n-Körper-Problem – Wikipedia

Posted on by

Problem in Physik und Himmelsmechanik

In der Physik ist die n-Körperproblem ist das Problem, die einzelnen Bewegungen einer Gruppe von Himmelsobjekten vorherzusagen, die gravitativ miteinander interagieren.[1] Die Lösung dieses Problems wurde durch den Wunsch motiviert, die Bewegungen von Sonne, Mond, Planeten und sichtbaren Sternen zu verstehen. Im 20. Jahrhundert wurde das Verständnis der Dynamik von Kugelsternhaufen-Sternsystemen zu einem wichtigen n– Körperproblem.[2] Die n-Körperproblem in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist aufgrund zusätzlicher Faktoren wie Zeit- und Raumverzerrungen erheblich schwieriger zu lösen.

Das klassische physikalische Problem kann informell wie folgt formuliert werden:

Angesichts der quasi-stationären Bahneigenschaften (Momentanposition, Geschwindigkeit und Zeit)[3] einer Gruppe von Himmelskörpern, ihre interaktiven Kräfte vorhersagen; und folglich ihre wahren Bahnbewegungen für alle zukünftigen Zeiten vorhersagen.[4]

Das Zweikörperproblem ist vollständig gelöst und wird weiter unten diskutiert, ebenso wie das berühmte eingeschränkt Drei-Körper-Problem.[5]

Geschichte[edit]

Drei Orbitalpositionen der Umlaufbahn eines Planeten kennen – Positionen, die Sir Isaac Newton vom Astronomen John Flamsteed erhalten hat[6] – Newton war in der Lage, durch einfache analytische Geometrie eine Gleichung zu erstellen, um die Bewegung eines Planeten vorherzusagen; dh um seine Bahneigenschaften anzugeben: Position, Bahndurchmesser, Periode und Bahngeschwindigkeit.[7] Dabei stellten er und andere innerhalb weniger Jahre fest, dass diese Bewegungsgleichungen manche Bahnen nicht richtig oder sogar sehr gut vorhersagen.[8] Newton erkannte, dass dies daran lag, dass die wechselwirkenden Gravitationskräfte zwischen allen Planeten alle ihre Umlaufbahnen beeinflussten.

Die obige Entdeckung trifft den Kern der Sache, was genau die n-Körperproblem ist physikalisch: Wie Newton erkannte, reicht es nicht aus, nur die Anfangsposition und -geschwindigkeit oder auch drei Bahnpositionen anzugeben, um die wahre Umlaufbahn eines Planeten zu bestimmen: auch die gravitativen Wechselwirkungskräfte müssen bekannt sein. So kam das Bewusstsein und der Aufstieg der n-Körper-“Problem” im frühen 17. Jahrhundert. Diese gravitativen Anziehungskräfte entsprechen Newtons Bewegungsgesetze und zu seinem Gesetz der universellen Gravitation, aber die vielen Vielfachen (n-Körper) Wechselwirkungen haben in der Vergangenheit jede exakte Lösung unhandlich gemacht. Ironischerweise führte diese Übereinstimmung zu einem falschen Ansatz.

Nach Newtons Zeit die n-Körperproblem wurde historisch nicht richtig angegeben weil es keinen Hinweis auf diese interaktiven Gravitationskräfte enthielt. Newton sagt es nicht direkt, sondern impliziert in seinem Principia das n-Körperproblem ist wegen dieser gravitativen Wechselwirkungskräfte unlösbar.[9] Newton sagte[10] in seiner Principia, Absatz 21:

Daher findet sich die Anziehungskraft in beiden Körpern. Die Sonne zieht Jupiter und die anderen Planeten an, Jupiter zieht seine Satelliten an und in ähnlicher Weise wirken die Satelliten aufeinander ein. Und obwohl die Aktionen eines jeden Planetenpaares auf den anderen voneinander unterschieden werden können und als zwei Aktionen angesehen werden können, durch die jeder den anderen anzieht, sind sie jedoch, da sie zwischen denselben, zwei Körpern liegen, nicht zwei, sondern eine einfache Operation zwischen zwei Termini. Zwei Körper können durch die Kontraktion eines Seils zwischen ihnen angezogen werden. Die Ursache der Handlung ist zweifach, nämlich die Disposition jedes der beiden Körper; die Wirkung ist ebenfalls zweifach, sofern sie auf zwei Körper wirkt; aber insofern es zwischen zwei Körpern ist, ist es eins und eins …

Newton schloss über sein drittes Bewegungsgesetz, dass “nach diesem Gesetz alle Körper einander anziehen müssen”. Diese letzte Aussage, die die Existenz interaktiver Gravitationskräfte impliziert, ist der Schlüssel.

Wie unten gezeigt, entspricht das Problem auch den nicht-Newtonschen ersten und zweiten Prinzipien von Jean Le Rond D’Alembert und dem nichtlinearen n-Körperproblemalgorithmus, wobei letzterer eine geschlossene Lösung zur Berechnung dieser interaktiven Kräfte ermöglicht.

Das Problem, die allgemeine Lösung von zu finden n-Körperproblem wurde als sehr wichtig und herausfordernd angesehen. Tatsächlich richtete König Oscar II. von Schweden Ende des 19. Jahrhunderts, beraten von Gösta Mittag-Leffler, einen Preis für jeden ein, der die Lösung des Problems finden konnte. Die Ankündigung war ganz konkret:

Versuchen Sie bei einem System beliebig vieler Massenpunkte, die sich nach dem Newtonschen Gesetz anziehen, unter der Annahme, dass niemals zwei Punkte kollidieren, eine Darstellung der Koordinaten jedes Punktes als Reihe in einer Variablen zu finden, die eine bekannte Funktion der Zeit ist und für alle deren Werte die Reihe konvergiert gleichmäßig.

Falls das Problem nicht gelöst werden konnte, würde dann jeder andere wichtige Beitrag zur klassischen Mechanik als preiswürdig angesehen. Der Preis wurde Poincaré verliehen, obwohl er das ursprüngliche Problem nicht löste. (Die erste Version seines Beitrags enthielt sogar einen gravierenden Fehler[11]). Die schließlich gedruckte Version enthielt viele wichtige Ideen, die zur Entwicklung der Chaostheorie führten. Das ursprünglich genannte Problem wurde schließlich von Karl Fritiof Sundman für . gelöst n = 3.

Allgemeine Formulierung[edit]

Die n-Körperproblem berücksichtigt n Punktmassen mich, ich = 1, 2, …, n in einem Trägheitsbezugssystem im dreidimensionalen Raum r3 sich unter dem Einfluss gegenseitiger Gravitationsanziehung bewegen. Jede Masse mich hat einen Ortsvektor Qich. Das zweite Newtonsche Gesetz besagt, dass Masse mal Beschleunigung mich D2Qich/dt2 gleich der Summe der Kräfte auf die Masse ist. Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass die auf die Masse wirkende Gravitationskraft mich durch eine einzige Masse mJ wird gegeben von[12]

FichJ=gmichmJIchQJ−QichIch2⋅(QJ−Qich)IchQJ−QichIch=gmichmJ(QJ−Qich)IchQJ−QichIch3,{displaystyle mathbf {F}_{ij}={frac {Gm_{i}m_{j}}{left|mathbf {q}_{j}-mathbf {q}_{i} right|^{2}}}cdot {frac {left(mathbf {q}_{j}-mathbf {q}_{i}right)}{left|mathbf { q}_{j}-mathbf{q}_{i}right|}}={frac {Gm_{i}m_{j}left(mathbf{q}_{j}-mathbf {q}_{i}right)}{left|mathbf{q}_{j}-mathbf{q}_{i}right|^{3}}},}

wo g ist die Gravitationskonstante und ||QJ − Qich|| ist die Größe des Abstands zwischen Qich und QJ (Metrik induziert durch die l2 Norm).

Summieren über alle Massen ergibt die n-Körper Bewegungsgleichungen:

michD2QichDT2=ΣJ=1J≠ichngmichmJ(QJ−Qich)IchQJ−QichIch3=−∂U∂Qich{displaystyle m_{i}{frac {d^{2}mathbf {q}_{i}}{dt^{2}}}=sum _{j=1 atop jneq i}^ {n}{frac{Gm_{i}m_{j}left(mathbf{q}_{j}-mathbf{q}_{i}right)}{left|mathbf{q } _{j}-mathbf{q}_{i}right|^{3}}}=-{frac {partial U}{partialmathbf {q}_{i}}}}

wo U ist der Selbstpotential Energie

U=−Σ1≤ich<J≤ngmichmJIchQJ−QichIch.{displaystyle U=-sum_{1leq i

Den Schwung definieren, um zu sein Pich = mich DQich/dt, Hamiltons Bewegungsgleichungen für die n-Körperproblem geworden[13]

DQichDT=∂h∂PichDPichDT=−∂h∂Qich,{displaystyle {frac {dmathbf {q} _{i}}{dt}}={frac {partial H}{partialmathbf {p}_{i}}}qquad {frac {dmathbf{p}_{i}}{dt}}=-{frac {partial H}{partialmathbf{q}_{i}}},}

wobei die Hamilton-Funktion ist

h=T+U{displaystyle H=T+U}

und T ist die kinetische Energie

T=Σich=1nIchPichIch22mich.{displaystyle T=sum _{i=1}^{n}{frac {left|mathbf {p} _{i}right|^{2}}{2m_{i}}} .}

Hamiltons Gleichungen zeigen, dass die n-Körperproblem ist ein System von 6n Differentialgleichungen erster Ordnung, mit 6n Anfangsbedingungen wie 3n Anfangspositionskoordinaten und 3n Anfangsimpulswerte.

Symmetrien in der n-Körperproblem ergeben globale Bewegungsintegrale, die das Problem vereinfachen.[14]Translationssymmetrie des Problems ergibt den Schwerpunkt

C=Σich=1nmichQichΣich=1nmich{displaystyle mathbf {C} ={frac {displaystyle sum _{i=1}^{n}m_{i}mathbf {q} _{i}}{displaystyle sum _{i= 1}^{n}m_{i}}}}

mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, so dass C = L0T + C0, wo L0 ist die Lineargeschwindigkeit und C0 ist die Ausgangslage. Die Bewegungskonstanten L0 und C0 sechs Integrale der Bewegung darstellen. Rotationssymmetrie führt dazu, dass der Gesamtdrehimpuls konstant ist

EIN=Σich=1nQich×Pich,{displaystyle mathbf {A} =sum _{i=1}^{n}mathbf {q} _{i}times mathbf {p}_{i},}

wobei × das Kreuzprodukt ist. Die drei Komponenten des Gesamtdrehimpulses EIN ergeben drei weitere Konstanten der Bewegung. Die letzte allgemeine Konstante der Bewegung ist durch die Energieerhaltung gegeben h. Daher ist jeder n-Körperproblem hat zehn Bewegungsintegrale.

Weil T und U homogene Funktionen vom Grad 2 bzw. −1 sind, haben die Bewegungsgleichungen eine Skalierungsinvarianz: wenn Qich(T) ist eine Lösung, dann ist es auch λ−2/3Qich(t) für jeden λ > 0.[15]

Das Trägheitsmoment von an n-Körpersystem ist gegeben durch

ich=Σich=1nmichQich⋅Qich=Σich=1nmichIchQichIch2{displaystyle I=sum _{i=1}^{n}m_{i}mathbf {q} _{i}cdot mathbf {q} _{i}=sum _{i=1} ^{n}m_{i}left|mathbf{q}_{i}right|^{2}}

und der viral wird gegeben von Q = 1/2 di/dt. Dann ist die Lagrange-Jacobi-Formel besagt, dass[16]

D2ichDT2=2T−U.{displaystyle {frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}

Für Systeme in dynamisches Gleichgewicht, der langjährige Durchschnitt von IchD2ich/dt2Ich ist null. Dann ist im Durchschnitt die gesamte kinetische Energie die Hälfte der gesamten potentiellen Energie, IchT= 1/2IchUIch, das ein Beispiel für den Virialsatz für Gravitationssysteme ist.[17] Wenn m ist die Gesamtmasse und R eine charakteristische Größe des Systems (zum Beispiel der Radius, der die halbe Masse des Systems enthält), dann ist die kritische Zeit für ein System, um sich in ein dynamisches Gleichgewicht einzupendeln,[18]

TCR=gmR3.{displaystyle t_{mathrm {cr}}={sqrt {frac {GM}{R^{3}}}}.}

Sonderfälle[edit]

Zweikörperproblem[edit]

Jede Diskussion planetarischer interaktiver Kräfte hat historisch immer mit dem Zwei-Körper-Problem begonnen. Der Zweck dieses Abschnitts ist es, die wirkliche Komplexität bei der Berechnung von planetarischen Kräften in Beziehung zu setzen. Beachten Sie in diesem Abschnitt auch mehrere Themen, wie Schwerkraft, Schwerpunkt, Keplersche Gesetze usw.; und auch im folgenden Abschnitt (Dreikörperproblem) werden auf anderen Wikipedia-Seiten diskutiert. Hier werden diese Themen jedoch aus der Perspektive der n– Körperproblem.

Das Zweikörperproblem (n = 2) wurde von Johann Bernoulli (1667–1748) vollständig gelöst von klassisch Theorie (und nicht von Newton) unter der Annahme, dass die Hauptpunktmasse Fest; dies ist hier skizziert.[19] Betrachten Sie dann die Bewegung zweier Körper, sagen wir der Sonne und der Erde, mit der Sonne Fest, dann:

m1ein1=gm1m2R123(R2−R1)Sonne–Erdem2ein2=gm1m2R213(R1−R2)Erde–Sonne{displaystyle {begin{aligned}m_{1}mathbf {a} _{1}&={frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}( mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})&&quad {text{Sonne–Erde}}\m_{2}mathbf {a} _{2}&={ frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(mathbf{r}_{1}-mathbf{r}_{2})&&quad {text{ Erde–Sonne}}end{ausgerichtet}}}

Die Gleichung zur Beschreibung der Massenbewegung m2 relativ zur Masse m1 wird leicht aus den Unterschieden zwischen diesen beiden Gleichungen erhalten und ergibt nach Aufhebung gemeinsamer Terme:

ein+ηR3R=0{displaystyle mathbf {a} +{frac {eta }{r^{3}}}mathbf {r} =mathbf {0}}

Woher

  • R = R2 − R1 ist die Vektorposition von m2 relativ zu m1;
  • α ist der Eulerian Beschleunigung D2R/dt2;
  • η = g(m1 + m2).

Die gleichung α + η/R3R = 0 ist die fundamentale Differentialgleichung für das 1734 gelöste Zwei-Körper-Problem von Bernoulli. Beachten Sie, dass für diesen Ansatz zuerst die Kräfte bestimmt werden müssen, dann die Bewegungsgleichung aufgelöst werden. Diese Differentialgleichung hat elliptische oder parabolische oder hyperbolische Lösungen.[20][21][22]

Es ist falsch zu denken m1 (die Sonne) als im Raum fixiert, wenn man das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation anwendet und dies zu falschen Ergebnissen führt. Der Fixpunkt zweier isolierter gravitativ wechselwirkender Körper ist ihr gegenseitiger Schwerpunkt, und dieses Zweikörperproblem lässt sich exakt lösen, indem man beispielsweise Jacobi-Koordinaten relativ zum Schwerpunkt verwendet.

Dr. Clarence Cleminshaw berechnete die ungefähre Position des Schwerpunkts des Sonnensystems, ein Ergebnis, das hauptsächlich durch die Kombination nur der Massen von Jupiter und Sonne erreicht wurde. Wissenschaftsprogramm sagte in Bezug auf seine Arbeit:

Die Sonne enthält 98 Prozent der Masse des Sonnensystems, wobei die übergeordneten Planeten jenseits des Mars den größten Teil des Rests ausmachen. Im Durchschnitt liegt der Massenschwerpunkt des Sonne-Jupiter-Systems, wenn man die beiden massereichsten Objekte allein betrachtet, 462.000 Meilen vom Sonnenzentrum entfernt, oder etwa 30.000 Meilen über der Sonnenoberfläche! Aber auch andere große Planeten beeinflussen den Massenschwerpunkt des Sonnensystems. 1951 zum Beispiel war der Massenschwerpunkt der Systeme nicht weit vom Sonnenzentrum entfernt, weil Jupiter auf der gegenüberliegenden Seite von Saturn, Uranus und Neptun lag. In den späten 1950er Jahren, als sich alle vier dieser Planeten auf derselben Seite der Sonne befanden, war der Massenschwerpunkt des Systems mehr als 330.000 Meilen von der Sonnenoberfläche entfernt, hat Dr. CH Cleminshaw vom Griffith Observatory in Los Angeles berechnet.[23]

Echte Bewegung im Vergleich zu Keplers scheinbarer Bewegung

Die Sonne wackelt, während sie sich um das galaktische Zentrum dreht und das Sonnensystem und die Erde mit sich zieht. Was der Mathematiker Kepler bei seinen drei berühmten Gleichungen tat, war die Kurvenanpassung der scheinbaren Bewegungen der Planeten anhand der Daten von Tycho Brahe, und nicht Kurvenanpassung ihrer wahren Kreisbewegungen um die Sonne (siehe Abbildung). Sowohl Robert Hooke als auch Newton waren sich bewusst, dass Newtons Gesetz der universellen Gravitation galt nicht für die Kräfte, die mit elliptischen Bahnen verbunden sind.[10] Tatsächlich berücksichtigt Newtons Universalgesetz nicht die Umlaufbahn von Merkur, das Gravitationsverhalten des Asteroidengürtels oder die Saturnringe.[24] Newton erklärte (in Abschnitt 11 des Principia), dass der Hauptgrund für das Versäumnis, die Kräfte für elliptische Bahnen vorherzusagen, jedoch darin bestand, dass sein mathematisches Modell auf einen Körper beschränkt war, der auf eine Situation beschränkt war, die in der realen Welt kaum existierte, nämlich die Bewegungen von Körpern, die von einem unbewegten Zentrum angezogen wurden. Einige gegenwärtige Lehrbücher der Physik und Astronomie betonen nicht die negative Bedeutung von Newtons Annahme und lehren schließlich, dass sein mathematisches Modell tatsächlich der Realität entspricht. Es versteht sich, dass die obige klassische Zweikörper-Problemlösung eine mathematische Idealisierung ist. Siehe auch Keplers erstes Gesetz der Planetenbewegung.

Drei-Körper-Problem[edit]

Dieser Abschnitt bezieht sich auf einen historisch wichtigen n-Körper-Problemlösung, nachdem vereinfachende Annahmen getroffen wurden.

In der Vergangenheit war nicht viel über die n-Körperproblem für n 3.[25] Der Fall n = 3 wurde am meisten untersucht. Viele frühere Versuche, die Drei-Körper-Problem waren quantitativ und zielten darauf ab, explizite Lösungen für spezielle Situationen zu finden.

  • 1687 veröffentlichte Isaac Newton in der Principia die ersten Schritte in der Untersuchung des Problems der Bewegungen dreier Körper, die ihrer gegenseitigen Anziehungskraft unterliegen, aber seine Bemühungen führten zu verbalen Beschreibungen und geometrischen Skizzen; siehe insbesondere Buch 1, Proposition 66 und seine Folgerungen (Newton, 1687 und 1999, siehe auch Tisserand, 1894).
  • Im Jahr 1767 fand Euler kollineare Bewegungen, bei denen sich drei Körper beliebiger Massen proportional entlang einer festen Geraden bewegen. Das Eulersche Drei-Körper-Problem ist der Spezialfall, bei dem zwei der Körper im Raum fixiert sind (nicht zu verwechseln mit dem zirkular eingeschränkten Drei-Körper-Problem, bei dem die beiden massiven Körper eine Kreisbahn beschreiben und nur in ein synodischer Bezugsrahmen).
  • 1772 entdeckte Lagrange zwei Klassen periodischer Lösungen, jede für drei Körper beliebiger Masse. In einer Klasse liegen die Körper auf einer rotierenden Geraden. In der anderen Klasse liegen die Körper an den Ecken eines rotierenden gleichseitigen Dreiecks. In beiden Fällen sind die Pfade der Körper konische Abschnitte. Diese Lösungen führten zum Studium von zentrale Konfigurationen, für die Q = kq für eine Konstante k > 0.
  • Eine umfassende Studie über das System Erde-Mond-Sonne wurde von Charles-Eugène Delaunay durchgeführt, der 1860 und 1867 zwei Bände zu diesem Thema mit jeweils 900 Seiten Länge veröffentlichte. Neben vielen anderen Errungenschaften deutet das Werk bereits auf Chaos hin , und zeigt deutlich das Problem der sogenannten “kleiner Nenner“ in der Störungstheorie.
  • 1917 veröffentlichte Forest Ray Moulton seinen mittlerweile Klassiker Eine Einführung in die Himmelsmechanik (siehe Referenzen) mit seiner Handlung der eingeschränktes Drei-Körper-Problem Lösung (siehe Abbildung unten).[26] Nebenbei, siehe Meirovitchs Buch, Seiten 413–414 für seine eingeschränkte Drei-Körper-Problemlösung.[27]
Bewegung von drei Teilchen unter der Schwerkraft, die ein chaotisches Verhalten demonstriert

Moultons Lösung ist möglicherweise einfacher zu visualisieren (und definitiv einfacher zu lösen), wenn man den massereicheren Körper (wie die Sonne) als stationär im Raum betrachtet und den weniger massereichen Körper (wie Jupiter) um ihn herum kreist, mit dem Gleichgewichtspunkte (Lagrange-Punkte), die den 60°-Abstand vor und hinter dem weniger massiven Körper fast in seiner Umlaufbahn beibehalten (obwohl in Wirklichkeit keiner der Körper wirklich stationär ist, da beide den Massenschwerpunkt des gesamten Systems umkreisen— über den Schwerpunkt). Bei ausreichend kleinem Massenverhältnis der Primärfarben sind diese dreieckigen Gleichgewichtspunkte stabil, so dass (fast) masselose Teilchen um diese Punkte kreisen, wenn sie um die größere Primärwelle (Sonne) kreisen. Die fünf Gleichgewichtspunkte des Kreisproblems werden als Lagrange-Punkte bezeichnet. Siehe Abbildung unten:

Eingeschränktes Drei-Körper-Problem

In dem eingeschränktes Dreikörperproblem mathematische Modellfigur oben (nach Moulton), die Lagrange-Punkte L4 und ich5 sind die trojanischen Planetoiden (siehe Lagrange-Punkt); m1 ist die Sonne und m2 ist Jupiter. L2 ist ein Punkt innerhalb des Asteroidengürtels. Für dieses Modell muss realisiert werden, dass dieses ganze Sonne-Jupiter-Diagramm um seinen Schwerpunkt rotiert. Die eingeschränkte Drei-Körper-Problemlösung sagte die Trojanischen Planetoiden vorher, bevor sie zum ersten Mal gesehen wurden. Die h-Kreise und geschlossene Schleifen spiegeln die elektromagnetischen Flüsse wider, die von Sonne und Jupiter ausgehen. Es wird vermutet, dass im Gegensatz zu Richard H. Batins Vermutung (siehe Referenzen) die beiden h1 sind Schwerkraftsenken, in denen die Gravitationskräfte null sind, und der Grund, warum die trojanischen Planetoiden dort gefangen sind. Die Gesamtmasse der Planetoiden ist unbekannt.

Das eingeschränkte Dreikörperproblem, das die Masse eines der Körper annimmt, ist vernachlässigbar.[citation needed] Für eine Diskussion des Falles, in dem der vernachlässigbare Körper ein Satellit des Körpers mit geringerer Masse ist, siehe Hill sphere; für binäre Systeme siehe Roche-Lobe. Spezifische Lösungen für das Drei-Körper-Problem führen zu chaotischen Bewegungen ohne offensichtliche Anzeichen für einen sich wiederholenden Weg.[citation needed]

Das eingeschränkte Problem (sowohl kreisförmig als auch elliptisch) wurde von vielen berühmten Mathematikern und Physikern ausführlich bearbeitet, insbesondere von Poincaré Ende des 19. Jahrhunderts. Poincarés Arbeit am eingeschränkten Dreikörperproblem war die Grundlage der deterministischen Chaostheorie.[citation needed] Im eingeschränkten Problem gibt es fünf Gleichgewichtspunkte. Drei sind kollinear mit den Massen (im rotierenden Rahmen) und sind instabil. Die verbleibenden zwei befinden sich auf dem dritten Scheitelpunkt beider gleichseitigen Dreiecke, von denen die beiden Körper der erste und der zweite Scheitelpunkt sind.

Vier-Körper-Problem[edit]

Inspiriert durch das zirkular eingeschränkte Drei-Körper-Problem kann das Vier-Körper-Problem stark vereinfacht werden, indem man einen kleineren Körper mit einer geringen Masse im Vergleich zu den anderen drei massiven Körpern betrachtet, die wiederum approximiert werden, um Kreisbahnen zu beschreiben. Dies ist als bizirkuläres eingeschränktes Vier-Körper-Problem (auch als bizirkulares Modell bekannt) bekannt und kann in einem NASA-Bericht von Su-Shu Huang bis ins Jahr 1960 zurückverfolgt werden.[28] Diese Formulierung war in der Astrodynamik von großer Bedeutung, hauptsächlich um die Flugbahn von Raumfahrzeugen im Erde-Mond-System unter Hinzufügung der Gravitationsanziehung der Sonne zu modellieren. Die frühere Formulierung des bizirkular eingeschränkten Vierkörperproblems kann problematisch sein, wenn andere Systeme als Erde-Mond-Sonne modelliert werden, daher wurde die Formulierung von Negri und Prado . verallgemeinert[29] um den Anwendungsbereich zu erweitern und die Genauigkeit ohne Verlust an Einfachheit zu verbessern.

Planetenproblem[edit]

Die Planetenproblem ist der n-Körperproblem für den Fall, dass eine der Massen viel größer ist als alle anderen. Ein prototypisches Beispiel für ein planetarisches Problem ist das Sonne-Jupiter-Saturn-System, bei dem die Masse der Sonne etwa 100-mal größer ist als die Masse von Jupiter oder Saturn.[15] Eine ungefähre Lösung des Problems ist die Zerlegung in n − 1 Paare von Stern-Planet-Kepler-Problemen, die Wechselwirkungen zwischen den Planeten als Störungen behandeln. Die perturbative Approximation funktioniert gut, solange es keine Orbitalresonanzen im System gibt, dh keines der Verhältnisse der ungestörten Kepler-Frequenzen eine rationale Zahl ist. Resonanzen treten als kleine Nenner in der Expansion auf.

Die Existenz von Resonanzen und kleinen Nennern führte zu der wichtigen Frage der Stabilität des Planetenproblems: Bleiben Planeten in nahezu kreisförmigen Umlaufbahnen um einen Stern im Laufe der Zeit auf stabilen oder begrenzten Umlaufbahnen?[15][30] Im Jahr 1963 bewies Vladimir Arnold mit Hilfe der KAM-Theorie eine Art Stabilität des Planetenproblems: Beim Planetenproblem, das auf die Ebene beschränkt ist, existiert ein positives Maß von quasiperiodischen Bahnen.[30] In der KAM-Theorie würden chaotische Planetenbahnen durch quasiperiodische KAM-Tori begrenzt. Arnolds Ergebnis wurde 2004 von Féjoz und Herman zu einem allgemeineren Theorem erweitert.[31]

Zentrale Konfigurationen[edit]

Eine zentrale Konfiguration Q1(0), …, Qn(0) ist eine Anfangskonfiguration, bei der, wenn die Teilchen alle mit der Geschwindigkeit Null freigesetzt würden, sie alle in Richtung des Massenzentrums kollabieren würden C.[30] Eine solche Bewegung heißt homothetisch. Auch zentrale Konfigurationen können zu homographische Bewegungen in dem sich alle Massen entlang Keplerschen Bahnen (elliptisch, kreisförmig, parabolisch oder hyperbolisch) bewegen, wobei alle Bahnen die gleiche Exzentrizität haben e. Für elliptische Bahnen, e = 1 entspricht homothetischer Bewegung und e = 0 gibt ein relative Gleichgewichtsbewegung wobei die Konfiguration eine Isometrie der ursprünglichen Konfiguration bleibt, als ob die Konfiguration ein starrer Körper wäre.[32] Zentrale Konfigurationen haben eine wichtige Rolle beim Verständnis der Topologie invarianten Mannigfaltigkeiten gespielt, die durch die Festlegung der ersten Integrale eines Systems erzeugt wurden.

n-Körperchoreografie[edit]

Lösungen, bei denen sich alle Massen auf dem gleich kollisionsfreie Kurven werden als Choreographien bezeichnet.[33] Eine Choreographie für n = 3 wurde 1772 von Lagrange entdeckt, bei dem sich drei Körper an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks im rotierenden Rahmen befinden. Eine Achterchoreografie für n = 3 wurde 1993 von C. Moore numerisch gefunden[34] und verallgemeinert und bewiesen von A. Chenciner und R. Montgomery im Jahr 2000.[35] Seitdem wurden viele andere Choreografien gefunden für n 3.

Analytische Ansätze[edit]

Für jede Lösung des Problems führt nicht nur die Anwendung einer Isometrie oder einer Zeitverschiebung, sondern auch eine Zeitumkehr (anders als bei der Reibung) eine Lösung.[citation needed]

In der physikalischen Literatur über die n– Körperproblem (n 3), wird manchmal Bezug genommen auf die Unmöglichkeit, das Problem zu lösen n-Körperproblem (über den obigen Ansatz).[citation needed] Allerdings ist bei der Diskussion der ‘Unmöglichkeit’ einer Lösung Vorsicht geboten, da sich dies nur auf die Methode der ersten Integrale bezieht (vgl. die Sätze von Abel und Galois über die Unmöglichkeit, algebraische Gleichungen ab Grad fünf mittels Formeln zu lösen nur mit Wurzeln).

Leistungsreihenlösung[edit]

Ein Weg zur Lösung des klassischen n-Körperproblem ist “der n-Körperproblem der Taylor-Reihe”.

Wir beginnen mit der Definition des Systems der Differentialgleichungen:[citation needed]

xich(T0) und Dxich(T0)/dt sind als Anfangsbedingungen angegeben, alle D2xich(T)/dt2 ist bekannt. Differenzieren D2xich(T)/dt2 ergibt sich D3xich(T)/dt3 was bei T0 die auch bekannt ist, und die Taylor-Reihe wird iterativ konstruiert.[clarification needed]

Eine verallgemeinerte globale Sundman-Lösung[edit]

Um das Ergebnis von Sundman für den Fall zu verallgemeinern n > 3 (oder n = 3 und C = 0[clarification needed]) muss man sich zwei Hindernissen stellen:

  1. Wie Siegel gezeigt hat, können Kollisionen, an denen mehr als zwei Körper beteiligt sind, analytisch nicht regularisiert werden, daher kann die Regularisierung von Sundman nicht verallgemeinert werden.[citation needed]
  2. Der Aufbau von Singularitäten ist in diesem Fall komplizierter: Es können auch andere Arten von Singularitäten vorkommen (siehe unten).

Schließlich wurde Sundmans Ergebnis auf den Fall von verallgemeinert n > 3 Leichen von Qiudong Wang in den 1990er Jahren.[36] Da die Struktur der Singularitäten komplizierter ist, musste Wang die Fragen der Singularitäten ganz weglassen. Der zentrale Punkt seines Ansatzes besteht darin, die Gleichungen in geeigneter Weise in ein neues System umzuwandeln, so dass das Existenzintervall für die Lösungen dieses neuen Systems [0,∞).

Singularities of the n-body problem[edit]

Es kann zwei Arten von Singularitäten der geben n– Körperproblem:

  • Kollisionen von zwei oder mehr Körpern, für die aber Q(T) (die Positionen der Körper) bleibt endlich. (In diesem mathematischen Sinne bedeutet eine “Kollision”, dass zwei punktförmige Körper identische Positionen im Raum haben.)
  • Singularitäten, bei denen keine Kollision auftritt, aber Q(T) bleibt nicht endlich. In diesem Szenario divergieren Körper in endlicher Zeit ins Unendliche, während sie gleichzeitig in Richtung Nullabstand tendieren (eine imaginäre Kollision findet “im Unendlichen” statt).

Letztere werden als Painlevé-Vermutung (keine Kollisionssingularitäten) bezeichnet. Ihre Existenz wurde vermutet n > 3 von Painlevé (siehe Painlevé-Vermutung). Beispiele für dieses Verhalten für n = 5 wurden von Xia . gebaut[37] und ein heuristisches Modell für n = 4 von Gerver.[38]Donald G. Saari hat gezeigt, dass für 4 oder weniger Körper der Satz von Anfangsdaten, die zu Singularitäten führen, das Maß Null hat.[39]

Simulation[edit]

Während für das klassische (dh nichtrelativistische) Zweikörperproblem und für ausgewählte Konfigurationen mit n > 2, im Allgemeinen n-Körperprobleme müssen mit numerischen Methoden gelöst oder simuliert werden.[18]

Wenige Leichen[edit]

Für eine kleine Anzahl von Körpern und n-Körperproblem kann gelöst werden mit direkte Methoden, auch genannt Teilchen-Teilchen-Methoden. Diese Verfahren integrieren numerisch die Differentialgleichungen der Bewegung. Die numerische Integration für dieses Problem kann aus mehreren Gründen eine Herausforderung darstellen. Erstens ist das Gravitationspotential singulär; es geht ins Unendliche, wenn der Abstand zwischen zwei Teilchen gegen Null geht. Das Gravitationspotential kann erweicht um die Singularität in kleinen Abständen zu entfernen:[18]

Uε=Σ1≤ich<J≤ngmichmJIchQJ−QichIch2+ε2{displaystyle U_{varepsilon}=sum_{1leq i

Zweitens im Allgemeinen für n > 2, das n-Körperproblem ist chaotisch,[40] Das bedeutet, dass selbst kleine Integrationsfehler mit der Zeit exponentiell wachsen können. Drittens kann sich eine Simulation über einen großen Modellzeitraum (zB Millionen von Jahren) erstrecken und numerische Fehler akkumulieren sich mit zunehmender Integrationszeit.

Es gibt eine Reihe von Techniken, um Fehler bei der numerischen Integration zu reduzieren.[18] Lokale Koordinatensysteme werden verwendet, um bei einigen Problemen mit stark unterschiedlichen Maßstäben umzugehen, beispielsweise ein Erde-Mond-Koordinatensystem im Rahmen einer Sonnensystemsimulation. Variationsmethoden und Störungstheorie können ungefähre analytische Trajektorien liefern, auf denen die numerische Integration eine Korrektur sein kann. Die Verwendung eines symplektischen Integrators stellt sicher, dass die Simulation den Hamilton-Gleichungen mit hoher Genauigkeit folgt und insbesondere die Energie erhalten bleibt.

Viele Körper[edit]

Direkte Methoden mit numerischer Integration erfordern in der Größenordnung von 1/2n2 Berechnungen zur Bewertung der potentiellen Energie über alle Teilchenpaare und haben somit eine Zeitkomplexität von Ö(n2). Für Simulationen mit vielen Partikeln ist die Ö(n2) Faktor macht umfangreiche Berechnungen besonders zeitaufwendig.[18]

Es wurden eine Reihe von Näherungsverfahren entwickelt, die den Zeitaufwand gegenüber direkten Verfahren reduzieren:[18]

  • Baumcode-Methoden, wie eine Barnes-Hut-Simulation, sind kollisionsfrei Methoden, die verwendet werden, wenn enge Begegnungen zwischen Paaren nicht wichtig sind und entfernte Teilchenbeiträge nicht mit hoher Genauigkeit berechnet werden müssen. Das Potential einer entfernten Teilchengruppe wird durch eine Multipolentwicklung des Potentials berechnet. Diese Näherung ermöglicht eine Reduzierung der Komplexität auf Ö(n Protokoll n).
  • Schnelle Multipolmethoden nutzen die Tatsache aus, dass die multipolexpandierten Kräfte von entfernten Teilchen für Teilchen nahe beieinander ähnlich sind. Es wird behauptet, dass diese weitere Näherung die Komplexität auf Ö(n).[18]
  • Partikelnetzmethoden den Simulationsraum in ein dreidimensionales Gitter aufteilen, auf das die Massendichte der Partikel interpoliert wird. Dann geht es bei der Berechnung des Potentials darum, eine Poisson-Gleichung auf dem Gitter zu lösen, die berechnet werden kann in Ö(n Protokoll n) Zeit mit schnellen Fourier-Transformationstechniken. Durch adaptive Netzverfeinerung oder Mehrgittertechniken kann die Komplexität der Verfahren weiter reduziert werden.
  • P3m und PM-Baum-Methoden sind Hybridmethoden, die die Partikelnetz-Approximation für entfernte Partikel verwenden, aber genauere Methoden für nahe Partikel (innerhalb weniger Gitterintervalle) verwenden. P3M steht für Teilchen-Teilchen, Teilchen-Netz und verwendet direkte Methoden mit abgeschwächten Potentialen im Nahbereich. PM-Baum-Methoden verwenden stattdessen Baumcodes im Nahbereich. Wie bei Partikelnetzmethoden können adaptive Netze die Recheneffizienz erhöhen.
  • Mean-Field-Methoden nähern Sie das Teilchensystem mit einer zeitabhängigen Boltzmann-Gleichung an, die die Massendichte darstellt, die mit einer selbstkonsistenten Poisson-Gleichung gekoppelt ist, die das Potential darstellt. Es handelt sich um eine Art der Näherung der Hydrodynamik mit geglätteten Teilchen, die für große Systeme geeignet ist.

Starke Gravitation[edit]

In astrophysikalischen Systemen mit starken Gravitationsfeldern, wie denen in der Nähe des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs, n-Körpersimulationen müssen die allgemeine Relativitätstheorie berücksichtigen; solche Simulationen sind die Domäne der numerischen Relativitätstheorie. Die numerische Simulation der Einstein-Feldgleichungen ist extrem anspruchsvoll[18] und wenn möglich, wird ein parametrisierter postnewtonscher Formalismus (PPN) wie die Einstein-Infeld-Hoffmann-Gleichungen verwendet. Das Zweikörperproblem in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist nur für das Kepler-Problem analytisch lösbar, bei dem eine Masse als viel größer angenommen wird als die andere.[41]

Sonstiges n– Körperprobleme[edit]

Die meisten Arbeiten an der n-Körperproblem war das Gravitationsproblem. Aber es gibt andere Systeme, für die n-Körpermathematik und Simulationstechniken haben sich bewährt.

Bei großräumigen elektrostatischen Problemen, wie der Simulation von Proteinen und zellulären Anordnungen in der Strukturbiologie, hat das Coulomb-Potential die gleiche Form wie das Gravitationspotential, außer dass Ladungen positiv oder negativ sein können, was sowohl zu abstoßenden als auch zu anziehenden Kräften führt.[42]Schnelle Coulomb-Löser sind das elektrostatische Gegenstück zu schnellen Multipol-Methodensimulatoren. Diese werden oft mit periodischen Randbedingungen für die simulierte Region verwendet, und Ewald-Summationstechniken werden verwendet, um die Berechnungen zu beschleunigen.[43]

In der Statistik und beim maschinellen Lernen haben einige Modelle Verlustfunktionen ähnlich der des Gravitationspotentials: eine Summe von Kernelfunktionen über alle Objektpaare, wobei die Kernelfunktion vom Abstand zwischen den Objekten im Parameterraum abhängt.[44] Beispiele für Probleme, die in diese Form passen, sind All-Nearest-Neighbors beim Manifold-Learning, Kernel-Dichte-Schätzung und Kernel-Maschinen. Alternative Optimierungen zur Reduzierung der Ö(n2) Zeitkomplexität zu Ö(n) entwickelt wurden, wie z Doppelbaum Algorithmen, die auf die Gravitation anwendbar sind n– Körperproblem auch.

Siehe auch[edit]

  1. ^ Leimanis und Minorsky: Unser Interesse gilt Leimanis, der zuerst etwas über die Geschichte der n– Körperproblem, insbesondere Frau Kovalevskayas 1868-1888 zwanzigjähriger Ansatz mit komplexen Variablen, Versagen; Abschnitt 1: “Die Dynamik starrer Körper und mathematische Außenballistik” (Kapitel 1, “Die Bewegung eines starren Körpers um einen Fixpunkt (Euler- und Poisson-Gleichungen)”; Kapitel 2, “Mathematische Außenballistik”), gute Vorgeschichte zum n-Körperproblem; Abschnitt 2: “Himmelsmechanik” (Kapitel 1, “Die Vereinheitlichung des Dreikörperproblems (eingeschränktes Dreikörperproblem)”; Kapitel 2, “Erfassung im Dreikörperproblem”; Kapitel 3, “Verallgemeinert” n-Körper-Problem”).
  2. ^ Siehe Referenzen für Heggie und Hut zitiert.
  3. ^ Quasi-stationär Lasten bezieht sich auf die augenblicklichen Trägheitslasten, die durch augenblickliche Winkelgeschwindigkeiten und Beschleunigungen sowie durch translatorische Beschleunigungen (9 Variablen) erzeugt werden. Es ist, als ob man ein Foto gemacht hätte, das auch die momentane Position und die Eigenschaften der Bewegung festhält. Im Gegensatz dazu a Gleichgewichtszustand Bedingung bezieht sich darauf, dass der Zustand eines Systems zeitinvariant ist; andernfalls sind die ersten Ableitungen und alle höheren Ableitungen null.
  4. ^ RM Rosenberg erklärt die n-Körperproblem ähnlich (siehe Referenzen): “Jedes Teilchen in einem System aus einer endlichen Anzahl von Teilchen unterliegt einer Newtonschen Gravitationsanziehung von allen anderen Teilchen und keinen anderen Kräften. Wenn der Anfangszustand des Systems gegeben ist, Wie werden sich die Teilchen bewegen?” Rosenberg hat wie alle anderen nicht erkannt, dass es notwendig ist, die Kräfte zu bestimmen Erste bevor die Bewegungen bestimmt werden können.
  5. ^ Eine allgemeine, klassische Lösung in Form von ersten Integralen ist bekanntlich unmöglich. Eine exakte theoretische Lösung für beliebige n kann über Taylor-Reihen approximiert werden, aber in der Praxis muss eine solche unendliche Reihe abgeschnitten werden, was bestenfalls nur eine Näherungslösung ergibt; und ein Ansatz, der jetzt obsolet ist. zusätzlich n-Körperproblem kann durch numerische Integration gelöst werden, aber auch dies sind Näherungslösungen; und wieder veraltet. Siehe das Buch von Sverre J. Aarseth Gravitation n-Körpersimulationen in den Referenzen aufgeführt.
  6. ^ Clark, David H.; Clark, Stephen PH (2001). Die unterdrückten wissenschaftlichen Entdeckungen von Stephen Gray und John Flamsteed, Newtons Tyrannei. WH Freeman und Co.. Eine Popularisierung der historischen Ereignisse und ein Gezänk zwischen diesen Parteien, aber vor allem über die Ergebnisse, die sie hervorgebracht haben.
  7. ^ Sehen Brewster, David (1905). „Entdeckung der Gravitation, AD 1666“. In Johnson, Rossiter (Hrsg.). Die großen Ereignisse berühmter Historiker. XII. Die nationalen Alumni. S. 51–65.
  8. ^ Rudolf Kurth hat in seinem Buch (siehe Referenzen) eine ausführliche Diskussion über planetare Störungen. Nebenbei: Diese mathematisch undefinierten planetarischen Störungen (Wobbles) existieren auch heute noch undefiniert und Planetenbahnen müssen ständig aktualisiert werden, meist jährlich. Siehe Astronomical Ephemeris und American Ephemeris and Nautical Almanac, die gemeinsam von den Nautical Almanac Offices des Vereinigten Königreichs und der Vereinigten Staaten von Amerika erstellt wurden.
  9. ^ Sehen Principia, Buch Drei, System der Welt, “General Scholium”, Seite 372, letzter Absatz. Newton war sich bewusst, dass sein mathematisches Modell die physikalische Realität nicht widerspiegelte. Diese Ausgabe, auf die verwiesen wird, stammt aus der Große Bücher der westlichen Welt, Band 34, das von Andrew Motte übersetzt und von Florian Cajori überarbeitet wurde.[full citation needed] Derselbe Absatz ist auf Seite 1160 in Stephen Hawkins, Auf den Schultern der Giganten, Ausgabe 2002;[full citation needed] ist eine Kopie von Daniel Adees Ergänzung von 1848. Cohen hat auch Neuausgaben übersetzt: Einführung in Newtons Principia, 1970; und Isaac Newtons Principia, mit Lesevarianten, 1972. Cajori schrieb auch Geschichte der Wissenschaft, die online ist.[full citation needed]
  10. ^ ein B Sehen. I. Bernard Cohens Wissenschaftlicher Amerikaner Artikel.
  11. ^ Einzelheiten zu dem schwerwiegenden Fehler in Poincares erster Einreichung finden Sie im Artikel von Diacu.
  12. ^ Meyer 2009, S. 27–28
  13. ^ Meyer 2009, S. 28
  14. ^ Meyer 2009, S. 28–29
  15. ^ ein B C Chenciner 2007
  16. ^ Meyer 2009, S. 34
  17. ^ “AST1100 Lecture Notes: 5 Der Virialsatz” (PDF). Universität Oslo. Abgerufen 25. März 2014.
  18. ^ ein B C D e F g h Trient 2008
  19. ^ Siehe Bate, Mueller und White, Kapitel 1: „Zweikörper-Orbitalmechanik“, S. 1–49. Diese Autoren stammten vom Department of Astronautics and Computer Science der United States Air Force Academy. Ihr Lehrbuch ist nicht mit fortgeschrittener Mathematik gefüllt.
  20. ^ Für den klassischen Ansatz, wenn der gemeinsame Schwerpunkt (dh der Schwerpunkt) der beiden Körper berücksichtigt wird zur Ruhe kommen, dann bewegt sich jeder Körper entlang eines Kegelschnitts, der einen Brennpunkt im Schwerpunkt des Systems hat. Im Fall einer Hyperbel hat sie den Ast an der Seite dieses Fokus. Die beiden Kegelschnitte liegen in derselben Ebene. Die Art des Kegelschnitts (Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel) wird bestimmt, indem man die Summe der kombinierten kinetischen Energie zweier Körper und der potentiellen Energie findet, wenn die Körper weit voneinander entfernt sind. (Diese potentielle Energie ist immer ein negativer Wert; die Rotationsenergie der Körper um ihre Achsen wird hier nicht mitgezählt)
    • Wenn die Summe der Energien negativ ist, ziehen beide Ellipsen nach.
    • Wenn die Summe beider Energien null ist, dann zeichnen sie beide Parabeln nach. Da der Abstand zwischen den Körpern gegen unendlich geht, geht ihre Relativgeschwindigkeit gegen Null.
    • Wenn die Summe beider Energien positiv ist, dann zeichnen sie beide Hyperbeln nach. Da der Abstand zwischen den Körpern gegen unendlich geht, tendiert ihre Relativgeschwindigkeit zu einer positiven Zahl.

  21. ^ Für diesen Ansatz siehe Lindsays Physikalische Mechanik, Kapitel 3: „Kurvilineare Bewegung in einer Ebene“, und insbesondere die Absätze 3–9, „Planetenbewegung“; S. 83–96. Die Lindsay-Präsentation trägt viel dazu bei, diese letzteren Kommentare für das Problem zu erklären Zweikörperproblem; dh wenn die Sonne als fest angenommen wird.
  22. ^ Hinweis: Die Tatsache, dass eine parabolische Umlaufbahn keine Energie hat, ergibt sich aus der Annahme, dass die potentielle Gravitationsenergie gegen Null geht, wenn sich die Körper unendlich weit voneinander entfernen. Könnte man zuordnen irgendein Wert der potentiellen Energie im Zustand unendlicher Trennung. Es wird angenommen, dass dieser Zustand keine potentielle Energie hat vereinbarungs.
  23. ^ Wissenschaftsprogramm
    Die Natur des Universums sagt Clarence Cleminshaw (1902–1985) war stellvertretender Direktor von Griffith-Observatorium 1938–1958 und als Direktor 1958–1969. Einige Veröffentlichungen von Cleminshaw:
    • Cleminshaw, CH: “Celestial Speeds”, 4 1953, Gleichung, Kepler, Umlaufbahn, Komet, Saturn, Mars, Geschwindigkeit.[full citation needed]
    • Cleminshaw, CH: “The Coming Conjunction of Jupiter and Saturn”, 7 1960, Saturn, Jupiter, beobachten, Konjunktion.[full citation needed]
    • Cleminshaw, CH: “The Scale of The Solar System”, 7 1959, Sonnensystem, Skala, Jupiter, Sonne, Größe, Licht.[full citation needed]

  24. ^ Pinsel, Stephen G., Hrsg. (1983). Maxwell über Saturns Ringe. MIT-Presse.
  25. ^ Siehe die historischen Kommentare von Leimanis und Minorsky.
  26. ^ Siehe Moultons Eingeschränktes Drei-Körper-Problem für seine analytische und grafische Lösung.
  27. ^ Siehe Meirovitchs Buch: Kapitel 11: “Problems in Celestial Mechanics”; 12; “Problem in der Raumfahrzeugdynamik”; und Anhang A: “Dyadics”.
  28. ^ Huang, Su-Shu. “Sehr eingeschränktes Vier-Körper-Problem”. NASA TND-501.
  29. ^ Negri, Rodolfo B.; Prado, Antonio FBA (2020). „Verallgemeinerung des Bicircular Restricted Four-Body Problem“. Zeitschrift für Führung, Kontrolle und Dynamik. 43 (6): 1173–1179. Bibcode:2020JGCD…43.1173N. mach:10.2514/1.G004848. S2CID 213600592.
  30. ^ ein B C Chierchia 2010
  31. ^ Féjoz 2004
  32. ^ Siehe Chierchia 2010 für Animationen, die homografische Bewegungen veranschaulichen.
  33. ^ Celletti 2008
  34. ^ Moore, Christopher (1993-06-14). “Zöpfe in klassischer Dynamik”. Physische Überprüfungsschreiben. 70 (24): 3675–3679. Bibcode:1993PhRvL..70.3675M. mach:10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID 10053934.
  35. ^ Chenciner, Alain; Montgomery, Richard (November 2000). „Eine bemerkenswerte periodische Lösung des Dreikörperproblems bei gleichen Massen“. Die Annalen der Mathematik. 152 (3): 881. arXiv:mathe/0011268. Bibcode:2000mathe…..11268C. mach:10.2307/2661357. JSTOR 2661357. S2CID 10024592.
  36. ^ Qiu-Dong, Wang (1990-03-01). „Die globale Lösung des N-Körper-Problems“. Himmelsmechanik und dynamische Astronomie. 50 (1): 73–88. Bibcode:1990CeMDA..50…73W. mach:10.1007/BF00048987. ISSN 0923-2958. S2CID 118132097.
  37. ^ Xia, Zhihong (Mai 1992). „Die Existenz von Nichtkollisionssingularitäten in Newtonschen Systemen“. Ann. Mathematik. Zweite Serie. 135 (3): 411–468. mach:10.2307/2946572. JSTOR 2946572.
  38. ^ Gerver, Joseph L. (2003). “Nichtkollisionssingularitäten: Genügen vier Körper?”. Erw. Mathematik. 12 (2): 187–198. mach:10.1080/10586458.2003.10504491. S2CID 23816314.
  39. ^ Saari, Donald G. (1977). “Ein globaler Existenzsatz für das Vierkörperproblem der Newtonschen Mechanik”. J. Differentialgleichungen. 26 (1): 80–111. Bibcode:1977JDE….26…80S. mach:10.1016/0022-0396(77)90100-0.
  40. ^ Alligood 1996
  41. ^ Blanche 2001
  42. ^ Krumscheid 2010
  43. ^ Vorstand 1999
  44. ^ Ram 2010

Verweise[edit]

  • Aarseth, Sverre J. (2003). Gravitation n-Körpersimulationen, Werkzeuge und Algorithmen. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43272-6.
  • Alligood, KT; Sauer, TD; Yorke, JA (1996). Chaos: Eine Einführung in dynamische Systeme. New York: Springer. S. 46–48. ISBN 978-0-387-94677-1.
  • Bate, Roger R.; Müller, Donald D.; Weiß, Jerry (1971). Grundlagen der Astrodynamik. New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-60061-1.CS1-Wartung: Datum und Jahr (Link)
  • Blanchet, Luc (2001). „Über das Zweikörperproblem in der Allgemeinen Relativitätstheorie“. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série IV. 2 (9): 1343-1352. arXiv:gr-qc/0108086. Bibcode:2001CRASP….2.1343B. mach:10.1016/s1296-2147(01)01267-7. S2CID 119101016.
  • Vorstand, John A., Jr.; Humphres, Christopher W.; Lambert, Christophe G.; Rankin, William T.; Toukmaji, Abdulnour Y. (1999). “Ewald- und Multipol-Methoden für periodische n-Körperprobleme”. In Deuflhard, Peter; Hermans, Jan; Leimkuhler, Benedict; Mark, Alan E.; Reich, Sebastian; Skeel, Robert D. (Hrsg.). Computergestützte Molekulardynamik: Herausforderungen, Methoden, Ideen. Berlin & Heidelberg: Springer. S. 459–471. CiteSeerX 10.1.1.15.9501. mach:10.1007/978-3-642-58360-5_27. ISBN 978-3-540-63242-9.
  • Bronowski, Jacob; Mazlish, Bruce (1986) [1960]. Die westliche intellektuelle Tradition von Leonardo bis Hegel. New York: Dorset-Presse. ISBN 978-0-88029-069-2.
  • Celletti, Alessandra (2008). “Computergestützte Himmelsmechanik”. Scholarpedia. 3 (9): 4079. Bibcode:2008SchpJ…3.4079C. mach:10.4249/scholarpedia.4079.
  • Chenciner, Alain (2007). “Drei-Körper-Problem”. Scholarpedia. 2 (10): 2111. Bibcode:2007SchpJ…2.2111C. mach:10.4249/scholarpedia.2111.
  • Chierchia, Luigi; Mather, John N. (2010). “Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorie”. Scholarpedia. 5 (9): 2123. Bibcode:2010SchpJ…5.2123C. mach:10.4249/scholarpedia.2123.
  • Cohen, I. Bernard (März 1980). „Newtons Entdeckung der Schwerkraft“. Wissenschaftlicher Amerikaner. 244 (3): 167–179. Bibcode:1981SciAm.244c.166C. mach:10.1038/scientificamerican0381-166.
  • Cohen, I. Bernard (1985). Die Geburt einer neuen Physik, überarbeitet und aktualisiert. New York: WW Norton & Co. ISBN 978-0-393-30045-1.
  • Diacu, F. (1996). „Die Lösung der n– Körperproblem” (PDF). Der mathematische Intelligenzr. 18 (3): 66–70. mach:10.1007/bf03024313. S2CID 119728316.
  • Féjoz, J. (2004). “Démonstration du ‘théorème d’Arnold’ sur la stabilité du système planétaire (d’après Herman)”. Ergodische Theorie Dynamik. Systeme. 24 (5): 1521–1582. mach:10.1017/S0143385704000410. S2CID 123461135.
  • Heggie, Douglas; Hütte, Piet (2003). Das Gravitations-Millionen-Körper-Problem, ein multidisziplinärer Ansatz für die Dynamik von Sternhaufen. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-77303-4.
  • Heggie, Douglas C. (1991). “Chaos im n-body Problem of Stellar Dynamics”. In Roy, AE (Hrsg.). Vorhersehbarkeit, Stabilität und Chaos in n-Körperdynamische Systeme. New York: Plenum Press. ISBN 978-0-306-44034-2.
  • Hufbauer, Karl (1991). Exploring the Sun: Solar Science seit Galileo. Baltimore: Johns Hopkins University Press, gesponsert vom NASA History Office. ISBN 978-0-8018-4098-2.
  • Krumscheid, Sebastian (2010). Benchmark schneller Coulomb-Solver für offene und periodische Randbedingungen (Bericht). Technischer Bericht FZJ-JSC-IB-2010-01. Rechenzentrum Jülich. CiteSeerX 10.1.1.163.3549.
  • Kurth, Rudolf (1959). Einführung in die Mechanik des Sonnensystems. London: Pergamon-Presse. ISBN 978-0-08-009141-9.
  • Leimanis, E.; Minorski, N. (1958). „Teil I: „Einige jüngste Fortschritte in der Dynamik starrer Körper und der Himmelsmechanik“ (Leimanis); Teil II: „Die Theorie der Schwingungen“ (Minorsky)“. Dynamik und nichtlineare Mechanik. New York: John Wiley & Söhne. WIE IN B0006AVKQW. OCLC 1219303.
  • Lindsay, Robert Bruce (1961). Physikalische Mechanik (3. Aufl.). Princeton: D. Van Nostrand Co. ASIN B0000CLA7B. OCLC 802752879.
  • Meirovitch, Leonard (1970). Methoden der analytischen Dynamik. New York: McGraw-Hill Book Co. ISBN 978-0-07-041455-6.
  • Meyer, Kenneth Ray; Hall, Glen R. (2009). Einführung in Hamiltonsche dynamische Systeme und die n-Körper-Problem. New York: Springer Wissenschaft & Wirtschaftsmedien. ISBN 978-0-387-09724-4.
  • Mittag-Leffler, G. (1885–86). “Die n-Körperproblem (Preisausschreibung)”. Acta Mathematica. 7: I–VI. mach:10.1007/BF02402191.
  • Moulton, Waldstrahl (1970). Eine Einführung in die Himmelsmechanik. New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-62563-8.
  • Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (in Latein). London [London]: Jussu Societatis Regiæ ac Typis Josephi Streater. Prostata apud plures Bibliopolas. OCLC 915353069. Auch englische Übersetzung der 3. Auflage (1726) von I. Bernard Cohen und Anne Whitman (Berkeley, CA, 1999). ISBN 978-0-520-08817-7.
  • Ram, Parikshit; Lee, Dongryeol; März, William B.; Grau, Alexander G. (2009). “Linearzeitalgorithmen für paarweise statistische Probleme” (PDF). NIPS: 1527–1535. Archiviert von das Original (PDF) am 2017-04-21. Abgerufen 2014-03-28.
  • Rosenberg, Reinhardt M. (1977). “Kapitel 19: Über himmlische Probleme”. Analytische Dynamik diskreter Systeme. New York: Plenum Press. S. 364–371. ISBN 978-0-306-31014-0.
  • Gallant, Roy A. (1968). Die Natur des Universums. Garden City, NY: Doppeltag. In Zusammenarbeit mit dem Wissenschaftsdienst. OCLC 689289.
  • Sundmann, KF (1912). “Mémoire sur le problème de trois corps”. Acta Mathematica. 36: 105–179. mach:10.1007/bf02422379.
  • Tisserand, François Félix (1894). “Traité de Mécanique Céleste” (PDF). Lilliad – Université de Lille – Wissenschaften und Technologien. Paris: Gauthier-Villars Et Fils. III: 27. hdl:1908/4228. OCLC 951409281.
  • Trenti, Michele; Hütte, Piet (2008). “n-Körpersimulationen”. Scholarpedia. 3 (5): 3930. Bibcode:2008SchpJ…3.3930T. mach:10.4249/scholarpedia.3930.
  • Truesdell, Clifford (1968). Aufsätze zur Geschichte der Mechanik. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-86649-4.
  • Van Winter, Clasine (1970). “Die n-Körperproblem auf einem Hilbertraum analytischer Funktionen”. In Gilbert, Robert P.; Newton, Roger G. (Hrsg.). Analytische Methoden in der mathematischen Physik. New York: Gordon und Breach. S. 569–578. OCLC 848738761.
  • Wang, Qiudong (1991). “Die globale Lösung der n-Körperproblem”. Himmelsmechanik und dynamische Astronomie. 50 (1): 73–88. Bibcode:1991CeMDA..50…73W. mach:10.1007/BF00048987. ISSN 0923-2958. HERR 1117788. S2CID 118132097.
  • Xia, Zhihong (1992). „Die Existenz von Nichtkollisionssingularitäten in Newtonschen Systemen“. Annalen der Mathematik. 135 (3): 411–468. mach:10.2307/2946572. JSTOR 2946572.

Weiterlesen[edit]

  • Battin, Richard H. (1987). Eine Einführung in die Mathematik und Methoden der Astrodynamik. AIAA. Verwendet Energiemethoden anstelle eines Newtonschen Ansatzes.
  • Boccaletti, D.; Pucacco, G. (1998). Theorie der Bahnen. Springer-Verlag.
  • Brouwer, Dirk; Clemence, Gerald M. (1961). Methoden der Himmelsmechanik. Akademische Presse.
  • Crandall, Richard E. (1996). “Kapitel 5: “Nichtlineare und komplexe Systeme”; Absatz 5.1: “n-Körperprobleme & Chaos““. Themen in Advanced Scientific Computing. Springer-Verlag. S. 215–221.
  • Crandall, Richard E. (1996). “Kapitel 2: “Exploratory Computation”; Projekt 2.4.1: “Klassische Physik““. Projekte im Bereich Wissenschaftliches Rechnen. Computer in der Physik. 8 (korrigierte 3. Aufl.). Springer-Verlag. S. 93–97. Bibcode:1994ComPh…8..531C. mach:10.1063/1.4823331.
  • Eisele, John A.; Mason, Robert M. (1970). „Angewandte Matrix- und Tensoranalyse“. Physik heute. 25 (12): 55. Bibcode:1972PhT….25l..55E. mach:10.1063/1.3071146.
  • Gelman, Harry (1968). “Die zweite Orthogonalitätsbedingungen in der Theorie der Eigen- und Uneigenheitsrotationen: Herleitung der Bedingungen und ihrer Hauptfolgen”. J. Res. NBS 72B (Mathematik Wissenschaft). 1968 (3).Gelman, Harry (1968). “Der intrinsische Vektor”. J. Res. NBS 72B (Mathematik Wissenschaft). 1968 (3).Gelman, Harry (1969). „Der Konjugationssatz“. J. Res. NBS 72B (Mathematik Wissenschaft). 1969 (2).Gelman, Harry (Oktober 1971). “Ein Hinweis zur Zeitabhängigkeit der wirksamen Achse und des Winkels einer Drehung”. J. Res. NBS 72B (Mathematik Wissenschaft). 1971 (3–4).
  • Hagihara, Y. (1970). Himmlische Mechanik. I, II Punkt 1, II Punkt 2. MIT Press.
  • Korenev, GV (1967). Die Mechanik geführter Körper. CRC-Presse.
  • Meriam, JL (1978). Technische Mechanik. 1-2. John Wiley & Söhne.
  • Murray, Carl D.; Dermott, Stanley F. (2000). Dynamik des Sonnensystems. Cambridge University Press.
  • Quadling, Henley (Juni 1994). Gravitation n-Körpersimulation: 16-Bit-DOS-Version. nbody*.zip ist verfügbar unter https://web.archive.org/web/19990221123102/http://ftp.cica.indiana.edu/: siehe externe Links.
  • Saari, D. (1990). “Ein Besuch im Newtonschen n-Körperproblem über elementare komplexe Variablen”. Amerikanische mathematische Monatszeitschrift. 89 (2): 105–119. mach:10.2307/2323910. JSTOR 2323910.
  • Saari, GD; Hülkower, ND (1981). “Über die Mannigfaltigkeiten der totalen Kollapsbahnen und der vollständig parabolischen Bahnen für die n-Körperproblem”. Zeitschrift für Differentialgleichungen. 41 (1): 27–43. Bibcode:1981JDE….41…27S. mach:10.1016/0022-0396(81)90051-6.
  • Szebehely, Victor (1967). Theorie der Bahnen. Akademische Presse.

Externe Links[edit]