Normales Schema – Wikipedia

In der algebraischen Geometrie eine algebraische Variante oder ein algebraisches Schema X. ist normal Wenn es an jedem Punkt normal ist, bedeutet dies, dass der lokale Ring am Punkt eine vollständig geschlossene Domäne ist. Eine affine Sorte X. (als irreduzibel verstanden) ist genau dann normal, wenn der Ring Ö(X.) von regulären Funktionen auf X. ist eine ganzheitlich geschlossene Domäne. Eine Auswahl X. über einem Feld ist genau dann normal, wenn jeder endliche Birationsmorphismus von irgendeiner Art ist Y. zu X. ist ein Isomorphismus.

Normale Sorten wurden von Zariski (1939, Abschnitt III) eingeführt.

Geometrische und algebraische Interpretationen der Normalität[edit]

Ein Morphismus von Sorten ist endlich, wenn das umgekehrte Bild jedes Punktes endlich ist und der Morphismus richtig ist. Ein Morphismus von Sorten ist birational, wenn er sich auf einen Isomorphismus zwischen dichten offenen Teilmengen beschränkt. So zum Beispiel die kubische Eckkurve X. in der affinen Ebene EIN² definiert von x² = y³ ist nicht normal, weil es einen endlichen birationalen Morphismus gibt EIN¹ → X.
(nämlich, t Karten zu (t³, t²)) was kein Isomorphismus ist. Im Gegensatz dazu die affine Linie EIN¹ ist normal: es kann nicht weiter durch endliche birationale Morphismen vereinfacht werden.

Eine normale komplexe Sorte X. hat die Eigenschaft, dass jeder Link verbunden ist, wenn er unter Verwendung der klassischen Topologie als geschichteter Raum betrachtet wird. Gleichermaßen jeder komplexe Punkt x hat willkürlich kleine Nachbarschaften U. so dass U. abzüglich der singulären Menge von X. Ist verbunden. Zum Beispiel folgt daraus die kubische Knotenkurve X. in der Figur definiert durch x² = y²(y + 1) ist nicht normal. Dies folgt auch aus der Definition der Normalität, da es einen endlichen birationalen Morphismus gibt EIN¹ zu X. das ist kein Isomorphismus; es sendet zwei Punkte von EIN¹ zum gleichen Punkt in X..

Ganz allgemein ein Schema X. ist normal wenn jeder seiner lokalen klingelt

Ö_{X, x}

ist eine ganzheitlich geschlossene Domäne. Das heißt, jeder dieser Ringe ist eine integrale Domäne R.und jeder Ring S. mit R. ⊆ S. ⊆ Frac (R.) so dass S. wird endlich als R.-Modul ist gleich R.. (Hier Frac (R.) bezeichnet das Feld der Brüche von R..) Dies ist eine direkte Übersetzung des geometrischen Zustands, zu dem jeder endliche Birationsmorphismus führt, in Form lokaler Ringe X. ist ein Isomorphismus.

Eine ältere Vorstellung ist, dass eine Subvarietät X. des projektiven Raums ist linear normal, wenn das lineare System, das die Einbettung ergibt, vollständig ist. Gleichermaßen X. ⊆ P.ⁿ ist nicht die lineare Projektion einer Einbettung X. ⊆ P.^{n + 1} (es sei denn X. ist in einer Hyperebene enthalten P.ⁿ). Dies ist die Bedeutung von “normal” in den Phrasen rationale normale Kurve und rationale normale Schriftrolle.

Jedes reguläre Schema ist normal. Umgekehrt zeigte Zariski (1939, Satz 11), dass jede normale Sorte außerhalb einer Teilmenge der Codimension von mindestens 2 regelmäßig ist, und ein ähnliches Ergebnis gilt für Schemata.^[1] So ist beispielsweise jede normale Kurve regelmäßig.

Die Normalisierung[edit]

Jedes reduzierte Schema X. hat eine einzigartige Normalisierung: ein normales Schema Y. mit einem integralen birationalen Morphismus Y. → X.. (Zum X. eine Vielfalt über ein Feld, der Morphismus Y. → X. ist endlich, was stärker ist als “Integral”.^[2]) Die Normalisierung eines Schemas der Dimension 1 ist regelmäßig, und die Normalisierung eines Schemas der Dimension 2 weist nur isolierte Singularitäten auf. Die Normalisierung wird normalerweise nicht zur Auflösung von Singularitäten für Schemata höherer Dimension verwendet.

Um die Normalisierung zu definieren, nehmen wir zunächst an, dass X. ist ein irreduzibles reduziertes Schema X.. Jede affine offene Untergruppe von X. hat die Form Spec R. mit R. eine integrale Domäne. Schreiben X. als Vereinigung affiner offener Teilmengen Spec EIN_ich. Lassen B._ich der integrale Verschluss von sein EIN_ich in seinem Bruchfeld. Dann die Normalisierung von X. wird durch Zusammenkleben der affinen Schemata Spec definiert B._ich.

Beispiele[edit]

Wenn das anfängliche Schema nicht irreduzibel ist, wird die Normalisierung als die disjunkte Vereinigung der Normalisierungen der irreduziblen Komponenten definiert.

Normalisierung einer Spitze[edit]

Betrachten Sie die affine Kurve

${ displaystyle C = { text {Spec}} left ({ frac {k[x,y]} {y ^ {2} -x ^ {5}}} right)}$

mit der Höckersingularität am Ursprung. Seine Normalisierung kann durch die Karte gegeben werden

${ displaystyle { text {Spec}} (k[t]) bis C}$

induziert aus der Algebra-Karte

${ displaystyle x mapsto t ^ {2}, y mapsto t ^ {5}}$

Normalisierung der Achsen in der affinen Ebene[edit]

Zum Beispiel,

${ displaystyle X = { text {Spec}} ( mathbb {C} [x,y]/ (xy))}$

ist kein irreduzibles Schema, da es zwei Komponenten hat. Seine Normalisierung ist durch den Schemamorphismus gegeben

${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C} [x,y]/ (x) times mathbb {C} [x,y]/ (y)) to { text {Spec}} ( mathbb {C} [x,y]/ (xy))}$

induziert aus den beiden Quotientenkarten

${ displaystyle mathbb {C} [x,y]/ (xy) to mathbb {C} [x,y]/ (x, xy) = mathbb {C} [x,y]/ (x)}$

${ displaystyle mathbb {C} [x,y]/ (xy) to mathbb {C} [x,y]/ (y, xy) = mathbb {C} [x,y]/ (y)}$

Normalisierung der reduzierbaren projektiven Vielfalt[edit]

Ebenso für homogene irreduzible Polynome

${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {k}}$

in einem UFD die Normalisierung von

${ displaystyle { text {Proj}} left ({ frac {k[x_{0},ldots ,x_{n}]} {(f_ {1} cdots f_ {k}, g)}} right)}$

ist durch den Morphismus gegeben

${ displaystyle { text {Proj}} left ( prod { frac {k[x_{0}ldots ,x_{n}]} {(f_ {i}, g)}} right) to { text {Proj}} left ({ frac {k[x_{0},ldots ,x_{n}]} {(f_ {1} cdots f_ {k}, g)}} right)}$

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Eisenbud, David (1995), Kommutative Algebra. Mit Blick auf die algebraische Geometrie., Diplomtexte in Mathematik, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / 978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, HERR 1322960
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraische Geometrie, Diplomtexte in Mathematik, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, HERR 0463157, p. 91
• Zariski, Oscar (1939), “Einige Ergebnisse in der arithmetischen Theorie algebraischer Varietäten.”, Amer. J. Math., 61 (2): 249–294, doi:10.2307 / 2371499, JSTOR 2371499, HERR 1507376