T-Norm Fuzzy Logics – Wikipedia

T-Norm-Fuzzy-Logik sind eine Familie nicht klassischer Logiken, die informell durch eine Semantik abgegrenzt sind, die das reale Einheitsintervall nimmt [0, 1] für das System der Wahrheitswerte und Funktionen, die als t-Normen für zulässige Interpretationen der Konjunktion bezeichnet werden. Sie werden hauptsächlich in der angewandten Fuzzy-Logik und der Fuzzy-Mengen-Theorie als theoretische Grundlage für die ungefähre Argumentation verwendet.

T-Norm-Fuzzy-Logik gehört zu breiteren Klassen von Fuzzy-Logik und vielwertiger Logik. Um eine gut erzogene Implikation zu erzeugen, müssen die t-Normen normalerweise linkskontinuierlich sein; Die Logik der linkskontinuierlichen t-Normen gehört weiterhin zur Klasse der Unterstrukturlogiken, unter denen sie mit der Gültigkeit der gekennzeichnet sind Gesetz der Prelinearität, (EIN → B.) ∨ (B. → EIN). Es werden sowohl Satz- als auch T-Norm-Fuzzy-Logiken erster Ordnung (oder höherer Ordnung) sowie deren Erweiterungen durch modale und andere Operatoren untersucht. Logik, die die Semantik der t-Norm auf eine Teilmenge des realen Einheitsintervalls beschränkt (z. B. endlich bewertete Łukasiewicz-Logik), wird normalerweise ebenfalls in die Klasse aufgenommen.

Wichtige Beispiele für t-Norm-Fuzzy-Logiken sind die monoidale t-Norm-Logik MTL aller linkskontinuierlichen t-Normen, die Grundlogik BL aller kontinuierlichen t-Normen, die Produkt-Fuzzy-Logik der Produkt-t-Norm oder die nilpotente Minimallogik von die nilpotente minimale t-Norm. Einige unabhängig motivierte Logiken gehören ebenfalls zur Fuzzy-Logik der T-Norm, beispielsweise die asukasiewicz-Logik (die Logik der Łukasiewicz-t-Norm) oder die Gödel-Dummett-Logik (die Logik der minimalen t-Norm).

Motivation[edit]

Als Mitglieder der Familie der Fuzzy-Logiken zielen Fuzzy-Logiken mit t-Norm in erster Linie darauf ab, die klassische zweiwertige Logik zu verallgemeinern, indem zwischengeschaltete Wahrheitswerte zwischen 1 (Wahrheit) und 0 (Falschheit) zugelassen werden Grad der Wahrheit der Sätze. Die Grade werden als reelle Zahlen aus dem Einheitsintervall angenommen [0, 1]. In der Fuzzy-Logik der Satz-T-Norm wird festgelegt, dass Satz-Konnektiva wahrheitsfunktional sind, dh der Wahrheitswert eines komplexen Satzes, der durch einen Satz-Konnektiv aus einigen konstituierenden Sätzen gebildet wird, ist eine Funktion (genannt Wahrheitsfunktion des Zusammenhangs) der Wahrheitswerte der konstituierenden Sätze. Die Wahrheitsfunktionen arbeiten mit der Menge der Wahrheitsgrade (in der Standardsemantik mit der [0, 1] Intervall); also die Wahrheitsfunktion eines n-ary Satzverbindung c ist eine Funktion F._c:: [0, 1]ⁿ → [0, 1]. Wahrheitsfunktionen verallgemeinern Wahrheitstabellen von Satzverbindungen, die aus der klassischen Logik bekannt sind, um auf dem größeren System von Wahrheitswerten zu arbeiten.

T-Norm-Fuzzy-Logiken legen der Wahrheitsfunktion der Konjunktion bestimmte natürliche Einschränkungen auf. Die Wahrheitsfunktion

${ displaystyle * Doppelpunkt [0,1]^ {2} to [0,1]}}$

Es wird angenommen, dass die Konjunktion die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Kommutativität, das ist,
  ${ displaystyle x * y = y * x}$

  für alle x und y im [0, 1]. Dies drückt die Annahme aus, dass die Reihenfolge der Fuzzy-Sätze im Zusammenhang unerheblich ist, selbst wenn zwischengeschaltete Wahrheitsgrade zugelassen sind.

• Assoziativität, das ist,
  ${ displaystyle (x * y) * z = x * (y * z)}$

  für alle x, y, und z im [0, 1]. Dies drückt die Annahme aus, dass die Reihenfolge der Konjunktion unerheblich ist, selbst wenn zwischengeschaltete Wahrheitsgrade zugelassen sind.

• Monotonie, das heißt, wenn
  ${ displaystyle x leq y}$

  dann

  ${ displaystyle x * z leq y * z}$

  für alle x, y, und z im [0, 1]. Dies drückt die Annahme aus, dass das Erhöhen des Wahrheitsgrades einer Konjunktion den Wahrheitsgrad der Konjunktion nicht verringern sollte.

• Neutralität von 1, das ist,
  ${ displaystyle 1 * x = x}$

  für alle x im [0, 1]. Diese Annahme entspricht der Betrachtung des Wahrheitsgrades 1 als vollständige Wahrheit, deren Verbindung den Wahrheitswert der anderen Konjunktion nicht verringert. Zusammen mit den vorherigen Bedingungen stellt diese Bedingung dies auch sicher

  ${ displaystyle 0 * x = 0}$

  für alle x im [0, 1]Dies entspricht der Betrachtung des Wahrheitsgrades 0 als vollständige Falschheit, deren Verbindung immer vollständig falsch ist.

• Kontinuität der Funktion
  ${ displaystyle *}$

  (Die vorherigen Bedingungen reduzieren diese Anforderung auf die Kontinuität in beiden Argumenten.) Informell drückt dies die Annahme aus, dass mikroskopische Änderungen der Wahrheitsgrade von Konjunktionen nicht zu einer makroskopischen Änderung des Wahrheitsgrades ihrer Konjunktion führen sollten. Diese Bedingung stellt unter anderem ein gutes Verhalten der (Rest-) Implikation sicher, die aus der Konjunktion abgeleitet wird; um das gute Benehmen jedoch zu gewährleisten, links-Kontinuität (in beiden Argumenten) der Funktion

  ${ displaystyle *}$

  ist genügend.^[1] Im Allgemeinen t-Norm-Fuzzy-Logik daher nur Links-Kontinuität von

  ${ displaystyle *}$

  erforderlich ist, was die Annahme ausdrückt, dass ein mikroskopisches verringern des Wahrheitsgrades einer Konjunktion sollte den Wahrheitsgrad der Konjunktion nicht makroskopisch verringern.

Diese Annahmen machen die Wahrheitsfunktion der Konjunktion zu einer linkskontinuierlichen t-Norm, die den Namen der Familie der Fuzzy-Logik erklärt (t-normbasiert). Bestimmte Logiken der Familie können weitere Annahmen über das Verhalten der Konjunktion (zum Beispiel erfordert die Gödel-Logik ihre Idempotenz) oder andere Konnektiva (zum Beispiel erfordert die Logik IMTL die Involvutivität der Negation) treffen.

Alle linkskontinuierlichen t-Normen

${ displaystyle *}$

einen eindeutigen Rückstand haben, dh eine binäre Funktion

${ displaystyle Rightarrow}$

so dass für alle x, y, und z im [0, 1],

${ displaystyle x * y leq z}$

dann und nur dann, wenn

${ displaystyle x leq y Rightarrow z.}$

Der Rest einer linkskontinuierlichen t-Norm kann explizit definiert werden als

${ displaystyle (x Rightarrow y) = sup {z mid z * x leq y }.}$

Dies stellt sicher, dass der Rückstand die punktweise größte Funktion ist, so dass für alle x und y,

${ displaystyle x * (x Rightarrow y) leq y.}$

Letzteres kann als Fuzzy-Version der Inferenzregel des Modus Ponens interpretiert werden. Der Rest einer linkskontinuierlichen t-Norm kann somit als die schwächste Funktion charakterisiert werden, die den Fuzzy-Modus ponens gültig macht, was ihn zu einer geeigneten Wahrheitsfunktion für die Implikation in die Fuzzy-Logik macht. Die Linkskontinuität der t-Norm ist die notwendige und ausreichende Bedingung für diese Beziehung zwischen einer t-Norm-Konjunktion und ihrer verbleibenden Implikation.

Wahrheitsfunktionen weiterer Satzverbindungen können mittels der t-Norm und ihres Residuums definiert werden, beispielsweise der Restnegation

${ displaystyle neg x = (x Rightarrow 0)}$

oder Zwei-Rest-Äquivalenz

${ displaystyle x Leftrightarrow y = (x Rightarrow y) * (y Rightarrow x).}$

Wahrheitsfunktionen von aussagekräftigen Konnektiven können auch durch zusätzliche Definitionen eingeführt werden: Die üblichsten sind das Minimum (das eine Rolle eines anderen konjunktiven Konnektivs spielt), das Maximum (das eine Rolle eines disjunktiven Konnektivs spielt) oder der Baaz-Delta-Operator. definiert in [0, 1] wie

${ displaystyle Delta x = 1}$

wenn

${ displaystyle x = 1}$

und

${ displaystyle Delta x = 0}$

Andernfalls. Auf diese Weise bestimmen eine linkskontinuierliche t-Norm, ihr Residuum und die Wahrheitsfunktionen zusätzlicher Satzverbindungen die Wahrheitswerte komplexer Satzformeln in [0, 1].

Formeln, die immer 1 ergeben, werden aufgerufen Tautologien in Bezug auf die gegebene linkskontinuierliche t-Norm

${ displaystyle *,}$

oder

${ displaystyle * { mbox {-}}}$

Tautologien. Das Set von allen

${ displaystyle * { mbox {-}}}$

Tautologien heißt das Logik der t-Norm

${ displaystyle *,}$

da diese Formeln die Gesetze der Fuzzy-Logik darstellen (bestimmt durch die t-Norm), die unabhängig von den Wahrheitsgraden der Atomformeln gelten (bis Grad 1). Einige Formeln sind Tautologien in Bezug auf eine größere Klasse von linkskontinuierlichen t-Normen; Die Menge solcher Formeln wird als Logik der Klasse bezeichnet. Wichtige T-Norm-Logiken sind die Logiken bestimmter T-Normen oder Klassen von T-Normen, zum Beispiel:

Es stellt sich heraus, dass viele Logiken bestimmter T-Normen und Klassen von T-Normen axiomatisierbar sind. Der Vollständigkeitssatz des axiomatischen Systems in Bezug auf die entsprechende t-Norm-Semantik auf [0, 1] heißt dann die Standard Vollständigkeit der Logik. Neben der Standard-Realwert-Semantik auf [0, 1]Die Logik ist solide und vollständig in Bezug auf die allgemeine algebraische Semantik, die durch geeignete Klassen von vorlinearen kommutativ begrenzten integralen Restgittern gebildet wird.

Geschichte[edit]

Einige spezielle Fuzzy-Logiken der T-Norm wurden eingeführt und untersucht, lange bevor die Familie erkannt wurde (noch bevor die Begriffe Fuzzy-Logik oder T-Norm auftauchten):

Eine systematische Untersuchung bestimmter T-Norm-Fuzzy-Logiken und ihrer Klassen begann mit Hájeks (1998) Monographie Metamathematik der Fuzzy-Logik, die den Begriff der Logik einer kontinuierlichen t-Norm, die Logik der drei grundlegenden kontinuierlichen t-Normen (Łukasiewicz, Gödel und Produkt) und die ‘grundlegende’ Fuzzy-Logik BL aller kontinuierlichen t-Normen (alle) vorstellten von ihnen sowohl Satz als auch erster Ordnung). Das Buch begann auch mit der Untersuchung von Fuzzy-Logiken als nicht-klassische Logiken mit Hilbert-ähnlichen Kalkülen, algebraischer Semantik und metamathematischen Eigenschaften, die aus anderen Logiken bekannt sind (Vollständigkeitssätze, Deduktionssätze, Komplexität usw.).

Seitdem wurde eine Vielzahl von T-Norm-Fuzzy-Logiken eingeführt und ihre metamathematischen Eigenschaften untersucht. Einige der wichtigsten T-Norm-Fuzzy-Logiken wurden 2001 von Esteva und Godo (MTL, IMTL, SMTL, NM, WNM) eingeführt.^[1] Esteva, Godo und Montagna (Satz ŁΠ),^[6] und Cintula (order erster Ordnung).^[7]

Logische Sprache[edit]

Das logische Vokabular der aussagekräftigen T-Norm-Fuzzy-Logik umfasst standardmäßig die folgenden Verknüpfungen:

• Implikation
  ${ displaystyle rightarrow}$

  (binär). Im Zusammenhang mit anderen als t-normbasierten Fuzzy-Logiken wird die t-normbasierte Implikation manchmal genannt verbleibende Implikation oder R-Implikation, da seine Standardsemantik der Rest der t-Norm ist, der eine starke Konjunktion realisiert.

• Starke Konjunktion
  ${ displaystyle And}$

  (binär). Im Kontext der Substrukturlogik das Zeichen

  ${ displaystyle otimes}$

  und die Namen Gruppe, intensiv, multiplikativ, oder parallele Konjunktion werden oft für starke Konjunktion verwendet.

• Schwache Verbindung
  ${ displaystyle wedge}$

  (binär), auch genannt Gitterkonjunktion (wie es immer durch die Gitteroperation von meet in der algebraischen Semantik realisiert wird). Im Kontext der Substrukturlogik die Namen Zusatzstoff, Erweiterung, oder vergleichende Konjunktion werden manchmal für die Gitterkonjunktion verwendet. In der Logik BL und ihren Erweiterungen (wenn auch nicht in der T-Norm-Logik im Allgemeinen) ist eine schwache Konjunktion in Bezug auf Implikation und starke Konjunktion durch definierbar

${ displaystyle A wedge B equiv A { mathbin { And}} (A rightarrow B).}$

Das Vorhandensein von zwei Konjunktionsverbindungen ist ein gemeinsames Merkmal der kontraktionsfreien Substrukturlogik.

${ displaystyle neg A equiv A rightarrow bot}$

• Gleichwertigkeit
  ${ displaystyle leftrightarrow}$

  (binär), definiert als

${ displaystyle A leftrightarrow B equiv (A rightarrow B) wedge (B rightarrow A)}$

In der T-Norm-Logik entspricht die Definition

${ displaystyle (A rightarrow B) { mathbin { And}} (B rightarrow A).}$

• (Schwache) Disjunktion
  ${ displaystyle vee}$

  (binär), auch genannt Gitterdisjunktion (wie es immer durch die Gitteroperation des Joins in der algebraischen Semantik realisiert wird). In der T-Norm-Logik ist es in Bezug auf andere Konnektiva als definierbar

${ displaystyle A vee B equiv ((A rightarrow B) rightarrow B) wedge ((B rightarrow A) rightarrow A)}$

• oben
  ${ displaystyle top}$

  (nullary), auch genannt einer und bezeichnet mit

  ${ displaystyle 1}$

  oder

  ${ displaystyle { overline {1}}}$

  (da die Konstanten oben und null der Unterstrukturlogik in der Fuzzy-Logik der t-Norm zusammenfallen). Der Satz

  ${ displaystyle top}$

  entspricht dem klassischen Wahrheitswert wahr und kann in t-norm logiken definiert werden als

${ displaystyle top equiv bot rightarrow bot.}$

Einige Aussagen-T-Norm-Logiken fügen der obigen Sprache weitere Aussagen hinzu, meistens die folgenden:

${ displaystyle { overline {r { mathbin { And}} s}} leftrightarrow ({ overline {r}} { mathbin { And}} { overline {s}}),}$

${ displaystyle { overline {r rightarrow s}} leftrightarrow ({ overline {r}} { mathbin { rightarrow}} { overline {s}}),}$

usw. für alle Satzverbindungen und alle in der Sprache definierbaren Wahrheitskonstanten.

${ displaystyle A oplus B equiv mathrm { sim} ( mathrm { sim} A { mathbin { And}} mathrm { sim} B).}$

• Zusätzliche T-Norm-Konjunktionen und verbleibende Implikationen. Einige ausdrucksstarke T-Norm-Logiken, zum Beispiel die Logik ŁΠ, haben mehr als eine starke Konjunktion oder Restimplikation in ihrer Sprache. In der Standard-Realwertsemantik werden alle derart starken Konjunktionen durch unterschiedliche t-Normen und die verbleibenden Implikationen durch ihre Residuen realisiert.

Gut geformte Formeln der Satz-T-Norm-Logik werden aus Satzvariablen (normalerweise zählbar viele) durch die obigen logischen Verknüpfungen definiert, wie es in der Satzlogik üblich ist. Um Klammern zu speichern, wird üblicherweise die folgende Rangfolge verwendet:

• Unäre Verbindungen (am engsten binden)
• Andere binäre Verbindungen als Implikation und Äquivalenz
• Implikation und Äquivalenz (am lockersten binden)

Varianten erster Ordnung von T-Norm-Logiken verwenden die übliche logische Sprache der Logik erster Ordnung mit den obigen Satzkonnektiven und den folgenden Quantifizierern:

• Allgemeiner Quantifizierer
  ${ displaystyle forall}$

  

• Existenzquantifikator
  ${ displaystyle existiert}$

  

Die Variante erster Ordnung einer aussagekräftigen t-Norm-Logik

${ displaystyle L}$

wird normalerweise mit bezeichnet

${ displaystyle L forall.}$

Semantik[edit]

Die algebraische Semantik wird vorwiegend für aussagekräftige t-Norm-Fuzzy-Logik mit drei Hauptklassen von Algebren verwendet, für die eine t-Norm-Fuzzy-Logik gilt

${ displaystyle L}$

ist komplett:

• Allgemeine Semantik, gebildet von allen
  ${ displaystyle L}$

  -Algebren – das heißt, alle Algebren, für die die Logik richtig ist.

• Lineare Semantik, gebildet von allen linear
  ${ displaystyle L}$

  -Algebren – das ist alles

  ${ displaystyle L}$

  -Algebren, deren Gitterordnung linear ist.

• Standardsemantik, gebildet von allen Standard
  ${ displaystyle L}$

  -Algebren – das ist alles

  ${ displaystyle L}$

  -Algebren, deren Gitterreduktion das reale Einheitsintervall ist [0, 1] mit der üblichen Reihenfolge. Im Standard

  ${ displaystyle L}$

  -Algebren, die Interpretation einer starken Konjunktion ist eine linkskontinuierliche t-Norm und die Interpretation der meisten aussagekräftigen Konnektiva wird durch die t-Norm (daher die Namen) bestimmt T-Norm-basierte Logik und T-Norm

  ${ displaystyle L}$

  -Algebren, die auch für verwendet wird

  ${ displaystyle L}$

  -Algebren auf dem Gitter [0, 1]). In der T-Norm-Logik mit zusätzlichen Konnektiven kann die realwertige Interpretation der zusätzlichen Konnektive jedoch durch weitere Bedingungen eingeschränkt sein, unter denen die T-Norm-Algebra als Standard bezeichnet werden kann: beispielsweise im Standard

  ${ displaystyle L _ { sim}}$

  -Algebren der Logik

  ${ displaystyle L}$

  mit Involution die Interpretation der zusätzlichen involutiven Negation

  ${ displaystyle sim}$

  muss die sein Standard Involution

  ${ displaystyle f _ { sim} (x) = 1-x,}$

  eher als andere Involutionen, die auch interpretieren können

  ${ displaystyle sim}$

  über t-norm

  ${ displaystyle L _ { sim}}$

  -Algebren.^[10] Im Allgemeinen muss daher die Definition von Standard-T-Norm-Algebren für T-Norm-Logiken mit zusätzlichen Konnektiven explizit angegeben werden.

Literaturverzeichnis[edit]

• Esteva F. & Godo L., 2001, “Monoidale t-normbasierte Logik: Auf dem Weg zu einer Logik linkskontinuierlicher t-Normen”. Fuzzy Sets und Systeme 124: 271–288.
• Flaminio T. & Marchioni E., 2006, T-Norm-basierte Logik mit einer unabhängigen involutiven Negation. Fuzzy Sets und Systeme 157: 3125–3144.
• Gottwald S. & Hájek P., 2005, Dreieckige normbasierte mathematische Fuzzy-Logik. In EP Klement & R. Mesiar (Hrsg.), Logische, algebraische, analytische und probabilistische Aspekte dreieckiger NormenS. 275–300. Elsevier, Amsterdam 2005.
• Hájek P., 1998, Metamathematik der Fuzzy-Logik. Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6.

Verweise[edit]