Mathematischer Beweis – Wikipedia

Strenge Demonstration, dass eine mathematische Aussage aus ihren Prämissen folgt

EIN mathematischer Beweis ist ein inferentielles Argument für eine mathematische Aussage, das zeigt, dass die angegebenen Annahmen die Schlussfolgerung logisch garantieren. Das Argument kann andere zuvor festgelegte Aussagen verwenden, wie z. B. Theoreme; Aber jeder Beweis kann im Prinzip nur unter Verwendung bestimmter grundlegender oder ursprünglicher Annahmen konstruiert werden, die als Axiome bekannt sind.^[2][3][4] zusammen mit den akzeptierten Inferenzregeln. Beweise sind Beispiele für erschöpfendes deduktives Denken, die logische Sicherheit begründen, um von empirischen Argumenten unterschieden zu werden, oder nicht erschöpfendes induktives Denken, das “vernünftige Erwartung” begründet. Die Darstellung vieler Fälle, in denen die Aussage gilt, reicht für einen Beweis nicht aus, der belegen muss, dass die Aussage in wahr ist alle mögliche Fälle. Ein unbewiesener Satz, von dem angenommen wird, dass er wahr ist, wird als Vermutung oder Hypothese bezeichnet, wenn er häufig als Annahme für weitere mathematische Arbeiten verwendet wird.^[5]

Beweise verwenden Logik, die in mathematischen Symbolen ausgedrückt wird, zusammen mit natürlicher Sprache, die normalerweise eine gewisse Mehrdeutigkeit zulässt. In der meisten mathematischen Literatur werden Beweise in Form einer strengen informellen Logik geschrieben. Rein formale Beweise, die vollständig in symbolischer Sprache ohne Einbeziehung der natürlichen Sprache verfasst sind, werden in der Beweistheorie berücksichtigt. Die Unterscheidung zwischen formellen und informellen Beweisen hat zu einer umfassenden Untersuchung der gegenwärtigen und historischen mathematischen Praxis, des Quasi-Empirismus in der Mathematik und der sogenannten Volksmathematik, mündlichen Überlieferungen in der Mainstream-Mathematikgemeinschaft oder in anderen Kulturen geführt. Die Philosophie der Mathematik befasst sich mit der Rolle von Sprache und Logik in Beweisen und der Mathematik als Sprache.

Geschichte und Etymologie[edit]

Das Wort “Beweis” kommt aus dem Lateinischen probare (zu testen). Verwandte moderne Wörter sind Englisch “Probe”, “Bewährung” und “Wahrscheinlichkeit”, Spanisch Probar (riechen oder schmecken oder manchmal berühren oder testen),^[6] Italienisch provare (zum Ausprobieren) und Deutsch gehört (versuchen). Der juristische Begriff “Redlichkeit” bedeutet Autorität oder Glaubwürdigkeit, die Aussagekraft, Tatsachen zu beweisen, wenn sie von Personen mit Ruf oder Status gegeben werden.^[7]

Plausibilitätsargumente mit heuristischen Mitteln wie Bildern und Analogien gingen strengen mathematischen Beweisen voraus.^[8] Es ist wahrscheinlich, dass die Idee, eine Schlussfolgerung zu demonstrieren, zuerst im Zusammenhang mit der Geometrie entstand, die aus praktischen Problemen der Landmessung entstand.^[9] Die Entwicklung des mathematischen Beweises ist in erster Linie das Produkt der antiken griechischen Mathematik und eine ihrer größten Errungenschaften.^[10]Thales (624–546 v. Chr.) Und Hippokrates von Chios (ca. 470–410 v. Chr.) Gab einige der ersten bekannten Beweise für Theoreme in der Geometrie. Eudoxus (408–355 v. Chr.) Und Theaetetus (417–369 v. Chr.) Formulierten Theoreme, bewiesen sie jedoch nicht. Aristoteles (384–322 v. Chr.) Sagte, Definitionen sollten das zu definierende Konzept anhand anderer bereits bekannter Konzepte beschreiben.

Der mathematische Beweis wurde von Euklid (300 v. Chr.) Revolutioniert, der die heute noch verwendete axiomatische Methode einführte. Es beginnt mit undefinierten Begriffen und Axiomen, Aussagen über die undefinierten Begriffe, von denen angenommen wird, dass sie selbstverständlich wahr sind (aus dem Griechischen “Axios”, etwas Würdiges). Auf dieser Basis beweist die Methode Theoreme mit deduktiver Logik. Euklids Buch, das Elementewurde von jedem gelesen, der bis Mitte des 20. Jahrhunderts im Westen als gebildet galt.^[11] Neben Theoremen der Geometrie, wie dem Satz von Pythagoras, wird der Elemente deckt auch die Zahlentheorie ab, einschließlich eines Beweises, dass die Quadratwurzel von zwei irrational ist, und eines Beweises, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Weitere Fortschritte fanden auch in der mittelalterlichen islamischen Mathematik statt. Während frühere griechische Beweise weitgehend geometrische Demonstrationen waren, ermöglichte die Entwicklung von Arithmetik und Algebra durch islamische Mathematiker allgemeinere Beweise ohne Abhängigkeit von der geometrischen Intuition. Im 10. Jahrhundert n. Chr. Arbeitete der irakische Mathematiker Al-Hashimi mit Zahlen als solchen, die als “Linien” bezeichnet wurden, aber nicht unbedingt als Messungen geometrischer Objekte angesehen wurden, um algebraische Aussagen bezüglich Multiplikation, Division usw., einschließlich der Existenz irrationaler Zahlen, zu beweisen .^[12] Ein induktiver Beweis für arithmetische Folgen wurde in die Al-Fakhri (1000) von Al-Karaji, der damit den Binomialsatz und die Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks bewies. Alhazen entwickelte auch die Methode des Widerspruchsbeweises als ersten Versuch, das euklidische Parallelpostulat zu beweisen.^[13]

Die moderne Beweistheorie behandelt Beweise als induktiv definierte Datenstrukturen und erfordert nicht die Annahme, dass Axiome in irgendeiner Weise “wahr” sind. Dies ermöglicht parallele mathematische Theorien als formale Modelle eines bestimmten intuitiven Konzepts, basierend auf alternativen Axiomensätzen, beispielsweise der axiomatischen Mengenlehre und der nichteuklidischen Geometrie.

Natur und Zweck[edit]

In der Praxis wird ein Beweis in natürlicher Sprache ausgedrückt und ist ein strenges Argument, das das Publikum von der Wahrheit einer Aussage überzeugen soll. Der Standard der Strenge ist nicht absolut und hat sich im Laufe der Geschichte verändert. Ein Proof kann je nach Zielgruppe unterschiedlich präsentiert werden. Um Akzeptanz zu erlangen, muss ein Beweis den kommunalen Strenge-Standards entsprechen. Ein als vage oder unvollständig angesehenes Argument kann zurückgewiesen werden.

Der Beweisbegriff wird im Bereich der mathematischen Logik formalisiert.^[14] Ein formaler Beweis wird in einer formalen Sprache anstelle einer natürlichen Sprache verfasst. Ein formaler Beweis ist eine Folge von Formeln in einer formalen Sprache, beginnend mit einer Annahme und mit jeder nachfolgenden Formel eine logische Konsequenz der vorhergehenden. Diese Definition macht das Konzept des Beweises studienfähig. In der Tat untersucht das Gebiet der Beweistheorie formale Beweise und ihre Eigenschaften. Das bekannteste und überraschendste ist, dass fast alle axiomatischen Systeme bestimmte unentscheidbare Aussagen erzeugen können, die innerhalb des Systems nicht beweisbar sind.

Die Definition eines formalen Beweises soll das Konzept der Beweise erfassen, wie es in der Praxis der Mathematik geschrieben wurde. Die Richtigkeit dieser Definition entspricht der Überzeugung, dass ein veröffentlichter Beweis im Prinzip in einen formalen Beweis umgewandelt werden kann. Außerhalb des Bereichs der automatisierten Proofassistenten wird dies in der Praxis jedoch selten durchgeführt. Eine klassische Frage in der Philosophie fragt, ob mathematische Beweise analytisch oder synthetisch sind. Kant, der die analytisch-synthetische Unterscheidung einführte, glaubte, mathematische Beweise seien synthetisch, während Quine in seinen “Zwei Dogmen des Empirismus” von 1951 argumentierte, dass eine solche Unterscheidung unhaltbar sei.^[15]

Beweise können für ihre mathematische Schönheit bewundert werden. Der Mathematiker Paul Erdős war dafür bekannt, Beweise zu beschreiben, die er als besonders elegant empfand, da sie aus “The Book” stammen, einem hypothetischen Band, der die schönsten Methoden enthält, um jeden Satz zu beweisen. Das Buch Beweise aus dem Buch, 2003 veröffentlicht, widmet sich der Präsentation von 32 Proofs, die die Herausgeber besonders erfreulich finden.

Methoden[edit]

Direkter Beweis[edit]

Im direkten Beweis wird die Schlussfolgerung durch logische Kombination der Axiome, Definitionen und früheren Theoreme hergestellt.^[16] Zum Beispiel kann ein direkter Beweis verwendet werden, um zu beweisen, dass die Summe von zwei geraden ganzen Zahlen immer gerade ist:

Betrachten Sie zwei gerade ganze Zahlen x und y. Da sie gerade sind, können sie als geschrieben werden x = 2ein und y = 2bjeweils für ganze Zahlen ein und b. Dann die Summe x + y = 2ein + 2b = 2 (ein+b). Deshalb x+y hat 2 als Faktor und ist per Definition gerade. Daher ist die Summe von zwei geraden ganzen Zahlen gerade.

Dieser Beweis verwendet die Definition von geraden ganzen Zahlen, die ganzzahligen Eigenschaften des Schließens bei Addition und Multiplikation sowie die Verteilungsfähigkeit.

Beweis durch mathematische Induktion[edit]

Trotz ihres Namens ist die mathematische Induktion eine Deduktionsmethode, keine Form des induktiven Denkens. Als Beweis durch mathematische Induktion wird ein einzelner “Basisfall” bewiesen, und eine “Induktionsregel” wird bewiesen, die feststellt, dass jeder beliebige Fall den nächsten Fall impliziert. Da die Induktionsregel prinzipiell wiederholt angewendet werden kann (ausgehend vom bewährten Basisfall), sind alle (meist unendlich viele) Fälle nachweisbar.^[17] Dadurch muss nicht jeder Fall einzeln nachgewiesen werden. Eine Variante der mathematischen Induktion ist der Beweis durch unendliche Abstammung, mit der beispielsweise die Irrationalität der Quadratwurzel von zwei bewiesen werden kann.^[5]

Eine übliche Anwendung des Beweises durch mathematische Induktion besteht darin, zu beweisen, dass eine Eigenschaft, von der bekannt ist, dass sie für eine Zahl gilt, für alle natürlichen Zahlen gilt:^[18]

Lassen N. = {1,2,3,4, …} sei die Menge der natürlichen Zahlen, und P.((n) eine mathematische Aussage sein, die die natürliche Zahl beinhaltet n zugehörig N. so dass

• (ich) P.(1) ist wahr, dh P.((n) ist wahr für n = 1.
• (ii) P.((n+1) ist immer wahr P.((n) ist wahr, dh P.((n) ist wahr impliziert das P.((n+1) ist wahr.
• Dann P.((n) gilt für alle natürlichen Zahlen n.

Zum Beispiel können wir durch Induktion beweisen, dass alle positiven ganzen Zahlen der Form 2n – 1 sind seltsam. Lassen P.((n) vertreten “2n – 1 ist ungerade”:

(ich) Zum n = 1, 2n – 1 = 2 (1) – 1 = 1, und 1 ist seltsam, da es einen Rest von hinterlässt 1 wenn geteilt durch 2. So P.(1) ist wahr.

(ii) Für jeden n, wenn 2n – 1 ist ungerade (P.((n)), dann (2n – 1) + 2 muss auch ungerade sein, weil hinzufügen 2 zu einer ungeraden Zahl führt zu einer ungeraden Zahl. Aber (2n – 1) + 2 = 2n + 1 = 2 (n+1) – 1, damit 2 (n+1) – 1 ist ungerade (P.((n+1)). Damit P.((n) impliziert P.((n+1).

So 2n – 1 ist ungerade für alle positiven ganzen Zahlen n.

Der kürzere Ausdruck “Beweis durch Induktion” wird häufig anstelle von “Beweis durch mathematische Induktion” verwendet.^[19]

Beweis durch Widerspruch[edit]

Der Beweis durch Widerspruch ergibt die Aussage “wenn p dann q“durch Festlegung der logisch äquivalenten kontrapositiven Aussage:” if nicht q dann Nicht p“.

Zum Beispiel kann eine Kontraposition verwendet werden, um dies bei einer gegebenen ganzen Zahl festzustellen

x{ displaystyle x}

, wenn

x2{ displaystyle x ^ {2}}

ist dann eben

x{ displaystyle x}

ist gerade:

Annehmen x{ displaystyle x}

ist nicht einmal. Dann x{ displaystyle x}

ist ungerade. Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist daher ungerade x2=x⋅x{ displaystyle x ^ {2} = x cdot x}

ist ungerade. So x2{ displaystyle x ^ {2}}

ist nicht einmal. Also wenn x2{ displaystyle x ^ {2}}

ist sogar muss die Annahme falsch sein, also x{ displaystyle x}

muss gerade sein.

Beweis durch Widerspruch[edit]

Als Beweis durch Widerspruch, auch bekannt durch die lateinische Phrase reductio ad absurdum (durch Reduktion auf das Absurde) wird gezeigt, dass, wenn eine Aussage als wahr angenommen wird, ein logischer Widerspruch auftritt, daher muss die Aussage falsch sein. Ein berühmtes Beispiel ist der Beweis dafür

2{ displaystyle { sqrt {2}}}

ist eine irrationale Zahl:

Nehme an, dass 2{ displaystyle { sqrt {2}}}

waren eine rationale Zahl. Dann könnte es in niedrigsten Begriffen geschrieben werden als 2=einb{ displaystyle { sqrt {2}} = {a over b}}

wo ein und b sind Ganzzahlen ungleich Null ohne gemeinsamen Faktor. So, b2=ein{ displaystyle b { sqrt {2}} = a}

. Das Quadrieren beider Seiten ergibt 2b² = ein². Da 2 den Ausdruck links teilt, muss 2 auch den gleichen Ausdruck rechts teilen. Das ist, ein² ist gerade, was das impliziert ein muss auch gerade sein, wie im obigen Satz zu sehen (in Proof by Contraposition). Also können wir schreiben ein = 2c, wo c ist auch eine ganze Zahl. Die Substitution in die ursprüngliche Gleichung ergibt 2b² = (2c)² = 4c². Teilen Sie beide Seiten durch 2 Ausbeuten b² = 2c². Aber dann, durch das gleiche Argument wie zuvor, teilt sich 2 b², damit b muss gerade sein. wie auch immer, falls ein und b sind beide gerade, sie haben 2 als gemeinsamen Faktor. Dies widerspricht unserer vorherigen Aussage, dass ein und b haben keinen gemeinsamen Faktor, daher sind wir gezwungen, daraus zu schließen 2{ displaystyle { sqrt {2}}}

ist eine irrationale Zahl.

Um es zu paraphrasieren: wenn man schreiben könnte

2{ displaystyle { sqrt {2}}}

Als Bruch konnte dieser Bruch niemals in niedrigsten Begriffen geschrieben werden, da 2 immer aus Zähler und Nenner berücksichtigt werden konnte.

Beweis durch Konstruktion[edit]

Beweis durch Konstruktion oder Beweis durch Beispiel ist die Konstruktion eines konkreten Beispiels mit einer Eigenschaft, um zu zeigen, dass etwas mit dieser Eigenschaft existiert. Joseph Liouville zum Beispiel bewies die Existenz transzendentaler Zahlen durch die Konstruktion eines expliziten Beispiels. Es kann auch verwendet werden, um ein Gegenbeispiel zu erstellen, um einen Satz zu widerlegen, dass alle Elemente eine bestimmte Eigenschaft haben.

Beweis durch Erschöpfung[edit]

Als Beweis für Erschöpfung wird die Schlussfolgerung gezogen, indem sie in eine endliche Anzahl von Fällen aufgeteilt und jeder einzeln bewiesen wird. Die Anzahl der Fälle kann manchmal sehr groß werden. Zum Beispiel war der erste Beweis des Vierfarbensatzes ein Beweis durch Erschöpfung mit 1.936 Fällen. Dieser Beweis war umstritten, da die meisten Fälle von einem Computerprogramm und nicht von Hand geprüft wurden. Der kürzeste bekannte Beweis des Vierfarbensatzes ab 2011^[update] hat noch über 600 Fälle.^[20]

Probabilistischer Beweis[edit]

Ein probabilistischer Beweis ist ein Beweis, bei dem gezeigt wird, dass ein Beispiel mit Sicherheit unter Verwendung von Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie existiert. Der probabilistische Beweis ist ebenso wie der Beweis durch Konstruktion eine von vielen Möglichkeiten, Existenzsätze zu zeigen.

Bei der probabilistischen Methode sucht man ein Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft, beginnend mit einer großen Menge von Kandidaten. Man weist jedem zu wählenden Kandidaten eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu und beweist dann, dass es eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null gibt, dass ein gewählter Kandidat die gewünschte Eigenschaft hat. Dies gibt nicht an, welche Kandidaten die Eigenschaft haben, aber die Wahrscheinlichkeit könnte ohne mindestens einen nicht positiv sein.

Ein probabilistischer Beweis ist nicht mit einem Argument zu verwechseln, dass ein Theorem “wahrscheinlich” wahr ist, ein “Plausibilitätsargument”. Die Arbeit an der Collatz-Vermutung zeigt, wie weit Plausibilität von echten Beweisen entfernt ist. Während die meisten Mathematiker nicht der Meinung sind, dass probabilistische Beweise für die Eigenschaften eines bestimmten Objekts als echte mathematische Beweise gelten, haben einige Mathematiker und Philosophen argumentiert, dass zumindest einige Arten von probabilistischen Beweisen (wie Rabins probabilistischer Algorithmus zum Testen der Primalität) wie folgt sind gut als echte mathematische Beweise.^[21][22]

Kombinatorischer Beweis[edit]

Ein kombinatorischer Beweis stellt die Äquivalenz verschiedener Ausdrücke fest, indem gezeigt wird, dass sie dasselbe Objekt auf unterschiedliche Weise zählen. Oft wird eine Bijektion zwischen zwei Sätzen verwendet, um zu zeigen, dass die Ausdrücke für ihre beiden Größen gleich sind. Alternativ liefert ein Argument mit doppelter Zählung zwei verschiedene Ausdrücke für die Größe einer einzelnen Menge, was wiederum zeigt, dass die beiden Ausdrücke gleich sind.

Konstruktionsfreier Beweis[edit]

Ein nicht konstruktiver Beweis belegt, dass ein mathematisches Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft existiert – ohne zu erklären, wie ein solches Objekt zu finden ist. Dies erfolgt häufig in Form eines Widerspruchsbeweises, bei dem sich die Nichtexistenz des Objekts als unmöglich herausstellt. Im Gegensatz dazu stellt ein konstruktiver Beweis fest, dass ein bestimmtes Objekt existiert, indem eine Methode zum Auffinden bereitgestellt wird. Ein berühmtes Beispiel eines nichtkonstruktiven Beweises zeigt, dass es zwei irrationale Zahlen gibt ein und b so dass

einb{ displaystyle a ^ {b}}

ist eine rationale Zahl:

Entweder 22{ displaystyle { sqrt {2}} ^ { sqrt {2}}}

ist eine rationale Zahl und wir sind fertig (nimm ein=b=2{ displaystyle a = b = { sqrt {2}}}

), oder 22{ displaystyle { sqrt {2}} ^ { sqrt {2}}}

ist irrational, damit wir schreiben können ein=22{ displaystyle a = { sqrt {2}} ^ { sqrt {2}}}

und b=2{ displaystyle b = { sqrt {2}}}

. Dies gibt dann ((22)2=22=2{ displaystyle left ({ sqrt {2}} ^ { sqrt {2}} right) ^ { sqrt {2}} = { sqrt {2}} ^ {2} = 2}

, was also ein Rational der Form ist einb.{ displaystyle a ^ {b}.}

Statistische Beweise in der reinen Mathematik[edit]

Der Ausdruck “statistischer Beweis” kann technisch oder umgangssprachlich in Bereichen der reinen Mathematik verwendet werden, beispielsweise in Bezug auf Kryptographie, chaotische Reihen und probabilistische oder analytische Zahlentheorie.^[23][24][25] Es wird seltener verwendet, um sich auf einen mathematischen Beweis im Zweig der Mathematik zu beziehen, der als mathematische Statistik bekannt ist. Siehe auch Abschnitt “Statistischer Nachweis anhand von Daten” weiter unten.

Computergestützte Proofs[edit]

Bis zum 20. Jahrhundert wurde angenommen, dass jeder Beweis grundsätzlich von einem kompetenten Mathematiker überprüft werden kann, um seine Gültigkeit zu bestätigen.^[8] Computer werden jetzt jedoch sowohl zum Beweisen von Theoremen als auch zum Ausführen von Berechnungen verwendet, die für einen Menschen oder ein Team von Menschen zu lang sind, um sie zu überprüfen. Der erste Beweis des Vierfarbensatzes ist ein Beispiel für einen computergestützten Beweis. Einige Mathematiker befürchten, dass die Möglichkeit eines Fehlers in einem Computerprogramm oder eines Laufzeitfehlers in seinen Berechnungen die Gültigkeit solcher computergestützter Beweise in Frage stellt. In der Praxis kann die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers, der einen computergestützten Beweis ungültig macht, verringert werden, indem Redundanz und Selbstprüfungen in Berechnungen einbezogen und mehrere unabhängige Ansätze und Programme entwickelt werden. Fehler können auch bei der Überprüfung eines Beweises durch den Menschen niemals vollständig ausgeschlossen werden, insbesondere wenn der Beweis eine natürliche Sprache enthält und tiefe mathematische Einsichten erfordert, um die potenziellen verborgenen Annahmen und Irrtümer aufzudecken.

Unentscheidbare Aussagen[edit]

Eine Aussage, die aus einer Reihe von Axiomen weder beweisbar noch widerlegbar ist, wird als unentscheidbar bezeichnet (aus diesen Axiomen). Ein Beispiel ist das parallele Postulat, das aus den verbleibenden Axiomen der euklidischen Geometrie weder beweisbar noch widerlegbar ist.

Mathematiker haben gezeigt, dass es viele Aussagen gibt, die in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit dem Axiom of Choice (ZFC), dem Standardsystem der Mengenlehre in der Mathematik, weder beweisbar noch widerlegbar sind (unter der Annahme, dass ZFC konsistent ist); Siehe Liste der in ZFC unentscheidbaren Anweisungen.

Gödels (erster) Unvollständigkeitssatz zeigt, dass viele Axiomensysteme von mathematischem Interesse unentscheidbare Aussagen haben werden.

Heuristische Mathematik und experimentelle Mathematik[edit]

Während frühe Mathematiker wie Eudoxus von Cnidus keine Beweise verwendeten, waren Beweise von Euklid bis zu den grundlegenden mathematischen Entwicklungen des späten 19. und 20. Jahrhunderts ein wesentlicher Bestandteil der Mathematik.^[26] Mit der Zunahme der Rechenleistung in den 1960er Jahren wurden bedeutende Arbeiten zur Untersuchung mathematischer Objekte außerhalb des Proof-Theorem-Rahmens durchgeführt.^[27] in der experimentellen Mathematik. Frühe Pioniere dieser Methoden beabsichtigten, die Arbeit letztendlich in ein klassisches Proof-Theorem-Gerüst einzubetten, z. B. die frühe Entwicklung der fraktalen Geometrie.^[28] das war letztendlich so eingebettet.

Verwandte konzepte[edit]

Visueller Beweis[edit]

Obwohl dies kein formaler Beweis ist, wird eine visuelle Demonstration eines mathematischen Theorems manchmal als “Beweis ohne Worte” bezeichnet. Das Bild links links ist ein Beispiel für einen historischen visuellen Beweis des Satzes von Pythagoras im Fall des (3,4,5) -Dreiecks.

• 

  Visueller Beweis für das (3, 4, 5) Dreieck wie im Zhoubi Suanjing 500–200 v.

• 

  Animierter visueller Beweis für den Satz von Pythagoras durch Umlagerung.

• 

  Ein zweiter animierter Beweis des Satzes von Pythagoras.

Einige illusorische visuelle Beweise, wie das fehlende quadratische Puzzle, können so konstruiert werden, dass sie eine vermeintliche mathematische Tatsache zu beweisen scheinen, dies jedoch nur bei winzigen Fehlern (z. B. angeblich geraden Linien, die sich tatsächlich leicht biegen) unbemerkt, bis das gesamte Bild genau untersucht und die Längen und Winkel genau gemessen oder berechnet wurden.

Elementarer Beweis[edit]

Ein elementarer Beweis ist ein Beweis, der nur grundlegende Techniken verwendet. Insbesondere wird der Begriff in der Zahlentheorie verwendet, um Beweise zu bezeichnen, die keine komplexe Analyse verwenden. Für einige Zeit wurde angenommen, dass bestimmte Sätze, wie der Primzahlsatz, nur mit “höherer” Mathematik bewiesen werden könnten. Im Laufe der Zeit wurden jedoch viele dieser Ergebnisse nur mit elementaren Techniken widerlegt.

Zweispaltiger Proof[edit]

Eine bestimmte Methode zum Organisieren eines Beweises unter Verwendung von zwei parallelen Spalten wird in den USA häufig in elementaren Geometrieklassen verwendet.^[29] Der Beweis wird als eine Reihe von Zeilen in zwei Spalten geschrieben. In jeder Zeile enthält die linke Spalte einen Satz, während die rechte Spalte eine kurze Erklärung enthält, wie der entsprechende Satz in der linken Spalte entweder ein Axiom oder eine Hypothese ist oder logisch aus früheren Sätzen abgeleitet werden kann . Die linke Spalte trägt normalerweise die Überschrift “Anweisungen” und die rechte Spalte die Überschrift “Gründe”.^[30]

Umgangssprachliche Verwendung von “mathematischen Beweisen”[edit]

Der Ausdruck “mathematischer Beweis” wird von Laien verwendet, um sich auf die Verwendung mathematischer Methoden oder das Streiten mit mathematischen Objekten wie Zahlen zu beziehen, um etwas über den Alltag zu demonstrieren, oder wenn die in einem Argument verwendeten Daten numerisch sind. Es wird manchmal auch verwendet, um einen “statistischen Beweis” (unten) zu bezeichnen, insbesondere wenn es verwendet wird, um aus Daten zu argumentieren.

Statistischer Nachweis anhand von Daten[edit]

“Statistischer Beweis” aus Daten bezieht sich auf die Anwendung von Statistik, Datenanalyse oder Bayes’scher Analyse, um Aussagen über die Wahrscheinlichkeit von Daten abzuleiten. Während mit mathematischer Beweis, um Theoreme in der Statistik zu etablieren, ist es normalerweise kein mathematischer Beweis, dass die Annahmen Aus welchen Wahrscheinlichkeitsaussagen abgeleitet werden, sind empirische Belege von außerhalb der Mathematik erforderlich, um dies zu überprüfen. In der Physik kann sich neben statistischen Methoden auch der “statistische Nachweis” auf das Fachgebiet beziehen mathematische Methoden der Physik angewendet, um Daten in einem Teilchenphysik-Experiment oder einer Beobachtungsstudie in der physikalischen Kosmologie zu analysieren. “Statistischer Beweis” kann sich auch auf Rohdaten oder ein überzeugendes Diagramm beziehen, das Daten wie Streudiagramme enthält, wenn die Daten oder das Diagramm ohne weitere Analyse ausreichend überzeugend sind.

Induktive Logikbeweise und Bayes’sche Analyse[edit]

Beweise, die induktive Logik verwenden, werden zwar als mathematisch angesehen, versuchen jedoch, Sätze mit einem gewissen Grad an Sicherheit zu erstellen, der ähnlich wie die Wahrscheinlichkeit wirkt und möglicherweise nicht vollständig sicher ist. Induktive Logik sollte nicht mit mathematischer Induktion verwechselt werden.

Die Bayes’sche Analyse verwendet den Bayes’schen Satz, um die Einschätzung der Wahrscheinlichkeit von Hypothesen durch eine Person zu aktualisieren, wenn neue Beweise oder Informationen gewonnen werden.

Beweise als mentale Objekte[edit]

Der Psychologismus betrachtet mathematische Beweise als psychologische oder mentale Objekte. Mathematikerphilosophen wie Leibniz, Frege und Carnap haben diese Ansicht unterschiedlich kritisiert und versucht, eine Semantik für das zu entwickeln, was sie als Sprache des Denkens betrachteten, wobei Standards des mathematischen Beweises auf die empirische Wissenschaft angewendet werden könnten.^{[citation needed]}

Einfluss mathematischer Beweismethoden außerhalb der Mathematik[edit]

Philosophen-Mathematiker wie Spinoza haben versucht, philosophische Argumente auf axiomatische Weise zu formulieren, wobei mathematische Beweisstandards auf die Argumentation in der allgemeinen Philosophie angewendet werden könnten. Andere Mathematiker-Philosophen haben versucht, Standards des mathematischen Beweises und der Vernunft ohne Empirismus zu verwenden, um zu Aussagen außerhalb der Mathematik zu gelangen, wobei sie jedoch die Gewissheit haben, dass Sätze in einem mathematischen Beweis wie Descartes ‘abgeleitet werden cogito Streit.

Einen Beweis beenden[edit]

Manchmal die Abkürzung “QED” wird geschrieben, um das Ende eines Beweises anzuzeigen. Diese Abkürzung steht für “quod erat demonstrandum”, was lateinisch ist für “das, was demonstriert werden sollte”. Eine häufigere Alternative ist die Verwendung eines Quadrats oder Rechtecks ​​wie □ oder ∎, das nach seinem Namensgeber Paul Halmos als “Grabstein” oder “Halmos” bezeichnet wird.^[5] Oft wird “was gezeigt werden sollte” mündlich angegeben, wenn während einer mündlichen Präsentation “QED”, “□” oder “∎” geschrieben wird.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Weiterführende Literatur[edit]

• Pólya, G. (1954), Mathematik und plausibles Denken, Princeton University Press.
• Fallis, Don (2002), “Was wollen Mathematiker? Probabilistische Beweise und die erkenntnistheoretischen Ziele von Mathematikern”, Logique et Analyze, 45: 373–88.
• Franklin, J.; Daoud, A. (2011), Beweis in der Mathematik: Eine Einführung, Kew Books, ISBN 978-0-646-54509-7.
• Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Beweis und andere Dilemmata: Mathematik und Philosophie. MAA.
• Solow, D. (2004), Wie man Beweise liest und macht: Eine Einführung in mathematische Denkprozesse, Wiley, ISBN 978-0-471-68058-1.
• Velleman, D. (2006), Wie man es beweist: Ein strukturierter Ansatz, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-67599-4.

Externe Links[edit]

Nachsehen Beweis in Wiktionary, dem kostenlosen Wörterbuch.