Metzgergruppe – Wikipedia

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In der Mathematik ist die Metzgergruppe, benannt nach dem neuseeländischen Mathematiker John C. Butcher von Hairer & Wanner (1974), ist eine unendlich-dimensionale Lügengruppe[1] erstmals in der numerischen Analysis eingeführt, um Lösungen nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen nach der Runge-Kutta-Methode zu untersuchen. Es entstand aus einem algebraischen Formalismus mit Wurzelbäumen, der formale Potenzreihenlösungen der Differentialgleichung liefert, die den Fluss eines Vektorfeldes modelliert. Es war Cayley (1857), der, angeregt durch die Arbeit von Sylvester über die Änderung von Variablen in der Differentialrechnung, zuerst bemerkte, dass die Ableitungen einer Zusammensetzung von Funktionen bequem durch verwurzelte Bäume und ihre Kombinatorik ausgedrückt werden können.

Connes & Kreimer (1999) wiesen darauf hin, dass die Butcher-Gruppe die Gruppe von Charakteren der Hopf-Algebra der verwurzelten Bäume ist, die unabhängig voneinander in ihrer eigenen Arbeit zur Renormierung in der Quantenfeldtheorie und Connes’ Arbeit mit Moscovici zu lokalen Indexsätzen entstanden sind. Diese Hopf-Algebra, die oft als bezeichnet wird Connes-Kreimer-Algebra, ist im Wesentlichen der Butcher-Gruppe äquivalent, da ihr Dual mit der universellen Hüllalgebra der Lie-Algebra der Butcher-Gruppe identifiziert werden kann.[2] Wie sie kommentierten:

Wir betrachten Butchers Arbeit zur Klassifikation numerischer Integrationsmethoden als ein eindrucksvolles Beispiel dafür, dass konkretes problemorientiertes Arbeiten zu weitreichenden konzeptionellen Ergebnissen führen kann.

Differentiale und verwurzelte Bäume[edit]

Verwurzelte Bäume mit zwei, drei und vier Knoten, aus Cayleys Originalartikel

Ein verwurzelter Baum ist ein Graph mit einem ausgezeichneten Knoten, der als bezeichnet wird Wurzel, bei dem jeder andere Knoten durch einen eindeutigen Pfad mit der Wurzel verbunden ist. Wenn die Wurzel eines Baumes T entfernt und die Knoten, die durch eine einfache Bindung mit dem ursprünglichen Knoten verbunden sind, werden als neue Wurzeln genommen, der Baum T zerfällt in verwurzelte Bäume T1, T2, … In Umkehrung dieses Prozesses entsteht ein neuer Baum T = [t1, t2, …] kann konstruiert werden, indem die Wurzeln der Bäume zu einer neuen gemeinsamen Wurzel verbunden werden. Die Anzahl der Knoten in einem Baum wird mit | . bezeichnetT|. EIN Haufenordnung eines verwurzelten Baumes T ist eine Zuordnung der Zahlen 1 bis |T| zu den Knoten, so dass die Zahlen auf jedem Pfad, der von der Wurzel weggeht, zunehmen. Zwei Heap-Bestellungen sind Äquivalent, wenn es einen Automorphismus von verwurzelten Bäumen gibt, die einen von ihnen auf den anderen abbilden. Die Anzahl der Äquivalenzklassen von Heap-Ordnungen auf einem bestimmten Baum wird mit α(T) und kann mit der Metzger-Formel berechnet werden:[3][4]

[t1,…,tn]!=|[t1,…,tn]|⋅T1!⋯Tn!{displaystyle [t_{1},dots ,t_{n}]!=|[t_{1},dots ,t_{n}]|cdot t_{1}!cdots t_{n}!}

mit der Baumfaktoriale einer isolierten Wurzel definiert als 1

∙!=1.{displaystyle bullet !=1.}

Die gewöhnliche Differentialgleichung für den Fluss eines Vektorfeldes auf einer offenen Teilmenge U von Rn kann geschrieben werden

Dx(S)DS=F(x(S)),x(0)=x0,{displaystyle displaystyle {dx(s) over ds}=f(x(s)),,,x(0)=x_{0},}

wo x(S) nimmt Werte in U, F ist eine glatte Funktion von U zu Rn und x0 ist der Startpunkt des Flusses zur Zeit S = 0.

Cayley (1857) gab eine Methode zur Berechnung der Ableitungen höherer Ordnung x(m)(S) in Bezug auf verwurzelte Bäume. Seine Formel lässt sich bequem mit dem elementare Differentiale von Metzger eingeführt. Diese sind induktiv definiert durch

δ∙ich=Fich,δ[t1,…,tn]ich=ΣJ1,…,Jn=1n(δT1J1⋯δTnJn)∂J1⋯∂JnFich.{displaystyle delta_{bullet}^{i}=f^{i},,,,delta_{[t_{1},dots ,t_{n}]}^{i}=sum_{j_{1},dots,j_{n}=1}^{N}(delta_{t_{1}}^{j_{1}}cdotsdelta _{t_{n}}^{j_{n}})partial_{j_{1}}cdots partial_{j_{n}}f^{i}.}

Mit dieser Notation

x(4)=FIchIchIchF3+3FIchIchFIchF2+FIchFIchIchF2+(FIch)3F,{displaystyle x^{(4)}=f^{prime primeprime}f^{3}+3f^{primeprime}f^{prime}f^{2}+f^{ prime}f^{prime prime}f^{2}+(f^{prime})^{3}f,}

wobei die vier Terme den vier verwurzelten Bäumen von links nach rechts in Abbildung 3 oben entsprechen.

In einer einzigen Variablen ist diese Formel dieselbe wie die Formel von Faà di Bruno von 1855; in einigen Variablen muss es jedoch sorgfältiger in der Form geschrieben werden

x(4)=FIchIchIch(F,F,F)+3FIchIch(F,FIch(F))+FIch(FIchIch(F,F))+FIch(FIch(FIch(F))),{displaystyle x^{(4)}=f^{prime primeprime}(f,f,f)+3f^{primeprime}(f,f^{prime}(f)) +f^{prime}(f^{prime prime}(f,f))+f^{prime}(f^{prime}(f^{prime}(f))),}

wobei die Baumstruktur entscheidend ist.

Definition mit Hopf-Algebra von verwurzelten Bäumen[edit]

Die Hopf-Algebra h von verwurzelten Bäumen wurde von Connes & Kreimer (1998) im Zusammenhang mit Kreimers früheren Arbeiten zur Renormierung in der Quantenfeldtheorie definiert. Später wurde entdeckt, dass die Hopf-Algebra das Dual einer Hopf-Algebra war, die zuvor von Grossman & Larsen (1989) definiert wurde. harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFGrossmanLarsen1989 (Hilfe) in einem anderen Kontext. Die Charaktere von h, dh die Homomorphismen der zugrundeliegenden kommutativen Algebra in R, bilden eine Gruppe, genannt die Metzgergruppe. Sie entspricht der formalen Gruppenstruktur, die Butcher (1972) in der numerischen Analysis entdeckt hat.

Die Hopf-Algebra verwurzelter Bäume h ist definiert als der Polynomring in den Variablen T, wo T läuft durch verwurzelte Bäume.

  • Seine Komultiplikation
    Δ:h→h⊗h{displaystyle Delta :Hrightarrow Hotimes H}

    ist definiert durch
[1] das als Spielzeugmodell in der § Renormierung von Quantenfeldtheorien auftaucht.

Metzgerserie und Runge-Kutta-Methode[edit]

Die nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung

Dx(S)DS=F(x(S)),x(0)=x0,{displaystyle {dx(s) over ds}=f(x(s)),,,,x(0)=x_{0},}

kann näherungsweise nach der Runge-Kutta-Methode gelöst werden. Dieses iterative Schema erfordert ein m x m Matrix

EIN=(einichJ){displaystyle A=(a_{ij})}

und ein Vektor

B=(Bich){displaystyle b=(b_{i})}

mit m Komponenten.

Das Schema definiert Vektoren xn indem Sie zuerst eine Lösung finden x1, … , xm von

xich=xn−1+hΣJ=1meinichJF(xJ){displaystyle X_{i}=x_{n-1}+hsum_{j=1}^{m}a_{ij}f(X_{j})}

und dann einstellen

xn=xn−1+hΣJ=1mBJF(xJ).{displaystyle x_{n}=x_{n-1}+hsum_{j=1}^{m}b_{j}f(x_{j}).}

Butcher (1963) zeigte, dass die Lösung der entsprechenden gewöhnlichen Differentialgleichungen

xich(S)=x0+SΣJ=1meinichJF(xJ(S)),x(S)=x0+SΣJ=1mBJF(xJ(S)){displaystyle X_{i}(s)=x_{0}+ssum _{j=1}^{m}a_{ij}f(X_{j}(s)),,,, x(s)=x_{0}+ssum _{j=1}^{m}b_{j}f(X_{j}(s))}

hat die Potenzreihenerweiterung

φJ(∙)=1.φich([t1,⋯,tk])=ΣJ1,…,JkeinichJ1…einichJkφJ1(T1)…φJk(Tk){displaystyle varphi_{j}(bullet)=1.,,,varphi_{i}([t_{1},cdots ,t_{k}])=sum_{j_{1},dots,j_{k}}a_{ij_{1}}dots a_{ij_{k}}varphi_{j_{1}}(t_{1}) dotsvarphi_{j_{k}}(t_{k})}

und

(EIN00EINIch),(B,BIch).{displaystyle {begin{pmatrix}A&0\0&A^{prime}\end{pmatrix}},,,(b,b^{prime}).}

Hairer & Wanner (1974) bewiesen, dass die Butcher-Gruppe auf natürliche Weise auf die Funktionen einwirkt F. In der Tat, Einstellung

φ1∘(φ2∘F)=(φ1⋆φ2)∘F.{displaystyle varphi_{1}circ (varphi_{2}circ f)=(varphi_{1}star varphi_{2})circ f.}

Lügenalgebra[edit]

Connes & Kreimer (1998) zeigten, dass im Zusammenhang mit der Butcher-Gruppe g ist eine unendlichdimensionale Lie-Algebra. Die Existenz dieser Lie-Algebra wird durch ein Theorem von Milnor & Moore (1965) vorhergesagt: die Kommutativität und natürliche Abstufung auf h impliziert, dass das abgestufte Dual h* identifizierbar mit der universellen Hüllalgebra einer Lie-Algebra

g{displaystyle {mathfrak {g}}}

. Connes und Kreimer identifizieren sich explizit g{displaystyle {mathfrak {g}}}

mit einem Ableitungsraum θ von h hinein R, dh lineare Abbildungen mit
θ(einB)=ε(ein)θ(B)+θ(ein)ε(B),{displaystyle theta (ab)=varepsilon (a)theta (b)+theta (a)varepsilon (b),}

der formale Tangentialraum von g bei der Identität ε. Dies bildet eine Lie-Algebra mit Lie-Klammer

θT(TIch)=δTTIch,{displaystyle theta_{t}(t^{prime})=delta_{tt^{prime}},}

für jeden verwurzelten Baum T.

Die unendlichdimensionale Lügenalgebra

g{displaystyle {mathfrak {g}}}

aus Connes & Kreimer (1998) und der Lie-Algebra L(G) der Butcher-Gruppe als unendlich-dimensionale Lie-Gruppe sind nicht identisch. Die Lügenalgebra L(G) kann mit der Lie-Algebra aller Ableitungen im Dual von identifiziert werden h (dh der Raum aller linearen Abbildungen von h zu R), wohingegen g{displaystyle {mathfrak {g}}}

wird aus dem benoteten Dual erhalten. Somit g{displaystyle {mathfrak {g}}}

entpuppt sich als (streng kleinere) Lie-Subalgebra von L(G).[1]

Renormierung[edit]

Connes & Kreimer (1998) lieferten einen allgemeinen Kontext für die Verwendung algebraischer Methoden von Hopf, um eine einfache mathematische Formulierung der Renormierung in der Quantenfeldtheorie zu geben. Die Renormierung wurde als Birkhoff-Faktorisierung von Schleifen in der Zeichengruppe der zugehörigen Hopf-Algebra interpretiert. Die von Kreimer (1999) betrachteten Modelle hatten Hopf-Algebra h und Charaktergruppe g, die Metzger-Gruppe. Brouder (2000) hat diesen Renormierungsprozess anhand von Runge-Kutta-Daten dargestellt.

In dieser vereinfachten Einstellung ist a renormierbares Modell hat zwei Eingabedaten:[6]

  • eine Menge von Feynman-Regeln gegeben durch einen Algebra-Homomorphismus Φ of h in die Algebra V der Laurent-Serie in z mit Polen endlicher Ordnung;
  • ein Renormierungsschema gegeben durch einen linearen Operator R An V so dass R erfüllt die Rota-Baxter-Identität
R(Fg)+R(F)R(g)=R(FR(g))+R(R(F)g){displaystyle R(fg)+R(f)R(g)=R(fR(g))+R(R(f)g)}

und das Bild von R – Ich würde liegt in der Algebra V+ der Potenzreihen in z.

Beachten Sie, dass R erfüllt die Rota-Baxter-Identität genau dann, wenn Ich würde – R tut. Ein wichtiges Beispiel ist die minimales Subtraktionsschema

R(Σneinnzn)=Σn<0einnzn.{displaystyle displaystyle R(sum_{n}a_{n}z^{n})=sum_{n<0}a_{n}z^{n}.}

Außerdem gibt es eine Projektion P von h auf das Augmentationsideal ker ε gegeben durch

P(x)=x−ε(x)1.{displaystyle displaystyle P(x)=x-varepsilon(x)1.}

Um die renormierten Feynman-Regeln zu definieren, beachten Sie, dass der Antipode S erfüllt

m∘(S⊗ichD)Δ(x)=ε(x)1{displaystyle mcirc (Sotimes {rm {id}})Delta (x)=varepsilon (x)1}

so dass

S=−m∘(S⊗P)Δ,{displaystyle S=-mcirc (Sotimes P)Delta ,}

Die renormalisierte Feynman-Regeln sind durch einen Homomorphismus . gegeben

ΦSR{displaystyle Phi_{S}^{R}}

von h hinein V erhalten durch Verdrehen des Homomorphismus Φ • S. Der Homomorphismus ΦSR{displaystyle Phi_{S}^{R}}

ist eindeutig spezifiziert durch
ΦSR=−m(S⊗ΦSR∘P)Δ.{displaystyle Phi_{S}^{R}=-m(Sotimes Phi_{S}^{R}circ P)Delta .}

Wegen der genauen Form von Δ ergibt dies eine rekursive Formel für

ΦSR{displaystyle Phi_{S}^{R}}

.

Für das minimale Subtraktionsschema kann dieser Prozess im Sinne einer Birkhoff-Faktorisierung in der komplexen Butcher-Gruppe interpretiert werden. Φ kann als Abbildung γ des Einheitskreises in die Komplexifikation betrachtet werden gC von g (Karten in C Anstatt von R). Als solches hat es eine Birkhoff-Faktorisierung

γ(z)=γ−(z)−1γ+(z),{displaystyle displaystyle gamma(z)=gamma_{-}(z)^{-1}gamma_{+}(z),}

wo+ im Inneren der geschlossenen Einheitsscheibe holomorph ist und γ– ist holomorph auf seinem Komplement in der Riemannschen Sphäre C

∪{∞}{displaystyle cup {infty}}

mit–(∞) = 1. Die Schleife γ+ entspricht dem renormierten Homomorphismus. Die Bewertung bei z = 0 von+ oder der renormierte Homomorphismus ergibt die dimensional reguliert Werte für jeden verwurzelten Baum.

Zum Beispiel hängen die Feynman-Regeln von einem zusätzlichen Parameter μ, einer “Masseneinheit”, ab. Das haben Connes & Kreimer (2001) gezeigt

∂μγμ−=0,{displaystyle partial_{mu}gamma_{mu -}=0,}

damit γμ– ist unabhängig von μ.

Die komplexe Metzgergruppe kommt mit einer natürlichen Einparametergruppe λw von Automorphismen, dual dazu auf h

FT=limz=0γ−(z)λTz(γ−(z)−1){displaystyle displaystyle F_{t}=lim_{z=0}gamma_{-}(z)lambda_{tz}(gamma_{-}(z)^{-1})}

definiert eine einparametrige Untergruppe der komplexen Metzgergruppe gC wird als Renormierungsgruppenfluss (RG) bezeichnet.

Sein infinitesimaler Generator β ist ein Element der Lie-Algebra von gC und ist definiert durch

β=∂TFT|T=0.{displaystyle beta =partial_{t}F_{t}|_{t=0}.}

Sie wird als Beta-Funktion des Modells bezeichnet.

In jedem gegebenen Modell gibt es normalerweise einen endlichdimensionalen Raum komplexer Kopplungskonstanten. Die komplexe Butcher-Gruppe wirkt durch Diffeomorphismen auf diesen Raum. Insbesondere definiert die Renormierungsgruppe einen Fluss auf dem Raum der Kopplungskonstanten, wobei die Betafunktion das entsprechende Vektorfeld angibt.

Allgemeinere Modelle in der Quantenfeldtheorie erfordern, dass verwurzelte Bäume durch Feynman-Diagramme ersetzt werden, deren Scheitel mit Symbolen aus einem endlichen Indexsatz verziert sind. Connes und Kreimer haben in diesem Kontext auch Hopf-Algebren definiert und gezeigt, wie sie zur Systematisierung von Standardrechnungen in der Renormierungstheorie verwendet werden können.

Beispiel[edit]

Kreimer (2007) hat ein “Spielzeugmodell” mit dimensionaler Regularisierung für h und die Algebra V. Wenn C eine positive ganze Zahl ist und Qμ = Q / μ ist eine dimensionslose Konstante, Feynman-Regeln können rekursiv definiert werden durch

Φ([t1,…,tn])=∫Φ(T1)⋯Φ(Tn)|ja|2+Qμ2(|ja|2)−z(C2−1)DDja,{displaystyle displaystyle Phi ([t_{1},dots ,t_{n}])=int {Phi(t_{1})cdotsPhi(t_{n}) over |y|^{2}+q_{mu}^{2}}(|y|^{2 })^{-z({c over 2}-1)},d^{D}y,}

wo z = 1 – D/2 ist der Regularisierungsparameter. Diese Integrale können anhand der Gamma-Funktion explizit mit der Formel berechnet werden

∫(|ja|2)−du|ja|2+Qμ2DDja=πD/2(Qμ2)−z−duΓ(−du+D/2)Γ(1+du−D/2)Γ(D/2).{displaystyle displaystyle int {(|y|^{2})^{-u} over |y|^{2}+q_{mu}^{2}},d^{D}y =pi^{D/2}(q_{mu}^{2})^{-zu}{Gamma (-u+D/2)Gamma (1+uD/2) over Gamma ( D/2)}.}

Bestimmtes

Φ(∙)=πD/2(Qμ2)−zC/2Γ(1+Cz)Cz.{displaystyle displaystyle Phi (bullet )=pi^{D/2}(q_{mu}^{2})^{-zc/2}{Gamma (1+cz) over cz} .}

Das Renormierungsschema verwenden R minimaler Subtraktion die renormierten Größen

Verweise[edit]