Charakterisierungen der Exponentialfunktion
In der Mathematik kann die Exponentialfunktion auf viele Arten charakterisiert werden. Die folgenden Charakterisierungen (Definitionen) sind am häufigsten. In diesem Artikel wird erläutert, warum jede Charakterisierung sinnvoll ist und warum die Charakterisierungen unabhängig voneinander und gleichwertig sind. Als Sonderfall dieser Überlegungen wird gezeigt, dass die drei häufigsten Definitionen für die mathematische Konstante gegeben sind e sind einander äquivalent.
Charakterisierungen[edit]
Die sechs häufigsten Definitionen der Exponentialfunktion exp (x) = ex wirklich x sind:
- 1. Definieren ex durch die Grenze
- 2. Definieren ex als Wert der unendlichen Reihe
-
- (Hier n! bezeichnet die Fakultät von n. Ein Beweis dafür e ist irrational verwendet diese Darstellung.)
- 3. Definieren ex die eindeutige Nummer sein y > 0 so dass
-
- Dies ist die Umkehrung der natürlichen Logarithmusfunktion, die durch dieses Integral definiert wird.
- 4. Definieren ex die einzigartige Lösung für das Anfangswertproblem zu sein
-
- (Hier, y‘ bezeichnet die Ableitung von y.)
- 5. Die Exponentialfunktion f((x) = ex ist der einzigartige Lebesgue-messbare Funktion mit f(1) = e das befriedigt
-
- (Hewitt und Stromberg, 1965, Übung 18.46).
-
-
- Alternativ ist es das einzigartige überall kontinuierliche Funktion mit diesen Eigenschaften (Rudin, 1976, Kapitel 8, Übung 6). Der Begriff “überall kontinuierlich” bedeutet, dass mindestens ein einzelner Punkt existiert x bei welchem f((x) ist kontinuierlich. Wie unten gezeigt, wenn f((x + y) = f((x) f((y) für alle x und y, und f((x) ist kontinuierlich bei irgendein einziger Punkt x, dann f((x) ist notwendigerweise kontinuierlich überall.
- (Als Gegenbeispiel, wenn man es tut nicht Unter der Annahme von Kontinuität oder Messbarkeit ist es möglich, die Existenz einer überall diskontinuierlichen, nicht messbaren Funktion mit dieser Eigenschaft zu beweisen, indem eine Hamel-Basis für die reellen Zahlen über die Rationalitäten verwendet wird, wie in Hewitt und Stromberg beschrieben.
-
- weil f((x) = ex ist für rationale garantiert x Durch die obigen Eigenschaften (siehe unten) könnte man auch Monotonie oder andere Eigenschaften verwenden, um die Wahl von zu erzwingen ex für irrational x,[citation needed] aber solche Alternativen scheinen ungewöhnlich zu sein.
-
- Man könnte auch die Bedingungen ersetzen, die f(1) = e und das f Lebesgue-messbar oder irgendwo kontinuierlich mit der einzigen Bedingung sein, dass f ‘(0) = 1.
- 6. Lassen Sie e sei die eindeutige reelle Zahl befriedigend
-
- Es kann gezeigt werden, dass diese Grenze existiert. Diese Definition eignet sich besonders zur Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion. Dann definieren ex die Exponentialfunktion mit dieser Basis zu sein.
Größere Domains[edit]
Eine Möglichkeit, die Exponentialfunktion für Domänen zu definieren, die größer als die Domäne von reellen Zahlen sind, besteht darin, sie zuerst für die Domäne von reellen Zahlen unter Verwendung einer der obigen Charakterisierungen zu definieren und sie dann auf eine Weise auf größere Domänen auszudehnen, die für jede analytische Funktion funktionieren würde .
Es ist auch möglich, die Charakterisierungen direkt für die größere Domäne zu verwenden, obwohl einige Probleme auftreten können. (1), (2) und (4) sind alle für beliebige Banach-Algebren sinnvoll. (3) stellt ein Problem für komplexe Zahlen dar, da es nicht äquivalente Pfade gibt, auf denen man sich integrieren könnte, und (5) nicht ausreicht. Zum Beispiel die Funktion f definiert (für x und y real) als
erfüllt die Bedingungen in (5), ohne die Exponentialfunktion von zu sein x + iy. Um (5) für die Domäne komplexer Zahlen ausreichend zu machen, kann man entweder festlegen, dass es einen Punkt gibt, an dem f ist eine konforme Karte oder legen dies fest
Insbesondere die alternative Bedingung in (5), dass
ist ausreichend, da dies implizit vorschreibt f konform sein.
Beweis, dass jede Charakterisierung sinnvoll ist[edit]
Einige dieser Definitionen müssen begründet werden, um nachzuweisen, dass sie gut definiert sind. Wenn beispielsweise der Wert der Funktion als Ergebnis eines Begrenzungsprozesses (dh einer unendlichen Folge oder Reihe) definiert wird, muss nachgewiesen werden, dass eine solche Begrenzung immer existiert.
Charakterisierung 2[edit]
Schon seit
Aus dem Verhältnis-Test folgt, dass
konvergiert für alle x.
Charakterisierung 3[edit]
Da der Integrand eine integrierbare Funktion von ist tist der integrale Ausdruck gut definiert. Es muss gezeigt werden, dass die Funktion von
zu
definiert von
ist eine Bijektion. Wie
ist positiv für positiv tDiese Funktion nimmt monoton zu, daher eins zu eins. Wenn die beiden Integrale
halten, dann ist es auch klar auf. In der Tat diese Integrale tun halt; Sie ergeben sich aus dem Integraltest und der Divergenz der harmonischen Reihen.
Äquivalenz der Charakterisierungen[edit]
Der folgende Beweis zeigt die Äquivalenz der ersten drei angegebenen Charakterisierungen e über. Der Beweis besteht aus zwei Teilen. Zuerst wird die Äquivalenz der Charakterisierungen 1 und 2 hergestellt, und dann wird die Äquivalenz der Charakterisierungen 1 und 3 hergestellt. Argumente, die die anderen Charakterisierungen verbinden, werden ebenfalls angegeben.
Äquivalenz der Charakterisierungen 1 und 2[edit]
Das folgende Argument stammt aus einem Beweis in Rudin, Satz 3.31, p. 63–65.
Lassen
eine feste nicht negative reelle Zahl sein. Definieren
Nach dem Binomialsatz
(mit x ≥ 0, um die endgültige Ungleichung zu erhalten), so dass
wo ex ist im Sinne von Definition 2. Hier müssen Limsups verwendet werden, da nicht bekannt ist, ob tnkonvergiert. Für die andere Richtung durch den obigen Ausdruck von tn, wenn 2 ≤ m ≤ n,
Fix m, und lass n nähere dich der Unendlichkeit. Dann
(Auch hier müssen Liminfs verwendet werden, da nicht bekannt ist, ob tn konvergiert). Nehmen wir nun die obige Ungleichung und lassen m nähere dich der Unendlichkeit und setze sie mit der anderen Ungleichung zusammen
damit
Diese Äquivalenz kann durch Notieren auf die negativen reellen Zahlen erweitert werden
und das Limit nehmen, wenn n gegen unendlich geht.
Der Fehlerterm dieses Grenzwertausdrucks wird durch beschrieben
wo der Grad des Polynoms (in x) im Begriff mit Nenner nk ist 2k.
Äquivalenz der Charakterisierungen 1 und 3[edit]
Hier wird die natürliche Logarithmusfunktion in Form eines bestimmten Integrals wie oben definiert. Nach dem ersten Teil des Grundsatzes der Analysis,
Außerdem,
Nun lass x sei eine feste reelle Zahl und lass
Ln (y) = x, was das impliziert y = ex, wo ex ist im Sinne von Definition 3. Wir haben
Hier ist die Kontinuität von ln (y) verwendet wird, was sich aus der Kontinuität von 1 / ergibtt::
Hier ist das Ergebnis lneinn = nlnein wurde verwendet. Dieses Ergebnis kann für festgelegt werden n eine natürliche Zahl durch Induktion oder durch Integration durch Substitution. (Die Ausweitung auf echte Mächte muss warten bis ln und exp wurden als Umkehrungen voneinander etabliert, so dass einb kann für real definiert werden b wie eb lnein.)
Äquivalenz der Charakterisierungen 3 und 4[edit]
Bei der Charakterisierung 3 wird der natürliche Logarithmus definiert, bevor die Exponentialfunktion definiert wird. Zuerst,
Dies bedeutet, dass der natürliche Logarithmus von
entspricht der (vorzeichenbehafteten) Fläche unter dem Diagramm von
zwischen
und
. Wenn
dann wird dieser Bereich als negativ angenommen. Dann,
ist definiert als die Umkehrung von
, bedeutet, dass
durch die Definition einer Umkehrfunktion. Wenn
ist dann eine positive reelle Zahl
ist definiert als
. Schließlich,
ist als die Nummer definiert
so dass
. Es kann dann gezeigt werden, dass
::
Nach dem Grundsatz der Analysis ist die Ableitung von
. Wir sind jetzt in der Lage, dies zu beweisen
, Erfüllung des ersten Teils des in Charakterisierung 4 angegebenen Anfangswertproblems:
Dann müssen wir das nur noch beachten
und wir sind fertig. Natürlich ist es viel einfacher zu zeigen, dass Charakterisierung 4 Charakterisierung 3 impliziert. Wenn
ist die einzigartige Funktion
befriedigend
, und
, dann
kann als seine Umkehrung definiert werden. Die Ableitung von
kann auf folgende Weise gefunden werden:
Wenn wir beide Seiten in Bezug auf unterscheiden
, wir bekommen
Deshalb,
Äquivalenz der Charakterisierungen 2 und 4[edit]
Sei n eine nicht negative ganze Zahl. Im Sinne von Definition 4 und durch Induktion
.
Deshalb
Mit Taylor-Serie,
Dies zeigt, dass Definition 4 Definition 2 impliziert.
Im Sinne von Definition 2,
Außerdem,
Dies zeigt, dass Definition 2 Definition 4 impliziert.
Äquivalenz der Charakterisierungen 1 und 5[edit]
Der folgende Beweis ist eine vereinfachte Version des in Hewitt und Stromberg, Übung 18.46. Zunächst beweist man, dass Messbarkeit (oder hier Lebesgue-Integrierbarkeit) Kontinuität für eine Nicht-Null-Funktion impliziert
befriedigend
und dann beweist man, dass Kontinuität impliziert
für einige k, und schlussendlich
impliziert k= 1.
Zunächst einige elementare Eigenschaften aus
befriedigend
sind bewiesen, und die Annahme, dass
ist nicht identisch Null:
Die zweite und dritte Eigenschaft bedeuten, dass es ausreicht, dies zu beweisen
für positiv x.
Wenn
ist also eine Lebesgue-integrierbare Funktion
Daraus folgt dann
Schon seit
ist ungleich Null, einige y kann so gewählt werden, dass
und lösen für
im obigen Ausdruck. Deshalb:
Der endgültige Ausdruck muss als auf Null gehen
schon seit
und
ist kontinuierlich. Es folgt dem
ist kontinuierlich.
Jetzt,
kann für einige bewiesen werden kfür alle positiven rationalen Zahlen q. Lassen q=n/.m für positive ganze Zahlen n und m. Dann
durch elementare Induktion auf n. Deshalb,
und somit
zum
. Wenn auf den realen Wert beschränkt
, dann
ist überall positiv und so k ist echt.
Schließlich durch Kontinuität, da
für alle rational xmuss es für alle real wahr sein x denn die Schließung der Rationalen ist die Realität (dh jede Realität) x kann als Grenze einer Folge von Rationalen geschrieben werden). Wenn
dann k = 1. Dies entspricht der Charakterisierung 1 (oder 2 oder 3), je nachdem, welche äquivalente Definition von e verwendet wird.
Charakterisierung 2 impliziert Charakterisierung 6[edit]
Im Sinne von Definition 2,[1]
Charakterisierung 5 impliziert Charakterisierung 4[edit]
-
- Die Bedingungen f ‘(0) = 1 und f((x + y) = f((x) f((y) implizieren beide Bedingungen in der Charakterisierung 4. In der Tat erhält man die Anfangsbedingung f(0) = 1 durch Teilen beider Seiten der Gleichung
-
- durch f(0)und die Bedingung, dass f ‘((x) = f((x) folgt aus der Bedingung, dass f ‘(0) = 1 und die Definition des Derivats wie folgt:
Charakterisierung 6 impliziert Charakterisierung 4[edit]
Im Sinne der Definition 6,
Apropos
Daher impliziert Definition 6 Definition 4.
Verweise[edit]
- Walter Rudin, Prinzipien der mathematischen Analyse, 3. Auflage (McGraw-Hill, 1976), Kapitel 8.
- Edwin Hewitt und Karl Stromberg, Reale und abstrakte Analyse (Springer, 1965).
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