Nichtlineare Steuerung – Wikipedia

Posted on by

Kontrolltheorie für nichtlineare oder zeitvariante Systeme

Ein Feedback-Kontrollsystem. Es ist erwünscht, ein System (oft als bezeichnet) zu steuern Pflanze, Anlage) so folgt seine Ausgabe einem gewünschten Hinweis Signal. EIN Sensor überwacht den Ausgang und a Regler subtrahiert die tatsächliche Ausgabe von der gewünschten Referenzausgabe und legt dieses Fehlersignal an das System an, um die Ausgabe näher an die Referenz zu bringen. In einem nichtlinearen Steuersystem ist mindestens einer der Blöcke, System, Sensor oder Controller, nichtlinear.

Nichtlineare Steuerung Theorie ist der Bereich der Kontrolltheorie, der sich mit Systemen befasst, die nichtlinear, zeitvariant oder beides sind. Die Regelungstheorie ist ein interdisziplinärer Zweig der Ingenieurwissenschaften und Mathematik, der sich mit dem Verhalten dynamischer Systeme mit Eingaben befasst und wie die Ausgabe durch Änderungen der Eingabe durch Rückkopplung, Vorwärtskopplung oder Signalfilterung modifiziert werden kann. Das zu steuernde System wird als “Anlage” bezeichnet. Eine Möglichkeit, die Ausgabe eines Systems einem gewünschten Referenzsignal folgen zu lassen, besteht darin, die Ausgabe der Anlage mit der gewünschten Ausgabe zu vergleichen und der Anlage eine Rückmeldung zu geben, um die Ausgabe zu modifizieren, um sie näher an die gewünschte Ausgabe zu bringen.

Die Kontrolltheorie gliedert sich in zwei Zweige. Die lineare Regelungstheorie gilt für Systeme, die aus Geräten bestehen, die dem Superpositionsprinzip gehorchen. Sie unterliegen linearen Differentialgleichungen. Eine wichtige Unterklasse sind Systeme, die zusätzlich Parameter haben, die sich mit der Zeit nicht ändern, genannt lineare Zeitinvariante (LTI)-Systeme. Diese Systeme können durch leistungsstarke mathematische Verfahren im Frequenzbereich von großer Allgemeinheit gelöst werden, wie beispielsweise die Laplace-Transformation, Fourier-Transformation, Z-Transformation, Bode-Plot, Wurzelort und Nyquist-Stabilitätskriterium.

Die nichtlineare Regelungstheorie deckt eine breitere Klasse von Systemen ab, die dem Superpositionsprinzip nicht gehorchen. Es gilt für realere Systeme, da alle realen Regelsysteme nichtlinear sind. Diese Systeme unterliegen oft nichtlinearen Differentialgleichungen. Die mathematischen Techniken, die entwickelt wurden, um sie zu handhaben, sind strenger und viel weniger allgemein gehalten und gelten oft nur für enge Kategorien von Systemen. Dazu gehören die Grenzzyklustheorie, Poincaré-Karten, die Stabilitätstheorie von Lyapunov und beschreibende Funktionen. Wenn nur Lösungen in der Nähe eines stabilen Punktes von Interesse sind, können nichtlineare Systeme oft linearisiert werden, indem sie durch ein lineares System approximiert werden, das durch Erweitern der nichtlinearen Lösung in einer Reihe erhalten wird, und dann können lineare Techniken verwendet werden.[1] Nichtlineare Systeme werden häufig mit numerischen Methoden auf Computern analysiert, beispielsweise durch Simulation ihres Betriebs mit einer Simulationssprache. Auch wenn die Anlage linear ist, kann ein nichtlinearer Regler oft attraktive Eigenschaften wie einfachere Implementierung, schnellere Geschwindigkeit, mehr Genauigkeit oder reduzierte Regelenergie aufweisen, die das schwierigere Auslegungsverfahren rechtfertigen.

Ein Beispiel für ein nichtlineares Regelsystem ist ein thermostatgeregeltes Heizsystem. Ein Gebäudeheizungssystem wie ein Ofen reagiert nichtlinear auf Temperaturänderungen; es ist entweder “ein” oder “aus”, es hat nicht die Feinsteuerung als Reaktion auf Temperaturunterschiede, die ein proportionales (lineares) Gerät hätte. Daher ist der Ofen ausgeschaltet, bis die Temperatur unter den “Einschalten”-Sollwert des Thermostats fällt, wenn er eingeschaltet wird. Aufgrund der vom Ofen zugeführten Wärme steigt die Temperatur an, bis sie den “Ausschalt”-Sollwert des Thermostats erreicht, der den Ofen ausschaltet, und der Zyklus wiederholt sich. Dieses Zyklieren der Temperatur um die gewünschte Temperatur wird als a . bezeichnet Grenzzyklus, und ist charakteristisch für nichtlineare Regelsysteme.

Eigenschaften nichtlinearer Systeme[edit]

Einige Eigenschaften nichtlinearer dynamischer Systeme sind

  • Sie folgen nicht dem Superpositionsprinzip (Linearität und Homogenität).
  • Sie können mehrere isolierte Gleichgewichtspunkte haben.
  • Sie können Eigenschaften wie Grenzzyklus, Bifurkation, Chaos aufweisen.
  • Endliche Escape-Zeit: Lösungen von nichtlinearen Systemen existieren möglicherweise nicht für alle Zeiten.

Analyse und Regelung nichtlinearer Systeme[edit]

Es gibt mehrere gut entwickelte Techniken zur Analyse nichtlinearer Rückkopplungssysteme:

Es gibt auch Steuerungsentwurfsverfahren für nichtlineare Systeme. Diese können in Techniken unterteilt werden, die versuchen, das System als lineares System in einem begrenzten Betriebsbereich zu behandeln und (bekannte) lineare Designtechniken für jede Region zu verwenden:

Diejenigen, die versuchen, eine zusätzliche nichtlineare Rückkopplung so einzuführen, dass das System für die Zwecke des Steuerungsdesigns als linear behandelt werden kann:

Und Lyapunov-basierte Methoden:

Nichtlineare Feedback-Analyse – Das Lur’e-Problem[edit]

Blockschaltbild des Lur’e-Problems

Ein frühes nichtlineares Feedbacksystemanalyseproblem wurde von AI Lur’e formuliert. Steuersysteme, die durch das Lur’e-Problem beschrieben werden, haben einen Vorwärtspfad, der linear und zeitinvariant ist, und einen Rückkopplungspfad, der eine speicherlose, möglicherweise zeitvariable, statische Nichtlinearität enthält.

Der lineare Teil kann durch vier Matrizen charakterisiert werden (EIN,B,C,D), während der nichtlineare Teil Φ(ja) mit

Φ(ja)ja∈[a,b],ein<B∀ja{displaystyle {frac {Phi (y)}{y}}in [a,b],quad a

(eine Sektor-Nichtlinearität).

Absolutes Stabilitätsproblem[edit]

Erwägen:

  1. (EIN,B) ist kontrollierbar und (C,EIN) ist beobachtbar
  2. zwei reelle Zahlen ein, B mit ein < B, Definieren eines Sektors für die Funktion Φ

Das Lur’e-Problem (auch als absolutes Stabilitätsproblem bekannt) besteht darin, Bedingungen abzuleiten, die nur die Transfermatrix betreffen h(S) und {ein,B} so dass x = 0 ist ein global gleichmäßig asymptotisch stabiles Gleichgewicht des Systems.

Es gibt zwei bekannte falsche Vermutungen zum absoluten Stabilitätsproblem:

Grafisch lassen sich diese Vermutungen in Form von grafischen Beschränkungen auf den Graphen von Φ(ja) x ja oder auch auf dem Graphen von D/dy x /ja.[2] Es gibt Gegenbeispiele zu den Vermutungen von Aizerman und Kalman, so dass Nichtlinearität zum Sektor der linearen Stabilität gehört und ein einzigartiges stabiles Gleichgewicht mit einer stabilen periodischen Lösung koexistiert – versteckte Schwingung.

Es gibt zwei Hauptsätze bezüglich des Lur’e-Problems, die hinreichende Bedingungen für absolute Stabilität liefern:

Theoretische Ergebnisse bei nichtlinearer Regelung[edit]

Satz von Frobenius[edit]

Der Satz von Frobenius ist ein tiefgreifendes Ergebnis der Differentialgeometrie. Auf die nichtlineare Regelung angewendet, sagt sie Folgendes: Gegeben ein System der Form

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Weiterlesen[edit]

Externe Links[edit]