Euklides Elements -Wikipedia、無料百科事典

要素 （gr。 データ 、 Stoicheia ）） ^[a] – 紀元前4世紀の終わりからのデートユークリッドによる幾何学的および算術条約は、両方の科学の基本的な問題をカバーしています。

要素 、人類史上最も有名な科学作品の1つであり、数学理論について考える方法を形作り、科学の多くの分野でロールモデルになりました。それらは演ductive的な方法の典型的な例であり、論理に基づいた演ductive的推論の力の証言です。

著者 要素 彼の作品のほとんどはすでに既知の結果の編集であると考えられていますが、ユークリドがありました。幾何学に捧げられた条約（行方不明）は、すでに彼の前にアブデラ、ゼノクラテス、ポントのヘラクライドから民主党を書いたのです。
キオスとレオンのヒポクラテス（ネクレイデスの学生）とプラトンの学校のマグネシアのテディオスは、ユークライドのタイトルと同じで作品を書きました ^[初め] 。おそらく、条約の内容のほんの一部だけがユークリッドによるものですが、彼の仕事は他のすべてを置き換えたのでより完璧であることが判明しました ^[b] 。

古代から中世まで、19世紀の終わりまで 要素 それらは数学を教えることの規範に属し、今日までは数学的な声明の精度と簡潔さのモデルと見なされるかもしれません。

要素 彼らは何度もコメントされ、修正され、発行されています。アレクサンドリアのテオンによって、4世紀に作業の重要な統一と簡素化が行われました。その後のすべての翻訳とエディションは、1808年の発見まで彼の作品に基づいていました
別のギリシャ語原稿のバチカン図書館は、テオン版よりも早く。アラブの翻訳は8世紀に登場し、バースの12番目のアデラードで彼はそれらに基づいて最初の翻訳をしました 要素 ラテン語で。次の統一の著者はフェデリコ・コマンディーノであり、アラビア語のテキストに基づいたそのバージョンは1572年にリリースされました。 1703年には、最初の完全版がオックスフォードに登場しました 要素 英語で。 8冊の本のポーランド翻訳 要素 、pt。 ジェメトリーxiąg8の始まり、最初の6つ、Iedenastaと12 、19世紀の初め、ヨゼフチェコ。 1807年にKrzemieniecでリリースされました。 3つの言語版は、最高の（ギリシャ語のテキストとラテン語とドイツ語への翻訳）と見なされます。 ユークリッドの作品 、デンマークの哲学者ヨハン・ルーディグ・ハイバーグによって開発され、1883年から1916年に出版されました。

1482年から、最初の印刷版がアラブ版に基づいていたとき 要素 ラテン語では、1,000を超える印刷版が追加され、さらに登場しました。聖書のみが出版社に人気があります。システム上 要素 第二次世界大戦前に人気のある教科書も基づいています ジオメトリ Jan Zydlerによる。

ユークリダ条約には演ductive的な構造があります – 主要な概念とその特性のリストを公理の形で書いた後、その後の主張は厳格な推論によって導き出されます。これは成熟した数学理論の特徴であり、幾何学はすでにユークリッドの時代にこのキャラクターをすでに達成しています。

実行された推論の精度 要素 最初のより大きな不正確さが19世紀後半にのみ気づいたという事実によって証明されています。 Moritz Paschは、粘液によって与えられた公理のリストにはPaschard Axiomと呼ばれる公理を補足するべきであるという結論に達しました。

正確性の検索と同時に、推論の単純さは、ユークリッドが提案したジオメトリ公理よりも数学者を他の人に導いた。 1899年、今日のデビッド・ヒルバートの古典的な作品が公開されました ジオメトリの基本 （ ジオメトリの基本 ）、今日使用されているほとんどの公理の基礎となった。ヒルバートの公理は、とりわけ基づいています ジオメトリの基本 Karol BorsukとWanda Szmielew。

要素は13冊の本の形で書かれています。純粋に幾何学的な内容に加えて、それらのいくつかは、今日の数字の理論に属する問題に専念しています。プロクロスは最初の本に有名なコメントを書きました 要素 。彼は構造（問題）と主張を区別しました。構造は、何が作られるべきか、そしてフレーズを主張するというフレーズで終わります：表示されるもの。

プラニメトリー [ 編集 | コードを編集します ]

i -viの本は、フラットジオメトリに専念しています。

本と

平面のジオメトリの基本に適用されます。 Euklideは、構築されている理論の基本概念の定義を提供します。公理を持つユークリドによって名前が付けられた5つのステートメントを次に示します。

1. 同じサイズに等しいサイズは等しい。
2. 等しいものに等しく追加されたのは、等しい合計を与えます。
3. 等しいものから控除された平等は、平等な違いを与えます。
4. 重複するものは均等です。
5. 全体が部品よりも大きいです。

ユークリダの有名な5つの確実性（または仮定）は、次のように無料の翻訳で聞こえます。

1. 任意の2つのポイントを組み合わせることができます。
2. 単純なものはすべて無制限に拡張できます。
3. 特定のエピソードでは、エピソードに等しいポイントと半径の中央の円を選択できます。
4. すべての正しい角度は偶数です。
5. 片側の内部角度の合計が2つの直角であるように3番目をカットする2つの単純なものは、延長された場合、この側から壊れます。

注：ユークリドは、「シンプル」の拡張について書いています。この明らかな概念的矛盾は、ギリシャ人が今日それらを使用しているときに無限の概念を使用しなかったという事実に起因します。 Infinityは、彼らのために、何かが終了し続けるという無限の可能性を意味していました。

すぐにその理由がわかります ユークリッド5番目の確実性 彼は、すべての世代の数学者の間で非常に多くの疑問を提起しました。これの最初の痕跡はにあります 要素の最初の本への解説 プロクロス。彼は、この確実性の定式化は他の4人とほぼ同じくらいのスペースをとっており、彼の「確実性」は明らかではないと指摘しています。他の人からの5番目の確実性をリードするための永続的な努力は、18世紀の初めにイタリアのジョバンニサッチェリに、つまり、最初の4つの公理に基づいて、So -Caltedの絶対的な幾何学を開始するようになりました（彼はそれを「知的運動」として扱いましたが、彼の真実を確認することに基づく結論の不条理です）。

数学者のさらなる研究は、ユークリッドの5番目の確実性は最初の4つに依存せず、彼を否定に置き換えると、別の幾何学を受け取ることができることが示されています。この確実性は声明と同等であるため：

与えられたまっすぐに、与えられたポイントを通して、あなたは最大で1つをすぐに導くことができます 、

その変更の結果を分析しました。一貫したジオメトリは2つのケースで得られることが判明しました。直線上の非消費点を介して、特定の剥離を導くか、直線的な分離を導くことができるか、最後の文では、修正2.公理を必要とするか、直線剥離を導くことができます。 Carl Gauss、JánosBaryai、Nikolai Ubaczewskiは、最初の道をたどり、So -Callの双曲線形状を受け取り、2番目は楕円形のジオメトリの作成者である19世紀半ばのベルンハルトRiemannに行きました。 Eugenio BeltramiとFeliks Kleinによって19世紀に提案されたBolyai-Wobaczewski幾何学のモデルによって、非統合体の幾何学の最終的な受け入れは提供されました。

最初の本から 要素 すべての人によく知られている用語：

ポイントは、一部ではないものです ;

線には幅がありません ;

表面は長さと幅のみのものです

その他。今日、「ポイント」、「ライン」、「エリア」は主要な概念、つまり非定義です（事実上の公理は それは このタイプの概念の定義、そのため、エンタングルメントの定義が呼ばれています）。しかし、強盗は、読者がいくつかの直感を提案すべきだと信じていたようですが、彼はどこにも言及していませんでした。

さらに、本とユークリドでは、いくつかの基本的な幾何学的構造（対称セクション、2つのイースト角度）について説明し、角度、三角形、ピタゴラスの定理の基本的な特性を証明しています。

本II

今日、私たちが幾何学的代数と呼んでいるもの、つまり基本的な代数設計の幾何学的解釈に専念しています。ギリシャ人は、幾何学的方法で算術を実践しました – たとえば、彼らは正しいエピソードを追加する際に数字を追加していました。 Book IIでは、特に長さの特定のセクションについて、Euklideコンストラクト

${displaystyle a}$

長さのエピソード

${displaystyle {sqrt {a}}}$

短い乗算パターンをコマンドします。

本III

これが円のジオメトリです。ここでの線錯誤は、入力された角度の概念、円への接線の概念、および円に対する点の力の問題について説明しています。

本IV

彼は、地区でポリゴンとポリゴンの地区でポリゴンを記述し、円形のポリゴンとポリゴンの地区に入る可能性について議論しています。さらに、構造は、4、4、5、10、および15の構造をここに示します。

本v

最も抽象的な本です 要素 。 Eudoxosサイズの割合の理論（セクション、角度の角度、フラットフィギュア、塊の体積の共同一般化です）を示しています。それは、すべてのよく知られている割合のプロパティについて説明します。

ブックVI

ポリゴンの類似性の理論に比例する理論の適用、タレスの主張の証拠と三角形の類似性の主張を提示し、エピソードの関係とそれらに基づいた表面の表面のフィールドとの関係を扱っています。

算術 [ 編集 | コードを編集します ]

書籍vii -ix算術の問題について説明します。

本VII

彼は、数字の基本的な特性について説明します。分裂性、最初の数字、最大の共通分割の概念と最小の共通倍数、およびEuclidesアルゴリズムです。

本VIII

その主なトピックは、数字の数字に関する考慮事項です

${displaystyle a、b}$

割合を満たす

${displaystyle a：x = x：b、}$

それが幾何学的な弦の構築です。

本Ix

Euklideは、ここで前の2冊の本の素材を使用して、多くの最初の数字でそれぞれよりも大きい最初の数があること（これは素数の潜在的なセットの無限である）、優れた数の構造とエラトステンのふるいの議論があることを実証します。

ブックx

エピソード（サイズ）に専念しています 不釣り合い 、今日の不合理な数のカウンターパート。

ステレオメトリア [ 編集 | コードを編集します ]

Xi -XIIIの本は、宇宙形状の体系的な講義です。

ブックXI

空間形状の基本概念を提示します – 彼は、空間、垂直と並列性、固体角度、およびその特性に単純な特性と平面を提供します。平行型の量を計算する方法もあります。

本XII

統合を必要とするタスクを解決するために古代によって使用された疲れた方法の説明が含まれています。このおかげで、コーン、ピラミッド、ワルツ、ボールのボリュームのパターンを見つけることが可能になりました。弾丸の量は、光線の立方体のようなものであることに注意してください。

本XIII

それはユークリッドの仕事ではなく、に追加されたと想定されています 要素 後で。

エピソードの黄金の分割と、通常のマルチピネマ​​ン（SO -Calcaled Platonic Blocks）に関する反省の議論が含まれています。最後の主張は次のとおりです。 通常のポリヘドロンは5つしかありません 。

注：ユークリッドによって与えられた正式なマルチベインという用語は、今日とはわずかに異なります。彼は、壁が通常のポリゴンを備えた旅行者である形の多いマルチプレイヤーを考えました。今日、それはさらに、そのようなブロックを突出させ、固体角度を試みることを要求されています（おそらく、Euklideはこれらの仮定を明白であると考えていました）。 1947年、Hans FreudenthalとBartel van der Waerdenは、で与えられた規則性の条件を満たす多派の大会を見つけました 要素 しかし、現在の定義に従って不規則です。

数学者と物理学者（ガリレウス、ニュートン）と哲学者（スピノザと彼の両方 倫理的な手段の幾何学が暴露されます ）。何世紀にもわたって、それは精度と論理構造のモデルであり、16世紀から極東の文化よりも科学的方法論の始まりと西側の技術的利点を見ることができます。 要素 ユークリドは、19世紀の終わりまで、つまり2000年の間、一般的に教科書として使用され、世界のさまざまな言語への翻訳の数は聖書にのみ道を譲りました。

その後の各構築と請求において 要素 文字マークを使用した図の使用は重要な役割を果たし、後に固定されたパターンになります。

別の記事：ギリシャの幾何学の図。

• ステファン S. Kulczycki ステファン S. 、 ギリシャの数学の歴史から 、ワルシャワ：PWN、1975 。
• I.G. I.G. タフ I.G. I.G. 、 古代ギリシャ。ヘレニズム諸国とローマ帝国 、 [の：] A.P. A.P. juszkiewicz （赤。）、 数学の歴史 、Vol。I、Warsaw：PWN、1975、pp。64–168 。
• ブランド M. コーデュール ブランド M. 、 数学の歴史に関する講義 、New Edition、Warsaw：Script、2005、ISBN 83-89716-04-6 、OCLC 749445354 。
• ウィトルド の。 うさぎ ウィトルド の。 、 数学とその物語 、Opole：Nowik、1997、Isbn 83-905456-7-5 、OCLC 749148053 。
• euklides、 要素。書籍v -vi 、PiotrBłaszczykとKazimierzMrówka、Copernicus Center Press、Kraków2013による翻訳 978-83-7886-013-6 。