Euclidean Geometry -Wikipedia、無料百科事典

アテネのユークライド学校
（Obraz Raffaello Sanzio、1509）

ジオメトリユークリドワ – 作品でユークリッドが初めて説明した古典的な幾何学の多様性 要素 （紀元前4世紀から）。彼はギリシャ人に知られている当時、すべての数学的知識を集めましたが、今日、彼の作品は数学の歴史の中で最初に既知の公理化として自分自身を提示しています。もともと、それは飛行機と3次元空間でのみ栽培されていましたが、それを物理的な世界と結合し、それは説明することでした。

ユークリドの作品には、数学のプラトニックな概念の明確な痕跡があります。当時の数の概念、計り知れない可能性の発見によって引き起こされた危機は、理論的な考慮事項に対する潜在的な潜在的なもののみを可能にし、ユークリッド全体の作品全体に見られる方法論的カノンを課しました。たとえば、単純な概念は常に自由に拡張できるセクションで理解されており、幾何学的な構造では線とサーカスのみが使用されていました（単純なサークルのみがそれ自体でスライドできるため）。これらの構造は今日呼ばれています 古典的な構造 。 1833年には、特定の円が中央（ポンセレットスタイナーの定理）とともにレベルに与えられている限り、そのようなすべての構造を線自体の助けを借りて作成できることが証明されました。さらに、サーカス（Mohra-Mascheryoniの定理）の助けを借りて作ることができます。

合成ジオメトリと呼ばれる従来の用語では、 ジオメトリユークリドワ として提示されます 公理システム すべてのクレームは、公理、つまり事前に真実として受け入れられている文から生じる必要があります。

彼が提供したシステムで、ユークリダは5つの公理を区別するか、後で呼び出された飛行機の確実性を際立たせました ユークリッド ^{[初め] [2]} ：

1. エピソードで2つのポイントを接続できます。
2. すべてのエピソードを無制限に拡張できます（取得 真っ直ぐ ）。
3. 特定のエピソードでは、最終的なポイントの1つと中央の円とその長さに等しい半径の円をマークすることができます。
4. すべての正しい角度が一致しています。
5. 片側の内部角度の合計が2つの直角になるように3番目をカットする2つの単純なものは、この側から壊れます。

公理の5番目のレベルのジオメトリの場合、SO -Called euklidesaを仮定します ストッキング仮定 、次のように定式化することもできます。

「与えられたまっすぐに属していない特定のポイントを介して、まっすぐに与えられたまっすぐな分離を導くことができます。」

5番目の確実性は多くの疑念を引き起こしました – ユークリディ自身は、できるだけ長く彼の作品でそれを使用することを避けました。ほぼ22世紀にわたって、他の仮説よりもはるかに複雑なものがそれらに起因しなければならないと考えられていました。このため、この論文を確認する証拠が求められました。 19世紀には、他の人から独立していることが判明し、それを他の人に置き換えると、他の一貫したジオメトリが得られます。既知のジオメトリはこれまでに呼ばれています ユークリッド そして新しい – 非統合体 、その中で最初は双曲線と楕円形のジオメトリでした。これらは、適切に否定的で正の曲率を持つ空間の形状です。ユークリッドジオメトリは、「フラット」スペースのジオメトリ、またはゼロの曲率とも呼ばれます。 放物線幾何学 。

19世紀後半には、ユークリッドによって与えられた公理は、この理論の言語で表現できるすべての文の真実または虚偽を証明するのに十分ではないことも注目されました（つまり、このシステムは完全ではありませんでした）。 1882年、ドイツの数学者モリッツ・パシュはそのような容認できない声明の例を示し、それを別の公理としてシステムに含めました。 Aksjomat Easter 、その他は例えば Desarguesの定理 パスカル定理 。

aqsjomatyka hilberta

ユークリド – ジオメトリ公理システムを改善するためのさらなる試みは、1899年にデビッド・ヒルバートによって与えられた完全なセットによってcrown冠されました。 aqsjomatyka hilberta 、もともと21の公理を数えて、後に20に限定されていますが、今日では、ユークリドジオメトリのほとんどの公理的ショットの基礎です。

Axjomatics BirkoffとTarski

他のユークリッドジオメトリシステムも作成されていますが、その中で最も有名です Aksjomatyka Birkhoffa 私 タルスキーのaxjomatics 。 Alfred Tarskiによって作成されたシステムは、ユークリッド幾何学の解決を実証することを目的としていました。最終的に、このモデルの決定はWanda Szmielewによって証明されました。

別の記事：ユークリッドスペース。

本質的に主要な概念は正式に定義されていません 特定の理論の言語で 、それらは、この数学理論の基礎を構築する仮定、公理によって特性が記述される単なるシンボルです。ただし、SO -Calledを作成できますモデル ^[3] この理論は、つまり、主要な概念として置き換えられた数学的オブジェクトを定義するために ^[4] 彼らは彼女のすべての公理に会います（ユークリッドの確実性 ^[5] またはhilbert axioms）。これらのオブジェクトを定義するには、モデルは概念に基づいている必要があります モデリング理論の外から 。

ユークリッドの幾何学のこのような一般的に受け入れられているモデルは、そのようなものです数学的分析の装置に基づくデカルト空間 ^[6] 。

デカルト空間は、ユークリッド空間の特に便利なモデルです。これにより、すべての幾何学的クレームを数値形式にすることができるため、通常はコマンドを簡素化できます。

ユークリッドの公理を主張として証明できるアプローチは、 分析ジオメトリ 。このように、合成ジオメトリの観点から、Simpleは元の概念であり、分析ジオメトリでは、特定の方程式を満たすポイントのセットとして定義されます。以下の表は、ユークリッド空間の公理とデカルト空間の概念の解釈を比較しています。単純化のために、この問題は平面のジオメトリで考慮されます。

現在、「ユークリッド空間」という用語は、通常、デカルト空間の形でそのモデルを意味します。ただし、ユークリッドの幾何学を備えた他のより抽象的なスペースもあることを覚えておく必要があります。