区分行列 – Wikipedia
区分行列（くぶんぎょうれつ）もしくはブロック行列 (block matrix) とは、いくつかの長方形のブロックに「区分け」された行列である。
例えば、4つの行列
- A=[2−15−14181−2],B=[−361341],C=[−426],D=[91]{displaystyle A={begin{bmatrix}2&-1&5-1&4&18&1&-2end{bmatrix}},quad B={begin{bmatrix}-3&61&34&1end{bmatrix}},quad C={begin{bmatrix}-4&2&6end{bmatrix}},quad D={begin{bmatrix}9&1end{bmatrix}}}
を並べてできる 4 × 5 行列
- [ABCD]=[2−15−36−1411381−241−42691]{displaystyle {begin{bmatrix}A&BC&Dend{bmatrix}}={begin{bmatrix}2&-1&5&&-3&6-1&4&1&&1&38&1&-2&&4&1&&&&&-4&2&6&&9&1end{bmatrix}}}
を、A, B, C, D をブロックとする区分行列と呼ぶ。ブロックは小行列とも呼ばれる。行列をブロックに分けることを区分けという。
一般の区分けでは、行や列をそれぞれいくつに分割してもよい。Aij たちをブロックとする区分行列
- [A11A12⋯A1qA21A22⋯A2q⋮⋮⋱⋮Ap1Ap2⋯Apq]{displaystyle {begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&cdots &A_{1q}A_{21}&A_{22}&cdots &A_{2q}vdots &vdots &ddots &vdots A_{p1}&A_{p2}&cdots &A_{pq}end{bmatrix}}}
が区分けの一般的な形である。ただし、同じ行にあるブロックの行数は等しくなければならず、同じ列にあるブロックの列数は等しくなければならない。Ai j が mi × nj 行列である場合、この形の区分けを (m1, …, mq; n1, …, nr) 型と呼ぶ。
区分行列の積[編集]
ふたつの区分行列
- A=[A11A12⋯A1qA21A22⋯A2q⋮⋮⋱⋮Ap1Ap2⋯Apq],B=[B11B12⋯B1rB21B22⋯B2r⋮⋮⋱⋮Bq1Bq2⋯Bqr]{displaystyle A={begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&cdots &A_{1q}A_{21}&A_{22}&cdots &A_{2q}vdots &vdots &ddots &vdots A_{p1}&A_{p2}&cdots &A_{pq}end{bmatrix}},quad B={begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&cdots &B_{1r}B_{21}&B_{22}&cdots &B_{2r}vdots &vdots &ddots &vdots B_{q1}&B_{q2}&cdots &B_{qr}end{bmatrix}}}
の区分けがそれぞれ (l1, …, lp; m1, …, mq) 型、(m1, …, mq; n1, …, nr) 型であるとき、その積 AB の (l1, …, lp; n1, …, nr) 型の区分け
- AB=[C11C12⋯C1rC21C22⋯C2r⋮⋮⋱⋮Cp1Cp2⋯Cpr]{displaystyle AB={begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&cdots &C_{1r}C_{21}&C_{22}&cdots &C_{2r}vdots &vdots &ddots &vdots C_{p1}&C_{p2}&cdots &C_{pr}end{bmatrix}}}
の各ブロックは
- Cij=∑k=1qAikBkj{displaystyle C_{ij}=sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}}
で与えられる。すなわち、区分行列の積は（適切に区分けされていれば）各ブロックをあたかも行列の成分のように見なして計算できる。
対称区分け[編集]
正方行列 P の区分け
- P=[A11A12…A1rA21A22…A2r⋮⋮⋱⋮Ar1Ar2…Arr]{displaystyle P={begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&dots &A_{1r}A_{21}&A_{22}&dots &A_{2r}vdots &vdots &ddots &vdots A_{r1}&A_{r2}&dots &A_{rr}end{bmatrix}}}
において、主対角線上のブロック A1 1, A2 2, … Ar r がすべて正方行列であるとき、これを対称区分けという。特に、主対角線より下のブロックが全て零行列である場合、その行列式について
- |P|=∏k=1r|Akk|{displaystyle |P|=prod _{k=1}^{r}|A_{kk}|}
が成り立つ。よって、そのような P が正則であるための必要十分条件は、主対角線上のブロックが全て正則であることである。
2 × 2 の区分行列の逆行列[編集]
本節では、A は正則行列、D は正方行列とし、区分行列
- P=[ABCD]{displaystyle P={begin{bmatrix}A&BC&Dend{bmatrix}}}
の逆行列を与える。
まず、行列式について、
- |P|=|A||D−CA−1B|{displaystyle |P|=|A||D-CA^{-1}B|,}
が成り立つ。よって、P が正則であるための必要十分条件は、D − CA−1B も正則であることであり、このとき逆行列は
- [ABCD]−1=[A−1+A−1B(D−CA−1B)−1CA−1−A−1B(D−CA−1B)−1−(D−CA−1B)−1CA−1(D−CA−1B)−1]{displaystyle {begin{bmatrix}A&BC&Dend{bmatrix}}^{-1}={begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}end{bmatrix}}}
で与えられる。D も正則な場合は
- [ABCD]−1=[(A−BD−1C)−1−A−1B(D−CA−1B)−1−(D−CA−1B)−1CA−1(D−CA−1B)−1]{displaystyle {begin{bmatrix}A&BC&Dend{bmatrix}}^{-1}={begin{bmatrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}end{bmatrix}}}
と表される。さらに C が零行列 O に等しい場合は
- [ABOD]−1=[A−1−A−1BD−1OD−1]{displaystyle {begin{bmatrix}A&BO&Dend{bmatrix}}^{-1}={begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}BD^{-1}O&D^{-1}end{bmatrix}}}
となる。
参考文献[編集]
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