中心 (代数学) – Wikipedia
数学の分野である代数学において、多元環や群などの中心 (英: center, 独: Zentrum) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と交換する元全体からなる。
群の中心[編集]
G{displaystyle G}
を群とすると、その中心は集合
- Z(G):={z∈G∣∀g∈G:gz=zg}{displaystyle mathrm {Z} (G):={zin Gmid forall gin G_gz=zg}}
である。
性質[編集]
G{displaystyle G}
の中心は部分群である。なぜならば、
と
y{displaystyle y}
を
Z(G){displaystyle Z(G)}
の元とすると、任意の
g∈G{displaystyle gin G}
に対して、
- (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy){displaystyle (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)}
なので、
xy{displaystyle xy}も中心に入る。同様にして、
x−1{displaystyle x^{-1}}
も中心に入る。
- x−1g=(g−1x)−1=(xg−1)−1=gx−1{displaystyle x^{-1}g=(g^{-1}x)^{-1}=(xg^{-1})^{-1}=gx^{-1}} .
群の単位元
e{displaystyle e}は常に中心に入る。
eg=g=ge{displaystyle eg=g=ge}
.
中心はアーベル群で
G{displaystyle G}の正規部分群である。
G{displaystyle G}の特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。
G{displaystyle G}がアーベル群であることと
Z(G)=G{displaystyle Z(G)=G}は同値である。
中心はちょうど、
z{displaystyle z}による共役、すなわち
(g↦z−1gz){displaystyle left(gmapsto z^{-1}gzright)}
が恒等写像であるような、
G{displaystyle G}
の元
z{displaystyle z}からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。
CG(G)=Z(G){displaystyle C_{G}(G)=Z(G)}である。
例[編集]
- 3次対称群
S3={id,(12),(13),(23),(123),(132)}{displaystyle S_{3}=left{mathrm {id} ,(1;2),(1;3),(2;3),(1;2;3),(1;3;2)right}} の中心は単位元 id{displaystyle mathrm {id} } のみからなる、なぜならば：
- (12)(13)=(132)≠(13)(12)=(123){displaystyle (1;2)(1;3)=(1;3;2)neq (1;3)(1;2)=(1;2;3)}
- (12)(23)=(123)≠(23)(12)=(132){displaystyle (1;2)(2;3)=(1;2;3)neq (2;3)(1;2)=(1;3;2)}
- (123)(12)=(13)≠(12)(123)=(23){displaystyle (1;2;3)(1;2)=(1;3)neq (1;2)(1;2;3)=(2;3)}
- (132)(12)=(23)≠(12)(132)=(13){displaystyle (1;3;2)(1;2)=(2;3)neq (1;2)(1;3;2)=(1;3)}
- 二面体群
D4{displaystyle D_{4}} は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。 - 実数を成分に持つ可逆 n×n-行列の乗法群の中心は単位行列の（0 でない）実数倍からなる。
環の中心[編集]
環 R の中心は環の元であってすべての元と交換するものからなる。
- Z(R)={z∈R∣za=az for all a∈R}.{displaystyle mathrm {Z} (R)={zin Rmid za=az {text{for all}} ain R}.}
中心
Z(R){displaystyle Z(R)}は R の可換な部分環である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。
結合多元環の中心[編集]
結合多元環 A の中心は可換な部分多元環
- Z(A)={z∈A∣za=az for all a∈A}{displaystyle mathrm {Z} (A)={zin Amid za=az {text{for all}} ain A}}
である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。
リー代数の中心[編集]
定義[編集]
リー代数
g{displaystyle {mathfrak {g}}}の中心は（可換な）イデアル
- z(g)={z∈g∣[x,z]=0 for all x∈g}{displaystyle {mathfrak {z}}({mathfrak {g}})={zin {mathfrak {g}}mid [x,z]=0 {text{for all}} xin {mathfrak {g}}}}
![mathfrak z(mathfrak g)={zin mathfrak gmid[x,z]=0 text{for all} xinmathfrak g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc9c5240fa5e78ed985c5e4bc6cdd4f3e43e0cd)
である。ただし
[⋅,⋅]{displaystyle [cdot ,cdot ]}はブラケット積、つまり
g{displaystyle {mathfrak {g}}}
![[cdot ,cdot ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。
例[編集]
- Z(GL(n,K))={λEn:λ∈K∗}{displaystyle Zleft(mathrm {GL} (n,K)right)={lambda E_{n}colon lambda in K^{*}}} .
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