Banach-Mazur-Theorem – Wikipedia

In der Funktionsanalyse ist ein Bereich der Mathematik, der Banach-Mazur-Theorem ist ein Satz, der grob besagt, dass die meisten gut benommenen normierten Räume Teilräume des Raums kontinuierlicher Pfade sind. Es ist nach Stefan Banach und Stanisław Mazur benannt.

Erklärung[edit]

Jeder echte, trennbare Banachraum (X., || ⋅ ||) ist isometrisch isomorph zu einem geschlossenen Unterraum von C.⁰([0, 1], R.), der Raum aller stetigen Funktionen vom Einheitsintervall bis zur realen Linie.

Einerseits scheint uns das Banach-Mazur-Theorem zu sagen, dass die scheinbar große Sammlung aller trennbaren Banach-Räume nicht so groß oder schwierig zu bearbeiten ist, da ein trennbarer Banach-Raum “nur” eine Sammlung kontinuierlicher Pfade ist. Andererseits sagt uns der Satz das C.⁰([0, 1], R.) ist ein “wirklich großer” Raum, groß genug, um jeden möglichen trennbaren Banach-Raum aufzunehmen.

Nicht trennbare Banach-Räume können nicht isometrisch in den trennbaren Raum eingebettet werden C.⁰([0, 1], R.), aber für jeden Banachraum X.findet man einen kompakten Hausdorffraum K. und eine isometrische lineare Einbettung j von X. in den Raum C (K.) von skalaren stetigen Funktionen auf K.. Die einfachste Wahl ist zu lassen K. sei die Einheitskugel des kontinuierlichen Duals X. ‘, ausgestattet mit der w * -Topologie. Diese Einheit Ball K. ist dann nach dem Banach-Alaoglu-Theorem kompakt. Die Einbettung j wird eingeführt, indem man das für jeden sagt x∈ X., die kontinuierliche Funktion j(x ) auf K. ist definiert durch

${ displaystyle forall x ‘ in K: qquad j (x) (x’) = x ‘(x).}$

Das Mapping j ist linear und nach dem Hahn-Banach-Theorem isometrisch.

Eine weitere Verallgemeinerung wurde von Kleiber und Pervin (1969) gegeben: ein metrischer Dichteraum, der einem unendlichen Kardinal entspricht α ist isometrisch zu einem Unterraum von C.⁰([0,1]^α, R.), der Raum realer stetiger Funktionen auf dem Produkt von α Kopien des Einheitsintervalls.

Stärkere Versionen des Satzes[edit]

Lass uns schreiben C.^k[0, 1] zum C.^k([0, 1], R.). Im Jahr 1995 bewies Luis Rodríguez-Piazza, dass die Isometrie ich :: X.→ C.⁰[0, 1] kann so gewählt werden, dass jede Nicht-Null-Funktion im Bild funktioniert ich(X. ) ist nirgends differenzierbar. Anders ausgedrückt, wenn D.⊂ C.⁰[0, 1] besteht aus Funktionen, die an mindestens einem Punkt von differenzierbar sind [0, 1], dann ich kann so gewählt werden, dass ich(X. ) ∩ D. = {0}. Diese Schlussfolgerung gilt für den Raum C.⁰[0, 1] selbst, daher existiert eine lineare Karte ich: C.⁰[0, 1] → C.⁰[0, 1] das ist eine Isometrie auf seinem Bild, so dass das Bild darunter ich von C.⁰[0, 1] (Der Unterraum, der aus Funktionen besteht, die überall mit kontinuierlicher Ableitung differenzierbar sind) schneidet sich D. nur bei 0: Somit ist der Raum glatter Funktionen (in Bezug auf den gleichmäßigen Abstand) isometrisch isomorph zu einem Raum nirgends differenzierbarer Funktionen. Beachten Sie, dass der (metrisch unvollständige) Raum für glatte Funktionen dicht ist C.⁰[0, 1].

Verweise[edit]