Messung in der Quantenmechanik – Wikipedia

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Interaktion eines Quantensystems mit einem klassischen Beobachter

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In der Quantenphysik a Messung ist das Testen oder Manipulieren eines physikalischen Systems, um ein numerisches Ergebnis zu erhalten. Die Vorhersagen der Quantenphysik sind im Allgemeinen probabilistisch. Die mathematischen Werkzeuge zur Vorhersage, welche Messergebnisse auftreten können, wurden im 20. Jahrhundert entwickelt und verwenden lineare Algebra und Funktionsanalyse.

Die Quantenphysik hat sich als empirischer Erfolg erwiesen und ist weitreichend anwendbar. Auf einer philosophischeren Ebene werden jedoch weiterhin Debatten über die Bedeutung des Messkonzepts geführt.

Mathematischer Formalismus[edit]

“Observables” als selbstadjunkte Operatoren[edit]

In der Quantenmechanik ist jedes physikalische System einem Hilbert-Raum zugeordnet. Der von John von Neumann kodifizierte Ansatz stellt eine Messung an einem physikalischen System durch einen selbstadjunkten Operator in diesem Hilbert-Raum dar, der als “beobachtbar” bezeichnet wird.[1]::17 Diese Observablen spielen die Rolle messbarer Größen, die aus der klassischen Physik bekannt sind: Position, Impuls, Energie, Drehimpuls und so weiter. Die Dimension des Hilbert-Raums kann unendlich sein, ebenso wie der Raum quadratintegrierbarer Funktionen auf einer Linie, mit dem die Quantenphysik eines kontinuierlichen Freiheitsgrades definiert wird. Alternativ kann der Hilbert-Raum endlichdimensional sein, wie dies für Spin-Freiheitsgrade der Fall ist. Viele Behandlungen der Theorie konzentrieren sich auf den endlichdimensionalen Fall, da die Mathematik etwas weniger anspruchsvoll ist. In der Tat beschönigen einführende physikalische Texte zur Quantenmechanik häufig mathematische Techniken, die sich für kontinuierlich bewertbare Observablen und unendlich dimensionale Hilbert-Räume ergeben, wie beispielsweise die Unterscheidung zwischen begrenzten und unbegrenzten Operatoren. Fragen der Konvergenz (ob die Grenze einer Folge von Hilbert-Raum-Elementen auch zum Hilbert-Raum gehört), exotische Möglichkeiten für Mengen von Eigenwerten wie Cantor-Mengen; und so weiter.[2]::79[3] Diese Probleme können mithilfe der Spektraltheorie zufriedenstellend gelöst werden.[2]::101 Der vorliegende Artikel wird sie nach Möglichkeit vermeiden.

Projektionsbewertete Maßnahmen (PVMs)[edit]

Die Eigenvektoren eines von Neumann-Observablen bilden eine orthonormale Basis für den Hilbert-Raum, und jedes mögliche Ergebnis dieser Messung entspricht einem der Vektoren, aus denen die Basis besteht. Ein Dichteoperator ist ein positiv-semidefiniter Operator im Hilbert-Raum, dessen Kurve gleich 1 ist.[1][2] Für jede Messung, die definiert werden kann, kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Ergebnisse dieser Messung vom Dichteoperator berechnet werden. Das Verfahren hierfür ist die Born-Regel, die dies besagt

wo

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ρ{ displaystyle rho}

ist der Dichteoperator und

Πich{ displaystyle Pi _ {i}}

ist der Projektionsoperator auf den Basisvektor, der dem Messergebnis entspricht

xich{ displaystyle x_ {i}}

. Der Durchschnitt der Eigenwerte eines von Neumann-Observablen, gewichtet mit den Born-Regel-Wahrscheinlichkeiten, ist der Erwartungswert dieses Observablen. Für eine beobachtbare

EIN{ displaystyle A}

der Erwartungswert bei gegebenem Quantenzustand

ρ{ displaystyle rho}

ist

Ein Dichteoperator, der eine Rang-1-Projektion ist, wird als a bezeichnet rein Quantenzustand und alle Quantenzustände, die nicht rein sind, werden bezeichnet gemischt. Reine Zustände sind auch bekannt als Wellenfunktionen. Das Zuweisen eines reinen Zustands zu einem Quantensystem impliziert die Gewissheit über das Ergebnis einer Messung an diesem System (dh

P.((x)=1{ displaystyle P (x) = 1}

für ein Ergebnis

x{ displaystyle x}

). Jeder gemischte Zustand kann als konvexe Kombination reiner Zustände geschrieben werden, jedoch nicht auf einzigartige Weise.[4] Der Zustandsraum eines Quantensystems ist die Menge aller Zustände, rein und gemischt, die ihm zugeordnet werden können.

Die Born-Regel ordnet jedem Einheitsvektor im Hilbert-Raum eine Wahrscheinlichkeit zu, so dass diese Wahrscheinlichkeiten für jeden Satz von Einheitsvektoren, die eine orthonormale Basis umfassen, 1 ergeben. Darüber hinaus ist die mit einem Einheitsvektor verbundene Wahrscheinlichkeit eine Funktion des Dichteoperators und des Einheitsvektors und nicht von zusätzlichen Informationen wie der Wahl der Basis für die Einbettung dieses Vektors. Der Satz von Gleason legt das Gegenteil fest: alle Zuordnungen von Wahrscheinlichkeiten zu Einheitsvektoren (oder gleichwertig mit den Operatoren, die auf sie projizieren), die diese Bedingungen erfüllen, haben die Form, die Born-Regel auf einen Dichteoperator anzuwenden.[5][6][7]

Positiv vom Bediener bewertete Maßnahmen (POVMs)[edit]

In der Funktionsanalyse und der Quantenmesstheorie ist ein Positiv-Operator-Wert-Maß (POVM) ein Maß, dessen Werte positive semidefinitive Operatoren auf einem Hilbert-Raum sind. POVMs sind eine Verallgemeinerung von PVMs und dementsprechend sind von POVMs beschriebene Quantenmessungen eine Verallgemeinerung von von PVMs beschriebenen Quantenmessungen. In grober Analogie ist ein POVM ein PVM, ein gemischter Zustand ein reiner Zustand. Gemischte Zustände werden benötigt, um den Zustand eines Teilsystems eines größeren Systems anzugeben (siehe Reinigung des Quantenzustands); Analog dazu sind POVMs erforderlich, um die Auswirkung einer projektiven Messung, die an einem größeren System durchgeführt wird, auf ein Subsystem zu beschreiben. POVMs sind die allgemeinste Art der Messung in der Quantenmechanik und können auch in der Quantenfeldtheorie verwendet werden.[8] Sie werden häufig im Bereich der Quanteninformation eingesetzt.

Im einfachsten Fall eines POVM mit einer endlichen Anzahl von Elementen, die auf einen endlichdimensionalen Hilbert-Raum wirken, ist ein POVM eine Menge positiver semidefiniter Matrizen

{F.ich}}{ displaystyle {F_ {i} }}

auf einem Hilbert-Raum

H.{ displaystyle { mathcal {H}}}

diese Summe zur Identitätsmatrix,[9]::90

In der Quantenmechanik das POVM-Element

F.ich{ displaystyle F_ {i}}

ist mit dem Messergebnis verbunden

ich{ displaystyle i}

, so dass die Wahrscheinlichkeit, es zu erhalten, wenn eine Messung des Quantenzustands durchgeführt wird

ρ{ displaystyle rho}

ist gegeben durch

wo

tr{ displaystyle operatorname {tr}}

ist der Trace-Operator. Wenn der gemessene Quantenzustand ein reiner Zustand ist

|ψ⟩{ displaystyle | psi rangle}

Diese Formel reduziert sich auf

Zustandsänderung aufgrund von Messung[edit]

Eine Messung an einem Quantensystem bewirkt im Allgemeinen eine Änderung des Quantenzustands dieses Systems. Das Schreiben eines POVM liefert nicht die vollständigen Informationen, die zur Beschreibung dieses Statusänderungsprozesses erforderlich sind.[10]::134 Um dies zu beheben, werden weitere Informationen angegeben, indem jedes POVM-Element in ein Produkt zerlegt wird:

Die Kraus-Betreiber

EINich{ displaystyle A_ {i}}

, benannt nach Karl Kraus, geben eine Spezifikation des Zustandsänderungsprozesses.[a] Sie sind nicht unbedingt selbstadjunkt, sondern die Produkte

EINich†EINich{ displaystyle A_ {i} ^ { dagger} A_ {i}}

sind. Wenn bei der Durchführung der Messung das Ergebnis

E.ich{ displaystyle E_ {i}}

erhalten wird, dann der Ausgangszustand

ρ{ displaystyle rho}

wird aktualisiert auf

Ein wichtiger Sonderfall ist die nach Gerhart Lüders benannte Lüders-Regel.[16][17] Wenn das POVM selbst ein PVM ist, können die Kraus-Operatoren als Projektoren auf die Eigenräume des von Neumann-Observablen angesehen werden:

Ist der Ausgangszustand

ρ{ displaystyle rho}

ist rein und die Projektoren

Πich{ displaystyle Pi _ {i}}

Haben sie Rang 1, können sie als Projektoren auf die Vektoren geschrieben werden

|ψ⟩{ displaystyle | psi rangle}

und

|ich⟩{ displaystyle | i rangle}

, beziehungsweise. Die Formel vereinfacht sich somit zu

Dies ist historisch als “Reduktion des Wellenpakets” oder “Zusammenbruch der Wellenfunktion” bekannt. Der reine Zustand

|ich⟩{ displaystyle | i rangle}

impliziert eine Wahrscheinlichkeits-Eins-Vorhersage für jedes von Neumann-beobachtbare Element

|ich⟩{ displaystyle | i rangle}

als Eigenvektor. Einführungstexte zur Quantentheorie drücken dies häufig aus, indem sie sagen, dass, wenn eine Quantenmessung schnell hintereinander wiederholt wird, beide Male dasselbe Ergebnis erzielt wird. Dies ist eine übermäßige Vereinfachung, da die physikalische Durchführung einer Quantenmessung einen Prozess wie die Absorption eines Photons beinhalten kann; Nach der Messung existiert das Photon nicht mehr, um erneut gemessen zu werden.[9]::91

Wir können eine lineare, spurenerhaltende, vollständig positive Karte definieren, indem wir alle möglichen Nachmessungszustände eines POVM ohne Normalisierung summieren:

Es ist ein Beispiel für einen Quantenkanal,[10]::150 und kann so interpretiert werden, dass es ausdrückt, wie sich ein Quantenzustand ändert, wenn eine Messung durchgeführt wird, aber das Ergebnis dieser Messung verloren geht.[10]::159

Beispiele[edit]

Blochkugeldarstellung von Zuständen (in blau) und optimalem POVM (in rot) für eine eindeutige Quantenzustandsunterscheidung[18] auf die Staaten

Das prototypische Beispiel eines endlichdimensionalen Hilbert-Raums ist ein Qubit, ein Quantensystem, dessen Hilbert-Raum zweidimensional ist. Ein reiner Zustand für ein Qubit kann als lineare Kombination zweier orthogonaler Basiszustände geschrieben werden

|0⟩{ displaystyle | 0 rangle}

und

|1⟩{ displaystyle | 1 rangle}

mit komplexen Koeffizienten:

Eine Messung in der

((|0⟩,|1⟩){ displaystyle (| 0 rangle, | 1 rangle)}

Basis wird Ergebnis ergeben

|0⟩{ displaystyle | 0 rangle}

mit Wahrscheinlichkeit

|α|2{ displaystyle | alpha | ^ {2}}

und Ergebnis

|1⟩{ displaystyle | 1 rangle}

mit Wahrscheinlichkeit

|β|2{ displaystyle | beta | ^ {2}}

, also durch Normalisierung,

Ein beliebiger Zustand für ein Qubit kann als lineare Kombination der Pauli-Matrizen geschrieben werden, die eine Grundlage für bilden

2×2{ displaystyle 2 times 2}

selbstadjunkte Matrizen:[10]::126

wo die reellen Zahlen

((rx,ry,rz){ displaystyle (r_ {x}, r_ {y}, r_ {z})}

sind die Koordinaten eines Punktes innerhalb der Einheitskugel und

POVM-Elemente können ebenfalls dargestellt werden, obwohl die Spur eines POVM-Elements nicht auf 1 festgelegt ist. Die Pauli-Matrizen sind spurlos und orthogonal zueinander in Bezug auf das Hilbert-Schmidt-Innenprodukt und damit die Koordinaten

((rx,ry,rz){ displaystyle (r_ {x}, r_ {y}, r_ {z})}

des Staates

ρ{ displaystyle rho}

sind die Erwartungswerte der drei von Neumann-Messungen, die durch die Pauli-Matrizen definiert sind.[10]::126 Wenn eine solche Messung auf ein Qubit angewendet wird, wird nach der Lüders-Regel der Zustand auf den Eigenvektor dieser Pauli-Matrix aktualisiert, der dem Messergebnis entspricht. Die Eigenvektoren von

σz{ displaystyle sigma _ {z}}

sind die Basiszustände

|0⟩{ displaystyle | 0 rangle}

und

|1⟩{ displaystyle | 1 rangle}

und eine Messung von

σz{ displaystyle sigma _ {z}}

wird oft als Messung in der “Rechenbasis” bezeichnet.[10]::76 Nach einer Messung in der Berechnungsbasis wird das Ergebnis von a

σx{ displaystyle sigma _ {x}}

oder

σy{ displaystyle sigma _ {y}}

Messung ist maximal unsicher.

Ein Paar Qubits bilden zusammen ein System, dessen Hilbert-Raum 4-dimensional ist. Eine signifikante von Neumann-Messung an diesem System ist die durch die Bell-Basis definierte.[19]::36 eine Reihe von vier maximal verschränkten Zuständen:

Wahrscheinlichkeitsdichte

Ein allgemeines und nützliches Beispiel für die Quantenmechanik, die auf einen kontinuierlichen Freiheitsgrad angewendet wird, ist der Quantenharmonische Oszillator.[20]::24 Dieses System wird vom Hamiltonianer definiert

wo

H.{ displaystyle {H}}

, der Impulsoperator

p{ displaystyle {p}}

und der Positionsoperator

x{ displaystyle {x}}

sind selbstadjunkte Operatoren auf dem Hilbert-Raum von quadratintegrierbaren Funktionen auf der realen Linie. Die Energieeigenzustände lösen die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

Es kann gezeigt werden, dass diese Eigenwerte gegeben sind durch

und diese Werte geben die möglichen numerischen Ergebnisse einer Energiemessung am Oszillator an. Die Menge der möglichen Ergebnisse von a Position Die Messung an einem harmonischen Oszillator ist kontinuierlich, und daher werden Vorhersagen als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion angegeben

P.((x){ displaystyle P (x)}

das gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das Messergebnis im infinitesimalen Intervall von liegt

x{ displaystyle x}

zu

x+dx{ displaystyle x + dx}

.

Geschichte des Messkonzepts[edit]

Die “alte Quantentheorie”[edit]

Die alte Quantentheorie ist eine Sammlung von Ergebnissen aus den Jahren 1900–1925[21] die vor der modernen Quantenmechanik liegen. Die Theorie war nie vollständig oder in sich konsistent, sondern bestand aus einer Reihe heuristischer Korrekturen der klassischen Mechanik.[22] Die Theorie wird nun als halbklassische Näherung verstanden[23] zur modernen Quantenmechanik.[24] Bemerkenswerte Ergebnisse aus dieser Zeit sind Plancks Berechnung des Schwarzkörper-Strahlungsspektrums, Einsteins Erklärung des photoelektrischen Effekts, Einsteins und Debyes Arbeit über die spezifische Wärme von Festkörpern, Bohr und van Leeuwens Beweis, dass die klassische Physik den Diamagnetismus nicht erklären kann, Bohrs Modell des Wasserstoffs atom und Arnold Sommerfelds Erweiterung des Bohr-Modells um relativistische Effekte.

Stern-Gerlach-Experiment: Silberatome, die sich durch ein inhomogenes Magnetfeld bewegen und je nach Spin nach oben oder unten abgelenkt werden; (1) Ofen, (2) Strahl von Silberatomen, (3) inhomogenes Magnetfeld, (4) klassisch erwartetes Ergebnis, (5) beobachtetes Ergebnis

Das 1921 vorgeschlagene und 1922 durchgeführte Stern-Gerlach-Experiment[25][26][27] wurde ein prototypisches Beispiel für eine Quantenmessung mit einer diskreten Reihe möglicher Ergebnisse. Im ursprünglichen Experiment wurden Silberatome durch ein räumlich variierendes Magnetfeld geschickt, das sie ablenkte, bevor sie auf einen Detektorschirm wie einen Glasobjektträger trafen. Teilchen mit einem magnetischen Moment ungleich Null werden aufgrund des Magnetfeldgradienten von einem geraden Weg abgelenkt. Der Bildschirm zeigt diskrete Akkumulationspunkte und keine kontinuierliche Verteilung.[25] aufgrund ihres quantisierten Spins.[28][29]

Übergang zur „neuen“ Quantentheorie[edit]

Eine Arbeit von Heisenberg aus dem Jahr 1925, die auf Englisch als „Quantentheoretische Neuinterpretation kinematischer und mechanischer Beziehungen“ bekannt ist, war ein entscheidender Moment für die Reifung der Quantenphysik.[30] Heisenberg versuchte eine Theorie atomarer Phänomene zu entwickeln, die sich nur auf „beobachtbare“ Größen stützte. Zu dieser Zeit und im Gegensatz zur späteren Standarddarstellung der Quantenmechanik betrachtete Heisenberg die Position eines in einem Atom gebundenen Elektrons nicht als „beobachtbar“. Stattdessen waren seine Hauptinteressengrößen die Frequenzen des von Atomen emittierten oder absorbierten Lichts.[30]

Das Unsicherheitsprinzip stammt aus dieser Zeit. Es wird häufig Heisenberg zugeschrieben, der das Konzept bei der Analyse eines Gedankenexperiments einführte, bei dem versucht wird, die Position und den Impuls eines Elektrons gleichzeitig zu messen. Heisenberg gab jedoch keine genauen mathematischen Definitionen der Bedeutung der „Unsicherheit“ bei diesen Messungen. Die genaue mathematische Aussage des Positions-Impuls-Unsicherheitsprinzips geht auf Kennard, Pauli und Weyl zurück, und seine Verallgemeinerung auf beliebige Paare von nicht pendelnden Observablen geht auf Robertson und Schrödinger zurück.[31][32]

Schreiben

x{ displaystyle {x}}

und

p{ displaystyle {p}}

Für die selbstadjutierenden Operatoren, die Position bzw. Impuls darstellen, kann eine Standardabweichung der Position definiert werden als

und ebenso für den Schwung:

Die Kennard-Pauli-Weyl-Unsicherheitsrelation ist

Diese Ungleichung bedeutet, dass keine Herstellung eines Quantenteilchens gleichzeitig präzise Vorhersagen für eine Positionsmessung und eine Impulsmessung implizieren kann.[33] Die Robertson-Ungleichung verallgemeinert dies auf den Fall eines beliebigen Paares von selbstadjutierenden Operatoren

EIN{ displaystyle A}

und

B.{ displaystyle B}

. Der Kommutator dieser beiden Operatoren ist

und dies liefert die Untergrenze für das Produkt von Standardabweichungen:

Einsetzen in die kanonische Kommutierungsrelation

[x,p]=ichℏ{ displaystyle [{x},{p}]= i hbar}

, ein Ausdruck, der erstmals 1925 von Max Born postuliert wurde,[34] stellt die Kennard-Pauli-Weyl-Aussage des Unsicherheitsprinzips wieder her.

Von der Unsicherheit zu nicht versteckten Variablen[edit]

Die Existenz des Unsicherheitsprinzips wirft natürlich die Frage auf, ob die Quantenmechanik als Annäherung an eine genauere Theorie verstanden werden kann. Gibt es „versteckte Variablen“, die grundlegender sind als die in der Quantentheorie selbst angesprochenen Größen, deren Kenntnis genauere Vorhersagen ermöglichen würde, als die Quantentheorie liefern kann? Eine Sammlung von Ergebnissen, insbesondere der Satz von Bell, hat gezeigt, dass breite Klassen solcher Theorien mit versteckten Variablen tatsächlich nicht mit der Quantenphysik kompatibel sind.

Bell veröffentlichte den Satz, der jetzt unter seinem Namen bekannt ist, 1964 und untersuchte eingehender ein Gedankenexperiment, das ursprünglich 1935 von Einstein, Podolsky und Rosen vorgeschlagen wurde.[35][36] Nach dem Satz von Bell, wenn die Natur tatsächlich in Übereinstimmung mit einer Theorie von arbeitet lokal versteckte Variablen, dann werden die Ergebnisse eines Bell-Tests auf eine bestimmte, quantifizierbare Weise eingeschränkt. Wenn ein Bell-Test in einem Labor durchgeführt wird und die Ergebnisse sind nicht Wenn sie so eingeschränkt sind, stimmen sie nicht mit der Hypothese überein, dass lokale versteckte Variablen existieren. Solche Ergebnisse würden die Position stützen, dass es keine Möglichkeit gibt, die Phänomene der Quantenmechanik durch eine grundlegendere Beschreibung der Natur zu erklären, die eher den Regeln der klassischen Physik entspricht. Viele Arten von Bell-Tests wurden in Physiklabors durchgeführt, oft mit dem Ziel, Probleme des experimentellen Aufbaus oder des Versuchsaufbaus zu verbessern, die im Prinzip die Gültigkeit der Ergebnisse früherer Bell-Tests beeinträchtigen könnten. Dies wird als “Schließen von Lücken in Bell-Test-Experimenten” bezeichnet. Bisher haben Bell-Tests festgestellt, dass die Hypothese lokaler versteckter Variablen nicht mit dem Verhalten physikalischer Systeme übereinstimmt.[37][38]

Quantensysteme als Messgeräte[edit]

Das Robertson-Schrödinger-Unsicherheitsprinzip legt fest, dass, wenn zwei Observable nicht pendeln, ein Kompromiss in der Vorhersagbarkeit zwischen ihnen besteht. Das Wigner-Araki-Yanase-Theorem zeigt eine weitere Konsequenz der Nichtkommutativität: Das Vorhandensein eines Erhaltungsgesetzes begrenzt die Genauigkeit, mit der Observable gemessen werden können, die nicht mit der konservierten Menge pendeln.[39][40][41][42] Weitere Untersuchungen in dieser Zeile führten zur Formulierung der Wigner-Yanase-Versatzinformationen.[43]

In der Vergangenheit wurden Experimente in der Quantenphysik oft semiklassisch beschrieben. Zum Beispiel könnte der Spin eines Atoms in einem Stern-Gerlach-Experiment als Quantenfreiheitsgrad behandelt werden, während das Atom sich durch ein Magnetfeld bewegt, das durch die klassische Theorie der Maxwellschen Gleichungen beschrieben wird.[2]::24 Die zum Aufbau der Versuchsapparatur verwendeten Geräte sind jedoch selbst physikalische Systeme, weshalb die Quantenmechanik auch auf sie anwendbar sein sollte. Ab den 1950er Jahren versuchten Rosenfeld, von Weizsäcker und andere, Konsistenzbedingungen zu entwickeln, die zum Ausdruck brachten, wann ein quantenmechanisches System als Messgerät behandelt werden konnte.[44] Ein Vorschlag für ein Kriterium, wann ein als Teil eines Messgeräts verwendetes System semiklassisch modelliert werden kann, beruht auf der Wigner-Funktion, einer Quasiprobierbarkeitsverteilung, die in Fällen, in denen sie überall nicht negativ ist, als Wahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum behandelt werden kann .[2]::375

Dekohärenz[edit]

Ein Quantenzustand für ein nicht perfekt isoliertes System wird sich im Allgemeinen so entwickeln, dass er mit dem Quantenzustand für die Umwelt verwickelt ist. Selbst wenn der Anfangszustand des Systems rein ist, wird folglich der Zustand zu einem späteren Zeitpunkt gemischt, der durch die teilweise Verfolgung des Zustands der gemeinsamen Systemumgebung ermittelt wird. Dieses Phänomen der Verschränkung, das durch System-Umwelt-Wechselwirkungen erzeugt wird, verschleiert tendenziell die exotischeren Merkmale der Quantenmechanik, die das System im Prinzip manifestieren könnte. Die Quantendekohärenz, wie dieser Effekt genannt wird, wurde erstmals in den 1970er Jahren eingehend untersucht.[45] (Frühere Untersuchungen, wie die klassische Physik als Grenze der Quantenmechanik erhalten werden könnte, hatten das Thema unvollständig isolierter Systeme untersucht, aber die Rolle der Verschränkung wurde nicht vollständig erkannt.[44]) Ein wesentlicher Teil des Aufwands beim Quantencomputing besteht darin, die schädlichen Auswirkungen der Dekohärenz zu vermeiden.[46][19]::239

Zur Veranschaulichung sei

ρS.{ displaystyle rho _ {S}}

bezeichnen den Ausgangszustand des Systems,

ρE.{ displaystyle rho _ {E}}

den Ausgangszustand der Umwelt und

H.{ displaystyle H}

der Hamilton-Operator, der die System-Umgebungs-Interaktion spezifiziert. Der Dichteoperator

ρE.{ displaystyle rho _ {E}}

kann diagonalisiert und als lineare Kombination der Projektoren auf ihre Eigenvektoren geschrieben werden:

Zeitentwicklung für eine Dauer ausdrücken

t{ displaystyle t}

durch den einheitlichen Bediener

U.=e– –ichH.t/.ℏ{ displaystyle U = e ^ {- iHt / hbar}}

ist der Zustand für das System nach dieser Entwicklung

was zu bewertet

Die Mengen um

ρS.{ displaystyle rho _ {S}}

kann als Kraus-Operator identifiziert werden, und dies definiert einen Quantenkanal.[45]

Durch Angabe einer Form der Interaktion zwischen System und Umgebung kann eine Reihe von “Zeigerzuständen” festgelegt werden, Zustände für das System, die, abgesehen von den Gesamtphasenfaktoren, in Bezug auf Umgebungsschwankungen (ungefähr) stabil sind. Ein Satz von Zeigerzuständen definiert eine bevorzugte orthonormale Basis für den Hilbert-Raum des Systems.[2]::423

Quanteninformation und Berechnung[edit]

Die Quanteninformationswissenschaft untersucht, wie die Informationswissenschaft und ihre Anwendung als Technologie von quantenmechanischen Phänomenen abhängt. Das Verständnis der Messung in der Quantenphysik ist für dieses Gebiet in vielerlei Hinsicht wichtig, von denen einige hier kurz untersucht werden.

Messung, Entropie und Unterscheidbarkeit[edit]

Die von Neumann-Entropie ist ein Maß für die statistische Unsicherheit, die durch einen Quantenzustand dargestellt wird. Für einen Dichteoperator

ρ{ displaystyle rho}

ist die von Neumann-Entropie

Schreiben

ρ{ displaystyle rho}

in Bezug auf die Basis der Eigenvektoren,

die von Neumann-Entropie ist

Dies ist die Shannon-Entropie des Satzes von Eigenwerten, die als Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretiert werden, und daher ist die von Neumann-Entropie die Shannon-Entropie der Zufallsvariablen, die durch Messen in der Eigenbasis von definiert wird

ρ{ displaystyle rho}

. Folglich verschwindet die von Neumann-Entropie, wenn

ρ{ displaystyle rho}

ist rein.[10]::320 Die von Neumann-Entropie von

ρ{ displaystyle rho}

kann äquivalent als die minimale Shannon-Entropie für eine Messung unter Berücksichtigung des Quantenzustands charakterisiert werden

ρ{ displaystyle rho}

mit der Minimierung über alle POVMs mit Rang-1-Elementen.[10]::323

Viele andere in der Quanteninformationstheorie verwendete Größen finden ebenfalls Motivation und Rechtfertigung in Bezug auf Messungen. Zum Beispiel ist der Spurenabstand zwischen Quantenzuständen gleich dem größten Unterschied in der Wahrscheinlichkeit dass diese beiden Quantenzustände für ein Messergebnis bedeuten können:[10]::254

Ebenso ist die Wiedergabetreue zweier Quantenzustände definiert durch

drückt die Wahrscheinlichkeit aus, dass ein Staat einen Test zur Identifizierung einer erfolgreichen Vorbereitung des anderen besteht. Die Spurentfernung gibt Grenzen für die Wiedergabetreue über die Fuchs-van-de-Graaf-Ungleichungen:[10]::274

Quantenschaltungen[edit]

Schaltungsdarstellung der Messung. Die einzelne Zeile auf der linken Seite steht für ein Qubit, während die beiden Zeilen auf der rechten Seite ein klassisches Bit darstellen.

Quantenschaltungen sind ein Modell für die Quantenberechnung, bei dem eine Berechnung eine Folge von Quantengattern ist, gefolgt von Messungen.[19]::93 Die Gates sind reversible Transformationen auf einem quantenmechanischen Analogon von n-bit Register. Diese analoge Struktur wird als bezeichnet n-Quit-Register. Messungen, die als stilisierte Zeiger auf einem Schaltplan gezeichnet sind, zeigen an, wo und wie ein Ergebnis vom Quantencomputer erhalten wird, nachdem die Schritte der Berechnung ausgeführt wurden. Ohne Verlust der Allgemeinheit kann man mit dem Standardschaltungsmodell arbeiten, bei dem der Satz von Gattern einheitliche Einzel-Qubit-Transformationen und gesteuerte NICHT-Gatter auf Qubit-Paaren sind und alle Messungen auf der Berechnungsbasis liegen.[19]::93[47]

Messbasierte Quantenberechnung[edit]

Die messungsbasierte Quantenberechnung (MBQC) ist ein Modell des Quantencomputers, bei dem die Antwort auf eine Frage informell im Rahmen der Messung des physikalischen Systems erstellt wird, das als Computer dient.[19]::317[48][49]

Quantentomographie[edit]

Die Quantenzustands-Tomographie ist ein Prozess, bei dem anhand eines Datensatzes, der die Ergebnisse von Quantenmessungen darstellt, ein Quantenzustand berechnet wird, der mit diesen Messergebnissen übereinstimmt.[50] Es wird analog zur Tomographie benannt, der Rekonstruktion dreidimensionaler Bilder aus durch sie aufgenommenen Schnitten, wie bei einem CT-Scan. Die Tomographie von Quantenzuständen kann auf die Tomographie von Quantenkanälen erweitert werden[50] und sogar von Messungen.[51]

Quantenmetrologie[edit]

Die Quantenmetrologie ist die Verwendung der Quantenphysik, um die Messung von Größen zu unterstützen, die in der klassischen Physik im Allgemeinen eine Bedeutung hatten, beispielsweise die Nutzung von Quanteneffekten, um die Genauigkeit zu erhöhen, mit der eine Länge gemessen werden kann.[52] Ein berühmtes Beispiel ist die Einführung von gepresstem Licht in das LIGO-Experiment, wodurch die Empfindlichkeit gegenüber Gravitationswellen erhöht wurde.[53][54]

Laborimplementierungen[edit]

Das Spektrum der physikalischen Verfahren, auf die die Mathematik der Quantenmessung angewendet werden kann, ist sehr breit.[55] In den Anfangsjahren des Probanden umfassten Laborverfahren die Aufzeichnung von Spektrallinien, die Verdunkelung von fotografischen Filmen, die Beobachtung von Szintillationen, das Auffinden von Spuren in Wolkenkammern und das Hören von Klicks von Geigerzählern.[b] Die Sprache aus dieser Zeit bleibt bestehen, beispielsweise die abstrakte Beschreibung der Messergebnisse als “Detektorklicks”.[57]

Das Doppelspaltexperiment ist eine prototypische Darstellung der Quanteninterferenz, die typischerweise unter Verwendung von Elektronen oder Photonen beschrieben wird. Das erste Interferenzexperiment, das in einem Regime durchgeführt wurde, in dem sowohl wellenartige als auch partikelartige Aspekte des Photonenverhaltens von Bedeutung sind, war der Test von GI Taylor im Jahr 1909. Taylor verwendete Rauchglasschirme, um das durch seinen Apparat hindurchtretende Licht zu dämpfen insofern, als in der modernen Sprache jeweils nur ein Photon die Interferometerschlitze beleuchtet. Er zeichnete die Interferenzmuster auf Fotoplatten auf; Für das dunkelste Licht betrug die erforderliche Belichtungszeit ungefähr drei Monate.[58][59] 1974 führten die italienischen Physiker Pier Giorgio Merli, Gian Franco Missiroli und Giulio Pozzi das Doppelspaltexperiment mit Einzelelektronen und einer Fernsehröhre durch.[60] Ein Vierteljahrhundert später führte ein Team der Universität Wien ein Interferenzexperiment mit Buckyballs durch, bei dem die Buckyballs, die das Interferometer passierten, mit einem Laser ionisiert wurden und die Ionen dann die Emission von Elektronen induzierten, Emissionen, die wiederum waren verstärkt und detektiert durch einen Elektronenvervielfacher.[61]

Moderne quantenoptische Experimente können Einzelphotonendetektoren verwenden. Beispielsweise verwendeten im “BIG Bell-Test” von 2018 mehrere Laboraufbauten Einzelphotonen-Lawinendioden. Ein anderer Laboraufbau verwendete supraleitende Qubits.[37] Das Standardverfahren zum Durchführen von Messungen an supraleitenden Qubits besteht darin, ein Qubit mit einem Resonator so zu koppeln, dass sich die charakteristische Frequenz des Resonators entsprechend dem Zustand des Qubits verschiebt, und diese Verschiebung zu erfassen, indem beobachtet wird, wie der Resonator auf eine Sonde reagiert Signal.[62]

Interpretationen der Quantenmechanik[edit]

Trotz des Konsenses unter Wissenschaftlern, dass die Quantenphysik in der Praxis eine erfolgreiche Theorie ist, bestehen Meinungsverschiedenheiten auf einer eher philosophischen Ebene. Viele Debatten auf dem Gebiet der Quantengrundlagen betreffen die Rolle der Messung in der Quantenmechanik. Wiederkehrende Fragen beinhalten, welche Interpretation der Wahrscheinlichkeitstheorie für die aus der Born-Regel berechneten Wahrscheinlichkeiten am besten geeignet ist; und ob die offensichtliche Zufälligkeit der Ergebnisse der Quantenmessung grundlegend ist oder eine Folge eines tieferen deterministischen Prozesses.[63][64][65] Weltanschauungen, die Antworten auf solche Fragen liefern, werden als “Interpretationen” der Quantenmechanik bezeichnet. Der Physiker N. David Mermin witzelte einmal: “Jedes Jahr erscheinen neue Interpretationen. Keine verschwinden jemals.”[66]

Ein zentrales Anliegen innerhalb von Quantengrundlagen ist das “Quantenmessproblem”, obwohl umstritten ist, wie dieses Problem abgegrenzt wird und ob es als eine Frage oder als mehrere separate Themen gezählt werden sollte.[56][67] Von primärem Interesse ist die scheinbare Ungleichheit zwischen scheinbar unterschiedlichen Arten der Zeitentwicklung. Von Neumann erklärte, dass die Quantenmechanik “zwei grundlegend unterschiedliche Arten” der Quantenzustandsänderung enthält.[68]::§V.1 Erstens gibt es diese Änderungen, die einen Messprozess beinhalten, und zweitens gibt es eine einheitliche zeitliche Entwicklung, wenn keine Messung erfolgt. Ersteres ist stochastisch und diskontinuierlich, schreibt von Neumann, und letzteres deterministisch und kontinuierlich. Diese Zweiteilung hat den Ton für eine viel spätere Debatte festgelegt.[69][70] Einige Interpretationen der Quantenmechanik empfinden die Abhängigkeit von zwei verschiedenen Arten der Zeitentwicklung als unangenehm und betrachten die Unklarheit, wann man sich auf die eine oder andere berufen soll, als einen Mangel an der Art und Weise, wie die Quantentheorie historisch dargestellt wurde.[71] Um diese Interpretationen zu untermauern, haben ihre Befürworter daran gearbeitet, Wege zu finden, um “Messung” als sekundäres Konzept zu betrachten und den scheinbar stochastischen Effekt von Messprozessen als Annäherung an eine grundlegendere deterministische Dynamik abzuleiten. Unter den Befürwortern der richtigen Art und Weise der Umsetzung dieses Programms und insbesondere der Rechtfertigung der Verwendung der Born-Regel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten wurde jedoch kein Konsens erzielt.[72][73] Andere Interpretationen betrachten Quantenzustände als statistische Informationen über Quantensysteme, wodurch behauptet wird, dass abrupte und diskontinuierliche Änderungen von Quantenzuständen nicht problematisch sind und lediglich Aktualisierungen der verfügbaren Informationen widerspiegeln.[55][74] Von diesem Gedankengang fragte Bell: “Deren Information? Information über Was? “[71] Die Antworten auf diese Fragen variieren zwischen den Befürwortern der informationsorientierten Interpretationen.[64][74]

Siehe auch[edit]

  1. ^ Hellwig und Kraus[11][12] ursprünglich eingeführte Operatoren mit zwei Indizes,
  2. ^ Die im Stern-Gerlach-Experiment verwendeten Glasplatten verdunkelten sich nicht richtig, bis Stern sie einatmete und sie versehentlich Schwefel aus seinen billigen Zigarren aussetzte.[29][56]

Verweise[edit]

  1. ^ ein b Holevo, Alexander S. (2001). Statistische Struktur der Quantentheorie. Vorlesungsunterlagen in Physik. Springer. ISBN 3-540-42082-7. OCLC 318268606.
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Weiterführende Literatur[edit]


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