ファン・ホーベ特異点 – Wikipedia
ファン・ホーベ特異点とは結晶の状態密度(DOS)でみられる特異点(滑らかでない点)のこと。
ファン・ホーベ特異点が生じる波数ベクトルは、ブリルアンゾーンの臨界点と呼ばれる。
3次元結晶の場合、ファン・ホーベ特異点はキンクとなり、そこでは状態密度が微分可能でなくなる。
ファン・ホーベ特異点の最も一般的な応用は、光吸収スペクトルの解析である。
ファン・ホーベ特異点は、1953年にベルギーの物理学者レオン・ファン・ホーベがフォノンの状態密度について最初に取り扱った。
[1]
N粒子サイトからなる1次元格子を考える。
各粒子サイト間の距離はaで、全長はL = Naとする。
ここで、この1次元の箱の中に定在波があると仮定するのではなく、周期的境界条件を用いるのが便利である。
[2]
- k=2πλ=n2πL{displaystyle k={frac {2pi }{lambda }}=n{frac {2pi }{L}}}
ここで
λ{displaystyle lambda }
正の整数は前進する波、負の整数は後進する波を表す。
この格子中の波動の波長は最短で2aであり、このとき最大の波数
kmax=π/a{displaystyle k_{max}=pi /a}nmax=L/2a{displaystyle n_{max}=L/2a} となり、|n|は最大値
状態密度g(k)dkを、波数ベクトルがkからk+dkである定在波の数として定義する。
[3]
- g(k)dk=dn=L2πdk{displaystyle g(k)dk=dn={frac {L}{2pi }},dk}
3次元に拡張すると、箱の中の状態密度は、
- g(k→)d3k=d3n=L3(2π)3d3k{displaystyle g({vec {k}})d^{3}k=d^{3}n={frac {L^{3}}{(2pi )^{3}}},d^{3}k}
ここで
d3k{displaystyle d^{3}k}
また電子では2つスピンの方向を考慮して、因子2を掛ける必要がある。
連鎖律により、エネルギー空間でのDOSは次のように表せる。
- dE=∂E∂kxdkx+∂E∂kydky+∂E∂kzdkz=∇→E⋅dk→{displaystyle dE={frac {partial E}{partial k_{x}}}dk_{x}+{frac {partial E}{partial k_{y}}}dk_{y}+{frac {partial E}{partial k_{z}}}dk_{z}={vec {nabla }}Ecdot d{vec {k}}}
ここで
∇→{displaystyle {vec {nabla }}}はk空間での勾配である。
k空間での位置の組(粒子エネルギーEに対応)はk空間で面を作り、Eの勾配はこの面の全ての点と直交するベクトルである。
[4]
このエネルギーEについての関数である状態密度は、
- g(E)dE=∬∂Eg(k→)d3k=L3(2π)3∬∂Edkxdkydkz{displaystyle g(E)dE=iint _{partial E}g({vec {k}}),d^{3}k={frac {L^{3}}{(2pi )^{3}}}iint _{partial E}dk_{x},dk_{y},dk_{z}}
ここで積分は定数Eの面
∂E{displaystyle partial E}にわたり行う。
kz′{displaystyle k’_{z},}
kx′,ky′,kz′{displaystyle k’_{x},k’_{y},k’_{z},} が面に直交し、Eの勾配に平行となるような新しい座標系
この座標系が元の座標系の回転であれば、k’空間の体積要素は、
- dkx′dky′dkz′=dkxdkydkz{displaystyle dk’_{x},dk’_{y},dk’_{z}=dk_{x},dk_{y},dk_{z}}
dEは次のように書ける。
- dE=|∇→E|dkz′{displaystyle dE=|{vec {nabla }}E|,dk’_{z}}
g(E)の式に代入すると、
- g(E)=L3(2π)3∬dkx′dky′|∇→E|{displaystyle g(E)={frac {L^{3}}{(2pi )^{3}}}iint {frac {dk’_{x},dk’_{y}}{|{vec {nabla }}E|}}}
ここで
dkx′dky′{displaystyle dk’_{x},dk’_{y}}
E(k→){displaystyle E({vec {k}})} の式は、分散関係
k{displaystyle k} が極値となる
ファン・ホーベ特異点はこれらの
点でのDOS関数で起こる性質である。
詳細な解析[5]によると、3次元空間ではバンド構造が極大か、極小か、または鞍点かに依存して4種類のファン・ホーベ特異点がある。
3次元ではDOSの微分が発散してもDOS自身は発散しない。
関数g(E)は平方根特異性(図を参照)をもつ傾向にある。
自由電子のフェルミ面では、
- E=ℏ2k2/2m{displaystyle E=hbar ^{2}k^{2}/2m}
- |∇→E|=ℏ2k/m=ℏ2Em{displaystyle |{vec {nabla }}E|=hbar ^{2}k/m=hbar {sqrt {frac {2E}{m}}}} .
2次元でのDOSは鞍点で対数的に発散し、1次元でのDOSは
∇→E{displaystyle {vec {nabla }}E}がゼロとなるところで無限となる。
固体の光吸収スペクトルは、バンド構造からフェルミの黄金律を用いて計算される。
そこで評価される行列要素は双極子演算子
ここで
p→{displaystyle {vec {p}}} はベクトルポテンシャル、
は運動量演算子である。
フェルミの黄金律で現れる状態密度は結合状態密度(JDOS)で、与えられた光子エネルギーで分離される伝導帯と価電子帯での電子状態の数である。
光吸収は、双極子演算子の行列要素(振動子強度)とJDOSの積によるものである。
2次元と1次元でのDOSの発散は数学的に予想されており、容易に観測できる。
グラファイト(擬2次元)やBechgaard塩(擬1次元)のような異方性固体では、ファン・ホーベ特異点によるスペクトルの異常がみられる。
ファン・ホーベ特異点は擬1次元系である単層カーボンナノチューブ(SWNT)の光強度で重要となる。
グラフェンのディラック点はファン・ホーベ特異点であり、グラフェンが電気的中性のときの電気抵抗のピークとして観測される。
ねじれたグラフェン層も、層間のカップリングによる状態密度のファン・ホーベ特異点を示す[6]。
参考文献[編集]
- ^ L. Van Hove, “The Occurrence of Singularities in the Elastic Frequency Distribution of a Crystal,” Phys. Rev. 89, 1189–1193 (1953).
- ^ See equation 2.9 in http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/BandMT_02.pdf From
ϕ(x+L)=ϕ(x){displaystyle phi (x+L)=phi (x)} we have kL=2nπ{displaystyle kL=2npi } - ^ *M. A. Parker(1997-2004)“Introduction to Density of States” Marcel-Dekker Publishing p.7. Archived September 8, 2006, at the Wayback Machine.
- ^ *Ziman, John (1972). Principles of the Theory of Solids. Cambridge University Press. ISBN B0000EG9UB
- ^ *Bassani, F.; Pastori Parravicini, G. (1975). Electronic States and Optical Transitions in Solids. Pergamon Press. ISBN 0-08-016846-9 This book contains an extensive discussion of the types of Van Hove singularities in different dimensions and illustrates the concepts with detailed theoretical-versus-experimental comparisons for Ge and graphite.
- ^ I. Brihuega et al., Physical Review Letters 109, 196802 (2012).
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