Hecke-Betreiber – Wikipedia

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In der Mathematik, insbesondere in der Theorie der modularen Formen, a Hecke-Betreiber, studiert von Hecke (1937), ist eine bestimmte Art von “Mittelwertbildung” Operator, der eine wichtige Rolle bei der Struktur von Vektorräumen modularer Formen und allgemeinerer automorpher Darstellungen spielt.

Geschichte[edit]

Mordell (1917) verwendete Hecke-Operatoren für modulare Formen in einem Artikel über die spezielle Höckerform von Ramanujan, vor der allgemeinen Theorie von Hecke (1937). Harvtxt-Fehler: Mehrere Ziele (2 ×): CITEREFHecke1937 (Hilfe). Mordell bewies, dass die Ramanujan-Tau-Funktion die Koeffizienten der Ramanujan-Form ausdrückt.

Δ((z)=q((∏n=1∞((1– –qn))24=∑n=1∞τ((n)qn,q=e2πichz,{ displaystyle Delta (z) = q left ( prod _ {n = 1} ^ { infty} (1-q ^ {n}) right) ^ {24} = sum _ {n = 1 } ^ { infty} tau (n) q ^ {n}, quad q = e ^ {2 pi iz},}

ist eine multiplikative Funktion:

τ((mn)=τ((m)τ((n) zum ((m,n)=1.{ displaystyle tau (mn) = tau (m) tau (n) quad { text {for}} (m, n) = 1.}

Die Idee geht auf frühere Arbeiten von Adolf Hurwitz zurück, der algebraische Entsprechungen zwischen modularen Kurven behandelte, die einige einzelne Hecke-Operatoren realisieren.

Mathematische Beschreibung[edit]

Hecke-Operatoren können in einer Reihe von Kontexten realisiert werden. Die einfachste Bedeutung ist kombinatorisch, nämlich als Annahme für eine gegebene ganze Zahl n eine Funktion f(Λ) definiert auf den Gittern mit festem Rang bis

∑f((Λ‘){ displaystyle sum f ( Lambda ‘)}

mit der Summe über alle Λ ′, die Untergruppen von Λ des Index sind n. Zum Beispiel mit n = 2 und zwei Dimensionen gibt es drei solche Λ ‘. Modulare Formen sind bestimmte Arten von Funktionen eines Gitters, die Bedingungen unterliegen, die sie zu analytischen Funktionen machen und in Bezug auf Homothetien homogen sind, sowie ein moderates Wachstum im Unendlichen; Diese Bedingungen bleiben durch die Summierung erhalten, und so bewahren Hecke-Operatoren den Raum modularer Formen eines bestimmten Gewichts.

Eine andere Möglichkeit, Hecke-Operatoren auszudrücken, besteht in der Verwendung von Doppel-Cosets in der modularen Gruppe. Im zeitgenössischen adelischen Ansatz führt dies zu doppelten Nebenmengen in Bezug auf einige kompakte Untergruppen.

Explizite Formel[edit]

Lassen M.m sei die Menge von 2 × 2 Integralmatrizen mit Determinante m und Γ = M.1 sei die vollständige modulare Gruppe SL(2, Z.). Gegeben eine modulare Form f((z) des Gewichts k, das mDer Hecke-Operator handelt nach der Formel[further explanation needed]

T.mf((z)=mk– –1∑((einbcd)∈Γ∖M.m((cz+d)– –kf((einz+bcz+d),{ displaystyle T_ {m} f (z) = m ^ {k-1} sum _ { left ({ begin {smallmatrix} a & b \ c & d end {smallmatrix}} right) in Gamma Backslash M_ {m}} (cz + d) ^ {- k} f left ({ frac {az + b} {cz + d}} right),}

wo z liegt in der oberen Halbebene und die Normalisierungskonstante mk−1 stellt sicher, dass das Bild einer Form mit ganzzahligen Fourier-Koeffizienten ganzzahlige Fourier-Koeffizienten aufweist. Dies kann im Formular umgeschrieben werden

T.mf((z)=mk– –1∑ein,d>0,eind=m1dk∑b((modd)f((einz+bd),{ displaystyle T_ {m} f (z) = m ^ {k-1} sum _ {a, d> 0, ad = m} { frac {1} {d ^ {k}}} sum _ {b { pmod {d}}} f left ({ frac {az + b} {d}} right),}

bn=∑r>0,r|((m,n)rk– –1einmn/.r2.{ displaystyle b_ {n} = sum _ {r> 0, r | (m, n)} r ^ {k-1} a_ {mn / r ^ {2}}.}

T.mf=einmf,einmeinn=∑r>0,r|((m,n)rk– –1einmn/.r2, m,n≥1.{ displaystyle T_ {m} f = a_ {m} f, quad a_ {m} a_ {n} = sum _ {r> 0, r | (m, n)} r ^ {k-1} a_ {mn / r ^ {2}}, m, n geq 1.}

Hecke-Algebren[edit]

Algebren von Hecke-Operatoren werden aufgerufen “Hecke-Algebren”und sind kommutative Ringe. In der klassischen elliptischen modularen Formtheorie sind die Hecke-Operatoren T.n mit n Koprime auf das Niveau, das auf den Raum der Höckerformen eines gegebenen Gewichts wirkt, ist in Bezug auf das innere Produkt von Petersson selbstadjunktierend. Der Spektralsatz impliziert daher, dass es eine Basis für modulare Formen gibt, die Eigenfunktionen für diese Hecke-Operatoren sind. Jede dieser Grundformen besitzt ein Euler-Produkt. Genauer gesagt ist seine Mellin-Transformation die Dirichlet-Serie, die Euler-Produkte mit dem lokalen Faktor für jede Primzahl enthält p ist das Gegenteil[clarification needed] des Hecke-Polynom, ein quadratisches Polynom in p– –s. In dem von Mordell behandelten Fall ist der Raum der Höckerformen des Gewichts 12 in Bezug auf die gesamte modulare Gruppe eindimensional. Daraus folgt, dass die Ramanujan-Form ein Euler-Produkt hat und die Multiplikativität von festlegt τ((n).

Andere verwandte mathematische Ringe werden auch genannt “Hecke-Algebren”, obwohl manchmal die Verbindung zu Hecke-Betreibern nicht ganz offensichtlich ist. Diese Algebren enthalten bestimmte Quotienten der Gruppenalgebren von Geflechtgruppen. Das Vorhandensein dieser kommutativen Operatoralgebra spielt eine wichtige Rolle bei der harmonischen Analyse modularer Formen und Verallgemeinerungen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]