Goldbachs schwache Vermutung – Wikipedia

Gelöste Vermutung über Primzahlen

In der Zahlentheorie Goldbachs schwache Vermutung, auch bekannt als die seltsame Goldbach-Vermutung, das ternäres Goldbach-Problem, oder der 3-Primzahlen-Problem, besagt, dass

Jede ungerade Zahl größer als 5 kann als Summe von drei Primzahlen ausgedrückt werden. (Eine Primzahl kann mehrmals in derselben Summe verwendet werden.)

Diese Vermutung heißt “schwach” denn wenn Goldbach stark Vermutung (über Summen von zwei Primzahlen) ist bewiesen, dann wäre dies auch wahr. Wenn jede gerade Zahl größer als 4 die Summe zweier ungerader Primzahlen ist, führt das Addieren von 3 zu jeder geraden Zahl größer als 4 zu ungeraden Zahlen größer als 7 (und 7 selbst ist gleich 2 + 2 + 3).

2013 veröffentlichte Harald Helfgott einen Beweis für Goldbachs schwache Vermutung.^[2] Ab 2018 ist der Beweis in der Mathematik weit verbreitet.^[3] Es wurde jedoch noch nicht in einem von Experten begutachteten Journal veröffentlicht.

Einige geben die Vermutung als

Jede ungerade Zahl größer als 7 kann als Summe von drei ungeraden Primzahlen ausgedrückt werden.^[4]

Diese Version schließt 7 = 2 + 2 + 3 aus, da dies die gerade Primzahl 2 erfordert. Bei ungeraden Zahlen größer als 7 ist sie etwas stärker, da sie auch Summen wie 17 = 2 + 2 + 13 ausschließt, die in der anderen Formulierung zulässig sind. Helfgotts Beweis deckt beide Versionen der Vermutung ab. Wie die andere Formulierung folgt auch diese unmittelbar aus Goldbachs starker Vermutung.

Ursprünge[edit]

Die Vermutung entstand im Briefwechsel zwischen Christian Goldbach und Leonhard Euler. Eine Formulierung der starken Goldbach-Vermutung, die der allgemeineren in Bezug auf die Summe von zwei Primzahlen entspricht, ist

Jede ganze Zahl größer als 5 kann als Summe von drei Primzahlen geschrieben werden.

Die schwache Vermutung ist einfach diese Aussage, die auf den Fall beschränkt ist, in dem die ganze Zahl ungerade ist (und möglicherweise mit der zusätzlichen Anforderung, dass die drei Primzahlen in der Summe ungerade sein müssen).

Zeitleiste der Ergebnisse[edit]

Im Jahr 1923 zeigten Hardy und Littlewood, dass unter der Annahme der verallgemeinerten Riemann-Hypothese die schwache Goldbach-Vermutung für alle ausreichend großen ungeraden Zahlen gilt. 1937 beseitigte Ivan Matveevich Vinogradov die Abhängigkeit von der verallgemeinerten Riemann-Hypothese und bewies direkt (siehe Vinogradovs Theorem), dass alle ausreichend großen ungeraden Zahlen als Summe von drei Primzahlen ausgedrückt werden können. Vinogradovs ursprünglicher Beweis, da er das unwirksame Siegel-Walfisz-Theorem verwendete, gab keine Grenze für “ausreichend groß”;; sein Schüler K. Borozdkin (1956) hat das abgeleitet

${ displaystyle e ^ {e ^ {16.038}} ca. 3 ^ {3 ^ {15}}}$

ist groß genug.^[5] Der ganzzahlige Teil dieser Zahl hat 4.008.660 Dezimalstellen, sodass eine Überprüfung jeder Zahl unter dieser Zahl völlig unmöglich wäre.

1997 veröffentlichten Deshouillers, Effinger, te Riele und Sinowjew ein Ergebnis^[6] dass die verallgemeinerte Riemann-Hypothese Goldbachs schwache Vermutung für alle Zahlen impliziert. Dieses Ergebnis kombiniert eine allgemeine Aussage, die für Zahlen größer als 10 gültig ist²⁰ mit einer umfangreichen Computersuche der kleinen Fälle. Saouter führte auch eine Computersuche durch, die ungefähr zur gleichen Zeit dieselben Fälle abdeckte.^[7]

Olivier Ramaré zeigte 1995, dass jede gerade Zahl n ≥ 4 ist in der Tat die Summe von höchstens sechs Primzahlen, aus denen jede ungerade Zahl folgt n ≥ 5 ist die Summe von höchstens sieben Primzahlen. Leszek Kaniecki zeigte, dass jede ungerade ganze Zahl nach der Riemann-Hypothese eine Summe von höchstens fünf Primzahlen ist.^[8] 2012 hat Terence Tao dies ohne die Riemann-Hypothese bewiesen; Dies verbessert beide Ergebnisse.^[9]

Im Jahr 2002 senkten Liu Ming-Chit (Universität Hongkong) und Wang Tian-Ze die Schwelle von Borozdkin auf ungefähr

${ displaystyle n> e ^ {3100} ca. 2 mal 10 ^ {1346}}$

[10]^[11][2][12] Hier die Hauptbögen

${ displaystyle { mathfrak {M}}}$

ist die Vereinigung von Intervallen

${ displaystyle left (a / q-cr_ {0} / qx, a / q + cr_ {0} / qx right)}$

um die Rationalen

${ displaystyle a / q, q$

wo

${ displaystyle c}$

ist eine Konstante. Kleinere Bögen

${ displaystyle { mathfrak {m}}}$

sind definiert als

${ displaystyle { mathfrak {m}} = ( mathbb {R} / mathbb {Z}) setminus { mathfrak {M}}}$

.

Verweise[edit]