Vier-Impuls – Wikipedia

In der speziellen Relativitätstheorie Vier-Impuls ist die Verallgemeinerung des klassischen dreidimensionalen Impulses auf die vierdimensionale Raumzeit. Momentum ist ein Vektor in drei Dimensionen; ebenso ist der Viererimpuls ein Vierervektor in der Raumzeit. Der kontravariante Viererimpuls eines Teilchens mit relativistischer Energie E und drei impuls P = (Px, Pja, Pz) = ich binv, wo v ist die Dreigeschwindigkeit des Teilchens und γ der Lorentz-Faktor, ist

P=(P0,P1,P2,P3)=(EC,Px,Pja,Pz).{displaystyle p=left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}right)=left({E over c},p_{x}, p_{y},p_{z}right).}

Die Quantität mv von oben ist der gewöhnliche nichtrelativistische Impuls des Teilchens und m seine Ruhemasse. Der Viererimpuls ist in relativistischen Berechnungen nützlich, da er ein kovarianter Lorentz-Vektor ist. Dies bedeutet, dass es leicht zu verfolgen ist, wie es sich unter Lorentz-Transformationen transformiert.

Die obige Definition gilt unter der Koordinatenkonvention, dass x0 = ct. Einige Autoren verwenden die Konvention x0 = T, was eine modifizierte Definition mit P0 = E/C2. Es ist auch möglich, den kovarianten Viererimpuls . zu definieren Pμ wobei das Vorzeichen der Energie (oder das Vorzeichen des Dreiimpulses, abhängig von der gewählten metrischen Signatur) umgekehrt wird.

Minkowski-Norm[edit]

Die Berechnung der Minkowski-Norm zum Quadrat des Viererimpulses ergibt eine Lorentz-invariante Größe gleich (bis auf Faktoren der Lichtgeschwindigkeit C) zum Quadrat der Eigenmasse des Teilchens:

P⋅P=ημνPμPν=PνPν=−E2C2+|P|2=−m2C2{displaystyle pcdot p=eta_{munu}p^{mu}p^{nu}=p_{nu}p^{nu}=-{E^{2} über c^{2}}+|mathbf{p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}

wo

ημν=(−1000010000100001){displaystyle eta _{mu nu}=left({begin{matrix}-1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{matrix}}right)}

ist der metrische Tensor der speziellen Relativitätstheorie mit metrischer Signatur für die Bestimmtheit, die als gewählt wurde (–1, 1, 1, 1). Die Negativität der Norm spiegelt wider, dass der Impuls ein zeitähnlicher Vierervektor für massive Teilchen ist. Die andere Wahl der Signatur würde Zeichen in bestimmten Formeln umdrehen (wie für die Norm hier). Diese Wahl ist nicht wichtig, aber wenn sie einmal getroffen wurde, muss sie aus Gründen der Konsistenz beibehalten werden.

Die Minkowski-Norm ist Lorentz-invariant, was bedeutet, dass ihr Wert durch Lorentz-Transformationen/Boosting in verschiedene Bezugssysteme nicht verändert wird. Allgemeiner gesagt, für zwei beliebige Vier-Impulse P und Q, Die Quantität PQ ist unveränderlich.

Beziehung zu Vier-Geschwindigkeit[edit]

Für ein massives Teilchen ist der Viererimpuls durch die invariante Masse des Teilchens gegeben m multipliziert mit der Vierergeschwindigkeit des Teilchens,

Pμ=mduμ,{displaystyle p^{mu}=mu^{mu},}

wo die Vier-Geschwindigkeit du ist

du=(du0,du1,du2,du3)=γv(C,vx,vja,vz),{displaystyle u=left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}right)=gamma_{v}left(c,v_{x} ,v_{y},v_{z}right),}

und

γv=11−v2C2{displaystyle gamma_{v}={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

ist der Lorentzfaktor (in Verbindung mit der Geschwindigkeit v), C ist die Lichtgeschwindigkeit.

Ableitung[edit]

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den richtigen Ausdruck für den Viererimpuls zu finden. Eine Möglichkeit besteht darin, zuerst die Vier-Geschwindigkeit zu definieren du = dx/ und einfach definieren P = mu, zufrieden, dass es sich um einen Vierer-Vektor mit den richtigen Einheiten und dem richtigen Verhalten handelt. Ein anderer, zufriedenstellenderer Ansatz besteht darin, mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung zu beginnen und den Lagrangeschen Rahmen zu verwenden, um den Viererimpuls abzuleiten, einschließlich des Ausdrucks für die Energie.[1] Mit Hilfe der unten aufgeführten Beobachtungen kann man sofort den Viererimpuls aus der Aktion definieren S. Vorausgesetzt, dass im Allgemeinen für ein geschlossenes System mit verallgemeinerten Koordinaten Qich und kanonische Impulse Pich,[2]

Pich=∂S∂Qich=∂S∂xich,E=−∂S∂T=−C⋅∂S∂x0,{displaystyle p_{i}={frac {partial S}{partial q_{i}}}={frac {partial S}{partial x_{i}}},quad E=-{ frac {partial S}{partial t}}=-ccdot {frac {partial S}{partial x_{0}}},}

es ist unmittelbar (in Erinnerung an x0 = ct, x1 = x, x2 = ja, x3 = z und x0 = −x0, x1 = x1, x2 = x2, x3 = x3 in der vorliegenden metrischen Konvention), dass

Pμ=−∂S∂xμ=(EC,−P){displaystyle p_{mu}=-{frac {partial S}{partial x^{mu}}}=left({Eoverc},-mathbf{p}right)}

ist ein kovarianter Vier-Vektor, wobei der Drei-Vektor-Anteil der (negative) kanonische Impuls ist.

Beobachtungen

Betrachten Sie zunächst ein System mit einem Freiheitsgrad Q. Bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen aus der Wirkung nach dem Hamilton-Prinzip findet man (allgemein) in einer Zwischenstufe für die Variation der Wirkung

δS=[∂L∂q˙δq]|T1T2+∫T1T2(∂L∂Q−DDT∂L∂Q˙)δQDT.{displaystyle delta S=left.left[{frac {partial L}{partial {dot {q}}}}delta qright]right|_{t_{1}}^{t_{2}}+int_{t_{1}}^{t_{2}}left({frac {partial L}{partial q} }-{frac{d}{dt}}{frac{partial L}{partial{dot{q}}}}right)delta qdt.}

Die Annahme ist dann, dass die variierten Pfade q(T1) = q(T2) = 0, woraus sofort die Lagrange-Gleichungen folgen. Wenn die Bewegungsgleichungen bekannt sind (oder einfach als erfüllt angenommen werden), kann man die Anforderung loslassen q(T2) = 0. In diesem Fall ist der Pfad vermutet um die Bewegungsgleichungen zu erfüllen, und die Wirkung ist eine Funktion der oberen Integrationsgrenze q(T2), aber T2 steht noch fest. Die obige Gleichung wird mit S = S(Q), und definieren q(T2) = q, und lässt mehr Freiheitsgrade zu,

δS=Σich∂L∂Q˙ichδQich=ΣichPichδQich.{displaystyle delta S=sum _{i}{frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}}delta q_{i}=sum _{i} p_{i}delta q_{i}.}

Das beobachten

δS=Σich∂S∂QichδQich,{displaystyle delta S=sum_{i}{frac{partial S}{partial{q}_{i}}}delta q_{i},}

man schließt

Pich=∂S∂Qich.{displaystyle p_{i}={frac {partial S}{partial q_{i}}}.}

Halten Sie die Endpunkte auf ähnliche Weise fest, aber lassen Sie T2 = T variieren. Diesmal darf sich das System mit “beliebiger Geschwindigkeit” oder mit “mehr oder weniger Energie” durch den Konfigurationsraum bewegen, die Feldgleichungen gelten immer noch als gelten und Variationen am Integral können durchgeführt werden, sondern beobachten

DSDT=L{displaystyle {frac {dS}{dt}}=L}

nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung. Berechnen Sie mit dem obigen Ausdruck für kanonische Impulse,

DSDT=∂S∂T+Σich∂S∂QichQ˙ich=∂S∂T+ΣichPichQ˙ich=L.{displaystyle {frac {dS}{dt}}={frac {partial S}{partial t}}+sum _{i}{frac {partial S}{partial q_{i} }}{dot{q}}_{i}={frac{partial S}{partial t}}+sum_{i}p_{i}{dot{q}}_{i} =L.}

Jetzt verwenden

h=ΣichPichQ˙ich−L,{displaystyle H=sum_{i}p_{i}{dot {q}}_{i}-L,}

wo h ist der Hamilton-Operator, führt zu, da E = h im aktuellen Fall,

E=h=−∂S∂T.{displaystyle E=H=-{frac {partial S}{partial t}}.}

Übrigens mit h = h(Q, P, T) mit P = S/Q in obiger Gleichung ergibt die Hamilton-Jacobi-Gleichungen. In diesem Kontext, S heißt Hamiltonsche Hauptfunktion.


Die Aktion S wird gegeben von

S=−mC∫DS=∫LDT,L=−mC21−v2C2,{displaystyle S=-mcint ds=int Ldt,quad L=-mc^{2}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}} },}

wo L ist der relativistische Lagrange für ein freies Teilchen. Davon,

diese Details beschönigen,

Die Variation der Aktion ist

δS=−mC∫δDS.{displaystyle delta S=-mcint delta ds.}

Berechnen ds, beobachte zuerst das ds2 = 2dsδds und das

δDS2=δημνDxμDxν=ημν(δ(Dxμ)Dxν+Dxμδ(Dxν))=2ημνδ(Dxμ)Dxν.{displaystyle delta ds^{2}=deltaeta_{munu}dx^{mu}dx^{nu}=eta_{munu}left(delta left(dx^{mu}right)dx^{nu}+dx^{mu}delta left(dx^{nu}right)right)=2eta_{mu nu}deltaleft(dx^{mu}right)dx^{nu}.}

So

δDS=ημνδDxμDxνDS=ημνDδxμDxνDS,{displaystyle delta ds=eta_{munu}delta dx^{mu}{frac {dx^{nu}}{ds}}=eta_{munu}d delta x^{mu}{frac{dx^{nu}}{ds}},}

oder

δDS=ημνDδxμDτDxνCDτDτ,{displaystyle delta ds=eta_{munu}{frac {ddelta x^{mu}}{dtau}}{frac {dx^{nu}}{cd tau }}dtau ,}

und somit

δS=−m∫ημνDδxμDτDxνDτDτ=−m∫ημνDδxμDτduνDτ=−m∫ημν[ddτ(δxμuν)−δxμddτuν]Dτ{displaystyle delta S=-minteta_{munu}{frac {ddelta x^{mu}}{dtau}}{frac {dx^{nu} }{dtau }}dtau =-mint eta_{munu }{frac {ddelta x^{mu}}{dtau }}u^{nu} dtau =-mint eta_{munu}leftlbrack {frac {d}{dtau}}left(delta x^{mu}u^{nu} right)-delta x^{mu}{frac{d}{dtau}}u^{nu}rightrbrack dtau}

was ist nur

δS=[−muμδxμ]T1T2+m∫T1T2δxμDduμDSDS{displaystyle delta S=left[-mu_{mu }delta x^{mu }right]_{t_{1}}^{t_{2}}+mint_{t_{1}}^{t_{2}}delta x^{mu}{frac {du_{mu}} {ds}}ds}


δS=[−muμδxμ]T1T2+m∫T1T2δxμDduμDSDS=−mduμδxμ=∂S∂xμδxμ=−Pμδxμ,{displaystyle delta S=left[-mu_{mu }delta x^{mu }right]_{t_{1}}^{t_{2}}+mint_{t_{1}}^{t_{2}}delta x^{mu}{frac {du_{mu}} {ds}}ds=-mu_{mu}delta x^{mu}={frac {partial S}{partial x^{mu}}}delta x^{mu}=- p_{mu}delta x^{mu},}

wobei der zweite Schritt die Feldgleichungen verwendet duμ/ds = 0, (xμ)T1 = 0, und (xμ)T2xμ wie in den obigen Beobachtungen. Vergleichen Sie nun die letzten drei Ausdrücke, um zu finden

Pμ=−∂μ[S]=−∂S∂xμ=mduμ=m(C1−v2C2,vx1−v2C2,vja1−v2C2,vz1−v2C2),{displaystyle p^{mu}=-partial^{mu}[S]=-{frac {partial S}{partial x_{mu}}}=mu^{mu}=mleft({frac {c}{sqrt {1-{frac {v^ {2}}{c^{2}}}}}},{frac {v_{x}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}} }},{frac {v_{y}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{frac {v_{z}}{ sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}right),}

mit Norm m2C2, und das berühmte Ergebnis für die relativistische Energie,

E=mC21−v2C2=mRC2,{displaystyle E={frac {mc^{2}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{ 2},}

wo mR ist die heute aus der Mode gekommene relativistische Masse, folgt. Durch den direkten Vergleich der Ausdrücke für Impuls und Energie erhält man

P=EvC2,{displaystyle mathbf {p} = E{frac {mathbf {v} }{c^{2}}},}

das gilt auch für masselose Teilchen. Quadriert man die Ausdrücke für Energie und Dreierimpuls und setzt sie in Beziehung, erhält man die Energie-Impuls-Beziehung,

E2C2=P⋅P+m2C2.{displaystyle {frac {E^{2}}{c^{2}}}=mathbf {p} cdot mathbf {p} +m^{2}c^{2}.}

Ersetzend

Pμ↔−∂S∂xμ{displaystyle p_{mu}leftrightarrow -{frac {partial S}{partial x^{mu}}}}

in der Normgleichung ergibt sich die relativistische Hamilton-Jacobi-Gleichung,[3]

ημν∂S∂xμ∂S∂xν=−m2C2.{displaystyle eta ^{munu }{frac {partial S}{partial x^{mu}}}{frac {partial S}{partial x^{nu}}} =-m^{2}c^{2}.}

Es ist auch möglich, die Ergebnisse direkt aus dem Lagrange-Operator abzuleiten. Per Definition,[4]

P=∂L∂v=(∂L∂x˙,∂L∂ja˙,∂L∂z˙)=m(γvx,γvja,γvz)=mγv=mdu,E=P⋅v−L=mC21−v2C2,{displaystyle {begin{ausgerichtet}mathbf {p} &={frac {partial L}{partialmathbf {v}}}=left({partial Loverpartial {dot{ x}}},{partial Loverpartial{dot{y}}},{partial Loverpartial{dot{z}}}right)=m(gamma v_{x} ,gamma v_{y},gamma v_{z})=mgammamathbf {v} =mmathbf {u} ,\E&=mathbf {p} cdot mathbf {v} -L ={frac {mc^{2}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},end{ausgerichtet}}}

die die Standardformeln für kanonischen Impuls und Energie eines geschlossenen (zeitunabhängigen Lagrangeschen) Systems darstellen. Bei diesem Ansatz ist es weniger klar, dass Energie und Impuls Teile eines Vierervektors sind.

Die Energie und der Drei-Impuls sind separat konserviert Mengen für isolierte Systeme im Lagrangeschen System. Somit bleibt auch der Viererimpuls erhalten. Mehr dazu weiter unten.

Mehr Fußgängeransätze beinhalten das erwartete Verhalten in der Elektrodynamik.[5] Ausgangspunkt bei diesem Ansatz ist die Anwendung des Lorentzkraftgesetzes und des zweiten Newtonschen Gesetzes im Ruhesystem des Teilchens. Die Transformationseigenschaften des elektromagnetischen Feldtensors, einschließlich der Invarianz der elektrischen Ladung, werden dann verwendet, um in den Laborrahmen zu transformieren, und der resultierende Ausdruck (wieder das Lorentz-Kraftgesetz) wird im Geiste des zweiten Newtonschen Gesetzes interpretiert, was zum richtigen Ausdruck führt für den relativistischen Dreiimpuls. Der Nachteil ist natürlich, dass nicht sofort klar ist, dass das Ergebnis für alle Teilchen gilt, egal ob geladen oder nicht, und dass es nicht den kompletten Vierervektor liefert.

Es ist auch möglich, Elektromagnetismus zu vermeiden und gut abgestimmte Gedankenexperimente durchzuführen, bei denen gut ausgebildete Physiker Billardkugeln werfen, die Kenntnis der Geschwindigkeitsadditionsformel nutzen und die Impulserhaltung annehmen.[6][7] Auch dies ergibt nur den Drei-Vektor-Teil.

Erhaltung des Viererimpulses[edit]

Wie oben gezeigt, gibt es drei Erhaltungssätze (nicht unabhängig, die letzten beiden implizieren den ersten und umgekehrt):

  • Der Vier-Impuls P (entweder kovariant oder kontravariant) erhalten bleibt.
  • Die Gesamtenergie E = P0C ist konserviert.
  • Der 3-Raum-Impuls
    P=(P1,P2,P3){displaystyle mathbf{p} =left(p^{1},p^{2},p^{3}right)}

    ist konserviert (nicht zu verwechseln mit dem klassischen nicht-relativistischen Impuls mv{displaystyle mmathbf {v}}

    ).

Beachten Sie, dass die invariante Masse eines Teilchensystems größer sein kann als die Summe der Ruhemassen der Teilchen, da kinetische Energie im Systemschwerpunktsystem und potentielle Energie aus Kräften zwischen den Teilchen zur invarianten Masse beitragen. Als Beispiel zwei Teilchen mit Vier-Impulsen (5 GeV/C, 4 GeV/C, 0, 0) und (5 GeV/C, -4 GeV/C, 0, 0) haben jeweils (Ruhe-)Masse 3 GeV/C2 getrennt, aber ihre Gesamtmasse (die Systemmasse) beträgt 10 GeV/C2. Wenn diese Partikel kollidieren und haften bleiben, beträgt die Masse des zusammengesetzten Objekts 10 GeV/C2.

Eine praktische Anwendung aus der Teilchenphysik der Erhaltung der invarianten Masse besteht in der Kombination der Viererimpulse PEIN und PB zweier Tochterteilchen, die beim Zerfall eines schwereren Teilchens mit Viererimpuls entstehen PC um die Masse des schwereren Teilchens zu finden. Die Erhaltung des Viererimpulses ergibt PCμ = PEINμ + PBμ, während die Masse m des schwereren Teilchens ist gegeben durch PCPC = m2C2. Durch Messung der Energien und Dreiimpulse der Tochterteilchen kann man die invariante Masse des Zweiteilchensystems rekonstruieren, die gleich . sein muss m. Diese Technik wird zB bei der experimentellen Suche nach Z′-Bosonen an hochenergetischen Teilchenbeschleunigern verwendet, wo das Z′-Boson als Erhebung im invarianten Massenspektrum von Elektron-Positron- oder Myon-Antimion-Paaren auftauchen würde.

Ändert sich die Masse eines Objekts nicht, so ist das Minkowski-Produkt aus seinem Viererimpuls und der entsprechenden Viererbeschleunigung EINμ ist einfach null. Die Viererbeschleunigung ist proportional zur Eigenzeitableitung des Viererimpulses geteilt durch die Masse des Teilchens, also

PμEINμ=ημνPμEINν=ημνPμDDτPνm=12mDDτP⋅P=12mDDτ(−m2C2)=0.{displaystyle p^{mu}A_{mu}=eta_{munu}p^{mu}A^{nu}=eta_{munu}p^{ mu }{frac {d}{dtau}}{frac {p^{nu}}{m}}={frac {1}{2m}}{frac {d}{dtau }}pcdot p={frac{1}{2m}}{frac {d}{dtau}}left(-m^{2}c^{2}right)=0.}

Kanonischer Impuls in Gegenwart eines elektromagnetischen Potentials[edit]

Für ein geladenes Ladungsteilchen Q, die sich in einem elektromagnetischen Feld bewegen, das durch das elektromagnetische Viererpotential gegeben ist:

EIN=(EIN0,EIN1,EIN2,EIN3)=(φC,EINx,EINja,EINz){displaystyle A=left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}right)=left({phiover c},A_{x} ,A_{y},A_{z}right)}

wo Φ ist das Skalarpotential und EIN = (EINx, EINja, EINz) das Vektorpotential, die Komponenten des (nicht eich-invarianten) kanonischen Impuls-Vier-Vektors P ist

Pμ=Pμ+QEINμ.{displaystyle P^{mu}=p^{mu}+qA^{mu}.!}

Dies wiederum erlaubt es, die potentielle Energie des geladenen Teilchens in einem elektrostatischen Potential und die Lorentzkraft auf das sich in einem Magnetfeld bewegende geladene Teilchen kompakt in die relativistische Quantenmechanik einzubeziehen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]