F-Verteilung – Wikipedia
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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
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Verteilungsfunktion
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| Parameter | D1, D2 > 0 Grad der Freiheit | ||
|---|---|---|---|
| Unterstützung | x∈(0,+∞){displaystyle xin (0,+infty);} wenn D1=1{displaystyle d_{1}=1} , ansonsten x∈[0,+∞){displaystyle xin [0,+infty );} | ||
| (d1x)d1d2d2(d1x+d2)d1+d2xB(d12,d22){displaystyle {frac {sqrt {frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x,mathrm {B} !left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}}!} | |||
| CDF | Id1xd1x+d2(d12,d22){displaystyle I_{frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}left({tfrac {d_{1}}{2}},{tfrac {d_{2}}{2}}right)} | ||
| Mean |
for d2 > 2 |
||
| Mode |
d1−2d1d2d2+2{displaystyle {frac {d_{1}-2}{d_{1}}};{frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}
for d1 > 2 |
||
| Variance |
2d22(d1+d2−2)d1(d2−2)2(d2−4){displaystyle {frac {2,d_{2}^{2},(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}!}
for d2 > 4 |
||
| Skewness |
(2d1+d2−2)8(d2−4)(d2−6)d1(d1+d2−2){displaystyle {frac {(2d_{1}+d_{2}-2){sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}!}
for d2 > 6 |
||
| Ex. kurtosis | see text | ||
| Entropy |
lnΓ(d12)+lnΓ(d22)−lnΓ(d1+d22)+{displaystyle ln Gamma left({tfrac {d_{1}}{2}}right)+ln Gamma left({tfrac {d_{2}}{2}}right)-ln Gamma left({tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}right)+!}
(1−d12)ψ(1+d12)−(1+d22)ψ(1+d22){displaystyle left(1-{tfrac {d_{1}}{2}}right)psi left(1+{tfrac {d_{1}}{2}}right)-left(1+{tfrac {d_{2}}{2}}right)psi left(1+{tfrac {d_{2}}{2}}right)!} +(d1+d22)ψ(d1+d22)+lnd1d2{displaystyle +left({tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}right)psi left({tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}right)+ln {frac {d_{1}}{d_{2}}}!} [1] |
||
| MGF | existiert nicht, rohe Momente in Text und in . definiert [2][3] | ||
| CF | siehe Text | ||
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der F-Verteilung oder F-Verhältnis, auch bekannt als Snedecors F Verteilung oder der Fisher-Snedecor-Verteilung (nach Ronald Fisher und George W. Snedecor) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig als Nullverteilung einer Teststatistik auftritt, vor allem bei der Varianzanalyse (ANOVA) und anderen F-Tests.[2][3][4][5]
Definition[edit]
Die F-Verteilung mit D1 und D2 Freiheitsgrade ist die Verteilung von
- x=S1/D1S2/D2{displaystyle X={frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}
wo
S1{textstyle S_{1}}und
S2{textstyle S_{2}}
sind unabhängige Zufallsvariablen mit Chi-Quadrat-Verteilungen mit entsprechenden Freiheitsgraden
D1{textstyle d_{1}}
und
D2{textstyle d_{2}}
.
Es kann gezeigt werden, dass die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) für x wird gegeben von
- F(x;D1,D2)=(D1x)D1D2D2(D1x+D2)D1+D2xB(D12,D22)=1B(D12,D22)(D1D2)D1/2xD1/2−1(1+D1D2x)−(D1+D2)/2{displaystyle {begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={frac {sqrt {frac {(d_{1}x)^{d_{1}} ,,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{xBetreibername {B} left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}}\[5pt]&={frac {1}{operatorname {B} left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}} left({frac {d_{1}}{d_{2}}}right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}left(1+{frac {d_{1}}{d_{2}}},xright)^{-(d_{1}+d_{2})/2}end{ausgerichtet}}}
![{displaystyle {begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={frac {sqrt {frac {(d_{1}x)^{d_{1}} ,,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{xBetreibername {B} left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}}\[5pt]&={frac {1}{operatorname {B} left({frac {d_{1}}{2}},{frac {d_{2}}{2}}right)}} left({frac {d_{1}}{d_{2}}}right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}left(1+{frac {d_{1}}{d_{2}}},xright)^{-(d_{1}+d_{2})/2}end{ausgerichtet}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5430b3cf7364aa25f07dea492a36a0565ba16a1)
wirklich x > 0. Hier
B{displaystyle mathrm {B}}ist die Beta-Funktion. In vielen Anwendungen sind die Parameter D1 und D2 positive ganze Zahlen sind, aber die Verteilung ist für positive reelle Werte dieser Parameter wohldefiniert.
Die kumulative Verteilungsfunktion ist
- F(x;D1,D2)=ichD1x/(D1x+D2)(D12,D22),{displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}left({tfrac {d_{1} }{2}},{tfrac {d_{2}}{2}}right),}
wo ich ist die regularisierte unvollständige Betafunktion.
Der Erwartungswert, die Varianz und andere Details über die F(D1, D2) werden in der Sidebox angegeben; Pro D2 > 8, die überschüssige Kurtosis ist
- γ2=12D1(5D2−22)(D1+D2−2)+(D2−4)(D2−2)2D1(D2−6)(D2−8)(D1+D2−2).{displaystyle gamma_{2}=12{frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)( d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}
Die k-ter Moment eines F(D1, D2) Verteilung existiert und ist nur dann endlich, wenn 2k < D2 und es ist gleich
- μx(k)=(D2D1)kΓ(D12+k)Γ(D12)Γ(D22−k)Γ(D22).{displaystyle mu_{X}(k)=left({frac {d_{2}}{d_{1}}}right)^{k}{frac {Gamma left({ tfrac {d_{1}}{2}}+kright)}{Gamma left({tfrac {d_{1}}{2}}right)}}{frac {Gammaleft( {tfrac {d_{2}}{2}}-kright)}{Gamma left({tfrac {d_{2}}{2}}right)}}.} [6]
Die F-Verteilung ist eine spezielle Parametrisierung der Beta-Primzahlverteilung, die auch Beta-Verteilung zweiter Art genannt wird.
Die Merkmalsfunktion wird in vielen Standardwerken falsch aufgeführt (z. B.[3]). Der richtige Ausdruck [7] ist
- φD1,D2F(S)=Γ(D1+D22)Γ(D22)U(D12,1−D22,−D2D1ichS){displaystyle varphi_{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={frac {Gamma left({frac {d_{1}+d_{2}}{2 }}right)}{Gamma left({tfrac {d_{2}}{2}}right)}}U!left({frac {d_{1}}{2}}, 1-{frac {d_{2}}{2}},-{frac {d_{2}}{d_{1}}}imath sright)}
wo U(ein, B, z) ist die konfluente hypergeometrische Funktion zweiter Art.
Charakterisierung[edit]
Eine zufällige Variation der F-Verteilung mit Parametern
D1{displaystyle d_{1}}und
D2{displaystyle d_{2}}
ergibt sich als das Verhältnis von zwei entsprechend skalierten Chi-Quadrat-Variablen:[8]
- x=U1/D1U2/D2{displaystyle X={frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}
wo
In Fällen, in denen die F-Verteilung wird beispielsweise bei der Varianzanalyse, Unabhängigkeit von
U1{displaystyle U_{1}}und
U2{displaystyle U_{2}}
könnte durch Anwendung des Cochranschen Theorems demonstriert werden.
Äquivalent ist die Zufallsvariable der F-Verteilung kann auch geschrieben werden
- x=S12σ12÷S22σ22,{displaystyle X={frac {s_{1}^{2}}{sigma_{1}^{2}}}div {frac {s_{2}^{2}}{sigma_ {2}^{2}}},}
wo
S12=S12D1{displaystyle s_{1}^{2}={frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}und
S22=S22D2{displaystyle s_{2}^{2}={frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}
,
S12{displaystyle S_{1}^{2}}
ist die Summe der Quadrate von
D1{displaystyle d_{1}}
Zufallsvariablen aus der Normalverteilung
n(0,σ12){displaystyle N(0,sigma_{1}^{2})}und
S22{displaystyle S_{2}^{2}}
ist die Summe der Quadrate von
D2{displaystyle d_{2}}
Zufallsvariablen aus der Normalverteilung
n(0,σ22){displaystyle N(0,sigma_{2}^{2})}.
[discuss][citation needed]
In einem frequentistischen Kontext ist ein skalierter F-Verteilung gibt also die Wahrscheinlichkeit
P(S12/S22|σ12,σ22){displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}mid sigma_{1}^{2},sigma_{2}^{2})}, mit dem F-Verteilung selbst, ohne Skalierung, Anwendung wo
σ12{displaystyle sigma_{1}^{2}}
wird gleich genommen
σ22{displaystyle sigma_{2}^{2}}
. Dies ist der Kontext, in dem die F-Verteilung erscheint am häufigsten in F-Tests: wobei die Nullhypothese ist, dass zwei unabhängige normale Varianzen gleich sind, und die beobachteten Summen einiger geeignet ausgewählter Quadrate werden dann untersucht, um zu sehen, ob ihr Verhältnis mit dieser Nullhypothese signifikant unvereinbar ist.
Die Quantität
x{displaystyle X}hat die gleiche Verteilung in der Bayesschen Statistik, wenn eine nicht aussagekräftige reskalierungsinvariante Jeffreys-Prior für die A-priori-Wahrscheinlichkeiten von genommen wird
σ12{displaystyle sigma_{1}^{2}}
und
σ22{displaystyle sigma_{2}^{2}}.[9] In diesem Zusammenhang ist ein skalierter F-Verteilung ergibt somit die Posterior-Wahrscheinlichkeit
P(σ22/σ12|S12,S22){displaystyle p(sigma_{2}^{2}/sigma_{1}^{2}mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}, wobei die beobachteten Summen
S12{displaystyle s_{1}^{2}}
und
S22{displaystyle s_{2}^{2}}
gelten jetzt als bekannt.
[edit]
- Wenn
x~χD12{displaystyle Xsimchi_{d_{1}}^{2}} und Ja~χD22{displaystyle Ysimchi_{d_{2}}^{2}} unabhängig sind, dann x/D1Ja/D2~F(D1,D2){displaystyle {frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}sim mathrm {F} (d_{1},d_{2})} - Wenn
xk~Γ(αk,βk){displaystyle X_{k}simGamma(alpha_{k},beta_{k}),} (Gamma-Verteilung) unabhängig sind, dann α2β1x1α1β2x2~F(2α1,2α2){displaystyle {frac {alpha_{2}beta_{1}X_{1}}{alpha_{1}beta_{2}X_{2}}}simmathrm {F} (2alpha_{1},2alpha_{2})} - Wenn
x~Beta(D1/2,D2/2){displaystyle Xsimoperatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)} (Beta-Verteilung) dann D2xD1(1−x)~F(D1,D2){displaystyle {frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}sim operatorname {F} (d_{1},d_{2})} - Äquivalent, wenn
x~F(D1,D2){displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})} , dann D1x/D21+D1x/D2~Beta(D1/2,D2/2){displaystyle {frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}sim operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{ 2}/2)} . - Wenn
x~F(D1,D2){displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})} , dann D1D2x{displaystyle {frac {d_{1}}{d_{2}}}X} hat eine Beta-Prime-Verteilung: D1D2x~βIch(D12,D22){displaystyle {frac {d_{1}}{d_{2}}}Xsim operatorname {beta^{prime}} ({tfrac {d_{1}}{2}},{ tfrac {d_{2}}{2}})} . - Wenn
x~F(D1,D2){displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})} dann Ja=limD2→∞D1x{displaystyle Y=lim_{d_{2}to infty}d_{1}X} hat die Chi-Quadrat-Verteilung χD12{displaystyle chi_{d_{1}}^{2}}
F(D1,D2){displaystyle F(d_{1},d_{2})} entspricht der skalierten T-Quadrat-Verteilung des Hotellings D2D1(D1+D2−1)T2(D1,D1+D2−1){displaystyle {frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1 }+d_{2}-1)} .- Wenn
x~F(D1,D2){displaystyle Xsim F(d_{1},d_{2})} dann x−1~F(D2,D1){displaystyle X^{-1}sim F(d_{2},d_{1})} . - Wenn
x~T(n){displaystyle Xsim t_{(n)}} — Student’s t-Verteilung — dann:
-
- x2~F(1,n){displaystyle X^{2}simoperatorname {F} (1,n)}
- x−2~F(n,1){displaystyle X^{-2}simoperatorname {F} (n,1)}
- F-Verteilung ist ein Sonderfall der Typ-6-Pearson-Verteilung
- Wenn
x{displaystyle X} und Ja{displaystyle Y} sind unabhängig, mit x,Ja~{displaystyle X,Ysim} Laplace(μ, B) dann
-
- |x−μ||Ja−μ|~F(2,2){displaystyle {frac {|X-mu |}{|Y-mu |}}sim operatorname {F} (2,2)}
-
- Qx(P)=1QJa(1−P).{displaystyle operatorname {Q} _{X}(p)={frac {1}{operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}
Siehe auch[edit]
Verweise[edit]
- ^ Lazo, AV; Rathie, P. (1978). „Über die Entropie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen“. IEEE-Transaktionen zur Informationstheorie. IEEE. 24 (1): 120-122. mach:10.1109/tit.1978.1055832.
- ^ ein B Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kötz; N. Balakrishnan (1995). Kontinuierliche univariate Verteilungen, Band 2 (zweite Auflage, Abschnitt 27). Wiley. ISBN 0-471-58494-0.
- ^ ein B C Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, Hrsg. (1983) [June 1964]. “Kapitel 26”. Handbuch mathematischer Funktionen mit Formeln, Graphen und mathematischen Tabellen. Reihe Angewandte Mathematik. 55 (Neunter Nachdruck mit zusätzlichen Korrekturen des zehnten Originaldrucks mit Korrekturen (Dezember 1972); 1. Aufl.). Washington, D.C; New York: Handelsministerium der Vereinigten Staaten, National Bureau of Standards; Dover-Publikationen. P. 946. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. HERR 0167642. LCCN 65-12253.
- ^ NIST (2006). Handbuch der Ingenieurstatistik – F-Verteilung
- ^ Stimmung, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Einführung in die Statistiktheorie (Dritte Aufl.). McGraw-Hügel. S. 246–249. ISBN 0-07-042864-6.
- ^ Taboga, Marco. “Die F-Verteilung”.
- ^ Phillips, PCB (1982) “Die wahre charakteristische Funktion der F-Verteilung”, Biometrie, 69: 261–264 JSTOR 2335882
- ^ MH DeGroot (1986), Wahrscheinlichkeit und Statistik (2. Aufl.), Addison-Wesley. ISBN 0-201-11366-X, p. 500
- ^ GEP Box und GC Tiao (1973), Bayes’sche Inferenz in der statistischen Analyse, Addison-Wesley. P. 110
Externe Links[edit]
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