Gratverteilung – Wikipedia

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Grat Typ XII

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Verteilungsfunktion
Parameter c>0{ displaystyle c> 0 !}

k>0{ displaystyle k> 0 !}

Unterstützung 		x>0{ displaystyle x> 0 !}

PDF 		ckxc– –1((1+xc)k+1{ displaystyle ck { frac {x ^ {c-1}} {(1 + x ^ {c}) ^ {k + 1}}} !}

CDF 1– –((1+xc)– –k{ displaystyle 1- left (1 + x ^ {c} right) ^ {- k}}

Bedeuten
μ1=kB.⁡((k– –1/.c,1+1/.c){ displaystyle mu _ {1} = k operatorname { mathrm {B}} (k-1 / c, , 1 + 1 / c)}

Dabei ist Β () die Beta-Funktion
Median ((21k– –1)1c{ displaystyle left (2 ^ { frac {1} {k}} – 1 right) ^ { frac {1} {c}}}

Modus ((c– –1kc+1)1c{ displaystyle left ({ frac {c-1} {kc + 1}} right) ^ { frac {1} {c}}}

Varianz – –μ12+μ2{ displaystyle – mu _ {1} ^ {2} + mu _ {2}}

Schiefe 2μ13– –3μ1μ2+μ3((– –μ12+μ2)3/.2{ displaystyle { frac {2 mu _ {1} ^ {3} -3 mu _ {1} mu _ {2} + mu _ {3}} { left (- mu _ {1 } ^ {2} + mu _ {2} right) ^ {3/2}}}}

Ex. Kurtosis – –3μ14+6μ12μ2– –4μ1μ3+μ4((– –μ12+μ2)2– –3{ displaystyle { frac {-3 mu _ {1} ^ {4} +6 mu _ {1} ^ {2} mu _ {2} -4 mu _ {1} mu _ {3 } + mu _ {4}} { left (- mu _ {1} ^ {2} + mu _ {2} right) ^ {2}}} – 3}

wo Momente (sehen) μr=kB.⁡((ck– –rc,c+rc){ displaystyle mu _ {r} = k operatorname { mathrm {B}} left ({ frac {ck-r} {c}}, , { frac {c + r} {c}} Recht)}

CF. =c((– –icht)kcΓ((k)H.1,22,1[(−it)c|(−k,1)(0,1),(−kc,c)],t≠0{ displaystyle = { frac {c (-it) ^ {kc}} { Gamma (k)}} H_ {1,2} ^ {2,1} ! left[(-it)^{c}left|{begin{matrix}(-k,1)\(0,1),(-kc,c)end{matrix}}right.right], t neq 0}


=1,t=0{ displaystyle = 1, t = 0}


wo Γ{ displaystyle Gamma}

ist die Gammafunktion und H.{ displaystyle H}

ist die Fox H-Funktion.[1]

In der Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Ökonometrie ist die Grat Typ XII Verteilung oder einfach die Gratverteilung[2] ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine nicht negative Zufallsvariable. Es ist auch bekannt als die Singh-Maddala-Verteilung[3] und ist eine von mehreren verschiedenen Distributionen, die manchmal als die bezeichnet werden “verallgemeinerte log-logistische Verteilung”. Es wird am häufigsten zur Modellierung des Haushaltseinkommens verwendet, siehe zum Beispiel: Haushaltseinkommen in den USA und Vergleich mit der Magenta-Grafik rechts.

Die Burr-Verteilung (Typ XII) hat eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:[4][5]

f((x;;c,k)=ckxc– –1((1+xc)k+1f((x;;c,k,λ)=ckλ((xλ)c– –1[1+(xλ)c]– –k– –1{ displaystyle { begin {align} f (x; c, k) & = ck { frac {x ^ {c-1}} {(1 + x ^ {c}) ^ {k + 1}}} \[6pt]f (x; c, k, lambda) & = { frac {ck} { lambda}} left ({ frac {x} { lambda}} right) ^ {c-1} left[1+left({frac {x}{lambda }}right)^{c}right]^ {- k-1} end {align}}}

und kumulative Verteilungsfunktion:

F.((x;;c,k)=1– –((1+xc)– –k{ Anzeigestil F (x; c, k) = 1- links (1 + x ^ {c} rechts) ^ {- k}}

F.((x;;c,k,λ)=1– –[1+(xλ)c]– –k{ displaystyle F (x; c, k, lambda) = 1- left[1+left({frac {x}{lambda }}right)^{c}right]^ {- k}}

Wann c = 1 wird die Gratverteilung zur Pareto Typ II (Lomax) -Verteilung. Wann k = 1, die Burr-Verteilung ist ein Sonderfall der Champernowne-Verteilung, die oft als Fisk-Verteilung bezeichnet wird.[6][7]

Die Burr-Typ-XII-Verteilung ist Mitglied eines von Irving W. Burr (1942) eingeführten Systems kontinuierlicher Verteilungen, das 12 Verteilungen umfasst.[8]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ Nadarajah, S.; Pogány, TK; Saxena, RK (2012). “Über die charakteristische Funktion für Gratverteilungen”. Statistiken. 46 (3): 419–428. doi:10.1080 / 02331888.2010.513442.
  2. ^ Burr, IW (1942). “Kumulative Frequenzfunktionen”. Annalen der mathematischen Statistik. 13 (2): 215–232. doi:10.1214 / aoms / 1177731607. JSTOR 2235756.
  3. ^ Singh, S.; Maddala, G. (1976). “Eine Funktion zur Größenverteilung von Einkommen”. Econometrica. 44 (5): 963–970. doi:10.2307 / 1911538. JSTOR 1911538.
  4. ^ Maddala, GS (1996) [1983]. Begrenzt abhängige und qualitative Variablen in der Ökonometrie. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33825-5.
  5. ^ Tadikamalla, Pandu R. (1980), “Ein Blick auf den Grat und verwandte Verteilungen”, Internationale statistische Überprüfung, 48 (3): 337–344, doi:10.2307 / 1402945, JSTOR 1402945
  6. ^ C. Kleiber und S. Kotz (2003). Statistische Größenverteilungen in Wirtschafts- und Versicherungsmathematik. New York: Wiley. Siehe Abschnitte 7.3 “Champernowne Distribution” und 6.4.1 “Fisk Distribution.”
  7. ^ Champernowne, DG (1952). “Die Graduierung der Einkommensverteilungen”. Econometrica. 20 (4): 591–614. doi:10.2307 / 1907644. JSTOR 1907644.
  8. ^ Siehe Kleiber und Kotz (2003), Tabelle 2.4, S. 51, “Die Gratverteilungen.”

Weiterführende Literatur[edit]