Lineare Differentialgleichung – Wikipedia

Posted on October 7, 2021 by lordneo

Differentialgleichungen, die bezüglich der unbekannten Funktion und ihrer Ableitungen linear sind

In der Mathematik, a lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die durch ein lineares Polynom in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen definiert ist, also eine Gleichung der Form

ein0(x)ja+ein1(x)jaIch+ein2(x)jaIch+⋯+einn(x)ja(n)+B(x)=0,{displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y’+a_{2}(x)y”+cdots +a_{n}(x)y^{(n)} +b(x)=0,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac470d7aef63fd48b3045c19dc2fa151077d05b8" aria-hidden="true" alt="{displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+cdots +a_{n}(x)y^{(n)} +b(x)=0,}" width="24447.9" height="1439.2">

wo $ein 0 (x)$ , …, $ein n (x)$ und $B (x)$ sind beliebige differenzierbare Funktionen, die nicht linear sein müssen, und $ja, \dots, ja (n)$ sind die sukzessiven Ableitungen einer unbekannten Funktion $ja$ der Variablen $x$ .

Eine solche Gleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung (ODE). EIN lineare Differentialgleichung kann auch eine lineare partielle Differentialgleichung (PDE) sein, wenn die unbekannte Funktion von mehreren Variablen abhängt und die in der Gleichung vorkommenden Ableitungen partielle Ableitungen sind.

Eine lineare Differentialgleichung oder ein lineares Gleichungssystem, bei dem die zugehörigen homogenen Gleichungen konstante Koeffizienten aufweisen, kann durch Quadratur gelöst werden, was bedeutet, dass die Lösungen in Form von Integralen ausgedrückt werden können. Dies gilt auch für eine lineare Gleichung erster Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten. Eine Gleichung zweiter Ordnung oder höher mit nicht konstanten Koeffizienten kann im Allgemeinen nicht durch Quadratur gelöst werden. Für die zweite Ordnung ermöglicht der Algorithmus von Kovacic zu entscheiden, ob es Lösungen in Form von Integralen gibt, und diese gegebenenfalls zu berechnen.

Die Lösungen linearer Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten werden holonome Funktionen genannt. Diese Funktionsklasse ist stabil unter Summen, Produkten, Differentiation, Integration und enthält viele übliche Funktionen und Sonderfunktionen wie Exponentialfunktion, Logarithmus, Sinus, Kosinus, inverse trigonometrische Funktionen, Fehlerfunktion, Bessel-Funktionen und hypergeometrische Funktionen. Ihre Darstellung durch die definierende Differentialgleichung und die Anfangsbedingungen ermöglicht es, die meisten Operationen der Infinitesimalrechnung (an diesen Funktionen) algorithmisch zu machen, wie die Berechnung von Stammfunktionen, Grenzen, asymptotische Expansion und numerische Auswertung mit beliebiger Genauigkeit mit einer zertifizierten Fehlergrenze.

Table of Contents

Grundbegriffe[edit]

Die höchste Ableitungsordnung, die in einer (linearen) Differentialgleichung auftritt, ist die Auftrag der Gleichung. Der Begriff $B (x)$ , die nicht von der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen abhängt, wird manchmal als konstanter Begriff der Gleichung (in Analogie zu algebraischen Gleichungen), auch wenn dieser Term eine nicht konstante Funktion ist. Wenn der konstante Term die Nullfunktion ist, dann heißt die Differentialgleichung homogen, da es ein homogenes Polynom in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen ist. Die Gleichung, die durch Ersetzen des konstanten Termes durch die Nullfunktion in einer linearen Differentialgleichung erhalten wird, ist die zugehörige homogene Gleichung. Eine Differentialgleichung hat konstante Koeffizienten wenn nur konstante Funktionen als Koeffizienten in der zugehörigen homogenen Gleichung vorkommen.

EIN Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt. Die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung bilden einen Vektorraum. Im Normalfall hat dieser Vektorraum eine endliche Dimension, gleich der Ordnung der Gleichung. Alle Lösungen einer linearen Differentialgleichung werden gefunden, indem zu einer bestimmten Lösung eine beliebige Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung addiert wird.

Linearer Differentialoperator[edit]

EIN grundlegender Differentialoperator der Ordnung $ich$ ist eine Abbildung, die jede differenzierbare Funktion auf ihre $ich$ Ableitung, oder bei mehreren Variablen auf eine ihrer partiellen Ableitungen der Ordnung $ich$ . Es wird allgemein bezeichnet

DichDxich{displaystyle {frac {d^{i}}{dx^{i}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69fbc39902ee7645872e7819971972b6b2558717" aria-hidden="true" alt="{displaystyle {frac {d^{i}}{dx^{i}}}}" width="1800.3" height="2515.6">

bei univariaten Funktionen und

∂ich1+⋯+ichn∂x1ich1⋯∂xnichn{displaystyle {frac {partial ^{i_{1}+cdots +i_{n}}}{partial x_{1}^{i_{1}}cdots partial x_{n}^{i_ {n}}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be95bff7b7a1e12e9ee7d72731ef289e06b35b0c" aria-hidden="true" alt="{displaystyle {frac {partial ^{i_{1}+cdots +i_{n}}}{partial x_{1}^{i_{1}}cdots partial x_{n}^{i_ {n}}}}}" width="5607.9" height="3017.9">

bei Funktionen von $n$ Variablen. Die grundlegenden Differentialoperatoren umfassen die Ableitung der Ordnung 0, die die Identitätsabbildung ist.

EIN linearer Differentialoperator (abgekürzt in diesem Artikel als linearer Operator oder einfach, Operator) ist eine Linearkombination grundlegender Differentialoperatoren mit differenzierbaren Funktionen als Koeffizienten. Im univariaten Fall hat ein linearer Operator also die Form^[1]

ein0(x)+ein1(x)DDx+⋯+einn(x)DnDxn,{displaystyle a_{0}(x)+a_{1}(x){frac {d}{dx}}+cdots +a_{n}(x){frac {d^{n}}{ dx^{n}}},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017c6e7ee34a521fd3096540ee1bf2616946c6fc" aria-hidden="true" alt="{displaystyle a_{0}(x)+a_{1}(x){frac {d}{dx}}+cdots +a_{n}(x){frac {d^{n}}{ dx^{n}}},}" width="15631.9" height="2372">

wo $ein 0 (x), \dots, ein n (x)$ sind differenzierbare Funktionen und die nichtnegative ganze Zahl $n$ ist der Auftrag des Betreibers (wenn $ein n (x)$ ist nicht die Nullfunktion).

Lassen $L$ sei ein linearer Differentialoperator. Die Anwendung von $L$ zu einer Funktion $F$ wird normalerweise bezeichnet $Lf$ oder $Lf (x)$ , wenn man die Variable angeben muss (dies darf nicht mit einer Multiplikation verwechselt werden). Ein linearer Differentialoperator ist ein linearer Operator, da er Summen auf Summen und das Produkt durch einen Skalar auf das Produkt durch denselben Skalar abbildet.

Da die Summe zweier linearer Operatoren ein linearer Operator ist, sowie das Produkt (links) eines linearen Operators durch eine differenzierbare Funktion, bilden die linearen Differentialoperatoren einen Vektorraum über den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen (je nach die Art der zu berücksichtigenden Funktionen). Sie bilden auch einen freien Baustein über den Ring differenzierbarer Funktionen.

Die Sprache der Operatoren erlaubt eine kompakte Schreibweise für differenzierbare Gleichungen: wenn

L=ein0(x)+ein1(x)DDx+⋯+einn(x)DnDxn,{displaystyle L=a_{0}(x)+a_{1}(x){frac {d}{dx}}+cdots +a_{n}(x){frac {d^{n} }{dx^{n}}},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def05e62f20f9966d4c97344e0b40c9adee2d158" aria-hidden="true" alt="{displaystyle L=a_{0}(x)+a_{1}(x){frac {d}{dx}}+cdots +a_{n}(x){frac {d^{n} }{dx^{n}}},}" width="17647.4" height="2372">

ein linearer Differentialoperator ist, dann ist die Gleichung

ein0(x)ja+ein1(x)jaIch+ein2(x)jaIch+⋯+einn(x)ja(n)=B(x){displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y’+a_{2}(x)y”+cdots +a_{n}(x)y^{(n)} =b(x)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d63c75fe260aceab6d00575a3a9e233971aa8b6" aria-hidden="true" alt="{displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+cdots +a_{n}(x)y^{(n)} =b(x)}" width="22446" height="1439.2">

kann umgeschrieben werden

Lja=B(x).{displaystyle Ly=b(x).} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a542d0b70ae7c8549f59045a104b0aaebb4ccb3" aria-hidden="true" alt="{displaystyle Ly=b(x).}" width="4572.6" height="1223.9">

Es kann mehrere Varianten dieser Notation geben; insbesondere kann die Differenzierungsvariable explizit erscheinen oder nicht in $ja$ und die rechte Hand und der Gleichung, wie $Ly (x) = B (x)$ oder $Ly = B$ .

Die Kernel eines linearen Differentialoperators ist sein Kern als lineare Abbildung, also der Vektorraum der Lösungen der (homogenen) Differentialgleichung $Ly = 0$ .

Im Fall eines gewöhnlichen Differentialoperators der Ordnung $n$ , impliziert der Existenzsatz von Carathéodory, dass unter sehr milden Bedingungen der Kern von $L$ ist ein Vektorraum der Dimension $n$ , und dass die Lösungen der Gleichung $Ly (x) = B (x)$ habe die form

S0(x)+C1S1(x)+⋯+CnSn(x),{displaystyle S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+cdots +c_{n}S_{n}(x),} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b36b3d2133e5c1fa0127d0188350417933a0394" aria-hidden="true" alt="{displaystyle S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+cdots +c_{n}S_{n}(x),}" width="14292.8" height="1223.9">

wo $C 1, \dots, C n$ sind willkürliche Zahlen. Typischerweise sind die Hypothesen des Satzes von Carathéodory in einem Intervall erfüllt $ich$ , wenn die Funktionen $B, ein 0, \dots, ein n$ sind kontinuierlich in $ich$ , und es gibt eine positive reelle Zahl $k$ so dass $| ein n (x) | > k$ für jeden $x$ in $ich$ .

Homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten[edit]

Eine homogene lineare Differentialgleichung hat konstante Koeffizienten wenn es die form hat

ein0ja+ein1jaIch+ein2jaIch+⋯+einnja(n)=0{displaystyle a_{0}y+a_{1}y’+a_{2}y”+cdots +a_{n}y^{(n)}=0} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71826dd904f4752956cecb3677586141391871df" aria-hidden="true" alt="{displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+cdots +a_{n}y^{(n)}=0}" width="15759.5" height="1367.4">

wo $ein 1, \dots, ein n$ sind (reelle oder komplexe) Zahlen. Mit anderen Worten, es hat konstante Koeffizienten, wenn es durch einen linearen Operator mit konstanten Koeffizienten definiert ist.

Das Studium dieser Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten geht auf Leonhard Euler zurück, der die Exponentialfunktion $e x$ , das ist die eindeutige Lösung der Gleichung $F = F$ so dass $F (0) = 1$ . Daraus folgt, dass die $n$ Ableitung von $e cx$ ist $C n e cx$ , wodurch homogene lineare Differentialgleichungen relativ einfach gelöst werden können.

Lassen

ein0ja+ein1jaIch+ein2jaIch+⋯+einnja(n)=0{displaystyle a_{0}y+a_{1}y’+a_{2}y”+cdots +a_{n}y^{(n)}=0} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71826dd904f4752956cecb3677586141391871df" aria-hidden="true" alt="{displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+cdots +a_{n}y^{(n)}=0}" width="15759.5" height="1367.4">

sei eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten (also $ein 0, \dots, ein n$ sind reelle oder komplexe Zahlen).

Suche nach Lösungen dieser Gleichung mit der Form $e αx$ ist äquivalent zum Suchen der Konstanten $α$ so dass

ein0eαx+ein1αeαx+ein2α2eαx+⋯+einnαneαx=0.{displaystyle a_{0}e^{alpha x}+a_{1}alpha e^{alpha x}+a_{2}alpha ^{2}e^{alpha x}+cdots + a_{n}alpha^{n}e^{alpha x}=0.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86048c463c74b31e48aa19e1374ed895cb91ffa9" aria-hidden="true" alt="{displaystyle a_{0}e^{alpha x}+a_{1}alpha e^{alpha x}+a_{2}alpha ^{2}e^{alpha x}+cdots + a_{n}alpha^{n}e^{alpha x}=0.}" width="20778.6" height="1295.7">

Ausgliederung $e αx$ (die niemals Null ist), zeigt das $α$ muss eine Wurzel des sein charakteristisches Polynom

ein0+ein1T+ein2T2+⋯+einnTn{displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+cdots +a_{n}t^{n}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d63406a427b1998244410f26288529da6b2e2cd" aria-hidden="true" alt="{displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+cdots +a_{n}t^{n}}" width="12131.6" height="1295.7">

der Differentialgleichung, das ist die linke Seite der charakteristischen Gleichung

ein0+ein1T+ein2T2+⋯+einnTn=0.{displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+cdots +a_{n}t^{n}=0.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5b7219506f4e51cd6df8d0e731250653b85601" aria-hidden="true" alt="{displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+cdots +a_{n}t^{n}=0.}" width="14244.7" height="1295.7">

Wenn diese Wurzeln alle verschieden sind, hat man $n$ verschiedene Lösungen, die nicht unbedingt reell sind, selbst wenn die Koeffizienten der Gleichung reell sind. Diese Lösungen können als linear unabhängig gezeigt werden, indem man die Vandermonde-Determinante der Werte dieser Lösungen bei . betrachtet $x = 0, \dots, n - 1$ . Zusammen bilden sie eine Basis des Vektorraums der Lösungen der Differentialgleichung (also den Kern des Differentialoperators).

Beispiel

jaIch−2jaIch+2jaIch−2jaIch+ja=0{displaystyle y””-2y”’+2y”-2y’+y=0} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db4f5307f2da97b3b5663b3ea426c2ad8346319" aria-hidden="true" alt="y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0" width="13072" height="1223.9">

hat die charakteristische Gleichung

z4−2z3+2z2−2z+1=0.{displaystyle z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b547a91498ca9a799ef1e26e3247ddf228d13b3e" aria-hidden="true" alt="z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0." width="12245.4" height="1223.9">

Das hat Nullen, $ich$ , $- ich$ , und $1$ (Vielzahl 2). Die Lösungsbasis ist somit

eichx,e−ichx,ex,xex.{displaystyle e^{ix},;e^{-ix},;e^{x},;xe^{x}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747c7cb665475a9c5a502a7a6aa3f7dc3ca3f052" aria-hidden="true" alt="{displaystyle e^{ix},;e^{-ix},;e^{x},;xe^{x}.}" width="7944.2" height="1295.7">

Eine echte Lösungsbasis ist also

cos⁡x,Sünde⁡x,ex,xex.{displaystyle cos x,;sin x,;e^{x},;xe^{x}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f8877ea370a30b30bd31e7ebc6fd4246bb657d" aria-hidden="true" alt="{displaystyle cos x,;sin x,;e^{x},;xe^{x}.}" width="9009.8" height="1152.1">

Für den Fall, dass das charakteristische Polynom nur einfache Nullstellen hat, liefert das Vorhergehende eine vollständige Basis des Lösungsvektorraums. Bei mehreren Wurzeln werden mehr linear unabhängige Lösungen benötigt, um eine Basis zu haben. Diese haben die Form

xkeαx,{displaystyle x^{k}e^{alpha x},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc12c83868bdecf7f4351abed8aa74477661101" aria-hidden="true" alt="{displaystyle x^{k}e^{alpha x},}" width="2744" height="1295.7">

wo $k$ eine nichtnegative ganze Zahl ist, $α$ ist eine Wurzel des charakteristischen Polynoms der Vielheit $m$ , und $k < m$ . Um zu beweisen, dass diese Funktionen Lösungen sind, kann man anmerken, dass wenn $α$ ist eine Wurzel des charakteristischen Polynoms der Vielheit $m$ , kann das charakteristische Polynom faktorisiert werden als $P (T) (T - α) m$ . Somit ist die Anwendung des Differentialoperators der Gleichung äquivalent zur Anwendung von first $m$ mal der Betreiber

DDx−α{textstyle {frac {d}{dx}}-alpha}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2140792c87582dceabafae59b739b1695693ac15" aria-hidden="true" alt="{textstyle {frac {d}{dx}}-alpha}" width="2998.4" height="1654.5">$ , und dann der Operator, der $P$ als charakteristisches Polynom. Nach dem exponentiellen Verschiebungssatz gilt:

(DDx−α)(xkeαx)=kxk−1eαx,{displaystyle left({frac{d}{dx}}-alpha right)left(x^{k}e^{alpha x}right)=kx^{k-1}e^ {alphax},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a71413cdc3dcace862ce7e9f3eaee0eb1c0501" aria-hidden="true" alt="{displaystyle left({frac{d}{dx}}-alpha right)left(x^{k}e^{alpha x}right)=kx^{k-1}e^ {alphax},}" width="13845.5" height="2659.1">

und somit bekommt man nachher null $k + 1$ Anwendung von

DDx−α{textstyle {frac {d}{dx}}-alpha}

Da nach dem Fundamentalsatz der Algebra die Summe der Multiplizitäten der Wurzeln eines Polynoms gleich dem Grad des Polynoms ist, entspricht die Anzahl der obigen Lösungen der Ordnung der Differentialgleichung, und diese Lösungen bilden eine Basis des Vektorraums der Lösungen.

Im allgemeinen Fall, in dem die Koeffizienten der Gleichung reell sind, ist es im Allgemeinen bequemer, eine Basis der Lösungen zu haben, die aus reellwertigen Funktionen besteht. Eine solche Basis kann man aus der vorhergehenden Basis erhalten, indem man anmerkt, dass, wenn $ein + ib$ eine Wurzel des charakteristischen Polynoms ist, dann $ein - ib$ ist auch eine Wurzel derselben Vielheit. Somit erhält man eine reelle Basis, indem man die Eulersche Formel verwendet und $x k e (ein + ib) x$ und $x k e (ein - ib) x$ von $x k e Axt weil (bx)$ und $x k e Axt Sünde(bx)$ .

Fall zweiter Ordnung[edit]

Eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung kann geschrieben werden

jaIch+einjaIch+Bja=0,{displaystyle y”+ay’+by=0,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cf036ca106b71f409363a42518d73fcda38c32" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y''+ay'+by=0,}" width="7799.2" height="1223.9">

und sein charakteristisches Polynom ist

R2+einR+B.{displaystyle r^{2}+ar+b.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450bcb61975b5d6084ebefb9dae2436f476537f8" aria-hidden="true" alt="{displaystyle r^{2}+ar+b.}" width="5040.3" height="1223.9">

Wenn $ein$ und $B$ reell sind, gibt es drei Fälle für die Lösungen, abhängig von der Diskriminante $D = ein 2 - 4 B$ . In allen drei Fällen hängt die allgemeine Lösung von zwei beliebigen Konstanten ab $C 1$ und $C 2$ .

Wenn $D > 0$ , das charakteristische Polynom hat zwei verschiedene reelle Wurzeln $α$ , und $β$ . In diesem Fall lautet die allgemeine Lösung

C1eαx+C2eβx.{displaystyle c_{1}e^{alpha x}+c_{2}e^{beta x}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433d9bae68f7bc33a94a3f66ebfc10b4d616a7ae" aria-hidden="true" alt="{displaystyle c_{1}e^{alpha x}+c_{2}e^{beta x}.}" width="6077.3" height="1295.7">

Wenn $D = 0$ , das charakteristische Polynom hat eine Doppelwurzel $- ein /2$ , und die allgemeine Lösung ist

(C1+C2x)e−einx/2.{displaystyle (c_{1}+c_{2}x)e^{-ax/2}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52d1dc80a3781db32f703e42935c437df26e540" aria-hidden="true" alt="{displaystyle (c_{1}+c_{2}x)e^{-ax/2}.}" width="7231.8" height="1439.2">

Wenn $D < 0$ , das charakteristische Polynom hat zwei komplex konjugierte Wurzeln $α \pm βi$ , und die allgemeine Lösung ist

C1e(α+βich)x+C2e(α−βich)x,{displaystyle c_{1}e^{(alpha +beta i)x}+c_{2}e^{(alpha -beta i)x},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52ddb23a302575c12767359e193afee9b66fda5" aria-hidden="true" alt="{displaystyle c_{1}e^{(alpha +beta i)x}+c_{2}e^{(alpha -beta i)x},}" width="9627" height="1367.4">

die in realen Begriffen umgeschrieben werden kann, unter Verwendung der Eulerschen Formel als

eαx(C1cos⁡(βx)+C2Sünde⁡(βx)).{displaystyle e^{alpha x}(c_{1}cos(betax)+c_{2}sin(betax)).} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1427f8c04a06175f6538232b1189200df42eb33e" aria-hidden="true" alt="{displaystyle e^{alpha x}(c_{1}cos(betax)+c_{2}sin(betax)).}" width="12231.8" height="1223.9">

Die Lösung finden $ja (x)$ befriedigend $ja (0) = D 1$ und $ja (0) = D 2$ , setzt man die Werte der obigen allgemeinen Lösung mit $0$ und seine Ableitung dort zu $D 1$ und $D 2$ , bzw. Daraus ergibt sich ein lineares System aus zwei linearen Gleichungen in den beiden Unbekannten $C 1$ und $C 2$ . Die Lösung dieses Systems liefert die Lösung für ein sogenanntes Cauchy-Problem, bei dem die Werte at $0$ für die Lösung der DEQ und ihrer Ableitung sind angegeben.

Inhomogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten[edit]

Eine inhomogene Ordnungsgleichung $n$ mit konstanten Koeffizienten kann geschrieben werden

ja(n)(x)+ein1ja(n−1)(x)+⋯+einn−1jaIch(x)+einnja(x)=F(x),{displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n} y(x)=f(x),} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556d2cd4a9fbe463048427ce9c72a08ca97bec61" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n} y(x)=f(x),}" width="24327.4" height="1439.2">

wo $ein 1, \dots, ein n$ sind reelle oder komplexe Zahlen, $F$ ist eine gegebene Funktion von $x$ , und $ja$ ist die unbekannte Funktion (der Einfachheit halber “ $(x)$ ” wird im Folgenden weggelassen).

Es gibt mehrere Methoden, um eine solche Gleichung zu lösen. Die beste Methode hängt von der Art der Funktion ab $F$ das macht die Gleichung inhomogen. Wenn $F$ eine Linearkombination von Exponential- und Sinusfunktionen ist, dann kann die exponentielle Antwortformel verwendet werden. Wenn allgemeiner $F$ ist eine Linearkombination von Funktionen der Form $x n e Axt$ , $x n weil (Axt)$ , und $x n Sünde(Axt)$ , wo $n$ eine nichtnegative ganze Zahl ist und $ein$ eine Konstante (die nicht in jedem Term gleich sein muss), dann kann das Verfahren der unbestimmten Koeffizienten verwendet werden. Noch allgemeiner gilt die Annihilator-Methode, wenn $F$ eine homogene lineare Differentialgleichung, typischerweise eine holonome Funktion, erfüllt.

Die allgemeinste Methode ist die Variation von Konstanten, die hier vorgestellt wird.

Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung

ja(n)+ein1ja(n−1)+⋯+einn−1jaIch+einnja=0{displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+cdots +a_{n-1}y’+a_{n}y=0} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990139b2afcc43200a28b5679c96487c25697ef5" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0}" width="17241.4" height="1367.4">

ist

ja=du1ja1+⋯+dunjan,{displaystyle y=u_{1}y_{1}+cdots +u_{n}y_{n},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb5f4f705702bd057748a8200e3ae6026377028" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y=u_{1}y_{1}+cdots +u_{n}y_{n},}" width="9811.5" height="1008.6">

wo $(ja 1, \dots, ja n)$ ist eine Basis des Vektorraums der Lösungen und $du 1, \dots, du n$ sind beliebige Konstanten. Die Methode der Variation von Konstanten hat ihren Namen von der folgenden Idee. Anstatt zu überlegen $du 1, \dots, du n$ als Konstanten können sie als unbekannte Funktionen angesehen werden, die für die Bildung bestimmt werden müssen $ja$ eine Lösung der inhomogenen Gleichung. Dazu fügt man die Einschränkungen

0=du1Ichja1+du2Ichja2+⋯+dunIchjan0=du1Ichja1Ich+du2Ichja2Ich+⋯+dunIchjanIch⋮0=du1Ichja1(n−2)+du2Ichja2(n−2)+⋯+dunIchjan(n−2),{displaystyle {begin{aligned}0&=u’_{1}y_{1}+u’_{2}y_{2}+cdots +u’_{n}y_{n}\0&= u’_{1}y’_{1}+u’_{2}y’_{2}+cdots +u’_{n}y’_{n}\&;;vdots \0&=u’_{1}y_{1}^{(n-2)}+u’_{2}y_{2}^{(n-2)}+cdots +u’_{n }y_{n}^{(n-2)},end{ausgerichtet}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaecbd72ff05aafdeead12cfbaee5ef97b7e6e21" aria-hidden="true" alt="{displaystyle {begin{aligned}0&amp;=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+cdots +u'_{n}y_{n}\0&amp;= u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+cdots +u'_{n}y'_{n}\&amp;;;vdots \0&amp;=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+cdots +u'_{n }y_{n}^{(n-2)},end{ausgerichtet}}}" width="17866.3" height="6247">

was implizieren (nach Produktregel und Induktion)

ja(ich)=du1ja1(ich)+⋯+dunjan(ich){displaystyle y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e139b27449baa1094eef51cd79f5b0912469bda" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}}" width="11260.3" height="1582.7">

zum $ich = 1, \dots, n - 1$ , und

ja(n)=du1ja1(n)+⋯+dunjan(n)+du1Ichja1(n−1)+du2Ichja2(n−1)+⋯+dunIchjan(n−1).{displaystyle y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u’_{1} y_{1}^{(n-1)}+u’_{2}y_{2}^{(n-1)}+cdots +u’_{n}y_{n}^{(n-) 1)}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a02985252c9b7336782b610b15d87a856d16507" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1} y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-) 1)}.}" width="28732.5" height="1582.7">

Ersetzen in der ursprünglichen Gleichung $ja$ und seine Ableitungen durch diese Ausdrücke und unter Verwendung der Tatsache, dass $ja 1, \dots, ja n$ sind Lösungen der ursprünglichen homogenen Gleichung, so erhält man

F=du1Ichja1(n−1)+⋯+dunIchjan(n−1).{displaystyle f=u’_{1}y_{1}^{(n-1)}+cdots +u’_{n}y_{n}^{(n-1)}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3843fb6327cb83a308f8fcec8962bf815feedebe" aria-hidden="true" alt="{displaystyle f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}" width="12864" height="1582.7">

Diese Gleichung und die obigen mit $0$ als linke Seite bilden ein System von $n$ lineare Gleichungen in $du Ich 1, \dots, du Ich n$ deren Koeffizienten bekannte Funktionen sind ( $F$ , das $ja ich$ , und deren Derivate). Dieses System kann mit jeder Methode der linearen Algebra gelöst werden. Die Berechnung von Stammfunktionen liefert $du 1, \dots, du n$ , und dann $ja = du 1 ja 1 + \dots + du n ja n$ .

Da Stammfunktionen bis auf die Addition einer Konstanten definiert sind, stellt man wieder fest, dass die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung die Summe einer beliebigen Lösung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist.

Gleichung erster Ordnung mit variablen Koeffizienten[edit]

Die allgemeine Form einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung, nach der Aufteilung des Koeffizienten von $ja (x)$ , ist:

jaIch(x)=F(x)ja(x)+g(x).{displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff33a7c5cd01af84dc5dd83bbf1d42892ac72fce" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}" width="10564.5" height="1295.7">

Ist die Gleichung homogen, dh $g (x) = 0$ , kann man umschreiben und integrieren:

jaIchja=F,Protokoll⁡ja=k+F,{displaystyle {frac {y’}{y}}=f,qquadlog y=k+F,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc47ddbb5644c4e1e19d6afb997dbc97a5076f8" aria-hidden="true" alt="{displaystyle {frac {y'}{y}}=f,qquadlog y=k+F,}" width="11534.3" height="2587.3">

wo $k$ eine beliebige Integrationskonstante ist und

F=∫FDx{displaystyle F=textstyleint f,dx}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83b528e35de6d539943c0fffed384671da0fadb" aria-hidden="true" alt="{displaystyle F=textstyleint f,dx}" width="4673.9" height="1367.4">$ ist eine Stammfunktion von $F$ . Somit ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

ja=CeF,{displaystyle y=ce^{F},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51809534aa47122c25f5931d78790ad051aaab6" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y=ce^{F},}" width="3640" height="1295.7">

wo $C = e k$ ist eine beliebige Konstante.

Für die allgemeine inhomogene Gleichung kann man sie mit dem Kehrwert multiplizieren $e - F$ einer Lösung der homogenen Gleichung.^[2] Das gibt

jaIche−F−jaFe−F=ge−F.{displaystyle y’e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0b61373f9d15bfdb87cbfeffe724bcd3586018" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.}" width="10099.3" height="1295.7">

Wie

−Fe−F=DDx(e−F),{displaystyle -fe^{-F}={tfrac {d}{dx}}left(e^{-F}right),}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5708d08338653f8917319e97ce221c939360c367" aria-hidden="true" alt="{displaystyle -fe^{-F}={tfrac {d}{dx}}left(e^{-F}right),}" width="8620.8" height="1654.5">$ die Produktregel erlaubt es, die Gleichung umzuschreiben als

DDx(jae−F)=ge−F.{displaystyle {frac {d}{dx}}left(ye^{-F}right)=ge^{-F}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700ba17af9a78ef9bd965d233769cf9aa65aa6ba" aria-hidden="true" alt="{displaystyle {frac {d}{dx}}left(ye^{-F}right)=ge^{-F}.}" width="8424.1" height="2372">

Somit ist die allgemeine Lösung

ja=CeF+eF∫ge−FDx,{displaystyle y=ce^{F}+e^{F}int ge^{-F}dx,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4a792725b5d9957a2d43eaabb81ce93e14cd0d" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y=ce^{F}+e^{F}int ge^{-F}dx,}" width="10460.7" height="2443.8">

wo $C$ eine Integrationskonstante ist, und $F$ ist eine Stammfunktion von $F$ (Änderung der Stammfunktionsbeträge, um die Integrationskonstante zu ändern).

Beispiel[edit]

Lösen der Gleichung

jaIch(x)+ja(x)x=3x.{displaystyle y'(x)+{frac {y(x)}{x}}=3x.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7affe2fd54b62c4ec676ea6b95ed2c58f54d4b" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y'(x)+{frac {y(x)}{x}}=3x.}" width="8263.5" height="2443.8">

Die zugehörige homogene Gleichung

jaIch(x)+ja(x)x=0{displaystyle y'(x)+{frac {y(x)}{x}}=0}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098e1032ebd243450840eedcc0f8b7efacc884a7" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y'(x)+{frac {y(x)}{x}}=0}" width="7412.5" height="2443.8">$ gibt

jaIchja=−1x,{displaystyle {frac {y’}{y}}=-{frac {1}{x}},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908bdaa49c516928ac5dc75615404eedf7daa9cd" aria-hidden="true" alt="{displaystyle {frac {y'}{y}}=-{frac {1}{x}},}" width="4478" height="2587.3">

das ist

ja=Cx.{displaystyle y={frac {c}{x}}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb49b9f92ddbebe7050ac996f8297aab3cb1499" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y={frac {c}{x}}.}" width="3042.6" height="2013.3">

Dividiert man die ursprüngliche Gleichung durch eine dieser Lösungen, erhält man

xjaIch+ja=3x2.{displaystyle xy’+y=3x^{2}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe05310dd086f662ac240350adf77ec246d38cb5" aria-hidden="true" alt="{displaystyle xy'+y=3x^{2}.}" width="6226.9" height="1295.7">

Das ist

(xja)Ich=3x2,{displaystyle (xy)’=3x^{2},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1546d757c13d7b63a09ee49b26f419adb22273fc" aria-hidden="true" alt="{displaystyle (xy)'=3x^{2},}" width="5283.3" height="1367.4">

xja=x3+C,{displaystyle xy=x^{3}+c,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f7d403014ef05af8211b714bfa46da19bd4aa5" aria-hidden="true" alt="{displaystyle xy=x^{3}+c,}" width="5365.4" height="1295.7">

und

ja(x)=x2+C/x.{displaystyle y(x)=x^{2}+c/x.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bdd950841c355739363df9f8f855fa5c7f0bc0" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y(x)=x^{2}+c/x.}" width="7217.4" height="1367.4">

Für die Anfangsbedingung

ja(1)=α,{displaystyle y(1)=alpha,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f98e6fff7eb131a669540161a68271748e8249" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y(1)=alpha,}" width="4030.1" height="1223.9">

man bekommt die jeweilige lösung

ja(x)=x2+α−1x.{displaystyle y(x)=x^{2}+{frac {alpha -1}{x}}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c659bad51350bb5e224c3dc015dbd0258373b0ee" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y(x)=x^{2}+{frac {alpha -1}{x}}.}" width="8434.9" height="2228.5">

System linearer Differentialgleichungen[edit]

Ein System linearer Differentialgleichungen besteht aus mehreren linearen Differentialgleichungen, die mehrere unbekannte Funktionen beinhalten. Im Allgemeinen beschränkt man die Untersuchung auf Systeme, bei denen die Anzahl der unbekannten Funktionen gleich der Anzahl der Gleichungen ist.

Eine beliebige lineare gewöhnliche Differentialgleichung und ein System solcher Gleichungen können in ein System erster Ordnung linearer Differentialgleichungen umgewandelt werden, indem Variablen für alle Ableitungen mit Ausnahme der höchsten Ordnung hinzugefügt werden. Das heißt, wenn

jaIch,jaIch,…,ja(k){displaystyle y’,y”,ldots ,y^{(k)}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d911ae9d27da0cf13c738b535adec871223e3f1c" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y',y'',ldots ,y^{(k)}}" width="5977.6" height="1367.4">$ in einer Gleichung erscheinen, kann man sie durch neue unbekannte Funktionen ersetzen

ja1,…,jak{displaystyle y_{1},ldots,y_{k}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c8aae5c5f91885b9a5ebb23c6d8dcf29b63f4d" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y_{1},ldots,y_{k}}" width="4133.2" height="865.1">$ das muss die Gleichungen erfüllen

jaIch=ja1{displaystyle y’=y_{1}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d707c952095f60a1d4a9456906581bc075b4a0a" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y'=y_{1}}" width="3072.9" height="1223.9">$ und

jaichIch=jaich+1,{displaystyle y_{i}’=y_{i+1},}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d536e590983cb653a4d48fee18919c9919b332df" aria-hidden="true" alt="{displaystyle y_{i}'=y_{i+1},}" width="4186.6" height="1223.9">$ zum $ich = 1, \dots, k - 1$ .

Ein lineares System erster Ordnung, das $n$ unbekannte Funktionen und $n$ Differentialgleichungen können normalerweise nach den Ableitungen der unbekannten Funktionen gelöst werden. Wenn dies nicht der Fall ist, handelt es sich um ein differentiell-algebraisches System, und dies ist eine andere Theorie. Daher haben die hier betrachteten Systeme die Form

ja1Ich(x)=B1(x)+ein1,1(x)ja1+⋯+ein1,n(x)jan⋮janIch(x)=Bn(x)+einn,1(x)ja1+⋯+einn,n(x)jan,{displaystyle {begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+cdots +a_{1,n} (x)y_{n}\vdots &\y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+cdots +a_ {n,n}(x)y_{n},end{ausgerichtet}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8c69f7f598924d991a033b4ab4a6e8427bde20" aria-hidden="true" alt="{displaystyle {begin{aligned}y_{1}'(x)&amp;=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+cdots +a_{1,n} (x)y_{n}\vdots &amp;\y_{n}'(x)&amp;=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+cdots +a_ {n,n}(x)y_{n},end{ausgerichtet}}}" width="19392.8" height="4524.8">

Bn{displaystyle b_{n}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e2d72f6dd9375c8f1f59f1effd9b4e5492ac97" aria-hidden="true" alt="b_{n}" width="954.1" height="1080.4">$ und der

einich,J{displaystyle a_{i,j}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb5a346f58c6568306a02596dd318d1b7e6b2c2" aria-hidden="true" alt="a_{i,j}" width="1362.4" height="1008.6">$ sind Funktionen von $x$ . In Matrixnotation kann dieses System geschrieben werden (ohne “ $(x)$ “)

jaIch=EINja+B.{displaystylemathbf{y} ‘=Amathbf{y} +mathbf{b} .} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7efc3eb2cc49ea501df8c012e07a64c2e03a201" aria-hidden="true" alt="{displaystylemathbf{y} '=Amathbf{y} +mathbf{b} .}" width="5735.3" height="1223.9">

Das Lösungsverfahren ist ähnlich dem einer einzelnen linearen Differentialgleichung erster Ordnung, jedoch mit Komplikationen aufgrund der Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation.

Lassen

duIch=EINdu.{displaystyle mathbf {u} ‘=Amathbf {u} .} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4466394e44b6d8d24a0e9895a40c8685355ed3" aria-hidden="true" alt="{displaystyle mathbf {u} '=Amathbf {u} .}" width="3936.9" height="1080.4">

sei die homogene Gleichung, die der obigen Matrixgleichung zugeordnet ist. Seine Lösungen bilden einen Vektorraum der Dimension $n$ , und sind daher die Spalten einer quadratischen Funktionsmatrix

U(x){displaystyle U(x)}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d626d3a1e65c94535c811c73fa83389cfb76683" aria-hidden="true" alt="U(x)" width="2119" height="1223.9">$ , deren Determinante nicht die Nullfunktion ist. Wenn $n = 1$ , oder $EIN$ ist eine Matrix von Konstanten, oder allgemeiner, wenn $EIN$ kommutiert mit seiner Stammfunktion

B=∫EINDx{displaystyle textstyle B=int Adx}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a56edffff3fbe4fc00eaeaad86847f7d259c6e" aria-hidden="true" alt="{displaystyle textstyle B=int Adx}" width="4717.2" height="1367.4">$ , dann darf man wählen $U$ gleich dem Exponential von $B$ . Tatsächlich hat man in diesen Fällen

DDxexp⁡(B)=EINexp⁡(B).{displaystyle {frac {d}{dx}}exp(B)=Aexp(B).} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4276767ec589c79db43830075f7f19e78ff0b79f" aria-hidden="true" alt="{displaystyle {frac {d}{dx}}exp(B)=Aexp(B).}" width="10288.4" height="2372">

Im allgemeinen Fall gibt es keine geschlossene Lösung für die homogene Gleichung, und man muss entweder ein numerisches Verfahren oder ein Näherungsverfahren wie die Magnus-Entwicklung verwenden.

Kennenlernen der Matrix $U$ , ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung

ja(x)=U(x)ja0+U(x)∫U−1(x)B(x)Dx,{displaystyle mathbf {y} (x)=U(x)mathbf {y_{0}} +U(x)int U^{-1}(x)mathbf {b} (x), dx,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db67010b86be6fdba836799d0d5fc79bae60ff9" aria-hidden="true" alt="{displaystyle mathbf {y} (x)=U(x)mathbf {y_{0}} +U(x)int U^{-1}(x)mathbf {b} (x), dx,}" width="17827.1" height="2443.8">

wobei die Spaltenmatrix

ja0{displaystyle mathbf {y_{0}} }

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f534a382ac36a867142d2c3b26f9a6fc42bccee8" aria-hidden="true" alt="{displaystyle mathbf {y_{0}} }" width="1114.4" height="865.1">$ ist eine beliebige Integrationskonstante.

Wenn Anfangsbedingungen gegeben sind als

ja(x0)=ja0,{displaystyle mathbf {y} (x_{0})=mathbf {y} _{0},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67215454dabb3fecf74be286c87055d74f11591d" aria-hidden="true" alt="{displaystyle mathbf {y} (x_{0})=mathbf {y} _{0},}" width="5086.9" height="1223.9">

die Lösung, die diese Anfangsbedingungen erfüllt, ist

Cauchy-Euler-Gleichung[edit] Cauchy-Euler-Gleichungen sind Beispiele für Gleichungen beliebiger Ordnung mit variablen Koeffizienten, die explizit gelöst werden können. Dies sind die Gleichungen der Form xnja(n)(x)+einn−1xn−1ja(n−1)(x)+⋯+ein0ja(x)=0,{displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+cdots +a_{ 0}y(x)=0,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895e59b6e9dc631d431c8a8e57e47c4d1eecec13" aria-hidden="true" alt="{displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+cdots +a_{ 0}y(x)=0,}" width="21601.5" height="1439.2"> wo ein0,…,einn−1{displaystyle a_{0},ldots ,a_{n-1}}

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140c0c55154a5e80226b111b7165da7e5582e6d7" aria-hidden="true" alt="{displaystyle a_{0},ldots ,a_{n-1}}" width="5171.4" height="865.1">

sind konstante Koeffizienten.

Holonomische Funktionen[edit]

Eine holonome Funktion, auch a . genannt D-endliche Funktion, ist eine Funktion, die eine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung mit Polynomkoeffizienten ist.

Die meisten Funktionen, die in der Mathematik allgemein betrachtet werden, sind holonomische oder Quotienten holonomischer Funktionen. Tatsächlich umfassen holonome Funktionen Polynome, algebraische Funktionen, Logarithmus, Exponentialfunktion, Sinus, Kosinus, Sinus hyperbolicus, Cosinus hyperbolicus, inverse trigonometrische und inverse hyperbolische Funktionen und viele spezielle Funktionen wie Bessel-Funktionen und hypergeometrische Funktionen.

Holonomische Funktionen haben mehrere Abschlusseigenschaften; insbesondere sind Summen, Produkte, Ableitungen und Integrale holonomischer Funktionen holonomisch. Darüber hinaus sind diese Verschlusseigenschaften in dem Sinne effektiv, dass es Algorithmen zum Berechnen der Differentialgleichung des Ergebnisses jeder dieser Operationen gibt, die die Differentialgleichungen der Eingabe kennen.^[3]

Die Nützlichkeit des Konzepts holonomischer Funktionen ergibt sich aus dem folgenden Satz von Zeilberger.^[3]

EIN holonome Sequenz ist eine Folge von Zahlen, die durch eine Rekursionsbeziehung mit Polynomkoeffizienten erzeugt werden kann. Die Koeffizienten der Taylor-Reihe an einem Punkt einer holonomischen Funktion bilden eine holonome Folge. Umgekehrt, wenn die Folge der Koeffizienten einer Potenzreihe holonom ist, dann definiert die Reihe eine holonome Funktion (selbst wenn der Konvergenzradius null ist). Es gibt effiziente Algorithmen für beide Umrechnungen, also für die Berechnung der Rekursionsbeziehung aus der Differentialgleichung, und und umgekehrt.
^[3]

Daraus folgt, dass, wenn man (in einem Computer) holonome Funktionen durch ihre definierenden Differentialgleichungen und Anfangsbedingungen darstellt, die meisten Rechenoperationen automatisch an diesen Funktionen durchgeführt werden können, wie Ableitung, unbestimmtes und bestimmtes Integral, schnelle Berechnung von Taylor-Reihen (danke der Rekursionsbeziehung auf ihre Koeffizienten), hochgenaue Auswertung mit zertifizierter Schranke des Näherungsfehlers, Grenzen, Lokalisierung von Singularitäten, asymptotisches Verhalten bei Unendlichkeit und nahe Singularitäten, Identitätsnachweis, etc.^[4]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

^ Gershenfeld 1999, S.9
^ Motivation: Analog zur Quadratvervollständigung schreiben wir die Gleichung als $ja' - fy = g$ , und versuchen Sie, die linke Seite so zu ändern, dass sie eine Ableitung wird. Konkret suchen wir einen „Integrationsfaktor“ $h = h (x)$ so dass die Multiplikation damit die linke Seite gleich der Ableitung von macht $hy$ , nämlich $hy' - hfy = (hy)'$ . Das heisst $h = - F$ , so dass $h = e -\int F dx = e - F$ , wie im Text.
^ ^ein ^B ^C Zeilberger, Doron. Ein holonomischer Systemansatz für spezielle Funktionsidentitäten. Zeitschrift für Computergestützte und angewandte Mathematik. 32,3 (1990): 321-368
^ Benoit, A., Chyzak, F., Darrasse, A., Gerhold, S., Mezzarobba, M., & Salvy, B. (2010, September). Das dynamische Wörterbuch mathematischer Funktionen (DDMF). Im Internationalen Kongress für mathematische Software (S. 35-41). Springer, Berlin, Heidelberg.

Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Gewöhnliche Differentialgleichungen, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
Gershenfeld, Neil (1999), Die Natur der mathematischen Modellierung, Cambridge, Großbritannien.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
Robinson, James C. (2004), Eine Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen, Cambridge, Großbritannien.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

Lineare Differentialgleichung – Wikipedia

Grundbegriffe[edit]

Linearer Differentialoperator[edit]

Homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten[edit]

Fall zweiter Ordnung[edit]

Inhomogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten[edit]

Gleichung erster Ordnung mit variablen Koeffizienten[edit]

Beispiel[edit]

System linearer Differentialgleichungen[edit]

Holonomische Funktionen[edit]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]

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