Ungleichung beseitigen – Wikipedia

In der Mathematik ist die Ungleichung beseitigen, entdeckt vom sowjetischen Mathematiker Evgeny Yakovlevich Remez (Remez 1936), gibt eine Grenze für die Sup-Normen bestimmter Polynome, wobei die Grenze durch die Chebyshev-Polynome erreicht wird.

Die Ungleichung[edit]

Sei σ eine beliebige feste positive Zahl. Definieren Sie die Klasse der Polynome π_n(σ) diese Polynome sein p des nth Grad für den

${ displaystyle | p (x) | leq 1}$

bei einem Maßsatz ≥ 2, der im geschlossenen Intervall enthalten ist [−1, 1+σ]. Dann ist die Ungleichung beseitigen besagt, dass

${ displaystyle sup _ {p in pi _ {n} ( sigma)} | p | _ { infty} = | T_ {n} | _ { infty}}$

wo T._n((x) ist das Chebyshev-Polynom des Grades nund die Supremum-Norm wird über das Intervall übernommen [−1, 1+σ].

Beachten Sie das T._n nimmt weiter zu

${ displaystyle [1,+infty ]}}$

daher

${ displaystyle | T_ {n} | _ { infty} = T_ {n} (1+ sigma).}$

Das Ri impliziert in Kombination mit einer Schätzung der Chebyshev-Polynome die folgende Folgerung: If J. ⊂ R. ist ein endliches Intervall, und E. ⊂ J. ist also eine beliebige messbare Menge

${ displaystyle max _ {x in J} | p (x) | leq left ({ frac {4 , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E. }} right) ^ {n} sup _ {x in E} | p (x) | qquad qquad$

max _ {{x in J}} | p (x) | leq left ({ frac {4 , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E} } right) ^ {n} sup _ {{x in E}} | p (x) | qquad qquad für jedes Polynom pGrad

n[edit]

._{Erweiterungen: Nazarov-Turán-Lemma}Ungleichungen ähnlich (

* * ) wurden für verschiedene Funktionsklassen nachgewiesen und sind als Ungleichungen vom Remez-Typ bekannt. Ein wichtiges Beispiel ist Nazarovs Ungleichung für exponentielle Summen (Nazarov 1993):

$k$

{ displaystyle p (x) = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} e ^ { lambda _ {k} x}} p (x) = sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} e ^ {{ lambda _ {k} x}}_{sei eine exponentielle Summe (mit beliebiger} λk∈ C. ), und lass J. ⊂ R. sei ein endliches Intervall, E.⊂

${\displaystyle \underset{\mathrm{–\; eine\; beliebige\; messbare\; Menge.\; Dann}maxx}{J.}\in \mathrm{J.}|p((x){|}^{\underset{e}{\le }max\mathrm{k}{|}_{\Re }\lambda \mathrm{k}\mathrm{|}\mathrm{m}e}{s\frac{\mathrm{J.}\text{((}\mathrm{C.}}{\text{mes}\mathrm{J.}}mes}^{\mathrm{E.})\mathrm{n}}\underset{1supx}{–\; –}\in \mathrm{E.}|p((x\text{)}|}$

{ displaystyle max _ {x in J} | p (x) | leq e ^ { max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} left ({ frac {C , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E}} right) ^ {n-1} sup _ {x in E} | p (x) | ~,} max _ {{x in J}} | p (x) | leq e ^ {{ max _ {k} | Re lambda _ {k} | , { mathrm {mes}} J} } left ({ frac {C , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E}} right) ^ {{n-1}} sup _ {{x in E}} | p (x) | ~, wo

C. > 0 ist eine numerische Konstante._{Im besonderen Fall wenn} λ k sind rein imaginär und ganzzahlig, und die Teilmenge

E.

$≤$

{ displaystyle L ^ {p} ( mathbb {T}), 0 leq p leq 2}

$E.$

{ displaystyle | p | _ {L ^ {p} ( mathbb {T})} leq e ^ {A (n-1) { textrm {mes}} ( mathbb {T} setminus E. )} | p | _ {L ^ {p} (E)}} | p | _ {{L ^ {p} ({ mathbb {T}})}} leq e ^ {{A (n-1) { textrm {mes}} ({ mathbb {T} } setminus E)}} | p | _ {{L ^ {p} (E)}}für einige EIN> 0 unabhängig von p, E., und

n”. Wann”

$n$

n”{ displaystyle mathrm {mes} E <1 - { frac { log n} {n}}}"

alt = { mathrm {mes}} E. eine ähnliche Ungleichung gilt für p> 2. Für

p = ∞ Es gibt eine Erweiterung auf mehrdimensionale Polynome.

$>$

{ displaystyle E = E _ { lambda} = {x ,: | p (x) | leq lambda }, lambda> 0}

$1$

{ displaystyle max _ {x in J} | p (x) | leq e ^ { max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} left ({ frac {C , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E _ { lambda}}} right) ^ {n-1} sup _ {x in E _ { lambda}} | p (x) | leq e ^ { max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} left ({ frac {C. , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E _ { lambda}}} right) ^ {n-1} lambda}

$– –$

{ displaystyle { textrm {mes}} E _ { lambda} leq C , , { textrm {mes}} J left ({ frac { lambda e ^ { max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J}} { max _ {x in J} | p (x) |}} right) ^ { frac {1} {n-1 }}}

$Korrigieren Sie jetzt einen Satz$

{ displaystyle E}

$und wähle$

{ displaystyle lambda}

$mes$

{ displaystyle { textrm {mes}} E _ { lambda} leq { tfrac {1} {2}} { textrm {mes}} E}

$)$

{ displaystyle lambda = left ({ frac {{ textrm {mes}} E} {2C mathrm {mes} J}} right) ^ {n-1} e ^ {- max _ {k } | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} max _ {x in J} | p (x) |}

1. 
   $mes$

   { displaystyle { textrm {mes}} E setminus E _ { lambda} geq { tfrac {1} {2}} { textrm {mes}} E}

2. 
   $>$

   { displaystyle forall x in E setminus E _ { lambda}: | p (x) |> lambda}

{ displaystyle forall x in E setminus E _ { lambda}: | p (x) |> lambda}

$x[6pt],[6pt]{ displaystyle { begin {align} int _ {x in E} | p (x) | ^ {p} , { mbox {d}} x & geq int _ {x in E setminus E _ { lambda}} | p (x) | ^ {p} , { mbox {d}} x \[6pt]& geq lambda ^ {p} { frac {1} {2}} { textrm {mes}} E \$

& = { frac {1} {2}} { textrm {mes}} E left ({ frac {{ textrm {mes}} E} {2C mathrm {mes} J}} right) ^ {p (n-1)} e ^ {- p max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} max _ {x in J} | p ( x) | ^ {p} \

& geq { frac {1} {2}} { frac {{ textrm {mes}} E} {{ textrm {mes}} J}} left ({ frac {{ textrm {mes}) } E} {2C mathrm {mes} J}} right) ^ {p (n-1)} e ^ {- p max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} int _ {x in J} | p (x) | ^ {p} , { mbox {d}} x, end {align}}}[edit]

das vervollständigt den Beweis. Pólya UngleichungEine der Folgerungen des Ri ist die Pólya Ungleichung , was von George Pólya (Pólya 1928) bewiesen wurde und besagt, dass das Lebesgue-Maß eine untergeordnete Menge eines Polynoms ist p Gradnist in Bezug auf den führenden Koeffizienten LC begrenzt (

{ displaystyle { textrm {mes}} left {x in mathbb {R} , mid , | P (x) | leq a right } leq 4 left ({ frac {a} {2 mathrm {LC} (p)}} right) ^ {1 / n} ~, quad a> 0 ~.}[edit]

• { textrm {mes}} left {x in { mathbb {R}} , mid , | P (x) | leq a right } leq 4 left ({ frac { a} {2 { mathrm {LC}} (p)}} right) ^ {{1 / n}} ~, quad a> 0 ~. “Verweise”Remez, EJ (1936). Sur une propriété des polynômes de Tchebyscheff. Comm. Inst. Sci. Kharkow.13
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