Breusch-Pagan-Test – Wikipedia

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In der Statistik ist die Breusch-Pagan-Test, 1979 von Trevor Breusch und Adrian Pagan entwickelt,[1] wird verwendet, um die Heteroskedastizität in einem linearen Regressionsmodell zu testen. Es wurde unabhängig mit einer Erweiterung von R. Dennis Cook und Sanford Weisberg im Jahr 1983 vorgeschlagen (Cook-Weisberg-Test).[2] Abgeleitet vom Lagrange-Multiplikator-Testprinzip wird geprüft, ob die Varianz der Fehler aus einer Regression von den Werten der unabhängigen Variablen abhängt. In diesem Fall liegt eine Heteroskedastizität vor.

Angenommen, wir schätzen das Regressionsmodell

y=β0+β1x+u,{ displaystyle y = beta _ {0} + beta _ {1} x + u, ,}

und erhalten Sie von diesem angepassten Modell einen Satz von Werten für

u^{ displaystyle { widehat {u}}}

die Residuen. Gewöhnliche kleinste Quadrate beschränken diese so, dass ihr Mittelwert 0 ist. Unter der Annahme, dass ihre Varianz nicht von den unabhängigen Variablen abhängt, kann eine Schätzung dieser Varianz aus dem Durchschnitt der quadratischen Werte der Residuen erhalten werden. Wenn die Annahme nicht als wahr angesehen wird, könnte ein einfaches Modell sein, dass die Varianz linear mit unabhängigen Variablen zusammenhängt. Ein solches Modell kann untersucht werden, indem die quadratischen Residuen auf die unabhängigen Variablen unter Verwendung einer Hilfsregressionsgleichung der Form zurückgeführt werden

u^2=γ0+γ1x+v.{ displaystyle { widehat {u}} ^ {2} = gamma _ {0} + gamma _ {1} x + v. ,}

Dies ist die Grundlage des Breusch-Pagan-Tests. Es ist ein Chi-Quadrat-Test: Die Teststatistik wird verteilt nχ2 mit k Freiheitsgrade. Wenn die Teststatistik einen p-Wert unterhalb eines geeigneten Schwellenwerts hat (z p <0,05) wird dann die Nullhypothese der Homoskedastizität verworfen und die Heteroskedastizität angenommen.

Wenn der Breusch-Pagan-Test zeigt, dass es eine bedingte Heteroskedastizität gibt, könnte man entweder gewichtete kleinste Quadrate verwenden (wenn die Quelle der Heteroskedastizität bekannt ist) oder heteroskedastizitätskonsistente Standardfehler verwenden.

Verfahren[edit]

Unter den klassischen Annahmen sind gewöhnliche kleinste Quadrate der beste lineare unverzerrte Schätzer (BLAU), dh sie sind unverzerrt und effizient. Es bleibt unter Heteroskedastizität unvoreingenommen, aber die Effizienz geht verloren. Bevor man sich für eine Schätzmethode entscheidet, kann man den Breusch-Pagan-Test durchführen, um das Vorhandensein von Heteroskedastizität zu untersuchen. Der Breusch-Pagan-Test basiert auf Modellen dieses Typs

σich2=h((zich‘γ){ displaystyle sigma _ {i} ^ {2} = h (z_ {i} ‘ gamma)}

für die Abweichungen der Beobachtungen wo

zich=((1,z2ich,…,zpich){ displaystyle z_ {i} = (1, z_ {2i}, ldots, z_ {pi})}

Erklären Sie den Unterschied in den Abweichungen. Die Nullhypothese entspricht der

((p– –1){ displaystyle (p-1) ,}

Parametereinschränkungen:

γ2=⋯=γp=0.{ displaystyle gamma _ {2} = cdots = gamma _ {p} = 0.}

Der folgende Lagrange-Multiplikator (LM) liefert die Teststatistik für den Breusch-Pagan-Test:[citation needed]

LM=((∂ℓ∂θ)T.((– –E.[∂2ℓ∂θ∂θ′])– –1((∂ℓ∂θ).{ displaystyle { text {LM}} = left ({ frac { partielle ell} { partielle theta}} rechts) ^ { mathsf {T}} left (-E left[{frac {partial ^{2}ell }{partial theta ,partial theta ‘}}right] rechts) ^ {- 1} links ({ frac { partiell ell} { partiell theta}} rechts).}

Dieser Test kann über das folgende dreistufige Verfahren durchgeführt werden:

  • Schritt 1: Wenden Sie OLS im Modell an
yich=X.ichβ+εich,ich=1,…,n{ displaystyle y_ {i} = X_ {i} beta + varepsilon _ {i}, quad i = 1, dots {}, n}

  • Schritt 2: Berechnen Sie die Regressionsreste,
    ε^ich{ displaystyle { hat { varepsilon}} _ {i}}

    , quadrieren Sie sie und dividieren Sie durch die Maximum-Likelihood-Schätzung der Fehlervarianz aus der Regression von Schritt 1, um das zu erhalten, was Breusch und Pagan nennen Gich{ displaystyle g_ {i}}

    ::
Gich=ε^ich2/.σ^2,σ^2=∑ε^ich2/.n{ displaystyle g_ {i} = { hat { varepsilon}} _ {i} ^ {2} / { hat { sigma}} ^ {2}, quad { hat { sigma}} ^ { 2} = sum {{ hat { varepsilon}} _ {i} ^ {2}} / n}

  • Schritt 2: Schätzen Sie die Hilfsregression
Gich=γ1+γ2z2ich+⋯+γpzpich+ηich.{ displaystyle g_ {i} = gamma _ {1} + gamma _ {2} z_ {2i} + cdots + gamma _ {p} z_ {pi} + eta _ {i}.}

bei dem die z Begriffe sind normalerweise, aber nicht unbedingt dieselben wie die ursprünglichen Kovariaten x.

  • Schritt 3: Die LM-Teststatistik ist dann die Hälfte der erklärten Summe der Quadrate aus der Hilfsregression in Schritt 2:
LM=12((TSS– –SSR).{ displaystyle { text {LM}} = { frac {1} {2}} left ({ text {TSS}} – { text {SSR}} right).}

Dabei ist TSS die Summe der quadratischen Abweichungen der

Gich{ displaystyle g_ {i}}

von ihrem Mittelwert von 1, und SSR ist die Summe der quadratischen Residuen aus der Hilfsregression. Die Teststatistik ist asymptotisch verteilt als

χp– –12{ displaystyle chi _ {p-1} ^ {2}}

unter der Nullhypothese der Homoskedastizität, wie Breusch und Pagan in ihrer Arbeit von 1979 bewiesen haben.

Robuste Variante[edit]

Eine Variante dieses Tests, die im Fall eines nicht-Gaußschen Fehlerterms robust ist, wurde von Roger Koenker vorgeschlagen.[3] In dieser Variante ist die abhängige Variable in der Hilfsregression nur der quadratische Rest aus der Regression von Schritt 1,

ε^ich2{ displaystyle { hat { varepsilon}} _ {i} ^ {2}}

und die Teststatistik ist

nR.2{ displaystyle nR ^ {2}}

aus der Hilfsregression. Wie Koenker (1981, Seite 111) feststellt, kann die überarbeitete Statistik zwar die richtige asymptotische Größe aufweisen, ihre Leistung jedoch “außer unter idealisierten Gaußschen Bedingungen ziemlich schlecht sein”.

Software[edit]

In R wird dieser Test von der Funktion durchgeführt ncvTest verfügbar in der Auto Paket,[4] die Funktion bptest verfügbar in der lmtest Paket,[5][6] die Funktion plmtest verfügbar in der plm Paket,[7] oder die Funktion breusch_pagan verfügbar in der skedastisch Paket.[8]

In Stata gibt man die vollständige Regression an und gibt dann den Befehl ein estat hettest gefolgt von allen unabhängigen Variablen.[9][10]

In SAS kann Breusch-Pagan mit der Option Proc Model erhalten werden.

In Python gibt es eine Methode het_breuschpagan in statsmodels.stats.diagnostic (das Paket statsmodels) für den Breusch-Pagan-Test.[11]

In gretl der Befehl modtest --breusch-pagan kann nach einer OLS-Regression angewendet werden.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Weiterführende Literatur[edit]