Zariskis Hauptsatz – Wikipedia

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Satz der algebraischen Geometrie und der kommutativen Algebra

In der algebraischen Geometrie Zariskis Hauptsatz, bewiesen von Oscar Zariski (1943), ist eine Aussage über die Struktur von Birationsmorphismen, die ungefähr besagt, dass es an einem normalen Punkt einer Sorte nur einen Zweig gibt. Es ist der Sonderfall von Zariskis Verbundenheitssatz, wenn die beiden Sorten birational sind.

Zariskis Hauptsatz kann auf verschiedene Arten formuliert werden, die auf den ersten Blick ganz anders zu sein scheinen, aber tatsächlich eng miteinander verbunden sind. Einige der Variationen, die als Zariskis Hauptsatz bezeichnet wurden, sind folgende:

  • Die Gesamttransformation eines normalen Grundpunkts einer Birationskarte hat eine positive Dimension. Dies ist im Wesentlichen Zariskis ursprüngliche Form seines Hauptsatzes.
  • Ein birationaler Morphismus mit endlichen Fasern zu einer normalen Sorte ist ein Isomorphismus zu einer offenen Teilmenge.
  • Die totale Transformation eines normalen Punktes unter einem richtigen birationalen Morphismus ist verbunden.
  • Ein eng verwandter Satz von Grothendieck beschreibt die Struktur quasi-endlicher Morphismen von Schemata, was Zariskis ursprünglichen Hauptsatz impliziert.
  • Mehrere Ergebnisse führen zu einer kommutativen Algebra, die die geometrische Form von Zariskis Hauptsatz impliziert.
  • Ein normaler lokaler Ring ist unibranch, was eine Variation der Aussage ist, dass die Transformation eines normalen Punktes verbunden ist.
  • Der lokale Ring eines normalen Punktes einer Sorte ist analytisch normal. Dies ist eine starke Form der Aussage, dass es sich um eine Unibranch handelt.

Der Name “Zariskis Hauptsatz” kommt von der Tatsache, dass Zariski ihn in Zariski (1943) als “HAUPTSATZ” bezeichnete.

Zariskis Hauptsatz für birationale Morphismen[edit]

Lassen f eine birationale Kartierung algebraischer Sorten sein V. und W.. Erinnere dich daran f wird durch eine geschlossene Subvarietät definiert

Γ⊂V.×W.{ displaystyle Gamma subset V times W}

(ein “Graph” von f) so, dass die Projektion auf den ersten Faktor

p1{ displaystyle p_ {1}}

induziert einen Isomorphismus zwischen einem offenen

U.⊂V.{ displaystyle U subset V}

und

p1– –1(U.){ displaystyle p_ {1} ^ {- 1} (U)}

und so dass

p2∘p1– –1{ displaystyle p_ {2} circ p_ {1} ^ {- 1}}

ist ein Isomorphismus auf U. auch. Die Ergänzung von U. im V. heißt a grundlegende Vielfalt oder Unbestimmtheitsortund ein Bild einer Teilmenge von V. unter

p2∘p1– –1{ displaystyle p_ {2} circ p_ {1} ^ {- 1}}

heißt a totale Transformation davon.

Die ursprüngliche Aussage des Satzes in (Zariski 1943, S. 522) lautet:

Hauptsatz: Wenn W. ist eine irreduzible Grundsorte auf V. einer birationalen Korrespondenz T. zwischen V. und V.‘ und wenn T. hat keine grundlegenden Elemente auf V.‘Dann – unter der Annahme, dass V. ist lokal normal bei W. – jede irreduzible Komponente der Transformation T.[W] ist von höherer Dimension als W..

Hier T. ist im Wesentlichen ein Morphismus aus V.‘Bis V. das ist birational, W. ist eine Subvarietät der Menge, in der die Umkehrung von T. ist nicht definiert, wessen lokaler Ring normal ist, und die Transformation T.[W] bedeutet das inverse Bild von W. unter dem Morphismus von V.‘Bis V..

Hier sind einige Varianten dieses Theorems, die unter Verwendung einer neueren Terminologie angegeben wurden. Hartshorne (1977, Korollar III.11.4) nennt die folgende Aussage zur Verbundenheit “Zariskis Hauptsatz”:

Wenn f::X.→Y. ist ein birationaler projektiver Morphismus zwischen noetherischen Integralschemata, dann das inverse Bild jedes normalen Punktes von Y. Ist verbunden.

Die folgende Konsequenz davon (Satz V.5.2,loc.cit.) geht auch unter diesen Namen:

Wenn f::X.→Y. ist eine birationale Transformation projektiver Sorten mit Y. normal, dann die totale Transformation eines fundamentalen Punktes von f verbunden ist und mindestens 1 dimensioniert.

Beispiele[edit]

  • Nehme an, dass V. ist eine glatte Vielfalt von Dimensionen größer als 1 und V.‘Ist gegeben, indem ein Punkt gesprengt wird W. auf V.. Dann V. ist normal bei W.und die Komponente der Transformation von W. ist ein projektiver Raum, dessen Dimension größer als ist W. wie von Zariskis ursprünglicher Form seines Hauptsatzes vorhergesagt.
  • Im vorherigen Beispiel wurde die Transformation von W. war nicht reduzierbar. Es ist leicht, Beispiele zu finden, bei denen die Gesamttransformation durch Sprengen anderer Punkte auf der Transformation reduziert werden kann. Zum Beispiel wenn V.‘Ist gegeben, indem ein Punkt gesprengt wird W. auf V. und dann einen weiteren Punkt dieser Transformation in die Luft jagen, die totale Transformation von W. hat 2 irreduzible Komponenten, die sich an einem Punkt treffen. Wie durch Hartshornes Form des Hauptsatzes vorhergesagt, ist die Gesamttransformation verbunden und hat eine Dimension von mindestens 1.
  • Zum Beispiel wo W. ist nicht normal und die Schlussfolgerung des Hauptsatzes schlägt fehl, nimm V.‘Eine glatte Sorte sein und nehmen V. gegeben werden, indem zwei verschiedene Punkte auf identifiziert werden V.‘, und nehme W. das Bild dieser beiden Punkte zu sein. Dann W. ist nicht normal und die Transformation von W. besteht aus zwei Punkten, die nicht verbunden sind und keine positive Dimension haben.

Zariskis Hauptsatz für quasifinite Morphismen[edit]

In EGA III nennt Grothendieck die folgende Aussage, die keine Verbundenheit beinhaltet, einen “Hauptsatz” von Zariski Grothendieck (1961, Théorème 4.4.3):

Wenn f::X.→Y. ist ein quasi-projektiver Morphismus von Noether-Schemata, dann ist die Menge der Punkte, die in ihrer Faser isoliert sind, offen in X.. Darüber hinaus ist das induzierte Schema dieser Menge isomorph zu einer offenen Teilmenge eines Schemas, das endlich ist Y..

In EGA IV stellte Grothendieck fest, dass die letzte Aussage aus einem allgemeineren Satz über die Struktur quasi-endlicher Morphismen abgeleitet werden kann, und letzterer wird oft als “Zariskis Hauptsatz in Form von Grothendieck” bezeichnet. Es ist bekannt, dass offene Immersionen und endliche Morphismen quasi endlich sind. Grothendieck hat bewiesen, dass unter der Hypothese der Trennung alle quasi-endlichen Morphismen Kompositionen eines solchen Grothendieck sind (1966, Théorème 8.12.6):

wenn Y. ist ein quasi kompaktes getrenntes Schema und f::X.→Y.{ displaystyle f: X bis Y}

ist ein getrennter, quasi-endlicher, endlich präsentierter Morphismus, dann gibt es eine Faktorisierung in X.→Z.→Y.{ displaystyle X bis Z bis Y}

, wobei die erste Karte ein offenes Eintauchen ist und die zweite endlich ist.

Die Beziehung zwischen diesem Satz über quasi-endliche Morphismen und Théorème 4.4.3 von EGA III, der oben zitiert wurde, ist die, wenn f::X.→Y. ist ein projektiver Morphismus von Sorten, dann ist die Menge der Punkte, die in ihrer Faser isoliert sind, quasifinit über Y.. Dann gilt der Struktursatz für quasi-endliche Morphismen und ergibt das gewünschte Ergebnis.

Zariskis Hauptsatz für kommutative Ringe[edit]

Zariski (1949) formulierte seinen Hauptsatz in Bezug auf die kommutative Algebra als Aussage über lokale Ringe neu. Grothendieck (1961, Théorème 4.4.7) verallgemeinerte Zariskis Formulierung wie folgt:

Wenn B. ist eine Algebra vom endlichen Typ über einem lokalen Noether-Ring EIN, und n ist ein maximales Ideal von B. Das ist minimal unter den Idealen von B. dessen inverses Bild in EIN ist das maximale Ideal m von EINdann gibt es eine endliche EIN-Algebra EIN‘Mit einem maximalen Ideal m‘(Dessen inverses Bild in EIN ist m) so dass die Lokalisierung B.n ist isomorph zum EIN-Algebra EIN‘m‘.

Wenn zusätzlich EIN und B. sind ganzzahlig und haben das gleiche Feld von Brüchen, und EIN ist ganzheitlich geschlossen, dann impliziert dieser Satz das EIN und B. sind gleich. Dies ist im Wesentlichen Zariskis Formulierung seines Hauptsatzes in Bezug auf kommutative Ringe.

Zariskis Hauptsatz: topologische Form[edit]

Eine topologische Version von Zariskis Hauptsatz besagt, dass wenn x ist ein (geschlossener) Punkt einer normalen komplexen Sorte, die nicht verzweigt ist; Mit anderen Worten, es gibt beliebig kleine Stadtteile U. von x so dass die Menge der nicht singulären Punkte von U. verbunden ist (Mumford 1999, III.9).

Die Eigenschaft, normal zu sein, ist stärker als die Eigenschaft, nicht verzweigt zu sein: Beispielsweise ist eine Spitze einer ebenen Kurve nicht verzweigt, aber nicht normal.

Zariskis Hauptsatz: Potenzreihenform[edit]

Eine formale Potenzreihenversion von Zariskis Hauptsatz besagt, dass wenn x ist ein normaler Punkt einer Sorte, dann ist es analytisch normal; mit anderen Worten die Vervollständigung des lokalen Rings bei x ist eine normale integrale Domäne (Mumford 1999, III.9).

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]