Ungleichung beseitigen – Wikipedia
In der Mathematik ist die Ungleichung beseitigen, entdeckt vom sowjetischen Mathematiker Evgeny Yakovlevich Remez (Remez 1936), gibt eine Grenze für die Sup-Normen bestimmter Polynome, wobei die Grenze durch die Chebyshev-Polynome erreicht wird.
Die Ungleichung[edit]
Sei σ eine beliebige feste positive Zahl. Definieren Sie die Klasse der Polynome πn(σ) diese Polynome sein p des nth Grad für den
bei einem Maßsatz ≥ 2, der im geschlossenen Intervall enthalten ist [−1, 1+σ]. Dann ist die Ungleichung beseitigen besagt, dass
wo T.n((x) ist das Chebyshev-Polynom des Grades nund die Supremum-Norm wird über das Intervall übernommen [−1, 1+σ].
Beachten Sie das T.n nimmt weiter zu
daher
Das Ri impliziert in Kombination mit einer Schätzung der Chebyshev-Polynome die folgende Folgerung: If J. ⊂ R. ist ein endliches Intervall, und E. ⊂ J. ist also eine beliebige messbare Menge
max _ {{x in J}} | p (x) | leq left ({ frac {4 , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E} } right) ^ {n} sup _ {{x in E}} | p (x) | qquad qquad für jedes Polynom pGrad
n[edit]
.Erweiterungen: Nazarov-Turán-LemmaUngleichungen ähnlich (
- * * ) wurden für verschiedene Funktionsklassen nachgewiesen und sind als Ungleichungen vom Remez-Typ bekannt. Ein wichtiges Beispiel ist Nazarovs Ungleichung für exponentielle Summen (Nazarov 1993):
- { displaystyle p (x) = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} e ^ { lambda _ {k} x}} p (x) = sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} e ^ {{ lambda _ {k} x}}sei eine exponentielle Summe (mit beliebiger λk∈ C. ), und lass J. ⊂ R. sei ein endliches Intervall, E.⊂
- { displaystyle max _ {x in J} | p (x) | leq e ^ { max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} left ({ frac {C , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E}} right) ^ {n-1} sup _ {x in E} | p (x) | ~,} max _ {{x in J}} | p (x) | leq e ^ {{ max _ {k} | Re lambda _ {k} | , { mathrm {mes}} J} } left ({ frac {C , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E}} right) ^ {{n-1}} sup _ {{x in E}} | p (x) | ~, wo
C. > 0 ist eine numerische Konstante.Im besonderen Fall wenn λ k sind rein imaginär und ganzzahlig, und die Teilmenge
E.
{ displaystyle L ^ {p} ( mathbb {T}), 0 leq p leq 2}
{ displaystyle | p | _ {L ^ {p} ( mathbb {T})} leq e ^ {A (n-1) { textrm {mes}} ( mathbb {T} setminus E. )} | p | _ {L ^ {p} (E)}} | p | _ {{L ^ {p} ({ mathbb {T}})}} leq e ^ {{A (n-1) { textrm {mes}} ({ mathbb {T} } setminus E)}} | p | _ {{L ^ {p} (E)}}für einige EIN> 0 unabhängig von p, E., und
- n”{ displaystyle mathrm {mes} E <1 - { frac { log n} {n}}}"
alt = { mathrm {mes}} E. eine ähnliche Ungleichung gilt für p> 2. Für
p = ∞ Es gibt eine Erweiterung auf mehrdimensionale Polynome.
{ displaystyle E = E _ { lambda} = {x ,: | p (x) | leq lambda }, lambda> 0}
{ displaystyle max _ {x in J} | p (x) | leq e ^ { max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} left ({ frac {C , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E _ { lambda}}} right) ^ {n-1} sup _ {x in E _ { lambda}} | p (x) | leq e ^ { max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} left ({ frac {C. , , { textrm {mes}} J} {{ textrm {mes}} E _ { lambda}}} right) ^ {n-1} lambda}
{ displaystyle { textrm {mes}} E _ { lambda} leq C , , { textrm {mes}} J left ({ frac { lambda e ^ { max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J}} { max _ {x in J} | p (x) |}} right) ^ { frac {1} {n-1 }}}
{ displaystyle E}
{ displaystyle lambda}
{ displaystyle { textrm {mes}} E _ { lambda} leq { tfrac {1} {2}} { textrm {mes}} E}
{ displaystyle lambda = left ({ frac {{ textrm {mes}} E} {2C mathrm {mes} J}} right) ^ {n-1} e ^ {- max _ {k } | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} max _ {x in J} | p (x) |}
- { displaystyle { textrm {mes}} E setminus E _ { lambda} geq { tfrac {1} {2}} { textrm {mes}} E}
- { displaystyle forall x in E setminus E _ { lambda}: | p (x) |> lambda}
{ displaystyle forall x in E setminus E _ { lambda}: | p (x) |> lambda}
& = { frac {1} {2}} { textrm {mes}} E left ({ frac {{ textrm {mes}} E} {2C mathrm {mes} J}} right) ^ {p (n-1)} e ^ {- p max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} max _ {x in J} | p ( x) | ^ {p} \
& geq { frac {1} {2}} { frac {{ textrm {mes}} E} {{ textrm {mes}} J}} left ({ frac {{ textrm {mes}) } E} {2C mathrm {mes} J}} right) ^ {p (n-1)} e ^ {- p max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} int _ {x in J} | p (x) | ^ {p} , { mbox {d}} x, end {align}}}[edit]
das vervollständigt den Beweis. Pólya UngleichungEine der Folgerungen des Ri ist die Pólya Ungleichung , was von George Pólya (Pólya 1928) bewiesen wurde und besagt, dass das Lebesgue-Maß eine untergeordnete Menge eines Polynoms ist p Gradnist in Bezug auf den führenden Koeffizienten LC begrenzt (
{ displaystyle { textrm {mes}} left {x in mathbb {R} , mid , | P (x) | leq a right } leq 4 left ({ frac {a} {2 mathrm {LC} (p)}} right) ^ {1 / n} ~, quad a> 0 ~.}[edit]
- { textrm {mes}} left {x in { mathbb {R}} , mid , | P (x) | leq a right } leq 4 left ({ frac { a} {2 { mathrm {LC}} (p)}} right) ^ {{1 / n}} ~, quad a> 0 ~. “Verweise”Remez, EJ (1936). Sur une propriété des polynômes de Tchebyscheff. Comm. Inst. Sci. Kharkow.13
- : 93–95. “CS1-Wartung: ref = harv (Link)”Bojanov, B. (Mai 1993). Elementarer Beweis der Remez-Ungleichung. The American Mathematical Monthly . Mathematische Vereinigung von Amerika.100(5): 483–485. doi: 10.2307 / 2324304. JSTOR2324304
- . “CS1-Wartung: ref = harv (Link)”Fontes-Merz, N. (2006). Eine mehrdimensionale Version von Turans Lemma. Journal of Approximation Theory .140
- (1): 27–30. “CS1-Wartung: ref = harv (Link)”Nazarov, F. (1993). Lokale Schätzungen für exponentielle Polynome und ihre Anwendung auf Ungleichungen vom Typ des Unsicherheitsprinzips. Algebra i Analiz .5
- (4): 3–66. CS1-Wartung: ref = harv (Link)Nazarov, F. (2000). Vollständige Version von Turans Lemma für trigonometrische Polynome auf dem Einheitsumfang. Komplexe Analyse, Operatoren und verwandte Themen.113
- . S. 239–246. “CS1-Wartung: ref = harv (Link)”Pólya, G. (1928). Beitrag zur Verallgemeinerung des Vertrauensungssatzes auf zusammengesetzte hängende Gebiete.Sitzungsberichte Akad. Berlin
: 280–282.
CS1-Wartung: ref = harv (Link)
Recent Comments