Einheitsbruchteil – Wikipedia

EIN Einheitsfraktion ist eine rationale Zahl, die als Bruch geschrieben wird, wobei der Zähler eins und der Nenner eine positive ganze Zahl ist. Ein Einheitsbruch ist daher der Kehrwert einer positiven ganzen Zahl, 1 /n. Beispiele sind 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 usw.

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Elementare Arithmetik[edit]

Das Multiplizieren von zwei Einheitsfraktionen ergibt ein Produkt, das eine andere Einheitsfraktion ist:

{ displaystyle { frac {1} {x}} times { frac {1} {y}} = { frac {1} {xy}}.}

Das Addieren, Subtrahieren oder Teilen von zwei Einheitsbrüchen führt jedoch zu einem Ergebnis, das im Allgemeinen kein Einheitsbruch ist:

{ displaystyle { frac {1} {x}} + { frac {1} {y}} = { frac {x + y} {xy}}}

{ displaystyle { frac {1} {x}} – { frac {1} {y}} = { frac {yx} {xy}}}

{ displaystyle { frac {1} {x}} div { frac {1} {y}} = { frac {y} {x}}.}

Modulararithmetik[edit]

Einheitenbrüche spielen eine wichtige Rolle in der modularen Arithmetik, da sie verwendet werden können, um die modulare Teilung auf die Berechnung der größten gemeinsamen Teiler zu reduzieren. Angenommen, wir möchten Divisionen durch einen Wert durchführen xModulo y. Um die Division durch x modulo gut definiert sein y, x und y muss relativ prim sein. Dann können wir den erweiterten euklidischen Algorithmus für die größten gemeinsamen Teiler verwenden ein und b so dass

{ displaystyle displaystyle axe + by = 1,}

woraus folgt das

{ displaystyle displaystyle axe equiv 1 { pmod {y}},}

oder gleichwertig

{ displaystyle a equiv { frac {1} {x}} { pmod {y}}.}

Also durch zu teilen x (Modulo y) wir müssen nur stattdessen mit multiplizieren ein.

Endliche Summen von Einheitsbrüchen[edit]

Jede positive rationale Zahl kann auf verschiedene Arten als Summe von Einheitsbrüchen geschrieben werden. Zum Beispiel,

{ displaystyle { frac {4} {5}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} {20}} = { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} + { frac {1} {6}} + { frac {1} {10}}.}

Die alten ägyptischen Zivilisationen verwendeten in ihrer Notation Summen unterschiedlicher Einheitsfraktionen für allgemeinere rationale Zahlen, weshalb solche Summen oft als ägyptische Brüche bezeichnet werden. Es besteht heute noch Interesse daran, die von den Alten verwendeten Methoden zu analysieren, um unter den möglichen Darstellungen für eine Bruchzahl zu wählen und mit solchen Darstellungen zu berechnen.^[1] Das Thema der ägyptischen Brüche hat auch Interesse an der modernen Zahlentheorie gesehen; Beispielsweise betreffen die Erdős-Graham-Vermutung und die Erdős-Straus-Vermutung Summen von Einheitsbrüchen, ebenso wie die Definition der harmonischen Zahlen von Ore.

In der geometrischen Gruppentheorie werden Dreiecksgruppen in euklidische, sphärische und hyperbolische Fälle eingeteilt, je nachdem, ob eine zugehörige Summe von Einheitsbrüchen gleich eins, größer als eins oder kleiner als eins ist.

Reihe von Einheitsfraktionen[edit]

Viele bekannte unendliche Reihen haben Begriffe, die Einheitsbrüche sind. Diese schließen ein:

Die harmonische Reihe, die Summe aller positiven Einheitsfraktionen. Diese Summe divergiert und ihre Teilsummen

{ displaystyle { frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + cdots + { frac {1} {n}}}

eng annähernd ln n + γ as n erhöht sich.

Matrizen von Einheitsfraktionen[edit]

Die Hilbert-Matrix ist die Matrix mit Elementen

{ displaystyle B_ {i, j} = { frac {1} {i + j-1}}.}

Es hat die ungewöhnliche Eigenschaft, dass alle Elemente in seiner inversen Matrix ganze Zahlen sind.^[2] In ähnlicher Weise definierte Richardson (2001) eine Matrix mit Elementen

{ displaystyle C_ {i, j} = { frac {1} {F_ {i + j-1}}},}

wo F._ich bezeichnet die ichth Fibonacci Nummer. Er nennt diese Matrix die Filbert-Matrix und sie hat die gleiche Eigenschaft, eine ganzzahlige Inverse zu haben.^[3]

Benachbarte Fraktionen[edit]

Es werden zwei Fraktionen genannt benachbart wenn ihre Differenz ein Einheitsbruch ist.^[4]^[5]

Einheitsfraktionen in Wahrscheinlichkeit und Statistik[edit]

Bei einer gleichmäßigen Verteilung auf einem diskreten Raum sind alle Wahrscheinlichkeiten gleiche Einheitsbrüche. Aufgrund des Gleichgültigkeitsprinzips treten bei statistischen Berechnungen häufig Wahrscheinlichkeiten dieser Form auf.^[6] Darüber hinaus besagt das Zipf-Gesetz, dass für viele beobachtete Phänomene, bei denen Elemente aus einer geordneten Sequenz ausgewählt werden, die Wahrscheinlichkeit, dass die nDas ausgewählte Element ist proportional zum Einheitsbruchteil 1 /n.^[7]

Einheitsfraktionen in der Physik[edit]

Die Energieniveaus von Photonen, die von einem Wasserstoffatom absorbiert oder emittiert werden können, sind nach der Rydberg-Formel proportional zu den Differenzen zweier Einheitsfraktionen. Eine Erklärung für dieses Phänomen liefert das Bohr-Modell, nach dem die Energieniveaus von Elektronenorbitalen in einem Wasserstoffatom umgekehrt proportional zu quadratischen Einheitsanteilen sind und die Energie eines Photons auf die Differenz zwischen zwei Niveaus quantisiert wird.^[8]

Arthur Eddington argumentierte, dass die Feinstrukturkonstante eine Einheitsfraktion sei, zuerst 1/136, dann 1/137. Diese Behauptung wurde verfälscht, da die aktuellen Schätzungen der Feinstrukturkonstante (auf 6 signifikante Stellen) 1 / 137.036 betragen.^[9]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

^ Guy, Richard K. (2004), “D11. Egyptian Fractions”, Ungelöste Probleme in der Zahlentheorie (3. Aufl.), Springer-Verlag, S. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2.
^ Choi, Man Duen (1983), “Tricks oder Leckereien mit der Hilbert-Matrix”, The American Mathematical Monthly, 90 (5): 301–312, doi:10.2307 / 2975779, HERR 0701570.
^ Richardson, Thomas M. (2001), “Die Filbert-Matrix” (PDF), Fibonacci Quarterly, 39 (3): 268–275, arXiv:math.RA / 9905079, Bibcode:1999math …… 5079R
^ Benachbarte Fraktion bei PlanetMath.
^ Weisstein, Eric W. “Benachbarte Fraktion”. MathWorld.
^ Welsh, Alan H. (1996), Aspekte der statistischen Inferenz, Wiley-Reihe in Wahrscheinlichkeit und Statistik, 246John Wiley and Sons, p. 66, ISBN 978-0-471-11591-5.
^ Saichev, Alexander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009), Theorie des Zipfschen Gesetzes und darüber hinaus, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 632, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-02945-5.
^ Yang, Fujia; Hamilton, Joseph H. (2009), Moderne Atom- und Kernphysik, World Scientific, S. 81–86, ISBN 978-981-283-678-6.
^ Kilmister, Clive William (1994), Eddingtons Suche nach einer fundamentalen Theorie: ein Schlüssel zum Universum, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37165-0.

Externe Links[edit]

[1] Guy, Richard K. (2004), “D11. Egyptian Fractions”, Ungelöste Probleme in der Zahlentheorie (3. Aufl.), Springer-Verlag, S. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2.

[2] Choi, Man Duen (1983), “Tricks oder Leckereien mit der Hilbert-Matrix”, The American Mathematical Monthly, 90 (5): 301–312, doi:10.2307 / 2975779, HERR 0701570.

[3] Richardson, Thomas M. (2001), “Die Filbert-Matrix” (PDF), Fibonacci Quarterly, 39 (3): 268–275, arXiv:math.RA / 9905079, Bibcode:1999math …… 5079R

[4] Benachbarte Fraktion bei PlanetMath.

[5] Weisstein, Eric W. “Benachbarte Fraktion”. MathWorld.

[6] Welsh, Alan H. (1996), Aspekte der statistischen Inferenz, Wiley-Reihe in Wahrscheinlichkeit und Statistik, 246John Wiley and Sons, p. 66, ISBN 978-0-471-11591-5.

[7] Saichev, Alexander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009), Theorie des Zipfschen Gesetzes und darüber hinaus, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 632, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-02945-5.

[8] Yang, Fujia; Hamilton, Joseph H. (2009), Moderne Atom- und Kernphysik, World Scientific, S. 81–86, ISBN 978-981-283-678-6.

[9] Kilmister, Clive William (1994), Eddingtons Suche nach einer fundamentalen Theorie: ein Schlüssel zum Universum, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37165-0.