Lawson-Kriterium – Wikipedia

Posted on December 24, 2020 by lordneo

Kriterium für die Zündung einer Kernfusionskettenreaktion

Das Lawson-Kriterium ist eine Gütezahl, die in der Kernfusionsforschung verwendet wird. Es vergleicht die Energierate, die durch Fusionsreaktionen innerhalb des Fusionsbrennstoffs erzeugt wird, mit der Rate der Energieverluste an die Umwelt. Wenn die Produktionsrate höher als die Verlustrate ist und genug von dieser Energie vom System erfasst wird, wird das System als gezündet bezeichnet.

Das Konzept wurde zuerst von John D. Lawson in einer klassifizierten Arbeit von 1955 entwickelt^[1] und offen im Jahr 1957 veröffentlicht.^[2] Wie ursprünglich formuliert, gibt das Lawson-Kriterium einen erforderlichen Mindestwert für das Produkt der Plasma- (Elektronen-) Dichte an n_e und die “Energiebegrenzungszeit”

τE.{ displaystyle tau _ {E}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b78d382f216e3be0ebd4b0d82ca129b9353462f" aria-hidden="true" alt=" tau_E" width="1078.1" height="865.1">$ das führt zu einer Nettoenergieabgabe.

Eine spätere Analyse ergab, dass eine nützlichere Gütezahl das dreifache Produkt aus Dichte, Einschlusszeit und Plasmatemperatur ist T.. Das dreifache Produkt hat auch einen Mindestwert und den Namen “Lawson-Kriterium” kann sich auf diese Ungleichung beziehen.

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Energieausgleich[edit]

Das zentrale Konzept des Lawson-Kriteriums ist die Untersuchung der Energiebilanz eines Fusionskraftwerks mit einem heißen Plasma. Dies ist unten gezeigt:

Nettoleistung = Wirkungsgrad × (Fusion – Strahlungsverlust – Leitungsverlust)

Nettoleistung ist die überschüssige Leistung, die über die intern erforderliche Leistung hinausgeht, damit der Prozess in einem Fusionskraftwerk abläuft.
Effizienz ist, wie viel Energie benötigt wird, um das Gerät anzutreiben, und wie gut es Energie aus den Reaktionen sammelt.
Verschmelzung ist die Energierate, die durch die Fusionsreaktionen erzeugt wird.
Strahlungsverlust ist die Energie, die als Licht (einschließlich Röntgenstrahlen) verloren geht, das das Plasma verlässt.
Leitungsverlust ist die Energie, die verloren geht, wenn Partikel das Plasma verlassen und Energie abführen.

Lawson berechnete die Fusionsrate unter der Annahme, dass der Fusionsreaktor eine heiße Plasmawolke enthält, die eine Gaußsche Kurve der einzelnen Teilchenenergien aufweist, eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung, die durch die Temperatur des Plasmas charakterisiert ist. Basierend auf dieser Annahme schätzte er den ersten Term, die erzeugte Fusionsenergie, unter Verwendung der volumetrischen Fusionsgleichung.^[3]

Fusion = Anzahl der Brennstoffe A × Anzahl der Brennstoffe B × Querschnitt (Temperatur) × Energie pro Reaktion

Verschmelzung ist die Geschwindigkeit der vom Plasma erzeugten Fusionsenergie
Zahlendichte ist die Dichte in Partikeln pro Volumeneinheit der jeweiligen Kraftstoffe (oder in einigen Fällen nur eines Kraftstoffs)
Kreuzung ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Fusionsereignisses, das auf der Plasmatemperatur basiert
Energie pro Reaktion ist die Energie, die bei jeder Fusionsreaktion freigesetzt wird

Diese Gleichung wird typischerweise über eine Population von Ionen gemittelt, die eine Normalverteilung aufweist. Für seine Analyse ignoriert Lawson Leitungsverluste. In Wirklichkeit ist dies fast unmöglich; Praktisch alle Systeme verlieren Energie durch Massenaustritt. Lawson schätzte dann^[3] die Strahlungsverluste unter Verwendung der folgenden Gleichung:

P.B.=1.4⋅10– –34⋅N.2⋅T.1/.2W.cm3{ displaystyle P_ {B} = 1.4 cdot 10 ^ {- 34} cdot N ^ {2} cdot T ^ {1/2} { frac { mathrm {W}} { mathrm {cm} ^ {3}}}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc72f0b253c27171bd5f2986ca342652c219c25" aria-hidden="true" alt="P_B = 1,4 cdot 10 ^ {- 34} cdot N ^ 2 cdot T ^ {1/2} frac { mathrm {W}} { mathrm {cm} ^ 3}" width="13783.4" height="2372">$

wo N. ist die Zahlendichte der Wolke und T. ist die Temperatur.

Schätzungen[edit]

Durch Gleichsetzen der Strahlungsverluste und der volumetrischen Fusionsraten schätzte Lawson die Mindesttemperatur für die Fusion für die Deuterium-Tritium-Reaktion

12D.+13T.→24H.e((3.5M.eV.)+01n((14.1M.eV.){ displaystyle _ {1} ^ {2} mathrm {D} + , _ {1} ^ {3} mathrm {T} rightarrow , _ {2} ^ {4} mathrm {He} left (3.5 , mathrm {MeV} right) + , _ {0} ^ {1} mathrm {n} left (14.1 , mathrm {MeV} right)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c227488c138421b9dfc4902a0377ba8e82baa60b" aria-hidden="true" alt="^ 2_1 mathrm {D} + , ^ 3_1 mathrm {T} rightarrow , ^ 4_2 mathrm {He} left (3.5 , mathrm {MeV} right) + , ^ 1_0 mathrm { n} left (14.1 , mathrm {MeV} right)" width="19065.2" height="1367.4">

30 Millionen Grad (2,6 keV) und für die Deuterium-Deuterium-Reaktion

12D.+12D.→13T.((1.0M.eV.)+11p((3.0M.eV.){ displaystyle _ {1} ^ {2} mathrm {D} + , _ {1} ^ {2} mathrm {D} rightarrow , _ {1} ^ {3} mathrm {T} left (1.0 , mathrm {MeV} right) + , _ {1} ^ {1} mathrm {p} left (3.0 , mathrm {MeV} right)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c813d9c313f863e6de12decc2f2f1834c48ba5c5" aria-hidden="true" alt="^ 2_1 mathrm {D} + , ^ 2_1 mathrm {D} rightarrow , ^ 3_1 mathrm {T} left (1.0 , mathrm {MeV} right) + , ^ 1_1 mathrm { p} left (3.0 , mathrm {MeV} right)" width="18134.2" height="1367.4">

150 Millionen Grad (12,9 keV) betragen.^[2]^[4]

Erweiterungen in nτ_E.[edit]

Das Entbindungszeit

τE.{ displaystyle tau _ {E}}

W.{ displaystyle W}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7" aria-hidden="true" alt="W." width="910" height="400">$ (Energiegehalt pro Volumeneinheit) geteilt durch die Verlustdichte

P.lÖss{ displaystyle P _ { mathrm {loss}}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6745f8ef81693e271dd34e444b5ad70bda620c6" aria-hidden="true" alt="P _ { mathrm {loss}}" width="1851.2" height="1080.4">$ (Energieverlustrate pro Volumeneinheit):

τE.=W.P.lÖss{ displaystyle tau _ {E} = { frac {W} {P _ { mathrm {loss}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc695336d1274c753a5876c80e758716f248f54" aria-hidden="true" alt=" tau_E = frac {W} {P _ { mathrm {loss}}}" width="4623.4" height="2443.8">

Damit ein Fusionsreaktor im stationären Zustand arbeitet, muss das Fusionsplasma auf einer konstanten Temperatur gehalten werden. Daher muss Wärmeenergie (entweder direkt durch die Fusionsprodukte oder durch Umwälzen eines Teils des vom Reaktor erzeugten Stroms) mit der gleichen Geschwindigkeit hinzugefügt werden, mit der das Plasma Energie verliert. Das Plasma verliert Energie durch Masse (Leitungsverlust) oder Licht (Strahlungsverlust), die die Kammer verlassen.

Zur Veranschaulichung wird hier das Lawson-Kriterium für die Deuterium-Tritium-Reaktion abgeleitet, das gleiche Prinzip kann jedoch auch auf andere Fusionsbrennstoffe angewendet werden. Es wird auch angenommen, dass alle Spezies die gleiche Temperatur haben, dass außer Brennstoffionen keine anderen Ionen vorhanden sind (keine Verunreinigungen und keine Heliumasche) und dass Deuterium und Tritium in der optimalen 50-50-Mischung vorhanden sind.^[5] Die Ionendichte ist dann gleich der Elektronendichte und die Energiedichte von Elektronen und Ionen zusammen ist gegeben durch

W.=3nkB.T.{ displaystyle W = 3nk _ { mathrm {B}} T} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2308f5b40468b04f9760203b18d848f52e1a0f6" aria-hidden="true" alt="W = 3n k _ { mathrm {B}} T." width="5310.5" height="1080.4">

kB.{ displaystyle k _ { mathrm {B}}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b90d21a1c8fb907fddab1caded3b7f1eeffe3d" aria-hidden="true" alt="k _ { mathrm {B}}" width="1122.5" height="1080.4">$ ist die Boltzmann-Konstante und

n{ displaystyle n}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" aria-hidden="true" alt="n" width="910" height="400">$ ist die Teilchendichte.

Das Lautstärke

f{ displaystyle f}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" aria-hidden="true" alt="f" width="550.5" height="1080.4">$ (Reaktionen pro Volumen pro Zeit) von Fusionsreaktionen ist

f=ndnt⟨σv⟩=14n2⟨σv⟩{ displaystyle f = n _ { mathrm {d}} n _ { mathrm {t}} langle sigma v rangle = { frac {1} {4}} n ^ {2} langle sigma v klingeln} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c1f61aedf35c9d98fe5c63dba2cb41abf106d4" aria-hidden="true" alt="f = n _ { mathrm {d}} n _ { mathrm {t}} langle sigma v rangle = frac {1} {4} n ^ 2 langle sigma v rangle " width="10877.4" height="2228.5">

σ{ displaystyle sigma}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" aria-hidden="true" alt=" sigma " width="572.5" height="721.6">$ ist der Fusionsquerschnitt,

v{ displaystyle v}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" aria-hidden="true" alt="v" width="485.5" height="721.6">$ ist die Relativgeschwindigkeit und

⟨⟩{ displaystyle langle rangle}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9a2870fc805c056ca65855cd984c1515792d22" aria-hidden="true" alt=" langle rangle " width="779" height="1223.9">$ bezeichnet einen Durchschnitt über die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung bei der Temperatur

T.{ displaystyle T}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0" aria-hidden="true" alt="T." width="910" height="400">$ .

Die Volumenrate der Erwärmung durch Fusion beträgt

f{ displaystyle f}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" aria-hidden="true" alt="f" width="550.5" height="1080.4">$ mal

E.ch{ displaystyle E _ { mathrm {ch}}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5937f740ec370d3c13c1b98d59bfbdc9568ec8" aria-hidden="true" alt="E _ { mathrm {ch}}" width="1546.3" height="1080.4">$ , die Energie der geladenen Fusionsprodukte (die Neutronen können nicht helfen, das Plasma zu erwärmen). Im Fall der Deuterium-Tritium-Reaktion

E.ch=3.5M.eV.{ displaystyle E _ { mathrm {ch}} = 3.5 , mathrm {MeV}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9450ef3ee8da0e1744daa7cff4a1a9df3e966fc0" aria-hidden="true" alt="E _ { mathrm {ch}} = 3.5 , mathrm {MeV}" width="6439" height="1080.4">$ .

Das Lawson-Kriterium oder der Mindestwert von (Elektronendichte * Energieeinschlusszeit), der für die Selbsterwärmung erforderlich ist, für drei Fusionsreaktionen. Für DT ist nτ_E. minimiert nahe der Temperatur 25 keV (300 Millionen Kelvin).

Das Lawson-Kriterium verlangt, dass die Schmelzerwärmung die Verluste übersteigt:

fE.ch≥P.lÖss{ displaystyle fE _ { rm {ch}} geq P _ { rm {loss}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2bcaf441476a032bf15215351bec2cb47334d3" aria-hidden="true" alt="f E _ { rm ch} ge P _ { rm loss}" width="5282.1" height="1080.4">

Einsetzen in bekannten Mengen ergibt:

14n2⟨σv⟩E.ch≥3nkB.T.τE.{ displaystyle { frac {1} {4}} n ^ {2} langle sigma v rangle E _ { rm {ch}} geq { frac {3nk _ { rm {B}} T} { tau _ {E}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e59751eacf1c7f0cebe19e982ae36a152553f2" aria-hidden="true" alt=" frac {1} {4} n ^ 2 langle sigma v rangle E _ { rm ch} ge frac {3nk _ { rm B} T} { tau_E}" width="9920.3" height="2443.8">

Das Umordnen der Gleichung ergibt:

nτE.≥L.≡12kB.T.E.ch⟨σv⟩{ displaystyle n tau _ { rm {E}} geq L equiv { frac {12k _ { rm {B}} T} {E _ { rm {ch}} langle sigma v rangle} }} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644212305e08063d13c57bf952d767c6e9a98665" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle n tau _ { rm {E}} geq L equiv { frac {12k _ { rm {B}} T} {E _ { rm {ch}} langle sigma v rangle} }}" width="8712.8" height="2659.1">

((1)

Die Quantität

T./.⟨σv⟩{ displaystyle T / langle sigma v rangle}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c13c7548e4b3f4c3f41ba90e374b5f8bb31dda" aria-hidden="true" alt="T / langle sigma v rangle" width="3042" height="1223.9">$ ist eine Funktion der Temperatur mit einem absoluten Minimum. Das Ersetzen der Funktion durch ihren Mindestwert bietet eine absolute Untergrenze für das Produkt

nτE.{ displaystyle n tau _ {E}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a0973c50ad8410d3900a32e6aacb5cc8ce24d9" aria-hidden="true" alt="n tau_E" width="1678.6" height="865.1">$ . Dies ist das Lawson-Kriterium.

Für die Deuterium-Tritium-Reaktion beträgt der physikalische Wert mindestens

nτE.≥1.5⋅1020sm3{ displaystyle n tau _ {E} geq 1.5 cdot 10 ^ {20} { frac { mathrm {s}} { mathrm {m} ^ {3}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf14bd01efc644192248c6fe5076216269913a59" aria-hidden="true" alt="n tau_E ge 1.5 cdot 10 ^ {20} frac { mathrm {s}} { mathrm {m} ^ 3}" width="8471.3" height="2085">

Das Minimum des Produktes tritt in der Nähe auf

T.=26keV.{ displaystyle T = 26 , mathrm {keV}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85ea970b7610908161a8290bb1c033e079cbd00" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle T = 26 , mathrm {keV}}" width="4929.7" height="936.9">$ .

Erweiterung in die “dreifaches Produkt”[edit]

Eine noch nützlichere Gütezahl ist die “dreifaches Produkt” von Dichte, Temperatur und Einschlusszeit, nTτ_E.. Für die meisten Begrenzungskonzepte, ob Trägheits-, Spiegel- oder Toroidbegrenzung, können Dichte und Temperatur über einen ziemlich weiten Bereich variiert werden, jedoch über den maximal erreichbaren Druck p ist eine Konstante. Wenn dies der Fall ist, ist die Fusionsleistungsdichte proportional zu p²v> /T.². Die maximale Schmelzleistung, die von einer bestimmten Maschine zur Verfügung steht, wird daher bei der Temperatur erreicht T. wo v> /T.² ist ein Maximum. Durch Fortsetzung der obigen Ableitung wird die folgende Ungleichung leicht erhalten:

nT.τE.≥12kB.E.chT.2⟨σv⟩{ displaystyle nT tau _ { rm {E}} geq { frac {12k _ { rm {B}}} {E _ { rm {ch}}} , { frac {T ^ {2 }} { langle sigma v rangle}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb9bed333dcf00e67765213e1d539e2e83b2b0b" aria-hidden="true" alt="n T tau _ { rm E} ge frac {12k _ { rm B}} {E _ { rm ch}} , frac {T ^ 2} { langle sigma v rangle} " width="8505.6" height="2802.6">

Die Dreifachproduktbedingung für drei Fusionsreaktionen.

Die Quantität

T.2⟨σv⟩{ displaystyle { frac {T ^ {2}} { langle sigma v rangle}}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206471af451dad42645c232e471637f9962697a4" aria-hidden="true" alt=" frac {T ^ 2} { langle sigma v rangle}" width="2197" height="2802.6">$ ist auch eine Funktion der Temperatur mit einem absoluten Minimum bei einer etwas niedrigeren Temperatur als

T.⟨σv⟩{ displaystyle { frac {T} { langle sigma v rangle}}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dea92813bc16ced4d980d6d90e31608f34dedf8" aria-hidden="true" alt=" frac {T} { langle sigma v rangle}" width="2197" height="2587.3">$ .

Für die Deuterium-Tritium-Reaktion tritt das Minimum des Tripelprodukts bei auf T. = 14 keV. Der Durchschnitt v> in diesem Temperaturbereich kann als angenähert werden^[6]

⟨σv⟩=1.1⋅10– –24T.2m3s,T.ichnkeV.,{ displaystyle left langle sigma v right rangle = 1.1 cdot 10 ^ {- 24} T ^ {2} ; { frac {{ rm {m}} ^ {3}} { rm {s}}} , { rm {,}} quad { rm {T , in , keV}} { rm {,}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e88fed92b515faea8f91b952f6800838b47f1a" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle left langle sigma v right rangle = 1.1 cdot 10 ^ {- 24} T ^ {2} ; { frac {{ rm {m}} ^ {3}} { rm {s}}} , { rm {,}} quad { rm {T , in , keV}} { rm {,}}}" width="15990.4" height="2443.8">

also der Mindestwert des dreifachen Produktwertes bei T. = 14 keV ist ungefähr

nT.τE.≥12⋅142⋅keV.21.1⋅10– –24m3s142⋅3500⋅keV.≈3⋅1021keV s/.m3((3.5⋅1028K s/.m3){ displaystyle { begin {matrix} nT tau _ {E} & geq & { frac {12 cdot 14 ^ {2} cdot { rm {keV}} ^ {2}} {1.1 cdot 10 ^ {- 24} { frac {{ rm {m}} ^ {3}} { rm {s}}} 14 ^ {2} cdot 3500 cdot { rm {keV}}} ca. 3 cdot 10 ^ {21} { mbox {keV s}} / { mbox {m}} ^ {3} \ end {matrix}} (3.5 cdot 10 ^ {28} { mbox { K s}} / { mbox {m}} ^ {3})} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dcaa2eebebdc442458bf969281cba9bed21a696" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle { begin {matrix} nT tau _ {E} &amp; geq &amp; { frac {12 cdot 14 ^ {2} cdot { rm {keV}} ^ {2}} {1.1 cdot 10 ^ {- 24} { frac {{ rm {m}} ^ {3}} { rm {s}}} 14 ^ {2} cdot 3500 cdot { rm {keV}}} ca. 3 cdot 10 ^ {21} { mbox {keV s}} / { mbox {m}} ^ {3} \ end {matrix}} (3.5 cdot 10 ^ {28} { mbox { K s}} / { mbox {m}} ^ {3})}" width="30347.5" height="2515.6">

Diese Zahl wurde bisher in keinem Reaktor erreicht, obwohl die neuesten Maschinengenerationen nahe gekommen sind. JT-60 meldete 1,53 x 10²¹ keV.sm⁻³.^[7] Zum Beispiel hat der TFTR die Dichten und Energielebensdauern erreicht, die erforderlich sind, um Lawson bei den Temperaturen zu erreichen, die er erzeugen kann, aber er kann diese Temperaturen nicht gleichzeitig erzeugen. ITER möchte beides tun.

Bei Tokamaks gibt es eine besondere Motivation für die Verwendung des Triple-Produkts. Empirisch ist die Energieeinschlusszeit τ_E. wird als nahezu proportional zu befunden n^1/3/.P.^2/3^{[citation needed]}. In einem entzündeten Plasma nahe der optimalen Temperatur ist die Heizleistung P. entspricht der Fusionsleistung und ist daher proportional zu n²T.². Das dreifache Produkt skaliert als

nT.τE.∝nT.((n1/.3/.P.2/.3)∝nT.((n1/.3/.((n2T.2)2/.3)∝T.– –1/.3{ displaystyle { begin {matrix} nT tau _ {E} & propto & nT left (n ^ {1/3} / P ^ {2/3} right) \ & propto & nT left ( n ^ {1/3} / left (n ^ {2} T ^ {2} right) ^ {2/3} right) \ & propto & T ^ {- 1/3} \ end {Matrix}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e29c24f3e28be269217eb9dfda40f2d8d739c1" aria-hidden="true" alt=" begin {matrix} n T tau_E &amp; propto &amp; n T left (n ^ {1/3} / P ^ {2/3} right) \ &amp; propto &amp; n T left (n ^ { 1/3} / left (n ^ 2 T ^ 2 right) ^ {2/3} right) \ &amp; propto &amp; T ^ {- 1/3} \ end {matrix} " width="14742.1" height="5098.9">

Das Dreifachprodukt ist nur schwach temperaturabhängig als T.^-1/3. Dies macht das Dreifachprodukt zu einem angemessenen Maß für die Effizienz des Einschlussschemas.

Trägheitsbeschränkung[edit]

Das Lawson-Kriterium gilt sowohl für die Inertial Confinement Fusion (ICF) als auch für die Magnetic Confinement Fusion (MCF), im Trägheitsfall wird es jedoch sinnvoller in einer anderen Form ausgedrückt. Eine gute Annäherung für die Trägheitsbegrenzungszeit

τE.{ displaystyle tau _ {E}}

vth=kB.T.mich{ displaystyle v_ {th} = { sqrt { frac {k _ { rm {B}} T} {m_ {i}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fc6f57408be7643b13375919840c7a289a25cd" aria-hidden="true" alt="v_ {th} = sqrt { frac {k _ { rm B} T} {m_i}}" width="5770.3" height="3304.9">

wo m_ich bezeichnet die mittlere Ionenmasse. Die Trägheitsbegrenzungszeit

τE.{ displaystyle tau _ {E}}

τE.≈R.vth=R.kB.T.mich=R.⋅michkB.T. .{ displaystyle { begin {matrix} tau _ {E} & approx & { frac {R} {v_ {th}}} \\ & = & { frac {R} { sqrt { frac {k _ { rm {B}} T} {m_ {i}}}} \\ & = & R cdot { sqrt { frac {m_ {i}} {k _ { rm {B} } T}}} { mbox {.}} \ end {matrix}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdc6044b7fcdf5be585b1c88d8038dee6318e13" aria-hidden="true" alt=" begin {matrix} tau_E &amp; approx &amp; frac {R} {v_ {th}} \ \ &amp; = &amp; frac {R} { sqrt { frac {k _ { rm B} T} { m_i}}} \ \ &amp; = &amp; R cdot sqrt { frac {m_i} {k _ { rm B} T}} mbox {.} \ end {matrix} " width="8895.9" height="9763.2">

Durch Einsetzen des obigen Ausdrucks in eine Beziehung (1), wir erhalten

nτE.≈n⋅R.⋅michkB.T.≥12E.chkB.T.⟨σv⟩n⋅R.⪆12E.ch((kB.T.)3/.2⟨σv⟩⋅mich1/.2n⋅R.⪆((kB.T.)3/.2⟨σv⟩ .{ displaystyle { begin {matrix} n tau _ {E} & approx & n cdot R cdot { sqrt { frac {m_ {i}} {k_ {B} T}}} geq { frac {12} {E _ { rm {ch}}}} , { frac {k _ { rm {B}} T} { langle sigma v rangle}} \\ n cdot R & gtrapprox & { frac {12} {E _ { rm {ch}}} , { frac { left (k _ { rm {B}} T right) ^ {3/2}} { langle sigma v rangle cdot m_ {i} ^ {1/2}}} \\ n cdot R & gtrapprox & { frac { left (k _ { rm {B}} T right) ^ {3/2}} { langle sigma v rangle}} { mbox {.}} \ end {matrix}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00785d639dd4eabef9a9af2e33cfd46588b540d5" aria-hidden="true" alt=" begin {matrix} n tau_E &amp; approx &amp; n cdot R cdot sqrt { frac {m_i} {k_B T}} geq frac {12} {E _ { rm ch}} , frac {k _ { rm B} T} { langle sigma v rangle} \ \ n cdot R &amp; gtrapprox &amp; frac {12} {E _ { rm ch}} , frac { left (k _ { rm B} T right) ^ {3/2}} { langle sigma v rangle cdot m_i ^ {1/2}} \ \ n cdot R &amp; gtrapprox &amp; frac { left (k _ { rm B} T right) ^ {3/2}} { langle sigma v rangle} mbox {.} \ end {matrix} " width="15457.6" height="10122">

Dieses Produkt muss größer sein als ein Wert, der sich auf das Minimum von bezieht T.^3/2/.. Die gleiche Anforderung wird traditionell in Form der Massendichte ausgedrückt ρ =nm_ich>:

ρ⋅R.≥1G/.cm2{ displaystyle rho cdot R geq 1 mathrm {g} / mathrm {cm} ^ {2}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8539fc4fbc9e1a7af5ff78c7c7602612c2eee6da" aria-hidden="true" alt=" rho cdot R geq 1 mathrm {g} / mathrm {cm} ^ 2 " width="6567.4" height="1367.4">

Die Erfüllung dieses Kriteriums bei der Dichte von festem Deuterium-Tritium (0,2 g / cm³) würde einen Laserpuls mit unplausibel großer Energie erfordern. Angenommen, die benötigte Energie skaliert mit der Masse des Fusionsplasmas (E._Laser- ~ ρR³ ~ ρ⁻²), Komprimieren des Kraftstoffs auf 10³ oder 10⁴ mal Festkörperdichte würde den Energiebedarf um den Faktor 10 reduzieren⁶ oder 10⁸und bringt es in einen realistischen Bereich. Mit einer Komprimierung um 10³Die komprimierte Dichte beträgt 200 g / cm³ und der komprimierte Radius kann nur 0,05 mm betragen. Der Radius des Kraftstoffs vor der Kompression würde 0,5 mm betragen. Das anfängliche Pellet ist vielleicht doppelt so groß, da der größte Teil der Masse während der Kompression abgetragen wird.

Die Schmelzleistungsdichte ist eine gute Gütezahl, um die optimale Temperatur für den magnetischen Einschluss zu bestimmen, aber für den Trägheitseinschluss ist das fraktionierte Abbrennen des Kraftstoffs wahrscheinlich nützlicher. Der Abbrand sollte proportional zur spezifischen Reaktionsgeschwindigkeit sein (n²<σv>) mal die Einschlusszeit (skaliert als T.^-1/2) geteilt durch die Teilchendichte n::

Abbrandfraktion ∝n2⟨σv⟩T.– –1/.2/.n∝((nT.)⟨σv⟩/.T.3/.2{ displaystyle { begin {matrix} { mbox {Abbrandfraktion}} & propto & n ^ {2} langle sigma v rangle T ^ {- 1/2} / n \ & propto & left (nT right) langle sigma v rangle / T ^ {3/2} \ end {matrix}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202b97254362b6d1f77f82e96b0a65d24fab04d6" aria-hidden="true" alt=" begin {matrix} mbox {Abbrandfraktion} &amp; propto &amp; n ^ 2 langle sigma v rangle T ^ {- 1/2} / n \ &amp; propto &amp; left (n T right) ) langle sigma v rangle / T ^ {3/2} \ end {matrix} " width="16970" height="2946.1">

Somit maximiert sich die optimale Temperatur für die Inertial Confinement Fusion /.T.^3/2, die etwas höher ist als die optimale Temperatur für den magnetischen Einschluss.

Nichtthermische Systeme[edit]

Lawsons Analyse basiert auf der Fusionsrate und dem Energieverlust in einem thermisierten Plasma. Es gibt eine Klasse von Fusionsmaschinen, die keine thermisierten Plasmen verwenden, sondern einzelne Ionen direkt auf die erforderlichen Energien beschleunigen. Die bekanntesten Beispiele sind Sigma, Fusor und Polywell.

Bei Anwendung auf den Fusor wird Lawsons Analyse als Argument dafür verwendet, dass Leitungs- und Strahlungsverluste die Haupthindernisse für das Erreichen der Nettoleistung sind. Fusoren verwenden einen Spannungsabfall, um Ionen zu beschleunigen und zu kollidieren, was zur Fusion führt.^[8] Der Spannungsabfall wird durch Drahtkäfige erzeugt, und diese Käfige leiten Partikel weg.

Polywells sind Verbesserungen dieses Designs, mit denen Leitungsverluste durch Entfernen der Drahtkäfige, die sie verursachen, verringert werden sollen.^[9] Unabhängig davon wird argumentiert, dass Strahlung immer noch ein großes Hindernis darstellt.^[10]

Siehe auch[edit]

^ Lawson, JD (Dezember 1955). Einige Kriterien für einen nützlichen Kernreaktor (PDF) (Technischer Bericht). Einrichtung für Atomenergieforschung, Harwell, Berkshire, UK
^ ^ein ^b Lawson, JD (Dezember 1955). “Einige Kriterien für einen Stromerzeugungs-Kernreaktor”. Verfahren der Physikalischen Gesellschaft, Abschnitt B.. 70 (1): 6–10. doi:10.1088 / 0370-1301 / 70/1/303.
^ ^ein ^b Lyman J Spitzer, “Die Physik vollständig ionisierter Gase” 1963
^ http://www.phys.ksu.edu/personal/cdlin/phystable/econvert.html
^ Es ist einfach, diese Annahmen zu lockern. Die schwierigste Frage ist, wie man definiert $n{ displaystyle n} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" aria-hidden="true" alt="n" width="910" height="400">$ wenn sich das Ion und die Elektronen in Dichte und Temperatur unterscheiden. In Anbetracht dessen, dass dies eine Berechnung der Energieerzeugung und des Energieverlusts durch Ionen ist und dass jedes Plasmaeinschlusskonzept die Druckkräfte des Plasmas enthalten muss, erscheint es angemessen, die effektive (Elektronen-) Dichte zu definieren $n{ displaystyle n} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" aria-hidden="true" alt="n" width="910" height="400">$ durch den (Gesamt-) Druck $p{ displaystyle p} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" aria-hidden="true" alt="p" width="542" height="865.1">$ wie $n=p/.2T.ich{ displaystyle n = p / 2T _ { mathrm {i}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f54db3a8103f5df23b8b55e718525356ac90ea4" aria-hidden="true" alt="n = p / 2 T _ { mathrm {i}}" width="4320.5" height="1223.9">$ . Der Faktor von $2{ displaystyle 2} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" aria-hidden="true" alt="2" width="500.5" height="936.9">$ ist da enthalten $n{ displaystyle n} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" aria-hidden="true" alt="n" width="910" height="400">$ bezieht sich normalerweise nur auf die Dichte der Elektronen, aber $p{ displaystyle p} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" aria-hidden="true" alt="p" width="542" height="865.1">$ hier bezieht sich auf den Gesamtdruck. Gegeben sind zwei Spezies mit Ionendichten $n1,2{ displaystyle n_ {1,2}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179ae8f079c45e8a94028215d96f8f878b22f9d7" aria-hidden="true" alt="n_ {1,2}" width="1605.2" height="1008.6">$ Ordnungszahlen $Z.1,2{ displaystyle Z_ {1,2}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6585fbc814ac40ed6f1ea65ad83a25887c8deeec" aria-hidden="true" alt="Z_ {1,2}" width="1688.2" height="1223.9">$ Ionentemperatur $T.ich{ displaystyle T _ { mathrm {i}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e56b3c534b48fc9795abb0b1e915dca96c180f" aria-hidden="true" alt="T _ { mathrm {i}}" width="881.4" height="1080.4">$ und Elektronentemperatur $T.e{ displaystyle T _ { mathrm {e}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b80f2c672593eb0ba4a8eeb8879647bf6187465" aria-hidden="true" alt="T _ { mathrm {e}}" width="998.8" height="1080.4">$ Es ist leicht zu zeigen, dass die Fusionsleistung durch einen Kraftstoffmix maximiert wird, der durch gegeben ist $n1/.n2=((1+Z.2T.e/.T.ich)/.((1+Z.1T.e/.T.ich){ displaystyle n_ {1} / n_ {2} = (1 + Z_ {2} T _ { mathrm {e}} / T _ { mathrm {i}}) / (1 + Z_ {1} T _ { mathrm {e}} / T _ { mathrm {i}})} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7f59ac86f18eae9d025fbabd87c85b2e5075ff" aria-hidden="true" alt="n_ {1} / n_ {2} = (1 + Z_ {2} T _ { mathrm {e}} / T _ { mathrm {i}}) / (1 + Z_ {1} T _ { mathrm {e} } / T _ { mathrm {i}})" width="16485" height="1223.9">$ . Die Werte für $nτ{ displaystyle n tau} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b397b6421c70660561cc4b64d3df769c98ed27" aria-hidden="true" alt="n tau" width="1118" height="721.6">$ , $nT.τ{ displaystyle nT tau} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30e0d108bd6fb4b1a52dca57963ee19ab680c21" aria-hidden="true" alt="nT tau" width="1822.5" height="936.9">$ und die Leistungsdichte muss mit dem Faktor multipliziert werden $((1+Z.1T.e/.T.ich)⋅((1+Z.2T.e/.T.ich)/.4{ displaystyle (1 + Z_ {1} T _ { mathrm {e}} / T _ { mathrm {i}}) cdot (1 + Z_ {2} T _ { mathrm {e}} / T _ { mathrm {i}}) / 4} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f699ea368b71449ab5f7f63ef6efdf598b90b3a6" aria-hidden="true" alt="(1 + Z_ {1} T _ { mathrm {e}} / T _ { mathrm {i}}) cdot (1 + Z_ {2} T _ { mathrm {e}} / T _ { mathrm {i} }) / 4" width="13765.1" height="1223.9">$ . Zum Beispiel mit Protonen und Bor ( $Z.=5{ displaystyle Z = 5} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4444d02af37e107dd7cf383546d3beba28d7f6" aria-hidden="true" alt="Z = 5" width="2558.1" height="936.9">$ ) als Kraftstoff ein weiterer Faktor von $3{ displaystyle 3} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f" aria-hidden="true" alt="3" width="910" height="400">$ muss in den Formeln enthalten sein. Andererseits müssen für kalte Elektronen die Formeln alle durch geteilt werden $4{ displaystyle 4} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42" aria-hidden="true" alt="4" width="500.5" height="936.9">$ (ohne zusätzlichen Faktor für $Z.>1{ displaystyle Z> 1} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b2509650fbebbb15e685ad1854ed7dd3466d8fd" aria-hidden="true" alt="Z></img> 1″/></span>).</span> </li> <li id=" width="2558.1" height="936.9">^ J. Wesson, “Tokamaks”, Oxford Engineering Science Series Nr. 48, Clarendon Press, Oxford, 2. Auflage, 1997.$
^ Das weltweit höchste dreifache Fusionsprodukt, das in Plasmen mit hohem βp-H-Modus markiert ist Archiviert 06.01.2013 an der Wayback-Maschine
^ Robert L. Hirsch, “Inertial-elektrostatischer Einschluss ionisierter Fusionsgase”, Journal of Applied Physics, v. 38, no. 7. Oktober 1967
^ “Das Aufkommen einer sauberen Kernfusion: Hochleistungs-Weltraumkraft und Antrieb”Robert W. Bussard, Ph.D., 57. Internationaler Astronautischer Kongress, 2. bis 6. Oktober 2006
^ ungerade H. Rider, “Grundlegende Einschränkungen für Plasmafusionssysteme, die sich nicht im thermodynamischen Gleichgewicht befinden” Physics of Plasmas, April 1997, Band 4, Ausgabe 4, S. 1039–1046.