Gleichungen für einen fallenden Körper

Mathematische Beschreibung eines Körpers im freien Fall

Eine Menge von Gleichungen beschreiben die resultierenden Trajektorien, wenn sich Objekte aufgrund einer konstanten Gravitationskraft unter normalen erdgebundenen Bedingungen bewegen. Zum Beispiel vereinfacht sich Newtons Gesetz der universellen Gravitation zu F. = mg, wo m ist die Masse des Körpers. Diese Annahme ist vernünftig für Objekte, die über die relativ kurzen vertikalen Entfernungen unserer täglichen Erfahrung auf die Erde fallen, ist jedoch über größere Entfernungen, wie z. B. Flugbahnen von Raumfahrzeugen, nicht wahr.

Geschichte[edit]

Galileo war der erste, der diese Gleichungen demonstrierte und dann formulierte. Er benutzte eine Rampe, um rollende Bälle zu untersuchen. Die Rampe verlangsamte die Beschleunigung genug, um die Zeit zu messen, die der Ball brauchte, um eine bekannte Strecke zu rollen.^[1][2] Er maß die verstrichene Zeit mit einer Wasseruhr, wobei er eine “äußerst genaue Waage” verwendete, um die Wassermenge zu messen.^{[note 1]}

Die Gleichungen ignorieren den Luftwiderstand, was sich dramatisch auf Objekte auswirkt, die eine nennenswerte Entfernung in die Luft fallen, wodurch sie sich schnell einer Endgeschwindigkeit nähern. Der Effekt des Luftwiderstands variiert enorm in Abhängigkeit von der Größe und Geometrie des fallenden Objekts. Beispielsweise sind die Gleichungen für eine Feder, die eine geringe Masse hat, aber einen großen Widerstand gegen die Luft bietet, hoffnungslos falsch. (In Abwesenheit einer Atmosphäre fallen alle Objekte mit der gleichen Geschwindigkeit, wie der Astronaut David Scott demonstrierte, indem er einen Hammer und eine Feder auf die Oberfläche des Mondes fallen ließ.)

Die Gleichungen ignorieren auch die Rotation der Erde und beschreiben beispielsweise nicht den Coriolis-Effekt. Trotzdem sind sie normalerweise genau genug für dichte und kompakte Objekte, die über Höhen fallen, die die höchsten künstlichen Strukturen nicht überschreiten.

Überblick[edit]

Ein anfänglich stationäres Objekt, das unter der Schwerkraft frei fallen darf, fällt um eine Entfernung proportional zum Quadrat der verstrichenen Zeit. Dieses Bild, das sich über eine halbe Sekunde erstreckte, wurde mit einem Stroboskopblitz mit 20 Blitzen pro Sekunde aufgenommen. Während der ersten 0,05 s fällt der Ball um eine Distanzeinheit (ca. 12 mm), um 0,10 s um insgesamt 4 Einheiten, um 0,15 s um 9 Einheiten und so weiter.

In der Nähe der Erdoberfläche die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft G = 9,807 m / s² (Quadratmeter pro Sekunde, was als “Meter pro Sekunde pro Sekunde” oder 32,18 ft / s angesehen werden kann² als “Fuß pro Sekunde pro Sekunde”) ungefähr. Eine zusammenhängende Reihe von Einheiten für G, d, t und v ist bedeutsam. Angenommene SI-Einheiten, G wird in Metern pro Sekunde im Quadrat gemessen, also d muss in Metern gemessen werden, t in Sekunden und v in Metern pro Sekunde.

In allen Fällen wird angenommen, dass der Körper aus der Ruhe kommt und der Luftwiderstand vernachlässigt wird. Im Allgemeinen sind in der Erdatmosphäre alle folgenden Ergebnisse nach nur 5 Sekunden Fall ziemlich ungenau (zu diesem Zeitpunkt liegt die Geschwindigkeit eines Objekts etwas unter dem Vakuumwert von 49 m / s (9,8 m / s)² × 5 s) aufgrund von Luftwiderstand). Der Luftwiderstand induziert eine Widerstandskraft auf jeden Körper, der durch eine andere Atmosphäre als ein perfektes Vakuum fällt, und diese Widerstandskraft nimmt mit der Geschwindigkeit zu, bis sie der Gravitationskraft entspricht, so dass das Objekt mit einer konstanten Endgeschwindigkeit fallen kann.

Die Endgeschwindigkeit hängt vom Luftwiderstand, dem Luftwiderstandsbeiwert für das Objekt, der (momentanen) Geschwindigkeit des Objekts und der dem Luftstrom präsentierten Fläche ab.

Abgesehen von der letzten Formel nehmen diese Formeln auch dies an G variiert vernachlässigbar mit der Höhe während des Sturzes (dh sie nehmen eine konstante Beschleunigung an). Die letzte Gleichung ist genauer, wenn signifikante Änderungen der Bruchentfernung vom Zentrum des Planeten während des Sturzes signifikante Änderungen in verursachen G. Diese Gleichung kommt in vielen Anwendungen der Grundphysik vor.

Gleichungen[edit]

Gemessene Fallzeit einer kleinen Stahlkugel, die aus verschiedenen Höhen fällt. Die Daten stimmen gut mit der vorhergesagten Abfallzeit von überein 2h/.G{ displaystyle { sqrt {2h / g}}}

, wo h ist die Höhe und G ist die Beschleunigung der Schwerkraft.

Beispiel[edit]

Die erste Gleichung zeigt, dass ein Objekt nach einer Sekunde eine Strecke von 1/2 × 9,8 × 1 gefallen ist² = 4,9 m. Nach zwei Sekunden ist es 1/2 × 9,8 × 2 gefallen² = 19,6 m; und so weiter. Die vorletzte Gleichung wird bei großen Entfernungen grob ungenau. Wenn ein Objekt gefallen ist 10 000 m zur Erde, dann unterscheiden sich die Ergebnisse beider Gleichungen nur um 0,08 %; wenn es jedoch aus der geosynchronen Umlaufbahn fiel, die 42 ist 164 km, dann ändert sich der Unterschied auf fast 64 %.

Basierend auf dem Windwiderstand beträgt die Endgeschwindigkeit eines Fallschirmspringers in einer frei fallenden Position von Bauch zu Erde (dh mit dem Gesicht nach unten) etwa 195 km / h (122 mph oder 54 m / s). Diese Geschwindigkeit ist der asymptotische Grenzwert des Beschleunigungsprozesses, da sich die effektiven Kräfte auf den Körper mit Annäherung an die Endgeschwindigkeit immer enger ausgleichen. In diesem Beispiel eine Geschwindigkeit von 50 % der Endgeschwindigkeit wird nach nur etwa 3 Sekunden erreicht, während es 8 Sekunden dauert, bis 90 erreicht sind %, 15 Sekunden, um 99 zu erreichen % und so weiter.

Höhere Geschwindigkeiten können erreicht werden, wenn der Fallschirmspringer an seinen Gliedern zieht (siehe auch Freifliegen). In diesem Fall steigt die Endgeschwindigkeit auf etwa 320 km / h (90 mph / 90 m / s), was fast der Endgeschwindigkeit des Wanderfalken entspricht, der auf seine Beute abtaucht. Die gleiche Endgeschwindigkeit wird für eine typische .30-06-Kugel erreicht, die nach unten fällt – wenn sie zur Erde zurückkehrt, nachdem sie nach oben abgefeuert oder von einem Turm gefallen ist – gemäß einer Ordnance-Studie der US-Armee von 1920.

Fallschirmspringer fliegen in der Kopf-nach-unten-Position und erreichen noch höhere Geschwindigkeiten. Der aktuelle Weltrekord liegt bei 1 357,6 km / h von Felix Baumgartner, der von 38 sprang 969,4 m (127 852,4 ft) über der Erde am 14. Oktober 2012. Der Rekord wurde aufgrund der großen Höhe aufgestellt, in der die geringere Dichte der Atmosphäre den Luftwiderstand verringerte.

Für andere astronomische Körper als die Erde und für kurze Falldistanzen auf einer anderen als “Boden” -Niveau, G in den obigen Gleichungen kann durch ersetzt werden

wo G ist die Gravitationskonstante, M. ist die Masse des astronomischen Körpers, m ist die Masse des fallenden Körpers, und r ist der Radius vom fallenden Objekt zum Zentrum des astronomischen Körpers.

Das Entfernen der vereinfachenden Annahme einer gleichmäßigen Gravitationsbeschleunigung liefert genauere Ergebnisse. Wir finden aus der Formel für radiale elliptische Trajektorien:

Die Zeit t genommen, damit ein Objekt aus einer Höhe fällt r zu einer Höhe x, gemessen von den Zentren der beiden Körper, ist gegeben durch:

t=Arccos⁡((xr)+xr ((1– –xr)2μr3/.2{ displaystyle t = { frac { arccos { Big (} { sqrt { frac {x} {r}}} { Big)} + { sqrt {{ frac {x} {r}} (1 – { frac {x} {r}})}} { sqrt {2 mu}}} , r ^ {3/2}}

wo

ist die Summe der Standard-Gravitationsparameter der beiden Körper. Diese Gleichung sollte immer dann verwendet werden, wenn sich die Gravitationsbeschleunigung während des Sturzes signifikant unterscheidet.

Beschleunigung relativ zur rotierenden Erde[edit]

Durch die Zentripetalkraft unterscheidet sich die auf der rotierenden Erdoberfläche gemessene Beschleunigung von der für einen frei fallenden Körper gemessenen Beschleunigung: Die scheinbare Beschleunigung im rotierenden Referenzrahmen ist der Gesamtgravitationsvektor abzüglich eines kleinen Vektors nach Norden. Südachse der Erde, entsprechend dem stationären Bleiben in diesem Bezugsrahmen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]

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