Mathematik im mittelalterlichen Islam – Wikipedia

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Überblick über die Rolle der Mathematik im mittelalterlichen Islam

Die Mathematik im Goldenen Zeitalter des Islam, insbesondere im 9. und 10. Jahrhundert, baute auf der griechischen Mathematik (Euklid, Archimedes, Apollonius) und der indischen Mathematik (Aryabhata, Brahmagupta) auf. Es wurden wichtige Fortschritte erzielt, wie die vollständige Entwicklung des Dezimalstellensystems, das Dezimalbrüche einschließt, die erste systematische Untersuchung der Algebra und Fortschritte in Geometrie und Trigonometrie.[1]

Arabische Werke spielten im 10. bis 12. Jahrhundert eine wichtige Rolle bei der Übertragung der Mathematik nach Europa.[2]

Konzepte[edit]

Omar Khayyáms “Kubische Gleichungen und Schnittmengen von Kegelschnitten” die erste Seite des zweiteiligen Manuskripts, das in der Universität Teheran aufbewahrt wird

Algebra[edit]

Das Studium der Algebra, deren Name sich vom arabischen Wort ableitet, das Vervollständigung oder “Wiedervereinigung zerbrochener Teile” bedeutet,[3] blühte während des islamischen goldenen Zeitalters auf. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, ein Gelehrter im Haus der Weisheit in Bagdad, ist zusammen mit dem griechischen Mathematiker Diophantus bekannt als der Vater der Algebra. In seinem Buch Das Compendious Book on Compensation by Completion and Balancing, Al-Khwarizmi befasst sich mit Wegen, um die positiven Wurzeln von Polynomgleichungen ersten und zweiten Grades (linear und quadratisch) aufzulösen. Er führt auch die Reduktionsmethode ein und gibt im Gegensatz zu Diophantus allgemeine Lösungen für die Gleichungen, mit denen er sich beschäftigt.[4][5][6]

Al-Khwarizmis Algebra war rhetorisch, was bedeutet, dass die Gleichungen in ganzen Sätzen aufgeschrieben wurden. Dies war anders als das algebraische Werk von Diophantus, das synkopiert wurde, was bedeutet, dass eine gewisse Symbolik verwendet wird. Der Übergang zur symbolischen Algebra, in der nur Symbole verwendet werden, kann in den Arbeiten von Ibn al-Banna’ al-Marrakushi und Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī gesehen werden.[7][6]

Über die Arbeit von Al-Khwarizmi sagten JJ O’Connor und Edmund F. Robertson:[8]

„Vielleicht begann zu dieser Zeit mit dem Werk von al-Khwarizmi einer der bedeutendsten Fortschritte der arabischen Mathematik, nämlich die Anfänge der Algebra. Es ist wichtig zu verstehen, wie bedeutsam diese neue Idee war. Es war eine revolutionäre Abkehr von das griechische Konzept der Mathematik, das im Wesentlichen Geometrie war. Algebra war eine vereinheitlichende Theorie, die es erlaubte, rationale Zahlen, irrationale Zahlen, geometrische Größen usw. alle als “algebraische Objekte” zu behandeln. Sie gab der Mathematik einen ganz neuen Entwicklungsweg, der so viel breiter war konzeptionell an das, was zuvor existiert hatte, und stellte ein Vehikel für die zukünftige Entwicklung des Fachs dar. Ein weiterer wichtiger Aspekt bei der Einführung algebraischer Ideen war, dass sie es ermöglichte, die Mathematik auf eine Weise auf sich selbst anzuwenden, die es noch nie zuvor gegeben hatte.”

Mehrere andere Mathematiker während dieser Zeit erweiterten die Algebra von Al-Khwarizmi. Abu Kamil Shuja’ schrieb ein Algebra-Buch mit geometrischen Illustrationen und Beweisen. Er zählte auch alle möglichen Lösungen für einige seiner Probleme auf. Abu al-Jud, Omar Khayyam, zusammen mit Sharaf al-Dīn al-Tūsī, fanden mehrere Lösungen der kubischen Gleichung. Omar Khayyam hat die allgemeine geometrische Lösung einer kubischen Gleichung gefunden.

Kubische Gleichungen[edit]

Um die Gleichung dritten Grades zu lösen x3 + ein2x = b Khayyám konstruierte die Parabel x2 = ay, ein Kreis mit Durchmesser b/ein2, und eine vertikale Linie durch den Schnittpunkt. Die Lösung ergibt sich aus der Länge des horizontalen Liniensegments vom Ursprung bis zum Schnittpunkt der vertikalen Linie und der x-Achse.

Omar Khayyam (ca. 1038/48 im Iran – 1123/24) schrieb die Abhandlung über die Demonstration von Problemen der Algebra die die systematische Lösung kubischer oder dritter Gleichungen enthält, die über die Algebra von al-Khwārizmī. Khayyám erhielt die Lösungen dieser Gleichungen, indem er die Schnittpunkte zweier Kegelschnitte fand. Diese Methode wurde von den Griechen verwendet, aber sie verallgemeinerten die Methode nicht, um alle Gleichungen mit positiven Wurzeln abzudecken.

Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (? in Tus, Iran – 1213/4) entwickelte einen neuartigen Ansatz zur Untersuchung kubischer Gleichungen – einen Ansatz, bei dem es darum ging, den Punkt zu finden, an dem ein kubisches Polynom seinen Maximalwert erreicht. Um zum Beispiel die Gleichung zu lösen

x3+ein=bx{displaystyle x^{3}+a=bx}

, mit ein und b positiv, würde er bemerken, dass der maximale Punkt der Kurve

ja=bx−x3{displaystyle y=bx-x^{3}}

tritt auf um

x=b3{displaystyle x=textstyle {sqrt {frac {b}{3}}}}

, und dass die Gleichung keine Lösungen hat, eine Lösung oder zwei Lösungen, je nachdem, ob die Höhe der Kurve an diesem Punkt kleiner, gleich oder größer als war ein. Seine erhaltenen Werke geben keinen Hinweis darauf, wie er seine Formeln für die Maxima dieser Kurven entdeckte. Verschiedene Vermutungen wurden vorgeschlagen, um seine Entdeckung zu erklären.[12]

Induktion[edit]

Die frühesten impliziten Spuren mathematischer Induktion finden sich in Euklids Beweis, dass die Zahl der Primzahlen unendlich ist (ca. 300 v. Chr.). Die erste explizite Formulierung des Induktionsprinzips wurde von Pascal in seinem Traité du Triangle Arithmetik (1665).

Dazwischen wurde der implizite Induktionsbeweis für arithmetische Folgen von al-Karaji (um 1000) eingeführt und von al-Samaw’al fortgesetzt, der ihn für Spezialfälle des Binomialsatzes und Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks verwendete.

Irrationale Zahlen[edit]

Die Griechen hatten irrationale Zahlen entdeckt, waren aber mit ihnen nicht zufrieden und konnten nur durch eine Unterscheidung zwischen cope Größe und Nummer. Aus griechischer Sicht variierten die Größen kontinuierlich und konnten für Entitäten wie Liniensegmente verwendet werden, während Zahlen diskret waren. Daher konnten Irrationale nur geometrisch gehandhabt werden; und tatsächlich war die griechische Mathematik hauptsächlich geometrisch. Islamische Mathematiker wie Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam und Ibn Tahir al-Baghdadi entfernten langsam die Unterscheidung zwischen Größe und Zahl und ließen irrationale Größen als Koeffizienten in Gleichungen und als Lösungen algebraischer Gleichungen erscheinen.[13][14] Sie arbeiteten frei mit Irrationalen als mathematischen Objekten, aber sie untersuchten ihre Natur nicht genau.[15]

Im zwölften Jahrhundert führten lateinische Übersetzungen von Al-Khwarizmis Arithmetik auf die indischen Ziffern das dezimale Positionszahlensystem in die westliche Welt ein.[16] Seine Kompendiumsbuch zur Berechnung nach Abschluss und Bilanzierung präsentierte die erste systematische Lösung linearer und quadratischer Gleichungen. Im Europa der Renaissance galt er als der ursprüngliche Erfinder der Algebra, obwohl heute bekannt ist, dass sein Werk auf älteren indischen oder griechischen Quellen beruht.[17] Er überarbeitete Ptolemaios Erdkunde und schrieb über Astronomie und Astrologie. CA Nallino weist jedoch darauf hin, dass al-Khwarizmis Originalwerk nicht auf Ptolemäus basierte, sondern auf einer abgeleiteten Weltkarte, vermutlich in Syrisch oder Arabisch.

Sphärische Trigonometrie[edit]

Das kugelförmige Sinusgesetz wurde im 10. Jahrhundert entdeckt: Es wurde verschiedentlich Abu-Mahmud Khojandi, Nasir al-Din al-Tusi und Abu Nasr Mansur zugeschrieben, mit Abu al-Wafa’ Buzjani als Mitwirkenden.[13]Ibn Muʿādh al-Jayyānīs Das Buch der unbekannten Sphärenbögen im 11. Jahrhundert das allgemeine Sinusgesetz eingeführt.[19] Das ebene Gesetz der Sinus wurde im 13. Jahrhundert von Nasīr al-Dīn al-Tūsī beschrieben. In seinem Auf der Sektorfigur, stellte er das Sinusgesetz für ebene und sphärische Dreiecke auf und lieferte Beweise für dieses Gesetz.[20]

Negative Zahlen[edit]

Im 9. Jahrhundert kannten islamische Mathematiker negative Zahlen aus den Werken indischer Mathematiker, aber die Anerkennung und Verwendung negativer Zahlen blieb in dieser Zeit schüchtern.[21]Al-Khwarizmi verwendet keine negativen Zahlen oder negativen Koeffizienten.[21] Aber innerhalb von fünfzig Jahren illustrierte Abu Kamil die Zeichenregeln für die Erweiterung der Multiplikation

(ein±b)(c±d){displaystyle (apm b)(cpm d)}

.[22]Al-Karaji schrieb in seinem Buch al-Fakhr dass “negative Mengen als Terme gezählt werden müssen”.[21] Im 10. Jahrhundert betrachtete Abū al-Wafā’ al-Būzjānī Schulden als negative Zahlen in Ein Buch über das Notwendige aus der Arithmetik für Schreiber und Geschäftsleute.[22]

Im 12. Jahrhundert sollten al-Karajis Nachfolger die allgemeinen Zeichenregeln aufstellen und sie zum Lösen von Polynomdivisionen verwenden.[21] Wie al-Samaw’al schreibt:

das Produkt einer negativen Zahl — al-nāqiṣ — durch eine positive Zahl — al-zāʾid — negativ ist und bei einer negativen Zahl positiv ist. Wenn wir eine negative Zahl von einer höheren negativen Zahl abziehen, ist der Rest ihre negative Differenz. Die Differenz bleibt positiv, wenn wir eine negative Zahl von einer niedrigeren negativen Zahl abziehen. Wenn wir eine negative Zahl von einer positiven Zahl abziehen, ist der Rest ihre positive Summe. Wenn wir eine positive Zahl von einer leeren Potenz (martaba khāliyya), ist der Rest dieselbe negative Zahl, und wenn wir eine negative Zahl von einer leeren Potenz subtrahieren, ist der Rest dieselbe positive Zahl.[21]

Doppelte falsche Position[edit]

Zwischen dem 9. und 10. Jahrhundert schrieb der ägyptische Mathematiker Abu Kamil eine heute verschollene Abhandlung über die Verwendung der doppelten falschen Position, bekannt als die Buch der zwei Fehler (Kitāb al-khaṭāʾayn). Die älteste erhaltene Schrift über die doppelte falsche Position aus dem Nahen Osten stammt von Qusta ibn Luqa (10. Jahrhundert), einem arabischen Mathematiker aus Baalbek, Libanon. Er begründete die Technik mit einem formalen geometrischen Beweis im euklidischen Stil. In der Tradition der mittelalterlichen muslimischen Mathematik war die doppelte falsche Position bekannt als hisāb al-khaṭāʾayn (“Rechnung mit zwei Fehlern”). Es wurde jahrhundertelang verwendet, um praktische Probleme wie kaufmännische und rechtliche Fragen (Nachlassaufteilungen nach den Regeln des koranischen Erbes) sowie reine Freizeitprobleme zu lösen. Der Algorithmus wurde oft mit Hilfe von Mnemonik auswendig gelernt, wie einem Vers, der Ibn al-Yasamin zugeschrieben wird, und Gleichgewichtsskalendiagrammen, die von al-Hassar und Ibn al-Banna erklärt wurden, die beide Mathematiker marokkanischer Herkunft waren.[23]

Andere wichtige Persönlichkeiten[edit]

Sally P. Ragep, eine Wissenschaftshistorikerin im Islam, schätzte 2019, dass „Zehntausende“ arabischer Manuskripte in mathematischen Wissenschaften und Philosophie ungelesen bleiben, was Studien liefert, die „individuelle Vorurteile widerspiegeln und einen begrenzten Fokus auf relativ wenige Texte und text Gelehrte”.[24][full citation needed]

Galerie[edit]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ Katz (1993): “Eine vollständige Geschichte der Mathematik des mittelalterlichen Islam kann noch nicht geschrieben werden, da so viele dieser arabischen Manuskripte unerforscht liegen… Dennoch ist die allgemeine Gliederung… bekannt. Insbesondere islamische Mathematiker entwickelten die Dezimalstellen-Zahlensystem, das Dezimalbrüche einschließt, systematisierte das Studium der Algebra und begann, die Beziehung zwischen Algebra und Geometrie zu untersuchen, studierte und machte Fortschritte bei den wichtigsten griechischen geometrischen Abhandlungen von Euklid, Archimedes und Apollonius, und machte bedeutende Verbesserungen ebene und sphärische Geometrie.” Smith (1958) Bd. 2, No. 1, Kapitel VII.4: “Allgemein kann gesagt werden, dass das Goldene Zeitalter der arabischen Mathematik weitgehend auf das 9. und 10. Jahrhundert beschränkt war; dass die Welt arabischen Gelehrten für die Bewahrung und Weitergabe der Klassiker der griechischen Mathematik; und dass ihre Arbeit hauptsächlich die der Übertragung war, obwohl sie eine beträchtliche Originalität in der Algebra entwickelten und in ihrer Arbeit in der Trigonometrie ein gewisses Genie zeigten.
  2. ^ Adolph P. Yushkevich Sertima, Ivan Van (1992), Goldenes Zeitalter der Mauren, Band 11, Transaktions-Publisher, p. 394, ISBN 1-56000-581-5 “Die islamischen Mathematiker übten einen starken Einfluss auf die Entwicklung der Wissenschaften in Europa aus, bereichert durch ihre eigenen Entdeckungen ebenso wie durch die, die sie von den Griechen, Indern, Syrern, Babyloniern usw. geerbt hatten.”
  3. ^ “Algebra”. Online-Wörterbuch der Etymologie.
  4. ^ Boyer, Carl B. (1991). „Die arabische Hegemonie“. Eine Geschichte der Mathematik (Zweite Aufl.). John Wiley & Söhne. s. 228. ISBN 0-471-54397-7.
  5. ^ Swetz, Frank J. (1993). Lernaktivitäten aus der Geschichte der Mathematik. Walch Verlag. s. 26. ISBN 978-0-8251-2264-4.
  6. ^ ein b Gullberg, Jan (1997). Mathematik: Von der Geburt der Zahlen. WW Norton. s. 298. ISBN 0-393-04002-X.
  7. ^ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “al-Marrakushi ibn Al-Banna”, MacTutor Geschichte der Mathematik Archiv, Universität St. Andrews
  8. ^ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Arabische Mathematik: vergessene Brillanz?”, MacTutor Geschichte der Mathematik Archiv, Universität St. Andrews
  9. ^ Berggren, J. Lennart; Al-Tūsī, Sharaf Al-Dīn; Rashed, Roshdi (1990). “Innovation und Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsīs al-Muʿādalāt”. Zeitschrift der American Oriental Society. 110 (2): 304–309. mach:10.2307/604533. JSTOR 604533.
  10. ^ ein b Sesiano, Jacques (2000). Helaine, Selin; Ubiratan, D’Ambrosio (Hrsg.). Islamische Mathematik. Kulturübergreifende Mathematik: Die Geschichte der nicht-westlichen Mathematik. Springer. S. 137–157. ISBN 1-4020-0260-2.
  11. ^ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Mansur ibn Tahir Al-Baghdadi”, MacTutor Geschichte der Mathematik Archiv, Universität St. Andrews
  12. ^ Allen, G. Donald (o. J.). “Die Geschichte der Unendlichkeit” (PDF). Texas A&M University. Abgerufen 7. September 2016.
  13. ^ Struik 1987, S. 93
  14. ^ Rosen 1831, p. v–vi; Toomer 1990
  15. ^ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani”, MacTutor Geschichte der Mathematik Archiv, Universität St. Andrews
  16. ^ Berggren, J. Lennart (2007). „Mathematik im mittelalterlichen Islam“. Die Mathematik Ägyptens, Mesopotamiens, Chinas, Indiens und des Islam: Ein Quellenbuch. Princeton University Press. s. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
  17. ^ ein b c d e Rashed, R. (1994-06-30). Die Entwicklung der arabischen Mathematik: Zwischen Arithmetik und Algebra. Springer. S. 36–37. ISBN 9780792325659.
  18. ^ ein b Mat Rofa Bin Ismail (2008), Helaine Selin (Hrsg.), “Algebra in der islamischen Mathematik”, Enzyklopädie der Geschichte der Wissenschaft, Technik und Medizin in nicht-westlichen Kulturen (2. Aufl.), Springer, 1, s. 115, ISBN 9781402045592
  19. ^ Schwartz, RK (2004). Probleme bei der Entstehung und Entwicklung von Hisab al-Khata’ayn (Berechnung nach doppelter falscher Position). Achtes Nordafrikanisches Treffen zur Geschichte der arabischen Mathematik. Radès, Tunesien. Online verfügbar unter: http://facstaff.uindy.edu/~oaks/Biblio/COMHISMA8paper.doc Archiviert 15.09.2011 bei der Wayback Machine und “Archivierte Kopie” (PDF). Archiviert von das Original (PDF) am 2014-05-16. Abgerufen 2012-06-08.CS1-Wartung: archivierte Kopie als Titel (Link)
  20. ^ “Naturwissenschaftliche Lehre in vormodernen Gesellschaften”, in Filmvorführung und Podiumsdiskussion, McGill Universität, 15. Januar 2019.

Quellen[edit]

  • Boyer, Carl B. (1991), “Griechische Trigonometrie und Messung und die arabische Hegemonie”, Eine Geschichte der Mathematik (2. Aufl.), New York City: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-54397-7
  • Nallino, CA (1939), “Al-Ḥuwārismī e il suo rifacimento della Geografia di Tolomeo”, Raccolta di scritti editi e inediti, V, Rom: Istituto per l’Oriente, S. 458–532. (auf Italienisch)
  • Struik, Dirk J. (1987), Eine kurze Geschichte der Mathematik (4. rev. Aufl.), Dover Publications, ISBN 0-486-60255-9

Weiterlesen[edit]

Bücher über islamische Mathematik
  • Berggren, J. Lennart (1986). Episoden in der Mathematik des mittelalterlichen Islam. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96318-9.
  • Daffa’, Ali Abdullah al- (1977). Der muslimische Beitrag zur Mathematik. London: Croom-Helm. ISBN 0-85664-464-1.
  • Katz, Victor J. (1993). Eine Geschichte der Mathematik: Eine Einführung. HarperCollins College-Verlage. ISBN 0-673-38039-4.
  • Ronan, Colin A. (1983). Die Cambridge Illustrated History of the World Science. Cambridge University Press. ISBN 0-521-25844-8.
  • Smith, David E. (1958). Geschichte der Mathematik. Dover-Publikationen. ISBN 0-486-20429-4.
  • Rashed, Roshdi (2001). Die Entwicklung der arabischen Mathematik: Zwischen Arithmetik und Algebra. Übersetzt von AFW Armstrong. Springer. ISBN 0-7923-2565-6.
  • Rosen, Friedrich (1831). Die Algebra von Mohammed Ben Musa. Kessinger-Verlag. ISBN 1-4179-4914-7.
  • Toomer, Gerald (1990). “Al-Khwārizmī, Abu Ja’far Muḥammad ibn Mūsā”. In Gillispie, Charles Coulston (Hrsg.). Wörterbuch der wissenschaftlichen Biographie. 7. New York: Charles Scribners Söhne. ISBN 0-684-16962-2.
  • Youschkevitch, Adolf P.; Rozenfeld, Boris A. (1960). Die Mathematik der Länder des Ostens im Mittelalter. Berlin. Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft S. 62–160.
  • Youschkevitch, Adolf P. (1976). Les mathématiques Arabes: VIIIe–XVe siècles. übersetzt von M. Cazenave und K. Jaouiche. Paris: Vrin. ISBN 978-2-7116-0734-1.
Buchkapitel zur islamischen Mathematik
Bücher zur Islamwissenschaft
Bücher zur Geschichte der Mathematik
Zeitschriftenartikel zur islamischen Mathematik
Bibliographien und Biographien
  • Brockelmann, Carl. Geschichte der Arabischen Literatur. 1.–2. Band, 1.–3. Ergänzungsband. Berlin: Emil Fischer, 1898, 1902; Leiden: Brill, 1937, 1938, 1942.
  • Sánchez Pérez, José A. (1921). Biografías de Matemáticos Árabes que florecieron en España. Madrid: Estanislao Maestre.
  • Sezgin, Fuat (1997). Geschichte des arabischen Schrifttums (auf Deutsch). Brill Akademischer Verlag. ISBN 90-04-02007-1.
  • Suter, Heinrich (1900). Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke. Abhandlungen zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften Mit Einschluss Ihrer Anwendungen, X Heft. Leipzig.
Fernsehdokumentationen

Externe Links[edit]