Charakterisierungen der Exponentialfunktion

In der Mathematik kann die Exponentialfunktion auf viele Arten charakterisiert werden. Die folgenden Charakterisierungen (Definitionen) sind am häufigsten. In diesem Artikel wird erläutert, warum jede Charakterisierung sinnvoll ist und warum die Charakterisierungen unabhängig voneinander und gleichwertig sind. Als Sonderfall dieser Überlegungen wird gezeigt, dass die drei häufigsten Definitionen für die mathematische Konstante gegeben sind e sind einander äquivalent.

Charakterisierungen[edit]

Die sechs häufigsten Definitionen der Exponentialfunktion exp (x) = e^x wirklich x sind:

1. Definieren e^x durch die Grenze

${ displaystyle e ^ {x} = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n}.}$

2. Definieren e^x als Wert der unendlichen Reihe

${ displaystyle e ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} {x ^ {n} over n!} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2! }} + { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {4}} {4!}} + cdots}$

(Hier n! bezeichnet die Fakultät von n. Ein Beweis dafür e ist irrational verwendet diese Darstellung.)

3. Definieren e^x die eindeutige Nummer sein y > 0 so dass

${ displaystyle int _ {1} ^ {y} { frac {dt} {t}} = x.}$

Dies ist die Umkehrung der natürlichen Logarithmusfunktion, die durch dieses Integral definiert wird.

4. Definieren e^x die einzigartige Lösung für das Anfangswertproblem zu sein

${ displaystyle y ‘= y, quad y (0) = 1.}$

(Hier, y‘ bezeichnet die Ableitung von y.)

5. Die Exponentialfunktion f((x) = e^x ist der einzigartige Lebesgue-messbare Funktion mit f(1) = e das befriedigt

after-content-x4

${ displaystyle f (x + y) = f (x) f (y) { text {für alle}} x { text {und}} y}$

(Hewitt und Stromberg, 1965, Übung 18.46).

Alternativ ist es das einzigartige überall kontinuierliche Funktion mit diesen Eigenschaften (Rudin, 1976, Kapitel 8, Übung 6). Der Begriff “überall kontinuierlich” bedeutet, dass mindestens ein einzelner Punkt existiert x bei welchem f((x) ist kontinuierlich. Wie unten gezeigt, wenn f((x + y) = f((x) f((y) für alle x und y, und f((x) ist kontinuierlich bei irgendein einziger Punkt x, dann f((x) ist notwendigerweise kontinuierlich überall.

(Als Gegenbeispiel, wenn man es tut nicht Unter der Annahme von Kontinuität oder Messbarkeit ist es möglich, die Existenz einer überall diskontinuierlichen, nicht messbaren Funktion mit dieser Eigenschaft zu beweisen, indem eine Hamel-Basis für die reellen Zahlen über die Rationalitäten verwendet wird, wie in Hewitt und Stromberg beschrieben.

weil f((x) = e^x ist für rationale garantiert x Durch die obigen Eigenschaften (siehe unten) könnte man auch Monotonie oder andere Eigenschaften verwenden, um die Wahl von zu erzwingen e^x für irrational x,^{[citation needed]} aber solche Alternativen scheinen ungewöhnlich zu sein.

Man könnte auch die Bedingungen ersetzen, die f(1) = e und das f Lebesgue-messbar oder irgendwo kontinuierlich mit der einzigen Bedingung sein, dass f ‘(0) = 1.

6. Lassen Sie e sei die eindeutige reelle Zahl befriedigend

${ displaystyle lim _ {h bis 0} { frac {e ^ {h} -1} {h}} = 1.}$

Es kann gezeigt werden, dass diese Grenze existiert. Diese Definition eignet sich besonders zur Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion. Dann definieren e^x die Exponentialfunktion mit dieser Basis zu sein.

Größere Domains[edit]

Eine Möglichkeit, die Exponentialfunktion für Domänen zu definieren, die größer als die Domäne von reellen Zahlen sind, besteht darin, sie zuerst für die Domäne von reellen Zahlen unter Verwendung einer der obigen Charakterisierungen zu definieren und sie dann auf eine Weise auf größere Domänen auszudehnen, die für jede analytische Funktion funktionieren würde .

Es ist auch möglich, die Charakterisierungen direkt für die größere Domäne zu verwenden, obwohl einige Probleme auftreten können. (1), (2) und (4) sind alle für beliebige Banach-Algebren sinnvoll. (3) stellt ein Problem für komplexe Zahlen dar, da es nicht äquivalente Pfade gibt, auf denen man sich integrieren könnte, und (5) nicht ausreicht. Zum Beispiel die Funktion f definiert (für x und y real) als

${ displaystyle f (x + iy) = e ^ {x} ( cos (2y) + i sin (2y)) = e ^ {x + 2iy}}$

erfüllt die Bedingungen in (5), ohne die Exponentialfunktion von zu sein x + iy. Um (5) für die Domäne komplexer Zahlen ausreichend zu machen, kann man entweder festlegen, dass es einen Punkt gibt, an dem f ist eine konforme Karte oder legen dies fest

${ displaystyle f (i) = cos (1) + i sin (1).}$

Insbesondere die alternative Bedingung in (5), dass

${ displaystyle f ‘(0) = 1}$

ist ausreichend, da dies implizit vorschreibt f konform sein.

Beweis, dass jede Charakterisierung sinnvoll ist[edit]

Einige dieser Definitionen müssen begründet werden, um nachzuweisen, dass sie gut definiert sind. Wenn beispielsweise der Wert der Funktion als Ergebnis eines Begrenzungsprozesses (dh einer unendlichen Folge oder Reihe) definiert wird, muss nachgewiesen werden, dass eine solche Begrenzung immer existiert.

Charakterisierung 2[edit]

Schon seit

${ displaystyle lim _ {n to infty} left | { frac {x ^ {n + 1} / (n + 1)!} {x ^ {n} / n!}} right | = lim _ {n to infty} left | { frac {x} {n + 1}} right | = 0 <1.}$

Aus dem Verhältnis-Test folgt, dass

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}}}$

konvergiert für alle x.

Charakterisierung 3[edit]

Da der Integrand eine integrierbare Funktion von ist tist der integrale Ausdruck gut definiert. Es muss gezeigt werden, dass die Funktion von

${ displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$

zu

${ displaystyle mathbb {R}}$

definiert von

${ displaystyle int _ {1} ^ {( cdot)} { frac {dt} {t}}}$

ist eine Bijektion. Wie

${ displaystyle t ^ {- 1}}$

ist positiv für positiv tDiese Funktion nimmt monoton zu, daher eins zu eins. Wenn die beiden Integrale

${ displaystyle { begin {align} int _ {1} ^ { infty} { frac {dt} {t}} & = infty \[8pt] int _ {1} ^ {0} { frac {dt} {t}} & = – infty end {align}}}$

halten, dann ist es auch klar auf. In der Tat diese Integrale tun halt; Sie ergeben sich aus dem Integraltest und der Divergenz der harmonischen Reihen.

Äquivalenz der Charakterisierungen[edit]

Der folgende Beweis zeigt die Äquivalenz der ersten drei angegebenen Charakterisierungen e über. Der Beweis besteht aus zwei Teilen. Zuerst wird die Äquivalenz der Charakterisierungen 1 und 2 hergestellt, und dann wird die Äquivalenz der Charakterisierungen 1 und 3 hergestellt. Argumente, die die anderen Charakterisierungen verbinden, werden ebenfalls angegeben.

Äquivalenz der Charakterisierungen 1 und 2[edit]

Das folgende Argument stammt aus einem Beweis in Rudin, Satz 3.31, p. 63–65.

Lassen

${ displaystyle x geq 0}$

eine feste nicht negative reelle Zahl sein. Definieren

${ displaystyle s_ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {x ^ {k}} {k!}}, t_ {n} = left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n}.}$

Nach dem Binomialsatz

${ displaystyle { begin {align} t_ {n} & = sum _ {k = 0} ^ {n} {n wähle k} { frac {x ^ {k}} {n ^ {k}} } = 1 + x + sum _ {k = 2} ^ {n} { frac {n (n-1) (n-2) cdots (n- (k-1)) x ^ {k}} { k! , n ^ {k}}} \[8pt]& = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2!}} Left (1 – { frac {1} {n}} right) + { frac {x ^ {3}} { 3!}} Left (1 – { frac {1} {n}} right) left (1 – { frac {2} {n}} right) + cdots \[8pt]& {} qquad cdots + { frac {x ^ {n}} {n!}} left (1 – { frac {1} {n}} right) cdots left (1 – { frac {n-1} {n}} rechts) leq s_ {n} end {align}}}$

(mit x ≥ 0, um die endgültige Ungleichung zu erhalten), so dass

${ displaystyle limsup _ {n to infty} t_ {n} leq limsup _ {n to infty} s_ {n} = e ^ {x}}$

wo e^x ist im Sinne von Definition 2. Hier müssen Limsups verwendet werden, da nicht bekannt ist, ob t_nkonvergiert. Für die andere Richtung durch den obigen Ausdruck von t_n, wenn 2 ≤ m ≤ n,

${ displaystyle 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2!}} left (1 – { frac {1} {n}} right) + cdots + { frac {x ^ { m}} {m!}} left (1 – { frac {1} {n}} right) left (1 – { frac {2} {n}} right) cdots left (1 – { frac {m-1} {n}} right) leq t_ {n}.}$

Fix m, und lass n nähere dich der Unendlichkeit. Dann

${ displaystyle s_ {m} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2!}} + cdots + { frac {x ^ {m}} {m!}} leq liminf _ {n to infty} t_ {n}}$

(Auch hier müssen Liminfs verwendet werden, da nicht bekannt ist, ob t_n konvergiert). Nehmen wir nun die obige Ungleichung und lassen m nähere dich der Unendlichkeit und setze sie mit der anderen Ungleichung zusammen

${ displaystyle limsup _ {n to infty} t_ {n} leq e ^ {x} leq liminf _ {n to infty} t_ {n}}$

damit

${ displaystyle lim _ {n to infty} t_ {n} = e ^ {x}.}$

Diese Äquivalenz kann durch Notieren auf die negativen reellen Zahlen erweitert werden

${ displaystyle left (1 – { frac {r} {n}} right) ^ {n} left (1 + { frac {r} {n}} right) ^ {n} = left (1 – { frac {r ^ {2}} {n ^ {2}}} right) ^ {n}}$

und das Limit nehmen, wenn n gegen unendlich geht.

Der Fehlerterm dieses Grenzwertausdrucks wird durch beschrieben

${ displaystyle left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n} = e ^ {x} left (1 – { frac {x ^ {2}} {2n}} + { frac {x ^ {3} (8 + 3x)} {24n ^ {2}}} + cdots right),}$

wo der Grad des Polynoms (in x) im Begriff mit Nenner n^k ist 2k.

Äquivalenz der Charakterisierungen 1 und 3[edit]

Hier wird die natürliche Logarithmusfunktion in Form eines bestimmten Integrals wie oben definiert. Nach dem ersten Teil des Grundsatzes der Analysis,

${ displaystyle { frac {d} {dx}} ln x = { frac {d} {dx}} int _ {1} ^ {x} { frac {1} {t}} , dt = { frac {1} {x}}.}$

Außerdem,

${ displaystyle ln 1 = int _ {1} ^ {1} { frac {1} {t}} , dt = 0}$

Nun lass x sei eine feste reelle Zahl und lass

${ displaystyle y = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n}.}$

Ln (y) = x, was das impliziert y = e^x, wo e^x ist im Sinne von Definition 3. Wir haben

${ displaystyle ln y = ln lim _ {n to infty} left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n} = lim _ {n to infty} ln left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n}.}$

Hier ist die Kontinuität von ln (y) verwendet wird, was sich aus der Kontinuität von 1 / ergibtt::

${ displaystyle ln y = lim _ {n to infty} n ln left (1 + { frac {x} {n}} right) = lim _ {n to infty} { frac {x ln left (1+ (x / n) right)} {(x / n)}}.}$

Hier ist das Ergebnis lneinⁿ = nlnein wurde verwendet. Dieses Ergebnis kann für festgelegt werden n eine natürliche Zahl durch Induktion oder durch Integration durch Substitution. (Die Ausweitung auf echte Mächte muss warten bis ln und exp wurden als Umkehrungen voneinander etabliert, so dass ein^b kann für real definiert werden b wie e^{b lnein}.)

${ displaystyle = x cdot lim _ {h bis 0} { frac { ln left (1 + h right)} {h}} quad { text {where}} h = { frac {x} {n}}}$

${ displaystyle = x cdot lim _ {h bis 0} { frac { ln left (1 + h right) – ln 1} {h}}}$

${ displaystyle = x cdot { frac {d} {dt}} ln t { Bigg |} _ {t = 1}}$

${ displaystyle ! , = x.}$

Äquivalenz der Charakterisierungen 3 und 4[edit]

Bei der Charakterisierung 3 wird der natürliche Logarithmus definiert, bevor die Exponentialfunktion definiert wird. Zuerst,

${ displaystyle log x: = int _ {1} ^ {x} { frac {1} {t}} dt}$

Dies bedeutet, dass der natürliche Logarithmus von

${ displaystyle x}$

entspricht der (vorzeichenbehafteten) Fläche unter dem Diagramm von

${ displaystyle 1 / t}$

zwischen

${ displaystyle t = 1}$

und

${ displaystyle t = x}$

. Wenn

${ displaystyle x <1}$

dann wird dieser Bereich als negativ angenommen. Dann,

${ displaystyle exp}$

ist definiert als die Umkehrung von

${ displaystyle log}$

, bedeutet, dass

${ displaystyle exp ( log (x)) = x { text {und}} log ( exp (x)) = x}$

durch die Definition einer Umkehrfunktion. Wenn

${ displaystyle a}$

ist dann eine positive reelle Zahl

${ displaystyle a ^ {x}}$

ist definiert als

${ displaystyle exp (x log (a))}$

. Schließlich,

${ displaystyle e}$

ist als die Nummer definiert

${ displaystyle a}$

so dass

${ displaystyle log (a) = 1}$

. Es kann dann gezeigt werden, dass

${ displaystyle e ^ {x} = exp (x)}$

::

${ displaystyle e ^ {x} = exp (x log (e)) = exp (x)}$

Nach dem Grundsatz der Analysis ist die Ableitung von

${ displaystyle log x = { frac {1} {x}}}$

. Wir sind jetzt in der Lage, dies zu beweisen

${ displaystyle { frac {d (e ^ {x})} {dx}} = e ^ {x}}$

, Erfüllung des ersten Teils des in Charakterisierung 4 angegebenen Anfangswertproblems:

${ displaystyle { begin {align} { text {Let}} y & = e ^ {x} = exp (x) \ log (y) & = log ( exp (x)) = x { frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} & = 1 \ { frac {dy} {dx}} & = y = e ^ {x} end {align} }}$

Dann müssen wir das nur noch beachten

${ displaystyle e ^ {0} = exp (0) = 1}$

und wir sind fertig. Natürlich ist es viel einfacher zu zeigen, dass Charakterisierung 4 Charakterisierung 3 impliziert. Wenn

${ displaystyle e ^ {x}}$

ist die einzigartige Funktion

${ displaystyle f: mathbb {R} to mathbb {R}}$

befriedigend

${ displaystyle f ‘(x) = e ^ {x}}$

, und

${ displaystyle f (0) = 1}$

, dann

${ displaystyle log}$

kann als seine Umkehrung definiert werden. Die Ableitung von

${ displaystyle log}$

kann auf folgende Weise gefunden werden:

${ displaystyle y = log x impliziert x = e ^ {y}}$

Wenn wir beide Seiten in Bezug auf unterscheiden

${ displaystyle y}$

, wir bekommen

${ displaystyle { begin {align} { frac {dx} {dy}} & = e ^ {y} \ { frac {dy} {dx}} & = { frac {1} {e ^ { y}}} = { frac {1} {x}} end {align}}}$

Deshalb,

${ displaystyle int _ {1} ^ {x} { frac {1} {t}} dt = left[log tright]_ {1} ^ {x} = log x- log 1 = log x-0 = log x}$

Äquivalenz der Charakterisierungen 2 und 4[edit]

Sei n eine nicht negative ganze Zahl. Im Sinne von Definition 4 und durch Induktion

${ displaystyle { frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = y}$

.

Deshalb

${ displaystyle { frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} { Bigg |} _ {x = 0} = y (0) = 1.}$

Mit Taylor-Serie,

${ displaystyle y = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} , x ^ {n} = sum _ { n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} , x ^ {n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n} } {n!}}.}$

Dies zeigt, dass Definition 4 Definition 2 impliziert.

Im Sinne von Definition 2,

${ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dx}} e ^ {x} & = { frac {d} {dx}} left (1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} right) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {nx ^ {n-1}} {n !}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n-1}} {(n-1)!}} \[6pt]& = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {k}} {k!}}, { text {where}} k = n-1 \[6pt]& = e ^ {x} end {align}}}$

Außerdem,

${ displaystyle e ^ {0} = 1 + 0 + { frac {0 ^ {2}} {2!}} + { frac {0 ^ {3}} {3!}} + cdots = 1. }}$

Dies zeigt, dass Definition 2 Definition 4 impliziert.

Äquivalenz der Charakterisierungen 1 und 5[edit]

Der folgende Beweis ist eine vereinfachte Version des in Hewitt und Stromberg, Übung 18.46. Zunächst beweist man, dass Messbarkeit (oder hier Lebesgue-Integrierbarkeit) Kontinuität für eine Nicht-Null-Funktion impliziert

${ displaystyle f (x)}$

befriedigend

${ Anzeigestil f (x + y) = f (x) f (y)}$

und dann beweist man, dass Kontinuität impliziert

${ displaystyle f (x) = e ^ {kx}}$

für einige k, und schlussendlich

${ displaystyle f (1) = e}$

impliziert k= 1.

Zunächst einige elementare Eigenschaften aus

${ displaystyle f (x)}$

befriedigend

${ Anzeigestil f (x + y) = f (x) f (y)}$

sind bewiesen, und die Annahme, dass

${ displaystyle f (x)}$

ist nicht identisch Null:

Die zweite und dritte Eigenschaft bedeuten, dass es ausreicht, dies zu beweisen

${ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$

für positiv x.

Wenn

${ displaystyle f (x)}$

ist also eine Lebesgue-integrierbare Funktion

${ displaystyle g (x) = int _ {0} ^ {x} f (x ‘) , dx’.}$

Daraus folgt dann

${ Anzeigestil g (x + y) -g (x) = int _ {x} ^ {x + y} f (x ‘) , dx’ = int _ {0} ^ {y} f (x + x ‘) , dx’ = f (x) g (y).}$

Schon seit

${ displaystyle f (x)}$

ist ungleich Null, einige y kann so gewählt werden, dass

${ displaystyle g (y) neq 0}$

und lösen für

${ displaystyle f (x)}$

im obigen Ausdruck. Deshalb:

${ displaystyle { begin {align} f (x + delta) -f (x) & = { frac {[g(x+delta +y)-g(x+delta )]- -[g(x+y)-g(x)]} {g (y)}} \ & = { frac {[g(x+y+delta )-g(x+y)]- -[g(x+delta )-g(x)]} {g (y)}} \ & = { frac {f (x + y) g ( delta) -f (x) g ( delta)} {g (y)}} = g ( delta ) { frac {f (x + y) -f (x)} {g (y)}}. end {align}}}$

Der endgültige Ausdruck muss als auf Null gehen

${ displaystyle delta rightarrow 0}$

schon seit

${ displaystyle g (0) = 0}$

und

${ displaystyle g (x)}$

ist kontinuierlich. Es folgt dem

${ displaystyle f (x)}$

ist kontinuierlich.

Jetzt,

${ displaystyle f (q) = e ^ {kq}}$

kann für einige bewiesen werden kfür alle positiven rationalen Zahlen q. Lassen q=n/.m für positive ganze Zahlen n und m. Dann

${ displaystyle f left ({ frac {n} {m}} right) = f left ({ frac {1} {m}} + cdots + { frac {1} {m}} rechts) = f links ({ frac {1} {m}} rechts) ^ {n}}$

durch elementare Induktion auf n. Deshalb,

${ displaystyle f (1 / m) ^ {m} = f (1)}$

und somit

${ displaystyle f left ({ frac {n} {m}} right) = f (1) ^ {n / m} = e ^ {k (n / m)}.}$

zum

${ displaystyle k = ln[f(1)]}}$

. Wenn auf den realen Wert beschränkt

${ displaystyle f (x)}$

, dann

${ displaystyle f (x) = f (x / 2) ^ {2}}$

ist überall positiv und so k ist echt.

Schließlich durch Kontinuität, da

${ displaystyle f (x) = e ^ {kx}}$

für alle rational xmuss es für alle real wahr sein x denn die Schließung der Rationalen ist die Realität (dh jede Realität) x kann als Grenze einer Folge von Rationalen geschrieben werden). Wenn

${ displaystyle f (1) = e}$

dann k = 1. Dies entspricht der Charakterisierung 1 (oder 2 oder 3), je nachdem, welche äquivalente Definition von e verwendet wird.

Charakterisierung 2 impliziert Charakterisierung 6[edit]

Im Sinne von Definition 2,^[1]

${ displaystyle lim _ {h bis 0} { frac {e ^ {h} -1} {h}}}$

${ displaystyle = lim _ {h bis 0} { frac {1} {h}} left ( left (1 + h + { frac {h ^ {2}} {2!}} + { frac {h ^ {3}} {3!}} + { frac {h ^ {4}} {4!}} + cdots right) -1 right)}$

${ displaystyle = lim _ {h bis 0} left (1 + { frac {h} {2!}} + { frac {h ^ {2}} {3!}} + { frac { h ^ {3}} {4!}} + cdots right)}$

${ displaystyle = 1}$

Charakterisierung 5 impliziert Charakterisierung 4[edit]

Die Bedingungen f ‘(0) = 1 und f((x + y) = f((x) f((y) implizieren beide Bedingungen in der Charakterisierung 4. In der Tat erhält man die Anfangsbedingung f(0) = 1 durch Teilen beider Seiten der Gleichung

${ Anzeigestil f (0) = f (0 + 0) = f (0) f (0)}$

durch f(0)und die Bedingung, dass f ‘((x) = f((x) folgt aus der Bedingung, dass f ‘(0) = 1 und die Definition des Derivats wie folgt:

${ displaystyle { begin {array} {rcccccc} f ‘(x) & = & lim begrenzt _ {h auf 0} { frac {f (x + h) -f (x)} {h} } & = & lim begrenzt _ {h auf 0} { frac {f (x) f (h) -f (x)} {h}} & = & lim begrenzt _ {h auf 0 } f (x) { frac {f (h) -1} {h}} \[1em]& = & f (x) lim begrenzt _ {h auf 0} { frac {f (h) -1} {h}} & = & f (x) lim begrenzt _ {h auf 0} { frac {f (0 + h) -f (0)} {h}} & = & f (x) f ‘(0) = f (x). end {array}}}$

Charakterisierung 6 impliziert Charakterisierung 4[edit]

Im Sinne der Definition 6,

${ displaystyle { frac {d} {dx}} e ^ {x} = lim _ {h bis 0} { frac {e ^ {x + h} -e ^ {x}} {h}} = e ^ {x} cdot lim _ {h bis 0} { frac {e ^ {h} -1} {h}} = e ^ {x}.}$

Apropos

${ displaystyle e ^ {0} = 1}$

Daher impliziert Definition 6 Definition 4.

Verweise[edit]

• Walter Rudin, Prinzipien der mathematischen Analyse, 3. Auflage (McGraw-Hill, 1976), Kapitel 8.
• Edwin Hewitt und Karl Stromberg, Reale und abstrakte Analyse (Springer, 1965).