近似 – ウィキペディア、無料百科事典

Posted on March 11, 2020 by lordneo

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近似（注ぐ。近似 – 近づく） – おおよそのソリューションの構築で構成されています。特定の方法で、分析形式で正確に提示できない問題に対する厳格な解決策 ^[初め]。最も一般的な近似は、特定の関数を提示するために使用されます

{displaystyle f（x）}

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$f(x)$ 別の、通常よりシンプルな形で

{displaystyle varphi（x）、}

${displaystyle varphi (x),}$ 問題に対する効果的な解決策を可能にします。たとえば、私たちが扱っているこのような状況

しっかりとマージできない関数でマークされた積分を計算するとき、
通常の微分方程式と部分的な微分方程式を解くとき、不明な関数を探すとき、
測定を開発する場合、控えめなセットセットでのみ知られている結果（気象学など）。

近似はさまざまな方法で行うことができるため、厳密に定義された意味でO最適な近似を探すことができます。

一般に、近似は特定の関数を導入することで構成されています

{displaystyle f（x）、}

$f(x),$ エリア内

{displaystyle omega}

$Omega$ 異なる、よりシンプルな近似関数を備えたその決定

{displaystyle varphi（x）、}

${displaystyle varphi (x),}$ 値が多数のパラメーターに依存するのと同じ領域で指定されています。ほとんどの場合、関数として

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{displaystyle varphi（x）、}

${displaystyle varphi (x),}$ 一般的に一般化された多項式は、形式で使用されます

{displaystyle varphi (x)=a_{1}varphi _{1}(x)+a_{2}varphi _{2}(x)+,dots ,+a_{n}varphi _{n}(x),}

（a）

どの機能

{displaystyle varphi _ {i}（x）}

${displaystyle varphi _{i}(x)}$ 彼らはSO -Calledを形成します近似ベース

{displaystyle mathbf {b}（x）= [varphi _ {1}（x）,, varphi _ {2}（x）,, dots、varphi _ {n {n}（x）、}

と

{displaystyle a_ {i}}

$a_{i}$ それらは数値です座標関数

{displaystyle varphi（x）}

$varphi (x)$ 採用されたベースに対して。これらの係数の選択はさまざまな方法で行われる可能性があり、近似誤差が可能な限り低くなるようにする必要があります。

意味で近似を構築する実用的な方法の1つは、関数の違いのスカラー積で指定された近似誤差を最小化する方法です

{displaystyle varphi（x）,, f（x）}

${displaystyle varphi (x),,f(x)}$

{displaystyle R(a_{1},,a_{2},,dots ,a_{n})={big langle }[varphi (x)-f(x)]cdot [varphi (x)-f(x)]{big rangle }={big langle }[varphi (x)-f(x)]^{2}{big rangle },}

（b）

この製品は、2つの方法で定義できます ^[2]：

{displaystyle langle gcdot hrangle =int _{Omega }g(x)h(x)dOmega quad {}}

（c）

このような特定のエラーを最小化するには、それが必要です

{displaystyle {begin{aligned}{tfrac {1}{2}}{tfrac {partial R}{partial a_{k}}}&={tfrac {partial }{partial a_{k}}}langle (varphi -f)^{2}rangle \&={big langle }(varphi -f)cdot {tfrac {partial }{partial a_{k}}}varphi {big rangle }\&={big langle }(varphi -f)cdot varphi _{k}{big rangle }\&=langle varphi cdot varphi _{k}rangle -langle fcdot varphi _{k}rangle \&=sum _{i=1}^{n}langle varphi _{k}cdot varphi _{i}rangle a_{i}-langle varphi _{k}cdot frangle =0,quad k=1,,2,,dots ,n.end{aligned}}}

（d）

上記の関数の近似方法

{displaystyle f（x）}

$f(x)$ 多項式の使用

{displaystyle varphi（x）}

$varphi (x)$ パターン（b）で指定されたエラーを最小化するために、特定の条件を策定および使用することで構成されていました。これらの条件は、式（d）のシステムの形を取りました。

{displaystyle a_ {i}}

$a_{i}$ それらは機能によって決定されました

{displaystyle langle varphi _ {k} cdot varphi _ {i} rank、; langle varphi _ {k} cdot frangle}

${displaystyle langle varphi _{k}cdot varphi _{i}rangle ,;langle varphi _{k}cdot frangle }$ 関数のため

{displaystyle varphi _ {k}。}

${displaystyle varphi _{k}.}$

線形空間での近似の一般的な定式化

{displaystyle f}

$F$ この近似が満たすことである条件を決定する必要があります。 by

{displaystyle {bar {f}}}

${displaystyle {bar {F}}}$ サブセットをマークします

{displaystyle（{bar {f}}サブセットf）}

${displaystyle ({bar {F}}subset F)}$ コレクション

{displaystyle f、}

$F,$ また、これは線形空間であるため、この近似はすべての要素に対して構成されます

{displaystyle fin f}

${displaystyle fin F}$ そのような要素を見つけます

{displaystyle {bar {f}} in {bar {f}}、}

${displaystyle {bar {f}}in {bar {F}},}$ どの平等が起こるか

{displaystyle l_ {k}（{bar {f}}）= l_ {k}（f）、quad {}}

その中で

{displaystyle l_ {k}}

${displaystyle l_{k}}$ 特定の線形関数です、近似の条件を決定します。

したがって、近似の問題には、3つのコレクションの定義が必要です。

関数 ${displaystyle f、}$
関数 ${displaystyle {bar {f}}、}$
順序 ${displaystyle l_ {1} ,, l_ {2} ,, dots、l_ {n}}}}}$

ほとんどの場合

{displaystyle {bar {f}}、}

${displaystyle {bar {F}},}$ キャラクターに関する一般的な多項式のコレクションが選ばれます

{displaystyle varphi（x）= sum _ {i = 1} ^^ {n _ {i} varphi _ _ _ _（x）}

ベース関数から作成されました

{displaystyle varphi _ {1} ,, varphi _ {2}

${displaystyle varphi _{1},,varphi _{2},,dots ,varphi _{n}in F.}$ この場合

{displaystyle {bar {f}}}

${displaystyle {bar {F}}}$ それはN次元の下層土になります

{displaystyle F.}

${displaystyle F.}$

要素の検索

{displaystyle {bar {f}} in {bar {f}}、}

${displaystyle {bar {f}}in {bar {F}},}$ 近似

{displaystyle fin f}

${displaystyle fin F}$ これは、そのような多項式を構築することです

{{bar {f}}}のdisplaystyle varphi

${displaystyle varphi in {bar {F}}}$

{displaystyle varphi =a_{1}varphi _{1}+a_{2}varphi _{2}+,dots ,+a_{n}varphi _{n},}

（そうです）

平等を満たしています

{displaystyle l_ {k}（varphi）= sum _ {i = 1}^{n} l_ {k}（varphi _ _ _ _ _ _ _ = l_ {k}（f）、quad k = 1、2、dots、n。}}

（f）

線形結合の係数を決定するために使用される方程式のシステムを作成します（E）。

の場合

{displaystyle varphi _ {i}（x）in f}

${displaystyle varphi _{i}(x)in F}$ 直線的に独立した関数を採用します。方程式システムのこのマトリックスは、ほとんどの場合非常にいっぱいです。まれなマトリックスによって特徴付けられるこのような方程式のシステムを生成するために、次の近似を構築しています

{displaystyle {bar {f}} in {bar {f}}}

${displaystyle {bar {f}}in {bar {F}}}$ 補間のために狭くなった ^[3]、次の形式で

{displaystyle {bar {f}}=c_{1}phi _{1}(x)+c_{2}phi _{2}(x)+,dots ,c_{n}phi _{n}(x),}

（g）

このような近似のベースは関数です

{displaystyle phi _ {i}（x）}

${displaystyle phi _{i}(x)}$ このプロパティについて

{displaystyle l_ {k} phi _ {i} = delta _ {ki}。}

${displaystyle l_{k}phi _{i}=delta _{ki}.}$ したがって、

{displaystyle l_ {k {k}} quad {}}

（h）

機能

{displaystyle phi _ {s}（x）、; s = 1 ,, 2 ,、ドット、n}

${displaystyle phi _{s}(x),;s=1,,2,,dots ,n}$ 組み合わせに基づいて取得されます（e）

{displaystyle phi _ {s}（x）= sum _ {k = 1}^{n _ a_ {i}^{（s）} varphi _ {s}（x）、}

その係数

{displaystyle a_ {i}^{（s）}}

${displaystyle a_{i}^{(s)}}$ 関数がある方程式（f）によって決定されます

{displaystyle f（x）}

$f(x)$ 後続の関数に置き換えられます

{displaystyle phi _ {s}（x）、; s = 1 ,, 2 ,、ドット、n。}

${displaystyle phi _{s}(x),;s=1,,2,,dots ,n.}$ これらの関数は、ラグランジュベース関数と呼ばれます。

機能

{displaystyle f（x）= x^{2}}

${displaystyle f(x)=x^{2}}$ 範囲で近似できます

{displaystyle（0、、1）in r^{1}、}

${displaystyle (0,,1)in R^{1},}$ それを仮定した線形関数

{displaystyle varphi（x）= a_ {1} varphi _ {1}（x）+a_ {2} varphi _ {2}（x）= a_ {1}+a_ {2} x}

たとえばスカラー製品の形で2つの機能を定義する

{displaystyle l_ {k}（varphi）= langle varphi _ {k} cdot varphi rangle = int _ {0}^{1} !! varphi _ _ _ _ _ _）

条件（f）フォームを取得します

{displaystyle langle varphi _ {k} cdot varphi _ {1} rangle a_ {1}+langle varphi _ {k} cdot varphi _ {2 {2 {2} {2} = langle varphi _ {k}

係数を計算します

{displaystyle a_ {1} ,, a_ {2}}

${displaystyle a_{1},,a_{2}}$ 方程式のシステムが取得されます

{displaystyle {begin {bmatrix} 1＆{tfrac {1} {2}} \ {tfrac {1} {2}}＆{tfrac {1} {3}} end {bmatrix}}} {{bmatrix} {bmatrix} {bmatrix} {bmatrix} {bmatrix} {bmatrix} }} = {begin {bmatrix} {tfrac {1} {3}} \ {tfrac {1} {4} {4}} end {bmatrix}} Quad to Quad a_ {1} = – {tfrac {1}} {6}}

関数の承認

{displaystyle f（x）}

$f(x)$ 範囲で指定されています

{displaystyle [a ,, b]}

${displaystyle [a,,b]}$ 関数の近似に置き換えることができます

{displaystyle f（xi）、;（x = {tfrac {b+a} {2}}+{tfrac {b-a} {2}} xi）}}

${displaystyle F(xi ),;(x={tfrac {b+a}{2}}+{tfrac {b-a}{2}}xi )}$ 標準範囲

{displaystyle [-1 ,, 1]。}

${displaystyle [-1,,1].}$ 一般化された程度の多項式の形で近似ベースを構築します

{displaystyle n}

$n$

{displaystyle varphi（xi）= a_ {0} w_ {0}（xi）+a_ {1} w_ {1}（xi）+、dods、+a_ {n} w_ {n}（xi）、}

任意の関数から形成されますが、直交する相互に、標準範囲で充実した条件で充実しています

{displaystyle int _ {-1}^{1} !! w_ {k}（xi）w_ {i}（xi）dxi = 0、quad {}}}}

機能しました

{displaystyle l_ {k}、}

${displaystyle l_{k},}$ 私たちは形で（f）に受け入れます

{displaystyle l_ {k}（f）= langle w_ {k} cdot frangle = int _ {-1}^{1} w_ {k}（xi）f（xi）、quad k = 0 、、 1、dots、n。}}

私たちも持っています

{displaystyle {begin {aligned} l_ {k}（varphi）＆= langle w_ {k} cdot varphi rangle \＆= int _ { – 1}^{1} w_ {k}（xi）varphi（xi）\＆= int _ {1}^{1}^{1} {x} }^{n} a_ {i} w_ {i}（xi）dxi \＆= int _ { – 1}^{1} !! a_ {k} w_ {k}^{2}（xi）d（xi）\＆= langle w_ {k} .end {aligned}}}

方程式システム（f）は最も単純な形式に縮小されます

{displaystyle langle w_ {k} cdot frangle = langle w_ {k} cdot w_ {k} rangle a_ {k} quad to quad a_ {k} = {tfrac {langle w_ {k} cdot frangle} {langle w_ {k} cdot w_ {k}

機能しました

{displaystyle langle w_ {k} cdot w_ {k} rangle、; k = 0、1 ,、2 ,、ドット、n}

${displaystyle langle w_{k}cdot w_{k}rangle ,;k=0,,1,,2,,dots ,n}$ たとえば、値があります

${displaystyle langle w_ {k} cdot w_ {k} rangle = {tfrac {2} {2k+1}}、quad {}}$
${displaystyleラングルw_ {k} cdot w_ {k} rangle = 1、quad {}}$
${displaystyle langle w_ {0} cdot w_ {0} rangle = pi、;; langle w_ {k} cdot w_ {k} rangle = {tfrac {pi} {2}}$

最良の近似を定義します [ 編集 | コードを編集します ]

規制スペースで

線形空間を与えます

{displaystyle x}

$X$ 標準で

{displaystyle | cdot |}

$|cdot |$ とさせてください

{displaystyle vsubset x}

${displaystyle Vsubset X}$ それは線形郊外になります

{displaystyle x}

$X$ 完成した寸法。最良の近似のタスクはそのようなものを見つけることです

{displaystyle v^{*} in v}

${displaystyle v^{*}in V}$ （与えられた最良の近似の要素

{displaystyleをお願いしますx}

$x in X$ ）それはあります：

{displaystyle forall {vin v} quad | x-v^{*} | leqslant | x-v |}

要素が理解されるべきです

{displaystyle v^{*}}

${displaystyle v^{*}}$ 近似に「最も近い」要素です

{displaystyle x}

$x$ すべての要素の

{displaystyle vin V.}

${displaystyle vin V.}$

最良の近似のタスクは常に解決されます。つまり、すべての人にとって

{displaystyleをお願いしますx}

$x in X$ 最良の近似の要素があります

{displaystyle v^{*}、}

${displaystyle v^{*},}$ しかし、彼は必ずしも唯一のものではありません。最良の近似の要素は、宇宙で採用された規範に依存することに注意する必要があります

{displaystyle X.}

$X.$

ユニタリアススペースで

させて

{displaystyle x}

$X$ スカラー製品を備えたスペースになります

{displaystyle langle cdot、cdot rangle}

${displaystyle langle cdot ,cdot rangle }$ そして、標準を入れてください

{displaystyle x}

$X$ この製品によって生成されます：

{displaystyle | x | = {sqrt {langle x、xrangle}}}}

${displaystyle |x|={sqrt {langle x,xrangle }}.}$

その後、与えられた

{displaystyleをお願いしますx}

$xin X$ 最適な近似の要素

{displaystyle v^{*}}

${displaystyle v^{*}}$ 唯一のものであり、次のとおりです。

{displaystyle forall {vin v} langle x-v^{*}、vrangle = 0。}

関数の近似の問題 [ 編集 | コードを編集します ]

近似は、その引数のいずれかの値を決定することを可能にする関数の分析形式がない状況で使用され、同時にこの未知の関数の値は、その引数の特定のセットで知られています。このような場合、たとえば、フィールド測定に基づいて総観マップを準備する際の気象学では。

関数の近似は、so -calledの線形組み合わせでそれを持参することになる可能性がありますベース関数 ^[4]。特定の関数を導入する近似関数から、補間の場合のように、特定のポイントを通過することは必須ではありません。数学的な観点から、関数の近似

{displaystyle f}

$f$ ヒルバートの特定のスペースで

{displaystyle h}

$H$ 特定の関数を検索する問題です

{displaystyle gin g、}

${displaystyle gin G,}$ どこ

{displaystyle g}

$G$ それはサブプリジョンです

{displaystyle h、（gsubset h）}

${displaystyle H,(Gsubset H)}$ そのような距離（の意味で

{displaystyle h}

$H$ 標準）間

{displaystyle f}

$f$ a

{displaystyle g}

$g$ 彼女はできるだけ低かった。

関数の近似は、近似誤差と呼ばれるエラーを引き起こします ^[5]。補間に関連する近似の大きな利点は、適切に提示するためには、近似関数が高い二度多項式である必要がないことです（まったく多項式である必要はありません）。この場合の近似は、特定のエラー関数を最小化すると理解されています。おそらくこのエラーの最も一般的な尺度は平均平方根エラーですが、平均エラーなどの他のエラー関数も可能です。

多くの近似方法があります。最も人気のあるものの1つは、塩基関数が線形関数である場合、中型の近似と均一な近似、線形近似です。

近似関数は、さまざまな形式で提示できます。ほとんどの場合、それはキャラクターです：

2次元および3次元の問題を解決する場合、近似も策定できます。

↑ B.P. Demidowicz、I.A。マロン、 数値的方法 、部2、PWN、ワルシャワ1965。
↑ ^a^b^c J.レグラス、 数値分析の実用的な方法 、Wnt、Warsaw 1974。
↑ M.J. Kałkowski、K。Magnucki、 有限要素メソッドの概要 、編ポズナン工科大学、ポズナン1982。
↑ Fortuna、Macukow、およびWinsowski1993► 、s。 74。
↑ Fortuna、Macukow、およびWinsowski1993► 、s。 73。

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最良の近似を定義します [ 編集 | コードを編集します ]

関数の近似の問題 [ 編集 | コードを編集します ]

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