Verallgemeinerungen von Fibonacci-Zahlen – Wikipedia

Erweiterung auf negative ganze Zahlen[edit]

Verwenden von

F.n– –2=F.n– –F.n– –1{ displaystyle F_ {n-2} = F_ {n} -F_ {n-1}}

kann man die Fibonacci-Zahlen auf negative ganze Zahlen erweitern. So bekommen wir:

… -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

und

F.– –n=((– –1)n+1F.n{ displaystyle F _ {- n} = (- 1) ^ {n + 1} F_ {n}}

.^[1]

Siehe auch NegaFibonacci-Codierung.

Erweiterung auf alle reellen oder komplexen Zahlen[edit]

Es gibt eine Reihe möglicher Verallgemeinerungen der Fibonacci-Zahlen, die die reellen Zahlen (und manchmal die komplexen Zahlen) in ihrer Domäne enthalten. Dabei handelt es sich jeweils um den Goldenen Schnitt φund basieren auf der Binet-Formel

F.n=φn– –((– –φ)– –n5.{ displaystyle F_ {n} = { frac { varphi ^ {n} – (- varphi) ^ {- n}} { sqrt {5}}}.}

Die analytische Funktion

Fe⁡((x)=φx– –φ– –x5{ displaystyle operatorname {Fe} (x) = { frac { varphi ^ {x} – varphi ^ {- x}} { sqrt {5}}}}

hat die Eigenschaft, dass

Fe⁡((n)=F.n{ displaystyle operatorname {Fe} (n) = F_ {n}}

für gerade ganze Zahlen

n{ displaystyle n}

.^[2] Ebenso die analytische Funktion:

Fo⁡((x)=φx+φ– –x5{ displaystyle operatorname {Fo} (x) = { frac { varphi ^ {x} + varphi ^ {- x}} { sqrt {5}}}}

befriedigt

Fo⁡((n)=F.n{ displaystyle operatorname {Fo} (n) = F_ {n}}

für ungerade ganze Zahlen

n{ displaystyle n}

.

Schließlich, zusammen diese, die analytische Funktion

Flunkerei⁡((x)=φx– –cos⁡((xπ)φ– –x5{ displaystyle operatorname {Fib} (x) = { frac { varphi ^ {x} – cos (x pi) varphi ^ {- x}} { sqrt {5}}}}

befriedigt

Flunkerei⁡((n)=F.n{ displaystyle operatorname {Fib} (n) = F_ {n}}

für alle ganzen Zahlen

n{ displaystyle n}

.^[3]

Schon seit

Flunkerei⁡((z+2)=Flunkerei⁡((z+1)+Flunkerei⁡((z){ displaystyle operatorname {Fib} (z + 2) = operatorname {Fib} (z + 1) + operatorname {Fib} (z)}

für alle komplexen Zahlen

z{ displaystyle z}

Diese Funktion bietet auch eine Erweiterung der Fibonacci-Sequenz auf die gesamte komplexe Ebene. Daher können wir die verallgemeinerte Fibonacci-Funktion einer komplexen Variablen berechnen, zum Beispiel

Flunkerei⁡((3+4ich)≈– –5248,5– –14195.9ich{ displaystyle operatorname {Fib} (3 + 4i) ca. -5248.5-14195.9i}

Vektorraum[edit]

Der Begriff Fibonacci-Folge wird auch allgemeiner auf jede Funktion angewendet

G{ displaystyle g}

von den ganzen Zahlen zu einem Feld, für das

G((n+2)=G((n)+G((n+1){ Anzeigestil g (n + 2) = g (n) + g (n + 1)}

. Diese Funktionen sind genau die der Form

G((n)=F.((n)G((1)+F.((n– –1)G((0){ Anzeigestil g (n) = F (n) g (1) + F (n-1) g (0)}

Die Fibonacci-Sequenzen bilden also mit den Funktionen einen Vektorraum

F.((n){ displaystyle F (n)}

und

F.((n– –1){ displaystyle F (n-1)}

als Grundlage.

Allgemeiner ist der Bereich von

G{ displaystyle g}

kann als jede abelsche Gruppe angesehen werden (als Z.-Modul). Dann bilden die Fibonacci-Sequenzen eine 2-dimensionale

Z.{ displaystyle Z}

-Modul auf die gleiche Weise.

Ähnliche ganzzahlige Sequenzen[edit]

Fibonacci-Ganzzahlsequenzen[edit]

Das 2-dimensionale

Z.{ displaystyle Z}

-Modul von Fibonacci-Ganzzahlsequenzen besteht aus allen Ganzzahlsequenzen, die erfüllen

G((n+2)=G((n)+G((n+1){ Anzeigestil g (n + 2) = g (n) + g (n + 1)}

. Ausgedrückt in zwei Anfangswerten haben wir:

G((n)=F.((n)G((1)+F.((n– –1)G((0)=G((1)φn– –((– –φ)– –n5+G((0)φn– –1– –((– –φ)1– –n5,{ Anzeigestil g (n) = F (n) g (1) + F (n-1) g (0) = g (1) { frac { varphi ^ {n} – (- varphi) ^ { -n}} { sqrt {5}}} + g (0) { frac { varphi ^ {n-1} – (- varphi) ^ {1-n}} { sqrt {5}}} ,}

wo

φ{ displaystyle varphi}

ist der goldene Schnitt.

Das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Elementen konvergiert gegen den goldenen Schnitt, außer im Fall der Sequenz, die konstant Null ist, und der Sequenzen, bei denen das Verhältnis der beiden ersten Terme ist

((– –φ)– –1{ displaystyle (- varphi) ^ {- 1}}

.

Die Sequenz kann in der Form geschrieben werden

einφn+b((– –φ)– –n,{ displaystyle a varphi ^ {n} + b (- varphi) ^ {- n},}

in welchem

ein=0{ displaystyle a = 0}

dann und nur dann, wenn

b=0{ displaystyle b = 0}

. In dieser Form hat das einfachste nicht triviale Beispiel

ein=b=1{ displaystyle a = b = 1}

, das ist die Folge von Lucas-Zahlen:

L.n=φn+((– –φ)– –n.{ displaystyle L_ {n} = varphi ^ {n} + (- varphi) ^ {- n}.}

Wir haben

L.1=1{ displaystyle L_ {1} = 1}

und

L.2=3{ displaystyle L_ {2} = 3}

. Die Eigenschaften umfassen:

φn=((1+52)n=L.((n)+F.((n)52,L.((n)=F.((n– –1)+F.((n+1).{ displaystyle { begin {align} varphi ^ {n} & = left ({ frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} right) ^ {n} = { frac { L (n) + F (n) { sqrt {5}}} {2}}, \ L (n) & = F (n-1) + F (n + 1). End {align}} }}

Jede nichttriviale Fibonacci-Ganzzahlsequenz erscheint (möglicherweise nach einer Verschiebung um eine endliche Anzahl von Positionen) als eine der Zeilen des Wythoff-Arrays. Die Fibonacci-Sequenz selbst ist die erste Reihe, und eine Verschiebung der Lucas-Sequenz ist die zweite Reihe.^[4]

Siehe auch Fibonacci Integer Sequences Modulo n.

Lucas Sequenzen[edit]

Eine andere Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge sind die Lucas-Folgen der folgenden Art:

U.((0)=0U.((1)=1U.((n+2)=P.U.((n+1)– –Q.U.((n){ displaystyle { begin {align} U (0) & = 0 \ U (1) & = 1 \ U (n + 2) & = PU (n + 1) -QU (n) end {align }}}

,

wobei die normale Fibonacci-Sequenz der Sonderfall von ist

P.=1{ displaystyle P = 1}

und

Q.=– –1{ displaystyle Q = -1}

. Eine andere Art von Lucas-Sequenz beginnt mit

V.((0)=2{ displaystyle V (0) = 2}

,

V.((1)=P.{ displaystyle V (1) = P}

. Solche Sequenzen finden Anwendung in der Zahlentheorie und in der Primalitätsprüfung.

Wann

Q.=– –1{ displaystyle Q = -1}

wird diese Sequenz aufgerufen P.-Fibonacci-FolgeBeispielsweise wird auch die Pell-Sequenz genannt 2-Fibonacci-Sequenz.

Das 3-Fibonacci-Sequenz ist

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, … (Sequenz) A006190 im OEIS)

Das 4-Fibonacci-Sequenz ist

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, … (Sequenz) A001076 im OEIS)

Das 5-Fibonacci-Sequenz ist

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, … (Sequenz A052918 in der OEIS)

Das 6-Fibonacci-Sequenz ist

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, … (Sequenz A005668 in der OEIS)

Das n-Fibonacci-Konstante ist das Verhältnis, zu dem benachbart

n{ displaystyle n}

-Fibonacci-Zahlen tendieren; es wird auch das genannt nmetallisches Mittelund es ist die einzige positive Wurzel von

x2– –nx– –1=0{ displaystyle x ^ {2} -nx-1 = 0}

. Zum Beispiel der Fall von

n=1{ displaystyle n = 1}

ist

1+52{ displaystyle { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}

oder der goldene Schnitt und der Fall von

n=2{ displaystyle n = 2}

ist

1+2{ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}

oder das Silberverhältnis. Im Allgemeinen ist der Fall von

n{ displaystyle n}

ist

n+n2+42{ displaystyle { frac {n + { sqrt {n ^ {2} +4}}} {2}}}

.^{[citation needed]}

Allgemein,

U.((n){ displaystyle U (n)}

kann aufgerufen werden ((P., –Q.)-Fibonacci-Folge, und V.((n) kann aufgerufen werden ((P., –Q.)-Lucas Sequenz.

Das (1,2) -Fibonacci-Sequenz ist

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, … (Sequenz A001045 in der OEIS)

Das (1,3) -Fibonacci-Sequenz ist

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, … ( Reihenfolge A006130 in der OEIS)

Das (2,2) -Fibonacci-Sequenz ist

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, … (Sequenz) A002605 in der OEIS)

Das (3,3) -Fibonacci-Sequenz ist

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, … (Sequenz) A030195 in der OEIS)

Fibonacci-Zahlen höherer Ordnung[edit]

EIN Fibonacci-Reihenfolge der Reihenfolge n ist eine ganzzahlige Sequenz, in der jedes Sequenzelement die Summe der vorherigen ist

n{ displaystyle n}

Elemente (mit Ausnahme der ersten

n{ displaystyle n}

Elemente in der Sequenz). Die üblichen Fibonacci-Zahlen sind eine Fibonacci-Folge der Ordnung 2. Die Fälle

n=3{ displaystyle n = 3}

und

n=4{ displaystyle n = 4}

wurden gründlich untersucht. Die Anzahl der Kompositionen nichtnegativer Ganzzahlen in höchstens Teile

n{ displaystyle n}

ist eine Fibonacci-Ordnungsfolge

n{ displaystyle n}

. Die Reihenfolge der Anzahl der Zeichenfolgen mit einer Länge von 0 und 1

m{ displaystyle m}

die höchstens enthalten

n{ displaystyle n}

aufeinanderfolgende Nullen sind auch eine Fibonacci-Folge der Reihenfolge

n{ displaystyle n}

.

Diese Sequenzen, ihre Grenzverhältnisse und die Grenze dieser Grenzverhältnisse wurden 1913 von Mark Barr untersucht.^[5]

Tribonacci-Zahlen[edit]

Das Tribonacci-Zahlen sind wie die Fibonacci-Zahlen, aber anstatt mit zwei vorbestimmten Begriffen zu beginnen, beginnt die Sequenz mit drei vorbestimmten Begriffen, und jeder Begriff danach ist die Summe der vorhergehenden drei Begriffe. Die ersten Tribonacci-Zahlen sind:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (Sequenz A000073 in der OEIS)

Die Serie wurde erstmals 1914 von Agronomof formell beschrieben.^[6] aber seine erste unbeabsichtigte Verwendung ist im Ursprung der Arten von Charles R. Darwin. Am Beispiel der Veranschaulichung des Wachstums der Elefantenpopulation stützte er sich auf die Berechnungen seines Sohnes George H. Darwin.^[7] Der Begriff Tribonacci wurde 1963 von Feinberg vorgeschlagen.^[8]

Das Tribonacci-Konstante

1+19+3333+19– –33333=1+4cosh⁡((13cosh– –1⁡((2+38))3≈1,839286755214161,{ displaystyle { frac {1 + { sqrt[{3}]{19+3{sqrt {33}}}}+{sqrt[{3}]{19-3 { sqrt {33}}}} {3}} = { frac {1 + 4 cosh left ({ frac {1} {3}} cosh ^ {- 1} left (2 + { frac {3} {8}} right) right)} {3}} ca. 1.839286755214161,}

(Reihenfolge A058265 in der OEIS)

ist das Verhältnis, zu dem benachbarte Tribonacci-Zahlen tendieren. Es ist eine Wurzel des Polynoms

x3– –x2– –x– –1=0{ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -x-1 = 0}

und erfüllt auch die Gleichung

x+x– –3=2{ displaystyle x + x ^ {- 3} = 2}

. Es ist wichtig bei der Untersuchung des Stupswürfels.

Das Kehrwert der Tribonacci-Konstante, ausgedrückt durch die Beziehung

ξ3+ξ2+ξ=1{ displaystyle xi ^ {3} + xi ^ {2} + xi = 1}

kann geschrieben werden als:

ξ=17+3333– –– –17+3333– –13=31+19+3333+19– –3333≈0,543689012.{ displaystyle xi = { frac {{ sqrt[{3}]{17 + 3 { sqrt {33}}}} – { sqrt[{3}]{-17 + 3 { sqrt {33}}}} – 1} {3}} = { frac {3} {1 + { sqrt[{3}]{19 + 3 { sqrt {33}}}} + { sqrt[{3}]{19-3 { sqrt {33}}}}} ca. 0,543689012.}

(Reihenfolge A192918 in der OEIS)

Die Tribonacci-Zahlen sind auch gegeben durch^[9]

T.((n)=⌊3b((13((ein++ein– –+1))nb2– –2b+4⌉{ displaystyle T (n) = left lfloor 3b , { frac { left ({ frac {1} {3}} left (a _ {+} + a _ {-} + 1 right) rechts) ^ {n}} {b ^ {2} -2b + 4}} rechts rceil}

wo

⌊⋅⌉{ displaystyle lfloor cdot rceil}

bezeichnet die nächste ganzzahlige Funktion und

ein±=19±3333,b=586+102333.{ displaystyle { begin {align} a _ { pm} & = { sqrt[{3}]{19 pm 3 { sqrt {33}}}} ,, \ b & = { sqrt[{3}]{586 + 102 { sqrt {33}}}} ,. End {align}}}

Tetranacci-Zahlen[edit]

Das Tetranacci-Zahlen Beginnen Sie mit vier vorgegebenen Begriffen, wobei jeder Begriff danach die Summe der vorhergehenden vier Begriffe ist. Die ersten Tetranacci-Zahlen sind:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (Reihenfolge A000078 in der OEIS)

Das Tetranacci-Konstante ist das Verhältnis, zu dem benachbarte Tetranacci-Zahlen tendieren. Es ist eine Wurzel des Polynoms

x4– –x3– –x2– –x– –1=0{ displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1 = 0}

ungefähr 1,927561975482925 OEIS: A086088und erfüllt auch die Gleichung

x+x– –4=2{ displaystyle x + x ^ {- 4} = 2}

.

Die Tetranacci-Konstante wird durch folgenden Ausdruck in Radikalen ausgedrückt: ^[10]

x=14+14113– –43321689+6523+43321689– –6523+{ displaystyle x = { tfrac {1} {4}} + { tfrac {1} {4}} { sqrt {{ tfrac {11} {3}} – { tfrac {4} {3} } { sqrt[{3}]{{ tfrac {3} {2}} { sqrt {1689}} + { tfrac {65} {2}}} + { tfrac {4} {3}} { sqrt[{3}]{{ tfrac {3} {2}} { sqrt {1689}} – { tfrac {65} {2}}}}}}

+14((113+83321689+6523– –83321689– –6523)2+339+223+43321689+6523– –43321689– –6523{ displaystyle + { tfrac {1} {4}} { sqrt {{ sqrt {({ tfrac {11} {3}} + { tfrac {8} {3}} { sqrt[{3}]{{ tfrac {3} {2}} { sqrt {1689}} + { tfrac {65} {2}}} – { tfrac {8} {3}} { sqrt[{3}]{{tfrac {3}{2}}{sqrt {1689}}-{tfrac {65}{2}}}})^{2}+339}}+{tfrac {22}{3} } + { tfrac {4} {3}} { sqrt[{3}]{{ tfrac {3} {2}} { sqrt {1689}} + { tfrac {65} {2}}} – { tfrac {4} {3}} { sqrt[{3}]{{ tfrac {3} {2}} { sqrt {1689}} – { tfrac {65} {2}}}}}

Höhere Aufträge[edit]

Pentanacci, Hexanacci und Heptanacci Zahlen wurden berechnet. Die Pentanacci-Zahlen sind:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … (Sequenz A001591 in der OEIS)

Hexanacci-Zahlen:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … (Sequenz A001592 in der OEIS)

Heptanacci-Zahlen:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … (Sequenz A122189 in der OEIS)

Octanacci-Zahlen:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, … ( Reihenfolge A079262 in der OEIS)

Enneanacci-Nummern:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, .. . (Reihenfolge A104144 in der OEIS)

Die Grenze des Verhältnisses aufeinanderfolgender Terme eines

n{ displaystyle n}

-nacci-Reihen tendieren zu einer Wurzel der Gleichung

x+x– –n=2{ displaystyle x + x ^ {- n} = 2}

((OEIS: A103814, OEIS: A118427, OEIS: A118428).

Eine alternative rekursive Formel für die Verhältnisgrenze

r{ displaystyle r}

von zwei aufeinanderfolgenden

n{ displaystyle n}

-nacci-Zahlen können ausgedrückt werden als

r=∑k=0n– –1r– –k{ displaystyle r = sum _ {k = 0} ^ {n-1} r ^ {- k}}

.

Der Sonderfall

n=2{ displaystyle n = 2}

ist die traditionelle Fibonacci-Serie, die den goldenen Schnitt ergibt

φ=1+1φ{ displaystyle varphi = 1 + { frac {1} { varphi}}}

.

Die obigen Formeln für das Verhältnis gelten auch für

n{ displaystyle n}

-nacci-Reihen aus beliebigen Zahlen generiert. Die Grenze dieses Verhältnisses liegt bei 2 as

n{ displaystyle n}

steigt. Ein “Infinacci” Sequenz, wenn man sie beschreiben könnte, würde nach einer unendlichen Anzahl von Nullen die Sequenz ergeben

[…, 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32,…

Das sind einfach die Kräfte von zwei.

Die Grenze des Verhältnisses für jede

n>0{ displaystyle n> 0}

r{ displaystyle r}

der charakteristischen Gleichung^[10]

xn– –∑ich=0n– –1xich=0.{ displaystyle x ^ {n} – sum _ {i = 0} ^ {n-1} x ^ {i} = 0.}

Die Wurzel

r{ displaystyle r}

ist im Intervall

2((1– –2– –n)<r<2{ displaystyle 2 (1-2 ^ {- n})

. Die negative Wurzel der charakteristischen Gleichung liegt im Intervall (−1, 0), wenn

n{ displaystyle n}

ist gerade. Diese Wurzel und jede komplexe Wurzel der charakteristischen Gleichung haben einen Modul

3– –n<|r|<1{ displaystyle 3 ^ {- n}

.^[10]

Eine Serie für die positive Wurzel

r{ displaystyle r}

für jeden

n>0{ displaystyle n> 0}

[10]

2– –2∑ich>01ich((((n+1)ich– –2ich– –1)12((n+1)ich.{ displaystyle 2-2 sum _ {i> 0} { frac {1} {i}} { binom {(n + 1) i-2} {i-1}} { frac {1} { 2 ^ {(n + 1) i}}}.}

5 ≤ n ≤ 11.^[10]

Das kth Element der n-nacci Sequenz ist gegeben durch

F.k((n)=⌊rk– –1((r– –1)((n+1)r– –2n⌉,{ displaystyle F_ {k} ^ {(n)} = left lfloor { frac {r ^ {k-1} (r-1)} {(n + 1) r-2n}} right rceil ,}

wo

⌊⋅⌉{ displaystyle lfloor cdot rceil}

bezeichnet die nächste ganzzahlige Funktion und

r{ displaystyle r}

ist der

n{ displaystyle n}

-nacci Konstante, die die Wurzel von ist

x+x– –n=2{ displaystyle x + x ^ {- n} = 2}

am nächsten zu 2.^[11]

Ein Münzwurfproblem hängt mit dem zusammen

n{ displaystyle n}

-nacci Sequenz. Die Wahrscheinlichkeit, dass nein

n{ displaystyle n}

aufeinanderfolgende Schwänze werden in auftreten

m{ displaystyle m}

Würfe einer idealisierten Münze ist

12mF.m+2((n){ displaystyle { frac {1} {2 ^ {m}}} F_ {m + 2} ^ {(n)}}

.^[12]

Fibonacci-Wort[edit]

In Analogie zu seinem numerischen Gegenstück wird das Fibonacci-Wort definiert durch:

F.n: =F.((n): ={bn=0;;einn=1;;F.((n– –1)+F.((n– –2)n>1.{ displaystyle F_ {n}: = F (n): = { begin {case} { text {b}} & n = 0; \ { text {a}} & n = 1; \ F (n -1) + F (n-2) & n> 1. \ Ende {Fälle}}}

+{ displaystyle +}

bezeichnet die Verkettung von zwei Zeichenfolgen. Die Sequenz der Fibonacci-Zeichenfolgen beginnt:

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab,… (Sequenz A106750 in der OEIS)

Die Länge jeder Fibonacci-Zeichenfolge ist eine Fibonacci-Zahl, und in ähnlicher Weise gibt es für jede Fibonacci-Zahl eine entsprechende Fibonacci-Zeichenfolge.

Fibonacci-Zeichenfolgen werden in einigen Computeralgorithmen als Eingaben für den schlimmsten Fall angezeigt.

Wenn “ein” und “b” stellen zwei verschiedene Materialien oder atomare Bindungslängen dar, die einer Fibonacci-Kette entsprechende Struktur ist ein Fibonacci-Quasikristall, eine aperiodische Quasikristallstruktur mit ungewöhnlichen spektralen Eigenschaften.

Gefaltete Fibonacci-Sequenzen[edit]

EIN gefaltete Fibonacci-Sequenz wird erhalten, indem eine Faltungsoperation ein- oder mehrmals auf die Fibonacci-Sequenz angewendet wird. Definieren Sie speziell^[13]

F.n((0)=F.n{ displaystyle F_ {n} ^ {(0)} = F_ {n}}

und

F.n((r+1)=∑ich=0nF.ichF.n– –ich((r){ displaystyle F_ {n} ^ {(r + 1)} = sum _ {i = 0} ^ {n} F_ {i} F_ {ni} ^ {(r)}}

Die ersten paar Sequenzen sind

r=1{ displaystyle r = 1}

: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71,… (Sequenz A001629 in der OEIS).

r=2{ displaystyle r = 2}

: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111,… (Sequenz A001628 in der OEIS).

r=3{ displaystyle r = 3}

: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105,… (Sequenz A001872 in der OEIS).

Die Sequenzen können anhand der Wiederholung berechnet werden

F.n+1((r+1)=F.n((r+1)+F.n– –1((r+1)+F.n((r){displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n} ^ {(r)}}

Die Erzeugungsfunktion der

r{ displaystyle r}

te Falte ist

so((r)((x)=∑k=0∞F.n((r)xn=((x1– –x– –x2)r.{ displaystyle s ^ {(r)} (x) = sum _ {k = 0} ^ { infty} F_ {n} ^ {(r)} x ^ {n} = left ({ frac { x} {1-xx ^ {2}}} right) ^ {r}.}

Die Sequenzen sind durch die Beziehung mit der Sequenz von Fibonacci-Polynomen verbunden

F.n((r)=r!F.n((r)((1){ displaystyle F_ {n} ^ {(r)} = r! F_ {n} ^ {(r)} (1)}

wo

F.n((r)((x){displaystyle F_{n}^{(r)}(x)}

ist der

r{ displaystyle r}

th Ableitung von

F.n((x){ displaystyle F_ {n} (x)}

. Gleichermaßen

F.n((r){ displaystyle F_ {n} ^ {(r)}}

ist der Koeffizient von

((x– –1)r{ displaystyle (x-1) ^ {r}}

wann

F.x((x){ displaystyle F_ {x} (x)}

wird in Befugnissen von erweitert

((x– –1){ displaystyle (x-1)}

.

Die erste Faltung,

F.n((1){ displaystyle F_ {n} ^ {(1)}}

kann in Form der Fibonacci und Lucas Zahlen als geschrieben werden

F.n((1)=nL.n– –F.n5{ displaystyle F_ {n} ^ {(1)} = { frac {nL_ {n} -F_ {n}} {5}}}

und folgt der Wiederholung

F.n+1((1)=2F.n((1)+F.n– –1((1)– –2F.n– –2((1)– –F.n– –3((1).{ displaystyle F_ {n + 1} ^ {(1)} = 2F_ {n} ^ {(1)} + F_ {n-1} ^ {(1)} – 2F_ {n-2} ^ {(1 )}-F_{n-3}^{(1)}.}

Ähnliche Ausdrücke finden Sie für

r>1{ displaystyle r> 1}

r{ displaystyle r}

steigt. Die Zahlen

F.n((1){ displaystyle F_ {n} ^ {(1)}}

sind die Zeilensummen von Hosoyas Dreieck.

Wie bei Fibonacci-Zahlen gibt es mehrere kombinatorische Interpretationen dieser Sequenzen. Beispielsweise

F.n((1){ displaystyle F_ {n} ^ {(1)}}

ist die Anzahl der Möglichkeiten

n– –2{ displaystyle n-2}

kann als geordnete Summe geschrieben werden, die nur 0, 1 und 2 umfasst, wobei 0 genau einmal verwendet wird. Bestimmtes

F.4((1)=5{ displaystyle F_ {4} ^ {(1)} = 5}

und 2 kann geschrieben werden 0 + 1 + 1, 0 + 2, 1 + 0 + 1, 1 + 1 + 0, 2 + 0.^[14]

Andere Verallgemeinerungen[edit]

Die Fibonacci-Polynome sind eine weitere Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen.

Die Padovan-Sequenz wird durch die Wiederholung erzeugt

P.((n)=P.((n– –2)+P.((n– –3){ Anzeigestil P (n) = P (n-2) + P (n-3)}

.

Die Kuhsequenz des Narayana wird durch die Wiederholung erzeugt

N.((k)=N.((k– –1)+N.((k– –3){ Anzeigestil N (k) = N (k-1) + N (k-3)}

.

EIN zufällige Fibonacci-Sequenz kann durch Werfen einer Münze für jede Position definiert werden

n{ displaystyle n}

der Reihenfolge und Einnahme

F.((n)=F.((n– –1)+F.((n– –2){displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)}

wenn es Köpfe landet und

F.((n)=F.((n– –1)– –F.((n– –2){ Anzeigestil F (n) = F (n-1) -F (n-2)}

wenn es Schwänze landet. Arbeiten von Fürstenberg und Kesten garantieren, dass diese Sequenz mit ziemlicher Sicherheit mit konstanter Geschwindigkeit exponentiell wächst: Die Konstante ist unabhängig von den Münzwürfen und wurde 1999 von Divakar Viswanath berechnet. Es ist jetzt als Viswanaths Konstante bekannt.

EIN repfigit, oder Keith Nummerist eine ganze Zahl, so dass, wenn ihre Ziffern eine Fibonacci-Sequenz mit dieser Anzahl von Ziffern beginnen, die ursprüngliche Zahl schließlich erreicht wird. Ein Beispiel ist 47, weil die Fibonacci-Sequenz mit 4 und 7 beginnt (4, 7, 11, 18, 29, 47) erreicht 47. Ein Repfigit kann eine Tribonacci-Sequenz sein, wenn die Nummer 3 Ziffern enthält, eine Tetranacci-Nummer, wenn die Nummer vier Ziffern enthält usw. Die ersten Repfigits sind:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … (Sequenz A007629 in der OEIS)

Da die Menge der Sequenzen die Beziehung erfüllt

S.((n)=S.((n– –1)+S.((n– –2){ Anzeigestil S (n) = S (n-1) + S (n-2)}

Wird unter termweiser Addition und unter termweiser Multiplikation mit einer Konstanten geschlossen, kann dies als Vektorraum angesehen werden. Jede solche Sequenz wird durch die Wahl von zwei Elementen eindeutig bestimmt, sodass der Vektorraum zweidimensional ist. Wenn wir eine solche Sequenz wie abkürzen

((S.((0),S.((1)){ displaystyle (S (0), S (1))}

, die Fibonacci-Sequenz

F.((n)=((0,1){ displaystyle F (n) = (0,1)}

und die verschobene Fibonacci-Sequenz

F.((n– –1)=((1,0){displaystyle F(n-1)=(1,0)}

werden gesehen, um eine kanonische Grundlage für diesen Raum zu bilden, die die Identität ergibt:

S.((n)=S.((0)F.((n– –1)+S.((1)F.((n){ Anzeigestil S (n) = S (0) F (n-1) + S (1) F (n)}

für alle diese Sequenzen S.. Zum Beispiel wenn S. ist die Lucas-Sequenz 2, 1, 3, 4, 7, 11, …, dann erhalten wir

L.((n)=2F.((n– –1)+F.((n){ Anzeigestil L (n) = 2F (n-1) + F (n)}

.

N.-generierte Fibonacci-Sequenz[edit]

Wir können das definieren N.-generierte Fibonacci-Sequenz (wo N. ist eine positive rationale Zahl): wenn

N.=2ein1⋅3ein2⋅5ein3⋅7ein4⋅11ein5⋅13ein6⋅...⋅preinr,{ displaystyle N = 2 ^ {a_ {1}} cdot 3 ^ {a_ {2}} cdot 5 ^ {a_ {3}} cdot 7 ^ {a_ {4}} cdot 11 ^ {a_ { 5}} cdot 13 ^ {a_ {6}} cdot … cdot p_ {r} ^ {a_ {r}},}

wo p_r ist der rth prime, dann definieren wir

F.N.((n)=ein1F.N.((n– –1)+ein2F.N.((n– –2)+ein3F.N.((n– –3)+ein4F.N.((n– –4)+ein5F.N.((n– –5)+...{ displaystyle F_ {N} (n) = a_ {1} F_ {N} (n-1) + a_ {2} F_ {N} (n-2) + a_ {3} F_ {N} (n- 3) + a_ {4} F_ {N} (n-4) + a_ {5} F_ {N} (n-5) + …}

Wenn

n=r– –1{ displaystyle n = r-1}

, dann

F.N.((n)=1{ displaystyle F_ {N} (n) = 1}

, und wenn

n<r– –1{ displaystyle n

, dann

F.N.((n)=0{ displaystyle F_ {N} (n) = 0}

.^{[citation needed]}

Semi-Fibonacci-Sequenz[edit]

Das Semi-Fibonacci-Sequenz (Reihenfolge A030067 im OEIS) wird über dieselbe Rekursion für ungerade indizierte Begriffe definiert

ein((2n+1)=ein((2n)+ein((2n– –1){ displaystyle a (2n + 1) = a (2n) + a (2n-1)}

und

ein((1)=1{ displaystyle a (1) = 1}

, aber für gerade Indizes

ein((2n)=ein((n){ displaystyle a (2n) = a (n)}

,

n≥1{ displaystyle n geq 1}

. Die Bissektion A030068 von ungerade indizierten Begriffen

so((n)=ein((2n– –1){ displaystyle s (n) = a (2n-1)}

daher überprüft

so((n+1)=so((n)+ein((n){ displaystyle s (n + 1) = s (n) + a (n)}

und nimmt streng zu. Es ergibt die Menge der Semi-Fibonacci-Zahlen

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, … ( Reihenfolge A030068 in der OEIS)

die auftreten als

so((n)=ein((2k((2n– –1)),k=0,1,...{ displaystyle s (n) = a (2 ^ {k} (2n-1)), k = 0,1, …}

.

Verweise[edit]

1. ^ Triana, Juan. Negafibonacci-Zahlen über Matrizen. Bulletin von TICMI, 2019, págs. 19-24.
2. ^ Was ist eine Fibonacci-Zahl?
3. ^ Pravin Chandra und Eric W. Weisstein. “Fibonacci-Zahl”. MathWorld.
4. ^ Morrison, DR (1980), “Eine Stolarsky-Reihe von Wythoff-Paaren”, Eine Sammlung von Manuskripten zur Fibonacci-Sequenz (PDF), Santa Clara, CA: The Fibonacci Association, S. 134–136, archiviert von das Original (PDF) am 04.03.2016abgerufen 2012-07-15.
5. ^ Gardner, Martin (1961). The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. II. Simon und Schuster. p. 101.
6. ^ Agronomof, M. (1914). “Sur une suite re´currente”. MA thesis. 4: 125–126.
7. ^ Podani, János; Kun, Ádám; Szilágyi, András (2018). “Wie schnell wächst Darwins Elefantenpopulation?” (PDF). Zeitschrift für Geschichte der Biologie. 51 (2): 259–281. doi:10.1007/s10739-017-9488-5.
8. ^ Feinberg, M. (1963). “Fibonacci-Tribonacci”. Fibonacci Quarterly. 1: 71–74.
9. ^ Simon Plouffe, 1993
10. ^ ^{ein b c d e} Wolfram, DA (1998). “Lösen generalisierter Fibonacci-Rezidive” (PDF). Flunkerei. Quart.
11. ^ Du, Zhao Hui, 2008
12. ^ Eric W. Weisstein. “Münze werfen”. MathWorld.
13. ^ VE Hoggatt Jr. und M. Bicknell-Johnson, “Fibonacci-Faltungssequenzen”, Flunkerei. Quart.15 (1977), S. 117-122.
14. ^ Sloane, N.J.A. (Hrsg.). “Sequenz A001629”. Die Online-Enzyklopädie ganzzahliger Sequenzen. OEIS-Stiftung.

Externe Links[edit]