Grenzschicht – Wikipedia

In Physik und Strömungsmechanik, a Grenzschicht ist die Flüssigkeitsschicht in unmittelbarer Nähe einer Grenzfläche, bei der die Viskositätseffekte signifikant sind. Die Flüssigkeit oder das Gas in der Grenzschicht neigt dazu, an der Oberfläche zu haften.

Die Grenzschicht um einen Menschen wird vom Menschen erwärmt, ist also wärmer als die Umgebungsluft. Eine Brise durchbricht die Grenzschicht, Haare und Kleidung schützen sie, sodass sich der Mensch kühler oder wärmer fühlt. Bei einem Flugzeugflügel ist die Grenzschicht der Teil der Strömung in der Nähe des Flügels, wo viskose Kräfte die umgebende nicht viskose Strömung verzerren. In der Erdatmosphäre ist die atmosphärische Grenzschicht die Luftschicht (~ 1 km) in Bodennähe. Es wird von der Oberfläche beeinflusst; Tag-Nacht-Wärmeströme, die durch die Erwärmung des Bodens durch die Sonne, durch Feuchtigkeits- oder Impulsübertragung zur oder von der Oberfläche verursacht werden.

Arten von Grenzschichten[edit]

Laminare Grenzschichten können nach ihrer Struktur und den Umständen, unter denen sie entstehen, grob eingeteilt werden. Die dünne Scherschicht, die sich auf einem Schwingkörper ausbildet, ist ein Beispiel für eine Stokes-Grenzschicht, während sich die Blasius-Grenzschicht auf die bekannte Ähnlichkeitslösung in der Nähe einer befestigten, in einer unidirektionalen Strömung gehaltenen flachen Platte und der Falkner-Skan-Grenzschicht bezieht. eine Verallgemeinerung des Blasius-Profils. Wenn sich eine Flüssigkeit dreht und viskose Kräfte durch den Coriolis-Effekt (anstatt durch konvektive Trägheit) ausgeglichen werden, bildet sich eine Ekman-Schicht. In der Theorie der Wärmeübertragung tritt eine thermische Grenzschicht auf. Eine Oberfläche kann gleichzeitig mehrere Arten von Grenzschichten aufweisen.

Die viskose Natur des Luftstroms verringert die lokalen Geschwindigkeiten auf einer Oberfläche und ist für die Mantelreibung verantwortlich. Die Luftschicht über der Flügeloberfläche, die durch die Viskosität verlangsamt oder gestoppt wird, ist die Grenzschicht. Es gibt zwei verschiedene Arten von Grenzschichtströmungen: laminar und turbulent.^[1]

Laminare Grenzschichtströmung

Die laminare Grenze ist eine sehr glatte Strömung, während die turbulente Grenzschicht Wirbel oder “Wirbel” enthält. Die laminare Strömung erzeugt weniger Mantelreibungswiderstand als die turbulente Strömung, ist aber weniger stabil. Die Grenzschichtströmung über einer Flügeloberfläche beginnt als glatte laminare Strömung. Wenn die Strömung von der Vorderkante zurückgeht, nimmt die Dicke der laminaren Grenzschicht zu.

Turbulente Grenzschichtströmung

In einiger Entfernung von der Vorderkante bricht die glatte laminare Strömung zusammen und geht in eine turbulente Strömung über. Vom Standpunkt des Widerstands aus ist es ratsam, den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung so weit hinten wie möglich am Flügel zu haben oder einen großen Teil der Flügeloberfläche innerhalb des laminaren Abschnitts der Grenzschicht zu haben. Die laminare Strömung niedriger Energie neigt jedoch dazu, plötzlicher zusammenzubrechen als die turbulente Schicht.

Aerodynamik[edit]

Die aerodynamische Grenzschicht wurde erstmals von Ludwig Prandtl in einem Vortrag definiert, der am 12. August 1904 auf dem dritten Internationalen Mathematikerkongress in Heidelberg präsentiert wurde. Es vereinfacht die Gleichungen der Flüssigkeitsströmung, indem es das Strömungsfeld in zwei Bereiche unterteilt: einen innerhalb der Grenzschicht, der von der Viskosität dominiert wird und den größten Teil des Widerstands erzeugt, den der Grenzkörper erfährt; und eine außerhalb der Grenzschicht, wo die Viskosität ohne signifikante Auswirkungen auf die Lösung vernachlässigt werden kann. Dies ermöglicht eine geschlossene Lösung für die Strömung in beiden Bereichen, eine wesentliche Vereinfachung der vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen. Der Großteil der Wärmeübertragung zu und von einem Körper findet auch innerhalb der Grenzschicht statt, was wiederum eine Vereinfachung der Gleichungen im Strömungsfeld außerhalb der Grenzschicht ermöglicht. Die Druckverteilung in der gesamten Grenzschicht in Richtung senkrecht zur Oberfläche (wie bei einem Schaufelblatt) bleibt über die gesamte Grenzschicht hinweg konstant und ist die gleiche wie auf der Oberfläche selbst.

Die Dicke der Geschwindigkeitsgrenzschicht wird normalerweise als der Abstand vom Festkörper bis zu dem Punkt definiert, an dem die viskose Strömungsgeschwindigkeit 99% der freien Strömungsgeschwindigkeit (der Oberflächengeschwindigkeit einer reibungsfreien Strömung) beträgt.^{[citation needed]}Verdrängungsdicke ist eine alternative Definition, die besagt, dass die Grenzschicht ein Defizit im Massenfluss gegenüber einer reibungsfreien Strömung mit Schlupf an der Wand darstellt. Es ist der Weg, um den die Wand im nichtviskosen Fall verschoben werden müsste, um den gleichen Gesamtmassenstrom wie im viskosen Fall zu erhalten. Die rutschfeste Bedingung erfordert, dass die Strömungsgeschwindigkeit an der Oberfläche eines Festkörpers Null ist und die Flüssigkeitstemperatur gleich der Temperatur der Oberfläche ist. Die Strömungsgeschwindigkeit wird dann innerhalb der Grenzschicht schnell ansteigen, bestimmt durch die Grenzschichtgleichungen unten.

Die Dicke der thermischen Grenzschicht ist ebenfalls der Abstand vom Körper, bei dem die Temperatur 99% der Freistromtemperatur beträgt. Das Verhältnis der beiden Dicken richtet sich nach der Prandtl-Zahl. Wenn die Prandtl-Zahl 1 ist, sind die beiden Grenzschichten gleich dick. Wenn die Prandtl-Zahl größer als 1 ist, ist die thermische Grenzschicht dünner als die Geschwindigkeitsgrenzschicht. Wenn die Prandtl-Zahl kleiner als 1 ist, was für Luft bei Standardbedingungen der Fall ist, ist die thermische Grenzschicht dicker als die Geschwindigkeitsgrenzschicht.

Bei Hochleistungskonstruktionen, wie Segelflugzeugen und Verkehrsflugzeugen, wird viel Wert darauf gelegt, das Verhalten der Grenzschicht zu kontrollieren, um den Luftwiderstand zu minimieren. Zwei Effekte sind zu berücksichtigen. Erstens trägt die Grenzschicht durch die Verschiebungsdicke zur effektiven Dicke des Körpers bei, wodurch der Druckwiderstand erhöht wird. Zweitens erzeugen die Scherkräfte an der Oberfläche des Flügels einen Mantelreibungswiderstand.

Bei hohen Reynolds-Zahlen, die für Flugzeuge voller Größe typisch sind, ist es wünschenswert, eine laminare Grenzschicht zu haben. Dies führt zu einer geringeren Mantelreibung aufgrund des charakteristischen Geschwindigkeitsprofils der laminaren Strömung. Die Grenzschicht wird jedoch zwangsläufig dicker und weniger stabil, wenn sich die Strömung entlang des Körpers entwickelt, und wird schließlich turbulent, der Prozess, der als Grenzschichtübergang bekannt ist. Eine Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, besteht darin, die Grenzschicht durch eine poröse Oberfläche abzusaugen (siehe Grenzschichtabsaugung). Dies kann den Luftwiderstand verringern, ist jedoch aufgrund seiner mechanischen Komplexität und der zum Bewegen und Entsorgen der Luft erforderlichen Kraft normalerweise unpraktisch. Natural Laminar Flow (NLF)-Techniken schieben den Grenzschichtübergang nach hinten, indem sie die Tragfläche oder den Rumpf so umformen, dass ihre dickste Stelle mehr nach hinten und weniger dick ist. Dadurch werden die Geschwindigkeiten im vorderen Teil reduziert und die gleiche Reynolds-Zahl bei größerer Länge erreicht.

Bei niedrigeren Reynolds-Zahlen, wie sie bei Modellflugzeugen vorkommen, ist es relativ einfach, eine laminare Strömung aufrechtzuerhalten. Dies ergibt eine niedrige Mantelreibung, die wünschenswert ist. Das gleiche Geschwindigkeitsprofil, das der laminaren Grenzschicht ihre geringe Mantelreibung verleiht, führt jedoch auch dazu, dass sie von ungünstigen Druckgradienten stark beeinflusst wird. Wenn sich der Druck über dem hinteren Teil der Flügelsehne wieder erholt, neigt eine laminare Grenzschicht dazu, sich von der Oberfläche abzulösen. Eine solche Strömungsablösung verursacht eine starke Zunahme des Druckwiderstands, da sie die effektive Größe des Flügelabschnitts stark erhöht. In diesen Fällen kann es vorteilhaft sein, die Grenzschicht an einer Stelle vor dem Ort der laminaren Trennung mit einem Turbulator gezielt in Turbulenzen zu bringen. Das vollere Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Grenzschicht ermöglicht es ihr, den nachteiligen Druckgradienten ohne Trennung aufrechtzuerhalten. Somit wird, obwohl die Mantelreibung erhöht wird, der Gesamtwiderstand verringert. Dies ist das Prinzip hinter dem Grübchen bei Golfbällen sowie bei Wirbelgeneratoren bei Flugzeugen. Es wurden auch spezielle Flügelabschnitte entwickelt, die die Druckrückgewinnung so anpassen, dass eine laminare Trennung reduziert oder sogar eliminiert wird. Dies stellt einen optimalen Kompromiss zwischen Druckwiderstand durch Strömungsablösung und Mantelreibung durch induzierte Turbulenz dar.

Bei der Verwendung von Halbmodellen in Windkanälen wird manchmal eine Peniche verwendet, um die Wirkung der Grenzschicht zu reduzieren oder zu eliminieren.

Grenzschichtgleichungen[edit]

Der Abzug der Grenzschichtgleichungen war einer der wichtigsten Fortschritte in der Fluiddynamik. Mit Hilfe einer Größenordnungsanalyse können die bekannten Navier-Stokes-Gleichungen der viskosen Flüssigkeitsströmung innerhalb der Grenzschicht stark vereinfacht werden. Bemerkenswerterweise wird die Charakteristik der partiellen Differentialgleichungen (PDE) eher parabolisch als die elliptische Form der vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen. Dies vereinfacht die Lösung der Gleichungen erheblich. Durch die Grenzschicht-Approximation wird die Strömung in einen nicht viskosen Anteil (der durch eine Reihe von Verfahren leicht zu lösen ist) und die Grenzschicht, die durch eine leichter zu lösende PDE bestimmt wird, unterteilt. Die Stetigkeits- und Navier-Stokes-Gleichungen für eine zweidimensionale stationäre inkompressible Strömung in kartesischen Koordinaten sind gegeben durch

∂du∂x+∂υ∂ja=0{displaystyle {partial u over partial x}+{partial upsilon over partial y}=0}

du∂du∂x+υ∂du∂ja=−1ρ∂P∂x+ν(∂2du∂x2+∂2du∂ja2){displaystyle u{partial uoverpartial x}+upsilon {partial uoverpartial y}=-{1 overrho }{partial poverpartial x}+{nu }left({partial^{2}uoverpartialx^{2}}+{partial^{2}uoverpartialy^{2}}right)}

du∂υ∂x+υ∂υ∂ja=−1ρ∂P∂ja+ν(∂2υ∂x2+∂2υ∂ja2){displaystyle u{partialupsilonoverpartial x}+upsilon {partialupsilonoverpartial y}=-{1overrho }{partial poverpartial y}+{ nu}left({partial^{2}upsilonoverpartial x^{2}}+{partial^{2}upsilonoverpartial y^{2}}right)}

wo

du{displaystyle u}

und

υ{displaystyleupsilon}

sind die Geschwindigkeitskomponenten,

ρ{displaystyle rho}

ist die Dichte,

P{displaystyle p}

ist der Druck, und

ν{displaystyle nu}

ist die kinematische Viskosität des Fluids an einem Punkt.

Die Näherung besagt, dass bei einer ausreichend hohen Reynolds-Zahl die Strömung über eine Oberfläche unterteilt werden kann in einen äußeren, von der Viskosität unbeeinflussten, reibungsfreien Bereich (den Großteil der Strömung) und einen oberflächennahen Bereich, in dem die Viskosität wichtig ist (der Grenzschicht). Lassen

du{displaystyle u}

und

υ{displaystyleupsilon}

strömungs- bzw. quer- (wandnormale) Geschwindigkeiten innerhalb der Grenzschicht sein. Mittels Skalenanalyse kann gezeigt werden, dass sich die obigen Bewegungsgleichungen innerhalb der Grenzschicht zu

du∂du∂x+υ∂du∂ja=−1ρ∂P∂x+ν∂2du∂ja2{displaystyle u{partial uoverpartial x}+upsilon {partial uoverpartial y}=-{1 overrho }{partial poverpartial x}+{nu }{partial ^{2}u over partial y^{2}}}

1ρ∂P∂ja=0{displaystyle {1 over rho }{partial p over partial y}=0}

und wenn die Flüssigkeit inkompressibel ist (wie Flüssigkeiten unter Standardbedingungen):

∂du∂x+∂υ∂ja=0{displaystyle {partial u over partial x}+{partial upsilon over partial y}=0}

Die Größenordnungsanalyse geht davon aus, dass die Längenskala in Strömungsrichtung deutlich größer ist als die Längenskala in Querrichtung innerhalb der Grenzschicht. Daraus folgt, dass die Variationen der Eigenschaften in Strömungsrichtung im Allgemeinen viel geringer sind als diejenigen in Richtung der Wandnormalen. Wenden Sie dies auf die Kontinuitätsgleichung an, zeigt, dass

υ{displaystyleupsilon}

, die Wandnormalgeschwindigkeit, ist klein gegenüber

du{displaystyle u}

die Strömungsgeschwindigkeit.

Da der statische Druck

P{displaystyle p}

ist unabhängig von

ja{displaystyle y}

, dann ist der Druck am Rand der Grenzschicht der Druck in der gesamten Grenzschicht an einer gegebenen stromweisen Position. Der äußere Druck kann durch Anwendung der Bernoulli-Gleichung erhalten werden. Lassen

U{displaystyle U}

sei die Fluidgeschwindigkeit außerhalb der Grenzschicht, wobei

du{displaystyle u}

und

U{displaystyle U}

sind beide parallel. Dies gibt beim Ersetzen für

P{displaystyle p}

folgendes Ergebnis

du∂du∂x+υ∂du∂ja=UDUDx+ν∂2du∂ja2{displaystyle u{partial u over partial x}+upsilon {partial u over partial y}=U{frac {dU}{dx}}+{nu }{partial ^{2 }u over partial y^{2}}}

Für eine Strömung, bei der der statische Druck

P{displaystyle p}

ändert sich auch nicht in Strömungsrichtung

DPDx=0{displaystyle {frac {dp}{dx}}=0}

so

U{displaystyle U}

bleibt konstant.

Daher vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu

du∂du∂x+υ∂du∂ja=ν∂2du∂ja2{displaystyle u{partial u over partial x}+upsilon {partial u over partial y}={nu }{partial^{2}u over partial y^{2}} }

Diese Näherungen werden in einer Vielzahl von praktischen Strömungsproblemen von wissenschaftlichem und technischem Interesse verwendet. Die obige Analyse gilt für jede momentane laminare oder turbulente Grenzschicht, wird jedoch hauptsächlich in Studien zur laminaren Strömung verwendet, da die mittlere Strömung auch die momentane Strömung ist, da keine Geschwindigkeitsschwankungen vorhanden sind. Diese vereinfachte Gleichung ist eine parabolische PDE und kann mit einer Ähnlichkeitslösung gelöst werden, die oft als Blasius-Grenzschicht bezeichnet wird.

Transpositionssatz von Prandtl[edit]

Prandtl beobachtete, dass aus jeder Lösung

du(x,ja,T), v(x,ja,T){displaystyle u(x,y,t),v(x,y,t)}

die die Grenzschichtgleichungen erfüllt, weitere Lösung

du*(x,ja,T), v*(x,ja,T){displaystyle u^{*}(x,y,t), v^{*}(x,y,t)}

, das auch die Grenzschichtgleichungen erfüllt, kann durch Schreiben konstruiert werden^[2]

du*(x,ja,T)=du(x,ja+F(x),T),v*(x,ja,T)=v(x,ja+F(x),T)−FIch(x)du(x,ja+F(x),T){displaystyle u^{*}(x,y,t)=u(x,y+f(x),t),quad v^{*}(x,y,t)=v(x,y +f(x),t)-f'(x)u(x,y+f(x),t)}

wo

F(x){displaystyle f(x)}

ist willkürlich. Da die Lösung aus mathematischer Sicht nicht eindeutig ist,^[3] zur Lösung kann eine beliebige einer unendlichen Menge von Eigenfunktionen hinzugefügt werden, wie von Stewartson . gezeigt^[4] und Paul A. Libby.^[5][6]

Von Kármán-Impulsintegral[edit]

Von Kármán leitete die Integralgleichung ab, indem er 1921 die Grenzschichtgleichung über die Grenzschicht integrierte.^[7] Die Gleichung ist

τwρU2=1U2∂∂T(Uδ1)+∂δ2∂x+2δ2+δ1U∂U∂x+vwU{displaystyle {frac {tau_{w}}{rho U^{2}}}={frac {1}{U^{2}}}{frac {partial }{partial t }}(Udelta_{1})+{frac {partialdelta_{2}}{partial x}}}+{frac {2delta_{2}+delta_{1} }{U}}{frac {partial U}{partial x}}}+{frac {v_{w}}{U}}}

wo

τw=μ(∂du∂ja)ja=0,vw=v(x,0,T),δ1=∫0∞(1−duU)Dja,δ2=∫0∞duU(1−duU)Dja{displaystyle tau_{w}=muleft({frac {partial u}{partial y}}right)_{y=0},quad v_{w}=v(x, 0,t),quaddelta_{1}=int_{0}^{infty}left(1-{frac{u}{U}}right),dy,quad Delta _{2}=int _{0}^{infty }{frac {u}{U}}left(1-{frac {u}{U}}right),dy}

τw{displaystyle tau_{w}}

ist die Wandschubspannung, vw{displaystyle v_{w}}

ist die Saug-/Injektionsgeschwindigkeit an der Wand, δ1{displaystyle delta_{1}}

ist die Verschiebungsdicke und δ2{displaystyle delta_{2}}

ist die Impulsdicke. Aus dieser Gleichung wird die Kármán-Pohlhausen-Approximation abgeleitet.

Energieintegral[edit]

Das Energieintegral wurde von Wieghardt abgeleitet.^[8][9]

2ερU3=1U∂∂T(δ1+δ2)+2δ2U2∂U∂T+1U3∂∂x(U3δ3)+vwU{displaystyle {frac {2varepsilon }{rho U^{3}}}={frac {1}{U}}{frac {partial }{partial t}}(delta_{ 1}+delta_{2})+{frac{2delta_{2}}{U^{2}}}{frac{partial U}{partial t}}+{frac{ 1}{U^{3}}}{frac {partial }{partial x}}(U^{3}delta_{3})+{frac {v_{w}}{U}} }

wo

ε=∫0∞μ(∂du∂ja)2Dja,δ3=∫0∞duU(1−du2U2)Dja{displaystyle varepsilon =int_{0}^{infty}mu left({frac {partial u}{partial y}}right)^{2}dy,quaddelta_ {3}=int _{0}^{infty }{frac {u}{U}}left(1-{frac {u^{2}}{U^{2}}}right ),dy}

ε{displaystylevarepsilon}

ist die Energiedissipationsrate aufgrund der Viskosität über die Grenzschicht und δ3{displaystyle delta_{3}}

ist die Energiedicke.^[10]

Von Mises-Transformation[edit]

Für stationäre zweidimensionale Grenzschichten gilt von Mises^[11] führte eine Transformation ein, die

x{displaystyle x}

und

ψ{displaystyle psi}

(Stream-Funktion) als unabhängige Variablen statt

x{displaystyle x}

und

ja{displaystyle y}

und verwendet eine abhängige Variable

χ=U2−du2{displaystyle chi =U^{2}-u^{2}}

Anstatt von

du{displaystyle u}

. Die Grenzschichtgleichung wird dann

∂χ∂x=νU2−χ∂2χ∂ψ2{displaystyle {frac {partialchi }{partial x}}=nu {sqrt {U^{2}-chi}},{frac {partial^{2}chi} {partialpsi^{2}}}}

Die ursprünglichen Variablen werden wiederhergestellt aus

ja=∫U2−χDψ,du=U2−χ,v=du∫∂∂x(1du)Dψ.{displaystyle y=int {sqrt {U^{2}-chi}},dpsi ,quad u={sqrt {U^{2}-chi}},quad v= uint {frac {partial }{partial x}}left({frac {1}{u}}right),dpsi .}

Diese Transformation wird später von Kármán und HS Tsien auf die kompressible Grenzschicht ausgedehnt.^[12]

Croccos Verwandlung[edit]

Für eine stationäre zweidimensionale kompressible Grenzschicht, Luigi Crocco^[13] führte eine Transformation ein, die

x{displaystyle x}

und

du{displaystyle u}

als unabhängige Variablen statt

x{displaystyle x}

und

ja{displaystyle y}

und verwendet eine abhängige Variable

τ=μ∂du/∂ja{displaystyle tau =mupartial u/partial y}

(Scherspannung) statt

du{displaystyle u}

. Die Grenzschichtgleichung wird dann

μρdu∂∂x(1τ)+∂2τ∂du2−μDPDx∂∂du(1τ)=0,wenn DPDx=0, dann μρτ2∂τ∂x=1du∂2τ∂du2.{displaystyle {begin{ausgerichtet}&murho u{frac {partial}{partial x}}left({frac{1}{tau}}right)+{frac { partial ^{2}tau }{partial u^{2}}}-mu {frac {dp}{dx}}{frac {partial }{partial u}}left({ frac {1}{tau }}right)=0,\[5pt]&{text{if }}{frac {dp}{dx}}=0,{text{ dann }}{frac {mu rho }{tau ^{2}}}{frac { partial tau }{partial x}}={frac {1}{u}}{frac {partial ^{2}tau }{partial u^{2}}}.end{ausgerichtet }}}

Die ursprüngliche Koordinate wird aus wiederhergestellt

ja=μ∫Dduτ.{displaystyle y=muint {frac {du}{tau}}.}

Turbulente Grenzschichten[edit]

Die Behandlung turbulenter Grenzschichten ist aufgrund der zeitabhängigen Variation der Strömungseigenschaften weitaus schwieriger. Eine der am weitesten verbreiteten Techniken zur Bekämpfung turbulenter Strömungen ist die Reynolds-Zerlegung. Hier werden die momentanen Strömungseigenschaften in einen Mittelwert und eine schwankende Komponente zerlegt, wobei angenommen wird, dass der Mittelwert der schwankenden Komponente immer Null ist. Die Anwendung dieser Technik auf die Grenzschichtgleichungen ergibt die vollständigen turbulenten Grenzschichtgleichungen, die in der Literatur nicht oft angegeben werden:

∂du¯∂x+∂v¯∂ja=0{displaystyle {partial {overline {u}} over partial x}+{partial {overline {v}} over partial y}=0}

du¯∂du¯∂x+v¯∂du¯∂ja=−1ρ∂P¯∂x+ν(∂2du¯∂x2+∂2du¯∂ja2)−∂∂ja(duIchvIch¯)−∂∂x(duIch2¯){displaystyle {overline {u}}{partial {overline {u}} over partial x}+{overline {v}}{partial {overline {u}} over partial y} =-{1 over rho }{partial {overline {p}} over partial x}+nu left({partial ^{2}{overline {u}} over partial x ^{2}}+{partial ^{2}{overline {u}} over partial y^{2}}right)-{frac {partial }{partial y}}({ overline {u’v’}})-{frac {partial }{partial x}}({overline {u’^{2}}})}

du¯∂v¯∂x+v¯∂v¯∂ja=−1ρ∂P¯∂ja+ν(∂2v¯∂x2+∂2v¯∂ja2)−∂∂x(duIchvIch¯)−∂∂ja(vIch2¯){displaystyle {overline {u}}{partial {overline {v}} overpartial x}+{overline {v}}{partial {overline {v}} overpartial y} =-{1 over rho }{partial {overline {p}} over partial y}+nu left({partial ^{2}{overline {v}} over partial x ^{2}}+{partial ^{2}{overline {v}} overpartial y^{2}}right)-{frac {partial}{partial x}}({ overline {u’v’}})-{frac {partial }{partial y}}({overline {v’^{2}}})}

Unter Verwendung einer ähnlichen Größenordnungsanalyse können die obigen Gleichungen auf Terme führender Ordnung reduziert werden. Durch die Wahl von Längenskalen

δ{displaystyledelta}

für Änderungen in Querrichtung und

L{displaystyle L}

für Änderungen in Strömungsrichtung, mit

δ<<L{displaystyle delta <

, vereinfacht sich die x-Impulsgleichung zu:

du¯∂du¯∂x+v¯∂du¯∂ja=−1ρ∂P¯∂x−∂∂ja(duIchvIch¯).{displaystyle {overline {u}}{partial {overline {u}} overpartial x}+{overline {v}}{partial {overline {u}} over partial y} =-{1 over rho }{partial {overline {p}} over partial x}-{frac {partial }{partial y}}({overline {u’v’}} ).}

Diese Gleichung erfüllt nicht die rutschfeste Bedingung an der Wand. Wie Prandtl für seine Grenzschichtgleichungen muss eine neue, kleinere Längenskala verwendet werden, damit der viskose Term in der Impulsgleichung führende Ordnung wird. Durch Auswählen

η<<δ{displaystyle eta <

als die ja-Skala ist die Impulsgleichung führender Ordnung für diese “innere Grenzschicht” gegeben durch:

0=−1ρ∂P¯∂x+ν∂2du¯∂ja2−∂∂ja(duIchvIch¯).{displaystyle 0=-{1 over rho }{partial {overline {p}} over partial x}+{nu }{partial^{2}{overline {u}} over partial y^{2}}-{frac {partial }{partial y}}({overline {u’v’}}).}

Im Grenzfall der unendlichen Reynolds-Zahl kann gezeigt werden, dass der Druckgradiententerm keinen Einfluss auf den inneren Bereich der turbulenten Grenzschicht hat. Die neue “Innenlängenskala”

η{displaystyle eta}

ist eine viskose Längenskala und ist von Ordnung

νdu*{displaystyle {frac {nu }{u_{*}}}}

, mit

du*{displaystyle u_{*}}

die Geschwindigkeitsskala der turbulenten Fluktuationen, in diesem Fall eine Reibungsgeschwindigkeit.

Im Gegensatz zu den laminaren Grenzschichtgleichungen hat das Vorhandensein von zwei Regimen, die von unterschiedlichen Sätzen von Strömungsskalen (dh der inneren und der äußeren Skalierung) bestimmt werden, das Auffinden einer universellen Ähnlichkeitslösung für die turbulente Grenzschicht schwierig und umstritten gemacht. Um eine Ähnlichkeitslösung zu finden, die beide Bereiche der Strömung umfasst, ist es notwendig, die Lösungen aus beiden Bereichen der Strömung asymptotisch abzugleichen. Eine solche Analyse ergibt entweder das sogenannte Log-Gesetz oder das Potenzgesetz.

Der zusätzliche Begriff

duIchvIch¯{displaystyle {overline {u’v’}}}

in den turbulenten Grenzschichtgleichungen ist als Reynolds-Scherspannung bekannt und a priori unbekannt. Die Lösung der turbulenten Grenzschichtgleichungen erfordert daher die Verwendung eines Turbulenzmodells, das darauf abzielt, die Reynolds-Scherspannung durch bekannte Strömungsgrößen oder Ableitungen auszudrücken. Der Mangel an Genauigkeit und Allgemeingültigkeit solcher Modelle ist ein großes Hindernis bei der erfolgreichen Vorhersage turbulenter Strömungseigenschaften in der modernen Fluiddynamik.

Im wandnahen Bereich existiert eine konstante Spannungsschicht. Aufgrund der Dämpfung der vertikalen Geschwindigkeitsschwankungen in der Nähe der Wand wird der Reynolds-Spannungsterm vernachlässigbar und wir stellen fest, dass ein lineares Geschwindigkeitsprofil existiert. Dies gilt nur für den sehr nahen Wandbereich.

Wärme- und Stofftransport[edit]

Der französische Ingenieur André Lévêque beobachtete 1928, dass die konvektive Wärmeübertragung in einer strömenden Flüssigkeit nur durch die Geschwindigkeitswerte sehr nahe an der Oberfläche beeinflusst wird.^[14][15] Bei Strömungen mit großer Prandtl-Zahl findet der Temperatur-Masse-Übergang von der Oberflächen- zur Freistromtemperatur über einen sehr dünnen oberflächennahen Bereich statt. Daher sind die wichtigsten Fluidgeschwindigkeiten diejenigen innerhalb dieses sehr dünnen Bereichs, in dem die Geschwindigkeitsänderung als linear mit dem normalen Abstand von der Oberfläche betrachtet werden kann. Auf diese Weise für

du(ja)=U[1−(y−h)2h2]=Ujah[2−yh],{displaystyle u(y)=Uleft[1-{frac {(y-h)^{2}}{h^{2}}}right]=U{frac{y}{h}}left[2-{frac {y}{h}}right];,}

Wenn

ja→0{displaystyle yrightarrow 0}

, dann

du(ja)≈2Ujah=θja,{displaystyle u(y)approx 2U{frac {y}{h}}=theta y,}

wo θ ist die Tangente der Poiseuille-Parabel, die die Wand schneidet. Obwohl Lévêques Lösung spezifisch für die Wärmeübertragung in eine Poiseuille-Strömung war, halfen seine Erkenntnisse anderen Wissenschaftlern, das Problem der thermischen Grenzschicht exakt zu lösen.^[16] Schuh beobachtete, dass in einer Grenzschicht du ist wieder eine lineare Funktion von ja, aber in diesem Fall ist die Wandtangente eine Funktion von x.^[17] Er drückte dies mit einer modifizierten Version von Lévêques Profil aus,

du(ja)=θ(x)ja.{displaystyle u(y)=theta(x)y.}

Dies führt zu einer sehr guten Näherung, auch für niedrige

PR{displaystyle Pr}

Zahlen, so dass nur flüssige Metalle mit

PR{displaystyle Pr}

viel weniger als 1 kann auf diese Weise nicht behandelt werden.^[16]

Im Jahr 1962 veröffentlichten Kestin und Persen ein Papier, in dem Lösungen für die Wärmeübertragung beschrieben wurden, wenn die thermische Grenzschicht vollständig in der Impulsschicht enthalten ist, und für verschiedene Wandtemperaturverteilungen.^[18] Für das Problem einer flachen Platte mit einem Temperatursprung bei

x=x0{displaystyle x=x_{0}}

, schlagen sie eine Substitution vor, die die parabolische thermische Grenzschichtgleichung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung reduziert. Die Lösung dieser Gleichung, die Temperatur an einem beliebigen Punkt in der Flüssigkeit, kann als unvollständige Gammafunktion ausgedrückt werden.^[15]Schlichting schlug eine äquivalente Substitution vor, die die thermische Grenzschichtgleichung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung reduziert, deren Lösung dieselbe unvollständige Gammafunktion ist.^[19]

Konvektive Übertragungskonstanten aus der Grenzschichtanalyse[edit]

Paul Richard Heinrich Blasius leitete eine exakte Lösung der obigen laminaren Grenzschichtgleichungen ab.^[20] Die Dicke der Grenzschicht

δ{displaystyledelta}

ist eine Funktion der Reynolds-Zahl für laminare Strömung.

δ≈5.0xRe{displaystyle delta approx 5.0{xover {sqrt {Re}}}}

δ{displaystyledelta}

= Dicke der Grenzschicht: der Strömungsbereich, in dem die Geschwindigkeit weniger als 99% der Fernfeldgeschwindigkeit beträgt v∞{displaystyle v_{infty}}

; x{displaystyle x}

ist die Position entlang der semi-unendlichen Platte, und Re{displaystyle Re}

ist die Reynolds-Zahl gegeben durch ρv∞x/μ{displaystyle rho v_{infty}x/mu}

( ρ={displaystyle rho =}

Dichte und μ={displaystyle mu =}

dynamische Viskosität).

Die Blasius-Lösung verwendet Randbedingungen in dimensionsloser Form:

vx−vSv∞−vS=vxv∞=vjav∞=0{displaystyle {v_{x}-v_{S} over v_{infty}-v_{S}}={v_{x} over v_{infty}}={v_{y} over v_{ infty}}=0}

bei ja=0{displaystyle y=0}

vx−vSv∞−vS=vxv∞=1{displaystyle {v_{x}-v_{S} over v_{infty}-v_{S}}={v_{x} over v_{infty}}=1}

bei ja=∞{displaystyle y=infty}

und x=0{displaystyle x=0}

Beachten Sie, dass in vielen Fällen die rutschfeste Randbedingung gilt:

vS{displaystyle v_{S}}

, ist die Flüssigkeitsgeschwindigkeit an der Oberfläche der Platte an allen Stellen gleich der Geschwindigkeit der Platte. Wenn sich die Platte nicht bewegt, dann

vS=0{displaystyle v_{S}=0}

. Eine viel kompliziertere Ableitung ist erforderlich, wenn Flüssigkeitsschlupf zugelassen wird.^[21]

Tatsächlich kann die Blasius-Lösung für das laminare Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht über einer semi-infiniten Platte leicht erweitert werden, um thermische und Konzentrationsgrenzschichten für Wärme- bzw. Stoffübertragung zu beschreiben. Anstelle der differentiellen x-Impulsbilanz (Bewegungsgleichung) wird eine ähnlich abgeleitete Energie- und Massenbilanz verwendet:

Energie:

vx∂T∂x+vja∂T∂ja=kρCP∂2T∂ja2{displaystyle v_{x}{partial Toverpartial x}+v_{y}{partial Toverpartial y}={koverrho C_{p}}{partial^{2 }T over partial y^{2}}}

Masse:

vx∂CEIN∂x+vja∂CEIN∂ja=DEINB∂2CEIN∂ja2{displaystyle v_{x}{partial c_{A} over partial x}+v_{y}{partial c_{A} over partial y}=D_{AB}{partial ^{2} c_{A} over partial y^{2}}}

Für den Impulsausgleich, kinematische Viskosität

ν{displaystyle nu}

kann als die Impulsdiffusivität. In der Energiebilanz wird diese durch die Temperaturleitfähigkeit ersetzt

α=k/ρCP{displaystyle alpha ={k/rho C_{P}}}

, und durch Massendiffusionsfähigkeit

DEINB{displaystyle D_{AB}}

in der Massenbilanz. Bei der Wärmeleitfähigkeit eines Stoffes

k{displaystyle k}

ist seine Wärmeleitfähigkeit,

ρ{displaystyle rho}

ist seine Dichte und

CP{displaystyle C_{P}}

ist seine Wärmekapazität. Der Index AB bezeichnet die Diffusionsfähigkeit von Spezies A, die in Spezies B diffundiert.

Unter der Annahme, dass

α=DEINB=ν{displaystyle alpha =D_{AB}=nu}

, werden diese Gleichungen äquivalent zur Impulsbilanz. Für die Prandtl-Zahl

PR=ν/α=1{displaystyle Pr=nu /alpha =1}

und Schmidt-Zahl

SC=ν/DEINB=1{displaystyle Sc=nu /D_{AB}=1}

die Blasius-Lösung gilt direkt.

Dementsprechend verwendet diese Ableitung eine verwandte Form der Randbedingungen und ersetzt

v{displaystyle v}

mit

T{displaystyle T}

oder

CEIN{displaystyle c_{A}}

(absolute Temperatur oder Konzentration der Spezies A). Das tiefgestellte S bezeichnet einen Oberflächenzustand.

vx−vSv∞−vS=T−TST∞−TS=CEIN−CEINSCEIN∞−CEINS=0{displaystyle {v_{x}-v_{S} over v_{infty}-v_{S}}={T-T_{S} over T_{infty}-T_{S}}={c_ {A}-c_{AS} over c_{Ainfty}-c_{AS}}=0}

bei ja=0{displaystyle y=0}

vx−vSv∞−vS=T−TST∞−TS=CEIN−CEINSCEIN∞−CEINS=1{displaystyle {v_{x}-v_{S} over v_{infty}-v_{S}}={T-T_{S} over T_{infty}-T_{S}}={c_ {A}-c_{AS} over c_{Ainfty}-c_{AS}}=1}

bei ja=∞{displaystyle y=infty}

und x=0{displaystyle x=0}

Mit der Stromlinienfunktion hat Blasius folgende Lösung für die Schubspannung an der Plattenoberfläche erhalten.

τ0=(∂vx∂ja)ja=0=0,332v∞xRe1/2{displaystyle tau_{0}=left({partial v_{x} over partial y}right)_{y=0}=0.332{v_{infty} over x}Re^{ 1/2}}

Und über die Randbedingungen ist bekannt, dass

vx−vSv∞−vS=T−TST∞−TS=CEIN−CEINSCEIN∞−CEINS{displaystyle {v_{x}-v_{S} over v_{infty}-v_{S}}={T-T_{S} over T_{infty}-T_{S}}={c_ {A}-c_{AS} over c_{Ainfty}-c_{AS}}}

Wir erhalten die folgenden Beziehungen für den Wärme-/Massenfluss aus der Oberfläche der Platte

(∂T∂ja)ja=0=0,332T∞−TSxRe1/2{displaystyle left({partial Toverpartial y}right)_{y=0}=0.332{T_{infty}-T_{S} over x}Re^{1/2}}

(∂CEIN∂ja)ja=0=0,332CEIN∞−CEINSxRe1/2{displaystyle left({partial c_{A} over partial y}right)_{y=0}=0.332{c_{Ainfty}-c_{AS} over x}Re^{1 /2}}

So für

PR=SC=1{displaystyle Pr=Sc=1}

δ=δT=δC=5.0xRe{displaystyle delta =delta_{T}=delta_{c}={5.0x over {sqrt {Re}}}}

wo

δT,δC{displaystyle delta_{T},delta_{c}}

sind die Fließbereiche, in denen

T{displaystyle T}

und

CEIN{displaystyle c_{A}}

weniger als 99% ihrer Fernfeldwerte betragen.^[22]

Da die Prandtl-Zahl einer bestimmten Flüssigkeit nicht oft eins ist, versuchte der deutsche Ingenieur E. Polhausen, der mit Ludwig Prandtl zusammenarbeitete, diese Gleichungen empirisch zu erweitern, um sie für

PR≠1{displaystyle Prneq 1}

. Seine Ergebnisse können angewendet werden auf

SC{displaystyle Sc}

sowie.^[23] Er fand, dass für eine Prandtl-Zahl größer als 0,6 die Dicke der thermischen Grenzschicht ungefähr gegeben war durch:

δδT=PR1/3{displaystyle {deltaoverdelta_{T}}=Pr^{1/3}}

und deshalb δδC=SC1/3{displaystyle {deltaoverdelta_{c}}=Sc^{1/3}}

Mit dieser Lösung ist es möglich, die konvektiven Wärme- / Stoffübergangskonstanten basierend auf dem Bereich der Grenzschichtströmung zu charakterisieren. Das Fouriersche Leitungsgesetz und das Newtonsche Abkühlungsgesetz werden mit dem oben abgeleiteten Flussterm und der Grenzschichtdicke kombiniert.

QEIN=−k(∂T∂ja)ja=0=hx(TS−T∞){displaystyle {qover A}=-kleft({partial Toverpartial y}right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{infty} )}

hx=0,332kxRex1/2PR1/3{displaystyle h_{x}=0.332{k over x}Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}

Daraus ergibt sich die lokale Konvektionskonstante

hx{displaystyle h_{x}}

an einem Punkt auf der halbunendlichen Ebene. Integrieren über die Länge der Platte ergibt einen Durchschnitt

hL=0,664kxReL1/2PR1/3{displaystyle h_{L}=0,664{k over x}Re_{L}^{1/2}Pr^{1/3}}

Nach der Ableitung mit Stoffübergangstermen (

k{displaystyle k}

= konvektive Stoffübergangskonstante,

DEINB{displaystyle D_{AB}}

= Diffusionsfähigkeit von Spezies A in Spezies B,

SC=ν/DEINB{displaystyle Sc=nu /D_{AB}}

) ergeben sich folgende Lösungen:

kxIch=0,332DEINBxRex1/2SC1/3{displaystyle k’_{x}=0.332{D_{AB} over x}Re_{x}^{1/2}Sc^{1/3}}

kLIch=0,664DEINBxReL1/2SC1/3{displaystyle k’_{L}=0,664{D_{AB} over x}Re_{L}^{1/2}Sc^{1/3}}

Diese Lösungen gelten für Laminar Flow mit einer Prandtl/Schmidt-Zahl größer 0,6.^[22]

Schiffsbau[edit]

Diese Abteilung braucht Erweiterung. Sie können helfen, indem Sie es ergänzen. (April 2009)

Viele der Prinzipien, die für Flugzeuge gelten, gelten auch für Schiffe, U-Boote und Offshore-Plattformen.

Bei Schiffen handelt es sich im Gegensatz zu Flugzeugen um inkompressible Strömungen, bei denen die Änderung der Wasserdichte vernachlässigbar ist (ein Druckanstieg nahe 1000 kPa führt zu einer Änderung von nur 2–3 kg/m³). Dieses Gebiet der Fluiddynamik wird Hydrodynamik genannt. Ein Schiffsingenieur konstruiert zuerst für Hydrodynamik und erst später für Festigkeit. Die Entwicklung, der Abbau und die Trennung der Grenzschicht werden kritisch, da die hohe Viskosität von Wasser hohe Scherspannungen erzeugt. Eine weitere Folge der hohen Viskosität ist der Slipstream-Effekt, bei dem sich das Schiff wie ein Speer bewegt, der mit hoher Geschwindigkeit durch einen Schwamm reißt.^{[citation needed]}

Grenzschichtturbine[edit]

Dieser Effekt wurde in der Tesla-Turbine ausgenutzt, die 1913 von Nikola Tesla patentiert wurde. Sie wird als schaufellose Turbine bezeichnet, weil sie den Grenzschichteffekt nutzt und nicht wie bei einer herkömmlichen Turbine ein auf die Schaufeln auftreffendes Fluid. Grenzschichtturbinen werden auch als Kohäsionsturbine, schaufellose Turbine und Prandtl-Schichtturbine (nach Ludwig Prandtl) bezeichnet.

Vorhersage der transienten Grenzschichtdicke in einem Zylinder durch Dimensionsanalyse[edit]

Durch die Verwendung der transienten und viskosen Kraftgleichungen für eine zylindrische Strömung können Sie die transiente Grenzschichtdicke vorhersagen, indem Sie die Womersley-Zahl (

nw{displaystyle N_{w}}

).

Transiente Kraft =

ρvw{displaystyle rho vw}

Viskose Kraft =

μvδ12{displaystyle {mu voverdelta_{1}^{2}}}

Wenn Sie sie gleich setzen, erhalten Sie:

ρvw=μvδ12{displaystyle rho vw={mu v over delta_{1}^{2}}}

Auflösen nach Delta ergibt:

δ1=μρw= v w{displaystyle delta_{1}={sqrt {muoverrho w}}={sqrt {voverw}}}

In dimensionsloser Form:

Lδ1=Lw v=nw{displaystyle {Loverdelta_{1}}={L{sqrt {woverv}}}=N_{w}}

wo

nw{displaystyle N_{w}}

= Womersley-Zahl;

ρ{displaystyle rho}

= Dichte;

v{displaystyle v}

= Geschwindigkeit;

w={displaystyle w=}

?;

δ1{displaystyle delta_{1}}

= Länge der transienten Grenzschicht;

μ{displaystylemu}

= Viskosität;

L{displaystyle L}

= charakteristische Länge.

Vorhersage konvektiver Strömungsverhältnisse an der Grenzschicht in einem Zylinder durch Dimensionsanalyse[edit]

Durch Verwendung der konvektiven und viskosen Kraftgleichungen an der Grenzschicht für eine zylindrische Strömung können Sie die konvektiven Strömungsbedingungen an der Grenzschicht vorhersagen, indem Sie die dimensionslose Reynolds-Zahl (

Re{displaystyle Re}

).

Konvektionskraft:

ρv2 L{displaystyle rho v^{2} over L}

Viskose Kraft:

μvδ22{displaystyle {mu v over delta_{2}^{2}}}

Wenn Sie sie gleich setzen, erhalten Sie:

ρv2 L=μvδ22{displaystyle {rho v^{2} over L}={mu v over delta_{2}^{2}}}

Auflösen nach Delta ergibt:

δ2=μLρv{displaystyle delta_{2}={sqrt {mu L overrho v}}}

In dimensionsloser Form:

Lδ2=ρvLμ=Re{displaystyle {Loverdelta_{2}}={sqrt {rho vLovermu}}={sqrt {Re}}}

wo

Re{displaystyle Re}

= Reynolds-Zahl;

ρ{displaystyle rho}

= Dichte;

v{displaystyle v}

= Geschwindigkeit;

δ2{displaystyle delta_{2}}

= Länge der konvektiven Grenzschicht;

μ{displaystylemu}

= Viskosität;

L{displaystyle L}

= charakteristische Länge.

Grenzschichtaufnahme[edit]

Die Aufnahme der Grenzschicht verspricht eine Erhöhung der Treibstoffeffizienz von Flugzeugen, wobei ein hinten montierter Propulsor die langsame Rumpfgrenzschicht aufnimmt und den Nachlauf wieder mit Energie versorgt, um den Luftwiderstand zu reduzieren und die Antriebseffizienz zu verbessern. Um bei verzerrtem Luftstrom zu arbeiten, ist der Lüfter schwerer und seine Effizienz verringert, und seine Integration ist eine Herausforderung. Es kommt in Konzepten wie der Aurora D8 oder der französischen Forschungsagentur Onera Nova zum Einsatz und spart 5 % im Reiseflug durch die Aufnahme von 40 % der Rumpfgrenzschicht.^[24]

Airbus präsentierte auf dem ICAS-Kongress im September 2018 das Nautilius-Konzept: Um die gesamte Rumpfgrenzschicht aufzunehmen und gleichzeitig die azimutale Strömungsverzerrung zu minimieren, teilt sich der Rumpf in zwei Spindeln mit Lüftern mit einem Bypassverhältnis von 13-18:1 auf. Der Antriebswirkungsgrad beträgt bis zu 90% wie bei gegenläufigen offenen Rotoren mit kleineren, leichteren, weniger komplexen und lauten Motoren. Es könnte den Kraftstoffverbrauch um mehr als 10 % im Vergleich zu einem üblichen Unterflügel-Motor mit einem Bypass-Verhältnis von 15:1 senken.^[24]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Chanson, H. (2009). Angewandte Hydrodynamik: Eine Einführung in ideale und reale Fluidströmungen. CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Niederlande, 478 Seiten. ISBN 978-0-415-49271-3.
• AD Polyanin und VF Zaitsev, Handbuch der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton – London, 2004. ISBN 1-58488-355-3
• AD Polyanin, AM Kutepov, AV Vyazmin und DA Kazenin, Hydrodynamik, Stoff- und Wärmeübertragung in der Chemietechnik, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8
• Hermann Schlichting, Klaus Gersten, E. Krause, H. Jr. Oertel, C. Mayes “Grenzschichttheorie” 8. Auflage Springer 2004 ISBN 3-540-66270-7
• John D. Anderson, Jr., “Ludwig Prandtls Grenzschicht”, Physik heute, Dezember 2005
• Anderson, John (1992). Grundlagen der Aerodynamik (2. Aufl.). Toronto: SSCHAND. S. 711-714. ISBN 0-07-001679-8.
• H. Tennekes und JL Lumley, “A First Course in Turbulence”, The MIT Press, (1972).
• Vorlesungen über Turbulenzen für das 21. Jahrhundert von William K. George

Externe Links[edit]