Kosterlitz-Thouless-Übergang – Wikipedia

Phasenübergang im zweidimensionalen (2-D) XY-Modell

Das Berezinskii – Kosterlitz – Thouless Übergang ((BKT-Übergang) ist ein Phasenübergang des zweidimensionalen (2-D) XY-Modells in der statistischen Physik. Es ist ein Übergang von gebundenen Wirbel-Antivortex-Paaren bei niedrigen Temperaturen zu ungepaarten Wirbeln und Anti-Wirbeln bei einer kritischen Temperatur. Der Übergang ist nach den Festkörperphysikern Vadim Berezinskii, John M. Kosterlitz und David J. Thouless benannt.^[1] BKT-Übergänge finden sich in mehreren 2-D-Systemen in der Physik der kondensierten Materie, die durch das XY-Modell angenähert werden, einschließlich Josephson-Junction-Arrays und dünnen ungeordneten supraleitenden Granulatfilmen.^[2] In jüngerer Zeit wurde der Begriff von der 2-D-Supraleiter-Isolator-Übergangsgemeinschaft aufgrund von Ähnlichkeiten mit dem ursprünglichen Wirbel-BKT-Übergang auf das Fixieren von Cooper-Paaren im Isolationsregime angewendet.

Die Arbeiten an der Umstellung führten dazu, dass Thouless, Kosterlitz und Duncan Haldane den Nobelpreis für Physik 2016 verliehen wurden.

XY-Modell[edit]

Das XY-Modell ist ein zweidimensionales Vektorspinmodell, das U (1) oder Kreissymmetrie besitzt. Es wird nicht erwartet, dass dieses System einen normalen Phasenübergang zweiter Ordnung besitzt. Dies liegt daran, dass die erwartete geordnete Phase des Systems durch transversale Schwankungen zerstört wird, dh die Nambu-Goldstone-Moden (siehe Goldstone-Boson), die mit dieser gebrochenen kontinuierlichen Symmetrie verbunden sind und logarithmisch mit der Systemgröße divergieren. Dies ist ein spezieller Fall des sogenannten Mermin-Wagner-Theorems in Spinsystemen.

Streng genommen ist der Übergang nicht vollständig verstanden, aber die Existenz von zwei Phasen wurde von McBryan & Spencer (1977) und Fröhlich & Spencer (1981) bewiesen.

KT-Übergang: ungeordnete Phasen mit unterschiedlichen Korrelationen[edit]

Im zweidimensionalen XY-Modell ist kein Phasenübergang zweiter Ordnung zu sehen. Man findet jedoch eine quasi geordnete Niedertemperaturphase mit einer Korrelationsfunktion (siehe statistische Mechanik), die mit der Entfernung wie eine Leistung abnimmt, die von der Temperatur abhängt. Der Übergang von der ungeordneten Hochtemperaturphase mit der exponentiellen Korrelation zu dieser quasi geordneten Niedertemperaturphase ist ein Kosterlitz-Thouless-Übergang. Es ist ein Phasenübergang unendlicher Ordnung.

Rolle der Wirbel[edit]

Im 2D-XY-Modell sind Wirbel topologisch stabile Konfigurationen. Es wurde gefunden, dass die ungeordnete Hochtemperaturphase mit exponentiellem Korrelationsabfall ein Ergebnis der Bildung von Wirbeln ist. Die Wirbelerzeugung wird bei der kritischen Temperatur thermodynamisch günstig

${ displaystyle T_ {c}}$

des KT-Übergangs. Bei Temperaturen darunter hat die Wirbelerzeugung eine Potenzgesetzkorrelation.

Viele Systeme mit KT-Übergängen beinhalten die Dissoziation gebundener antiparalleler Wirbelpaare, die als Wirbel-Antivortex-Paare bezeichnet werden, in ungebundene Wirbel und nicht in die Wirbelerzeugung.^[3] In diesen Systemen erzeugt die thermische Erzeugung von Wirbeln eine gerade Anzahl von Wirbeln mit entgegengesetztem Vorzeichen. Gebundene Wirbel-Antivortex-Paare haben niedrigere Energien als freie Wirbel, aber auch eine geringere Entropie. Um die freie Energie zu minimieren,

${ displaystyle F = E-TS}$

das System einen Übergang bei einer kritischen Temperatur durchläuft,

${ displaystyle T_ {c}}$

. Unten

${ displaystyle T_ {c}}$

gibt es nur gebundene Wirbel-Antivortex-Paare. Über

${ displaystyle T_ {c}}$

gibt es freie Wirbel.

Informelle Beschreibung[edit]

Es gibt ein elegantes thermodynamisches Argument für den KT-Übergang. Die Energie eines einzelnen Wirbels ist

${ displaystyle kappa ln (R / a)}$

, wo

${ displaystyle kappa}$

ist ein Parameter, der von dem System abhängt, in dem sich der Wirbel befindet.

${ displaystyle R}$

ist die Systemgröße und

${ displaystyle a}$

ist der Radius des Wirbelkerns. Man nimmt an

${ displaystyle R gg a}$

. Im 2D-System beträgt die Anzahl der möglichen Positionen eines Wirbels ungefähr

${ displaystyle (R / a) ^ {2}}$

. Aus Boltzmanns Entropieformel

${ displaystyle S = k_ {B} ln W}$

(mit W ist die Anzahl der Zustände), ist die Entropie

${ displaystyle S = 2k_ {B} ln (R / a)}$

, wo

${ displaystyle k_ {B}}$

ist Boltzmanns Konstante. Somit ist die Helmholtz-freie Energie

${ displaystyle F = E-TS = ( kappa -2k_ {B} T) ln (R / a).}$

Wann

${ displaystyle F> 0}$

${ displaystyle F <0}$

entropische Überlegungen begünstigen die Bildung eines Wirbels. Die kritische Temperatur, über der sich Wirbel bilden können, kann durch Einstellen ermittelt werden

${ displaystyle F = 0}$

und ist gegeben durch

${ displaystyle T_ {c} = { frac { kappa} {2k_ {B}}}.}$

Der KT-Übergang kann experimentell in Systemen wie 2D-Josephson-Junction-Arrays beobachtet werden, indem Strom- und Spannungsmessungen (IV) durchgeführt werden. Über

${ displaystyle T_ {c}}$

wird die Beziehung linear sein

${ displaystyle V sim I}$

. Knapp unter

${ displaystyle T_ {c}}$

wird die Beziehung sein

${ displaystyle V sim I ^ {3}}$

, da die Anzahl der freien Wirbel wie folgt sein wird

${ displaystyle I ^ {2}}$

. Dieser Sprung von der linearen Abhängigkeit zeigt einen KT-Übergang an und kann zur Bestimmung verwendet werden

${ displaystyle T_ {c}}$

. Dieser Ansatz wurde bei Resnick et al.^[3] um den KT-Übergang in Proximity-gekoppelten Josephson-Junction-Arrays zu bestätigen.

Feldtheoretische Analyse[edit]

Die folgende Diskussion verwendet feldtheoretische Methoden. Es sei ein in der Ebene definiertes Feld φ (x) angenommen, das Werte in annimmt

${ displaystyle S ^ {1}}$

. Der Einfachheit halber arbeiten wir mit der Universalabdeckung R. von

${ displaystyle S ^ {1}}$

Identifizieren Sie stattdessen zwei beliebige Werte von φ (x), die sich durch ein ganzzahliges Vielfaches von 2π unterscheiden.

Die Energie ist gegeben durch

${ displaystyle E = int { frac {1} {2}} nabla phi cdot nabla phi , d ^ {2} x}$

und der Boltzmann-Faktor ist

${ displaystyle exp (- beta E)}$

.

Konturintegral nehmen

${ displaystyle oint _ { gamma} d phi}$

über einen vertraglichen geschlossenen Weg

${ displaystyle gamma}$

würden wir erwarten, dass es Null ist. Dies ist jedoch aufgrund der Singularität der Wirbel nicht der Fall. Wir können uns vorstellen, dass die Theorie bis zu einer energetischen Grenzskala definiert ist

${ displaystyle Lambda}$

, so dass wir die Ebene an den Punkten durchstechen können, an denen sich die Wirbel befinden, indem wir Bereiche linearer Ordnungsgröße entfernen

${ displaystyle 1 / Lambda}$

. Wenn

${ displaystyle gamma}$

windet sich einmal gegen den Uhrzeigersinn um eine Punktion, das Konturintegral

${ displaystyle oint _ { gamma} d phi}$

ist ein ganzzahliges Vielfaches von

${ displaystyle pm 2 pi}$

. Der Wert dieser Ganzzahl ist der Index des Vektorfeldes

${ displaystyle nabla phi}$

. Angenommen, eine bestimmte Feldkonfiguration hat

${ displaystyle N}$

Einstiche bei

${ displaystyle x_ {i}, i = 1, dots, N}$

jeweils mit Index

${ displaystyle n_ {i} = pm 1}$

. Dann,

${ displaystyle phi}$

zerfällt in die Summe einer Feldkonfiguration ohne Einstiche,

${ displaystyle phi _ {0}}$

und

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} arg (z-z_ {i})}$

, wo wir der Einfachheit halber auf die komplexen Ebenenkoordinaten umgestellt haben. Die komplexe Argumentfunktion hat einen Verzweigungsschnitt, aber, weil

${ displaystyle phi}$

ist modulo definiert

${ displaystyle 2 pi}$

Es hat keine physischen Konsequenzen.

Jetzt,

${ displaystyle E = int { frac {1} {2}} nabla phi _ {0} cdot nabla phi _ {0} , d ^ {2} x + sum _ {1 leq ich$

Wenn

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} neq 0}$

ist der zweite Term positiv und weicht im Limit ab

${ displaystyle Lambda to infty}$

: Konfigurationen mit einer unausgeglichenen Anzahl von Wirbeln jeder Orientierung werden niemals energetisch bevorzugt. Wann jedoch

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} = 0}$

ist der zweite Term gleich

${ displaystyle -2 pi sum _ {1 leq i$

Dies ist die gesamte potentielle Energie eines zweidimensionalen Coulomb-Gases. Die Skala L. ist eine beliebige Skala, die das Argument des Logarithmus dimensionslos macht.

Nehmen Sie den Fall nur mit Wirbeln der Multiplizität an

${ displaystyle pm 1}$

. Bei niedrigen Temperaturen und groß

${ displaystyle beta}$

Der Abstand zwischen einem Wirbel- und einem Antivortex-Paar ist im Allgemeinen in der Größenordnung extrem klein

${ displaystyle 1 / Lambda}$

. Bei großen und kleinen Temperaturen

${ displaystyle beta}$

Dieser Abstand nimmt zu, und die bevorzugte Konfiguration wird effektiv zu einer eines Gases aus freien Wirbeln und Antivortices. Der Übergang zwischen den beiden unterschiedlichen Konfigurationen ist der Kosterlitz-Thouless-Phasenübergang.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Березинский, В. Л. (1970), “Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии I.”, ЖЭТФ (auf Russisch), 59 (3): 907–920. Übersetzung verfügbar: Berezinskii, VL (1971), “Zerstörung der Fernordnung in eindimensionalen und zweidimensionalen Systemen mit einer kontinuierlichen Symmetriegruppe I. Klassische Systeme” (PDF), Sov. Phys. JETP, 32 (3): 493–500, Bibcode:1971JETP … 32..493B
• Березинский, В. Л. (1971), “Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии II. Квантовые системы”, ЖЭТФ (auf Russisch), 61 (3): 1144–1156. Übersetzung verfügbar: Berezinskii, VL (1972), “Zerstörung der Fernordnung in eindimensionalen und zweidimensionalen Systemen mit einer kontinuierlichen Symmetriegruppe II. Quantensysteme” (PDF), Sov. Phys. JETP, 34 (3): 610–616, Bibcode:1972JETP … 34..610B
• Kosterlitz, JM; Thouless, DJ (1973), “Ordnung, Metastabilität und Phasenübergänge in zweidimensionalen Systemen”, Zeitschrift für Physik C: Festkörperphysik, 6 (7): 1181–1203, Bibcode:1973JPhC …. 6.1181K, doi:10.1088 / 0022-3719 / 6/7/010
• McBryan, O.; Spencer, T. (1977), “Über den Zerfall von Korrelationen in SO (n) -symmetrischen Ferromagneten”, Kommun. Mathematik. Phys., 53 (3): 299, Bibcode:1977CMaPh..53..299M, doi:10.1007 / BF01609854, S2CID 119587247
• BI Halperin, DR. Nelson, Phys. Rev. Lett. 41, 121 (1978)
• AP Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979)
• Resnick, DJ; Garland, JC; Boyd, JT; Shoemaker, S.; Newrock, RS (1981), “Kosterlitz-Thouless-Übergang in nahegelegenen gekoppelten supraleitenden Arrays”, Phys. Rev. Lett., 47 (21): 1542, Bibcode:1981PhRvL..47.1542R, doi:10.1103 / PhysRevLett.47.1542
• Fröhlich, Jürg; Spencer, Thomas (1981), “Der Kosterlitz-Thouless-Übergang in zweidimensionalen abelschen Spinsystemen und das Coulomb-Gas”, Comm. Mathematik. Phys., 81 (4): 527–602, Bibcode:1981CMaPh..81..527F, doi:10.1007 / bf01208273, S2CID 73555642
• Z. Hadzibabic; et al. (2006), “Berezinskii-Kosterlitz-Thouless-Übergang in einem eingeschlossenen Atomgas”, Natur, 41 (7097): 1118–21, arXiv:cond-mat / 0605291, Bibcode:2006Natur.441.1118H, doi:10.1038 / nature04851, PMID 16810249, S2CID 4314014
• M. Mondal; et al. (2011), “Rolle der Wirbelkern-Energie beim Beresinkii-Kosterlitz-Thouless-Übergang in dünnen NbN-Filmen”, Phys. Rev. Lett., 107 (21): 217003, arXiv:1108.0912, Bibcode:2011PhRvL.107u7003M, doi:10.1103 / PhysRevLett.107.217003, PMID 22181915, S2CID 34729666

• JV Jose, 40 Jahre Berezinskii-Kosterlitz-Thouless-Theorie, World Scientific, 2013, ISBN 978-981-4417-65-5
• H. Kleinert, Messfelder in kondensierter MaterieVol. ICH, ” SUPERFLOW- UND VORTEX-LINIEN”S. 1–742, World Scientific (Singapur, 1989);; Taschenbuch ISBN 9971-5-0210-0 (auch online verfügbar: Vol. ich. Lesen Sie S. 618–688);
• H. Kleinert, Mehrwertige Felder in kondensierter Materie, Elektrodynamik und Gravitation, World Scientific (Singapur, 2008) (auch online verfügbar: Hier)