq 0,\-1&quad {text{für}}quad a_{1}<0.end{cases}}}
Der Vektor
v{displaystyle v}entsteht durch Normierung dieser Richtung. Nach Umformen stellt sich die Norm der Richtung als
- ‖a−λe1‖=2‖a‖(‖a‖+|a1|){displaystyle |a-lambda e_{1}|={sqrt {2,|a|,(|a|+|a_{1}|)}}}
dar, wobei in dieser Form nur bereits berechnete Zwischenergebnisse benutzt werden. In der unnormierten Variante der Spiegelung ergeben sich weitere Einsparungen an Rechenschritten.
Householder-Spiegelungen können zur stabilen Berechnung von QR-Zerlegungen einer Matrix
A=QR∈Rm×n{displaystyle A=QRin mathbb {R} ^{mtimes n}}H1{displaystyle H_{1}} verwendet werden, indem zunächst die erste Spalte der Matrix mit einer Spiegelung
auf das Vielfache des ersten Einheitsvektors gespiegelt wird, wie im letzten Abschnitt erläutert (jetzt bezeichnet der Index aber die Nummer der Spiegelung).
Danach behandelt man
H1A{displaystyle H_{1}A}H2{displaystyle H_{2}} mit einer Spiegelung
i{displaystyle i} analog, wobei die Spiegelung so konstruiert wird, dass erste Zeile und Spalte von der Transformation unberührt bleiben. Dies wird erreicht, indem die erste Komponente des Spiegelungsvektors zu Null gesetzt wird. Zur Bestimmung des dritten Schrittes geht analog nur die Hauptuntermatrix unter dem dritten Diagonalelement ein, der Spiegelungsvektor ist Null in den ersten zwei Komponenten etc. Im
(i,i){displaystyle (i,i)} -ten Schritt wird also die Untermatrix unter der Position
Ai=Hi−1⋯H1A{displaystyle A_{i}=H_{i-1}cdots H_{1}A} des Produkts
Hn⋯H2H1A=R{displaystyle H_{n}cdots H_{2}H_{1}A=R} auf die gleiche Art reduziert, bis die Restmatrix
m=n{displaystyle m=n} Dreiecksgestalt besitzt. (Im Fall
n−1{displaystyle n-1} genügen
Schritte, da die letzte Spalte nicht mehr transformiert werden muss.)
Mit
QT=Hn⋯H2H1{displaystyle Q^{T}=H_{n}cdots H_{2}H_{1}}QTA=R{displaystyle Q^{T}A=R} gilt
, also ergibt sich die QR-Zerlegung
- A=QR{displaystyle A=QR}
mit
- Q=(Hn⋯H2H1)T=H1H2⋯Hn∈Rm×m,R=(R10)∈Rm×n.{displaystyle Q=(H_{n}cdots H_{2}H_{1})^{T}=H_{1}H_{2}cdots H_{n}in mathbb {R} ^{mtimes m},quad quad R={begin{pmatrix}R_{1}\0end{pmatrix}}in mathbb {R} ^{mtimes n}.}
Man beachte, dass
Q{displaystyle Q}Q{displaystyle Q} hier eine quadratische Matrix ist. Meist werden die Matrizen
QT{displaystyle Q^{T}} bzw.
vi{displaystyle v_{i}} nicht explizit berechnet, sondern man nutzt direkt die Produktform. Dazu werden die Spiegelvektoren
Hi=Hvi{displaystyle H_{i}=H_{v_{i}}} von
A{displaystyle A} im frei gewordenen Platz der Matrix
gespeichert.
Die Zahl der Operationen für die QR-Zerlegung einer Matrix
A=QR∈Rm×n,m≥n{displaystyle A=QRin mathbb {R} ^{mtimes n},{mgeq n}}mit dem Householder-Verfahren beträgt:
- m≫n2n2⋅mm≈n43n3{displaystyle {begin{matrix}{mgg n}&qquad &{2n^{2}cdot m}\{mapprox n}&qquad &{{4 over 3}n^{3}}end{matrix}}}
Pseudocode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Da für die meisten Berechnungen das explizite Ausrechnen von
Q{displaystyle Q}R{displaystyle R} nicht nötig ist, reicht es, nur die Matrix
z{displaystyle z} zu berechnen.
A{displaystyle A} ist die linke Spalte der jeweiligen Untermatrix. Bei der unten angegebenen Funktion wird das Ergebnis direkt in
R{displaystyle R} geschrieben, so dass nach Abarbeitung des Algorithmus das
A{displaystyle A} in
R=A{displaystyle R=A} steht. Die Zeile
könnte also auch weggelassen werden.
function GetR(A) for k=1…n z=A(k…m,k)
uk=z uk(1)+=sign(z(1))*norm(z) uk=uk/norm(uk)
vk=zeros(m) vk(k…m)= uk
A=A-(2*vk)*(vk'*A)
R=A return R
Sollte
Q{displaystyle Q}dennoch benötigt werden, lässt sich das obere Beispiel einfach erweitern:
function GetR(A) Q=eye(m) for k=1…n z=A(k…m,k)
uk=z uk(1)+=sign(z(1))*norm(z) uk=uk/norm(uk)
vk=zeros(m) vk(k…m)= uk
A=A-(2*vk)*(vk'*A) Q=Q-Q*vk*(2*vk')
R=A return R
- Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations. 2nd Edition. The Johns Hopkins University Press, 1989.
- Gerhard Opfer: Numerische Mathematik für Anfänger. Eine Einführung für Mathematiker, Ingenieure und Informatiker, 5. Aufl., Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0413-6
- Martin Hermann: Numerische Mathematik, Band 1: Algebraische Probleme. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage, Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020, ISBN 978-3-11-065665-7.
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