Quantengruppe – Wikipedia

Algebraisches Konstrukt von Interesse in der theoretischen Physik

In der Mathematik und der theoretischen Physik ist der Begriff Quantengruppe bezeichnet eine von wenigen verschiedenen Arten nichtkommutativer Algebren mit zusätzlicher Struktur. Dazu gehören Quantengruppen vom Drinfeld-Jimbo-Typ (quasitrianguläre Hopf-Algebren), kompakte Matrixquantengruppen (Strukturen auf unital trennbaren C * -Algebren) und zweikreuzige Quantengruppen.

Der Begriff “Quantengruppe” tauchte erstmals in der Theorie der quantenintegrierbaren Systeme auf, die dann von Vladimir Drinfeld und Michio Jimbo als eine bestimmte Klasse der Hopf-Algebra formalisiert wurde. Der gleiche Begriff wird auch für andere Hopf-Algebren verwendet, die klassische Lie-Gruppen oder Lie-Algebren verformen oder diesen nahe kommen, wie beispielsweise eine von Shahn Majid kurz nach der Arbeit von Drinfeld und Jimbo eingeführte “Bicrossproduct” -Klasse von Quantengruppen.

In Drinfelds Ansatz entstehen Quantengruppen als Hopf-Algebren in Abhängigkeit von einem Hilfsparameter q oder h, die zu universellen einhüllenden Algebren einer bestimmten Lie-Algebra werden, häufig semisimple oder affin, wenn q = 1 oder h = 0. Eng verwandt sind bestimmte duale Objekte, auch Hopf-Algebren und auch Quantengruppen genannt, die die Funktionsalgebra der entsprechenden semisimple algebraischen Gruppe oder einer kompakten Lie-Gruppe deformieren.

Intuitive Bedeutung[edit]

Die Entdeckung von Quantengruppen war ziemlich unerwartet, da lange bekannt war, dass kompakte Gruppen und halbeinfache Lie-Algebren “starre” Objekte sind, mit anderen Worten, sie können nicht “deformiert” werden. Eine der Ideen hinter Quantengruppen ist, dass, wenn wir eine Struktur betrachten, die in gewissem Sinne äquivalent, aber größer ist, nämlich eine Gruppenalgebra oder eine universelle Hüllalgebra, eine Gruppen- oder Hüllalgebra “deformiert” werden kann, obwohl die Deformation keine bleiben länger eine Gruppe oder umhüllende Algebra. Genauer gesagt kann eine Verformung innerhalb der Kategorie der Hopf-Algebren erreicht werden, die weder kommutativ noch kokommutativ sein müssen. Man kann sich das deformierte Objekt als eine Algebra von Funktionen auf einem “nichtkommutativen Raum” im Geiste der nichtkommutativen Geometrie von Alain Connes vorstellen. Diese Intuition kam jedoch zustande, nachdem bestimmte Klassen von Quantengruppen bereits ihre Nützlichkeit bei der Untersuchung der von der Leningrader Schule (Ludwig Faddeev, Leon Takhtajan, Evgeny Sklyanin, Nicolai Reshetikhin und) entwickelten Quanten-Yang-Baxter-Gleichung und der quanteninversen Streumethode bewiesen hatten Vladimir Korepin) und verwandte Arbeiten der japanischen Schule.^[1] Die Intuition hinter der zweiten Klasse von Quantengruppen mit zwei Kreuzprodukten war unterschiedlich und ergab sich aus der Suche nach selbst-dualen Objekten als Ansatz zur Quantengravitation.^[2]

Quantengruppen vom Drinfeld-Jimbo-Typ[edit]

Eine Art von Objekten, die allgemein als “Quantengruppe” bezeichnet wird, erschien in der Arbeit von Vladimir Drinfeld und Michio Jimbo als Verformung der universellen Hüllalgebra einer semisimple Lie-Algebra oder allgemeiner einer Kac-Moody-Algebra in der Kategorie Hopf Algebren. Die resultierende Algebra hat eine zusätzliche Struktur, die sie zu einer quasitriangulären Hopf-Algebra macht.

Lassen EIN = ((ein_ij) sei die Cartan-Matrix der Kac-Moody-Algebra und lass q ≠ 0, 1 ist eine komplexe Zahl, dann die Quantengruppe, U._q((G), wo G ist die Lie-Algebra, deren Cartan-Matrix ist EINist definiert als die unitale assoziative Algebra mit Generatoren k_λ (wo λ ist ein Element des Gewichtsgitters, dh 2 (λ, α_ich) / (α_ich, α_ich) ist eine ganze Zahl für alle ich), und e_ich und f_ich (für einfache Wurzeln α_ich), vorbehaltlich der folgenden Beziehungen:

k0=1kλkμ=kλ+μkλeichkλ– –1=q((λ,αich)eichkλfichkλ– –1=q– –((λ,αich)fich[ei,fj]=δichjkich– –kich– –1qich– –qich– –1kich=kαich,qich=q12((αich,αich){ displaystyle { begin {align} k_ {0} & = 1 \ k _ { lambda} k _ { mu} & = k _ { lambda + mu} \ k _ { lambda} e_ {i} k_ { lambda} ^ {- 1} & = q ^ {( lambda, alpha _ {i})} e_ {i} \ k _ { lambda} f_ {i} k _ { lambda} ^ {- 1 } & = q ^ {- ( lambda, alpha _ {i})} f_ {i} \ left[e_{i},f_{j}right]& = delta _ {ij} { frac {k_ {i} -k_ {i} ^ {- 1}} {q_ {i} -q_ {i} ^ {- 1}}} && k_ {i} = k_ { alpha _ {i}}, q_ {i} = q ^ {{ frac {1} {2}} ( alpha _ {i}, alpha _ {i})} \ end {align} }}

Und für ich ≠ j Wir haben das q-Serre-Beziehungen, die Deformationen der Serre-Beziehungen sind:

∑n=01– –einichj((– –1)n[1−aij]qich![1−aij−n]qich![n]qich!eichnejeich1– –einichj– –n=0∑n=01– –einichj((– –1)n[1−aij]qich![1−aij−n]qich![n]qich!fichnfjfich1– –einichj– –n=0{ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ {1-a_ {ij}} (- 1) ^ {n} { frac {[1-a_{ij}]_ {q_ {i}}!} {[1-a_{ij}-n]_ {q_ {i}}![n]_ {q_ {i}}!}} e_ {i} ^ {n} e_ {j} e_ {i} ^ {1-a_ {ij} -n} & = 0 \[6pt] sum _ {n = 0} ^ {1-a_ {ij}} (- 1) ^ {n} { frac {[1-a_{ij}]_ {q_ {i}}!} {[1-a_{ij}-n]_ {q_ {i}}![n]_ {q_ {i}}!}} f_ {i} ^ {n} f_ {j} f_ {i} ^ {1-a_ {ij} -n} & = 0 end {align}}}

wobei die q-Fakultät, das q-Analogon der gewöhnlichen Fakultät, rekursiv unter Verwendung der q-Zahl definiert wird:

[0]qich!=1[n]qich!=∏m=1n[m]qich,[m]qich=qichm– –qich– –mqich– –qich– –1{ displaystyle { begin {align} {[0]} _ {q_ {i}}! & = 1 \ {[n]} _ {q_ {i}}! & = prod _ {m = 1} ^ {n}[m]_ {q_ {i}}, &&[m]_ {q_ {i}} = { frac {q_ {i} ^ {m} -q_ {i} ^ {- m}} {q_ {i} -q_ {i} ^ {- 1}}} end {ausgerichtet}}}

In der Grenze als q → 1 nähern sich diese Relationen den Relationen für die universelle Hüllalgebra an U.((G), wo

kλ→1,kλ– –k– –λq– –q– –1→tλ{ displaystyle k _ { lambda} bis 1, qquad { frac {k _ { lambda} -k _ {- lambda}} {qq ^ {- 1}} bis t _ { lambda}}

und t_λ ist das Element der Cartan-Subalgebra zufriedenstellend (t_λ, h) = λ((h) für alle h in der Cartan-Subalgebra.

Es gibt verschiedene koassoziative Nebenprodukte, unter denen diese Algebren Hopf-Algebren sind, zum Beispiel

Δ1((kλ)=kλ⊗kλΔ1((eich)=1⊗eich+eich⊗kichΔ1((fich)=kich– –1⊗fich+fich⊗1Δ2((kλ)=kλ⊗kλΔ2((eich)=kich– –1⊗eich+eich⊗1Δ2((fich)=1⊗fich+fich⊗kichΔ3((kλ)=kλ⊗kλΔ3((eich)=kich– –12⊗eich+eich⊗kich12Δ3((fich)=kich– –12⊗fich+fich⊗kich12{ displaystyle { begin {array} {lll} Delta _ {1} (k _ { lambda}) = k _ { lambda} otimes k _ { lambda} & Delta _ {1} (e_ {i} ) = 1 otimes e_ {i} + e_ {i} otimes k_ {i} & Delta _ {1} (f_ {i}) = k_ {i} ^ {- 1} otimes f_ {i} + f_ {i} otimes 1 \ Delta _ {2} (k _ { lambda}) = k _ { lambda} otimes k _ { lambda} & Delta _ {2} (e_ {i}) = k_ {i} ^ {- 1} otimes e_ {i} + e_ {i} otimes 1 & Delta _ {2} (f_ {i}) = 1 otimes f_ {i} + f_ {i} otimes k_ {i} \ Delta _ {3} (k _ { lambda}) = k _ { lambda} otimes k _ { lambda} & Delta _ {3} (e_ {i}) = k_ {i} ^ {- { frac {1} {2}}} otimes e_ {i} + e_ {i} otimes k_ {i} ^ { frac {1} {2}} & Delta _ {3} (f_ {i}) = k_ {i} ^ {- { frac {1} {2}} otimes f_ {i} + f_ {i} otimes k_ {i} ^ { frac {1} {2} } end {array}}}

wo der Generatorsatz bei Bedarf um Folgendes erweitert wurde k_λ zum λ was ausgedrückt werden kann als die Summe eines Elements des Gewichtsgitters und eines halben Elements des Wurzelgitters.

Darüber hinaus führt jede Hopf-Algebra zu einer anderen mit umgekehrtem Nebenprodukt T. Ö Δ, wobei T. ist gegeben durch T.((x ⊗ y) = y ⊗ xund gibt drei weitere mögliche Versionen.

Der Rat auf U._q((EIN) ist für alle diese Nebenprodukte gleich: ε((k_λ) = 1, ε((e_ich) = ε((f_ich) = 0, und die jeweiligen Antipoden für die obigen Nebenprodukte sind gegeben durch

S.1((kλ)=k– –λS.1((eich)=– –eichkich– –1S.1((fich)=– –kichfichS.2((kλ)=k– –λS.2((eich)=– –kicheichS.2((fich)=– –fichkich– –1S.3((kλ)=k– –λS.3((eich)=– –qicheichS.3((fich)=– –qich– –1fich{ displaystyle { begin {array} {lll} S_ {1} (k _ { lambda}) = k _ {- lambda} & S_ {1} (e_ {i}) = – e_ {i} k_ {i} ^ {- 1} & S_ {1} (f_ {i}) = – k_ {i} f_ {i} \ S_ {2} (k _ { lambda}) = k _ {- lambda} & S_ {2} ( e_ {i}) = – k_ {i} e_ {i} & S_ {2} (f_ {i}) = – f_ {i} k_ {i} ^ {- 1} \ S_ {3} (k _ { lambda}) = k _ {- lambda} & S_ {3} (e_ {i}) = – q_ {i} e_ {i} & S_ {3} (f_ {i}) = – q_ {i} ^ {- 1 } f_ {i} end {array}}}

Alternativ die Quantengruppe U._q((G) kann als Algebra über dem Feld betrachtet werden C.((q), das Feld aller rationalen Funktionen eines Unbestimmten q Über C..

Ebenso die Quantengruppe U._q((G) kann als Algebra über dem Feld betrachtet werden Q.((q), das Feld aller rationalen Funktionen eines Unbestimmten q Über Q. (siehe unten im Abschnitt über Quantengruppen unter q = 0). Das Zentrum der Quantengruppe kann durch die Quantendeterminante beschrieben werden.

Darstellungstheorie[edit]

So wie es viele verschiedene Arten von Darstellungen für Kac-Moody-Algebren und ihre universellen Hüllalgebren gibt, gibt es auch viele verschiedene Arten von Darstellungen für Quantengruppen.

Wie bei allen Hopf-Algebren U._q((G) hat eine adjungierte Darstellung auf sich selbst als Modul, wobei die Aktion von gegeben ist

EINdx⋅y=∑((x)x((1)yS.((x((2)),{ displaystyle mathrm {Ad} _ {x} cdot y = sum _ {(x)} x _ {(1)} yS (x _ {(2)}),}

wo

Δ((x)=∑((x)x((1)⊗x((2).{ displaystyle Delta (x) = sum _ {(x)} x _ {(1)} otimes x _ {(2)}.}

Fall 1: q ist keine Wurzel der Einheit[edit]

Eine wichtige Art der Darstellung ist eine Gewichtsdarstellung, und das entsprechende Modul wird als Gewichtsmodul bezeichnet. Ein Gewichtsmodul ist ein Modul auf der Basis von Gewichtsvektoren. Ein Gewichtsvektor ist ein Vektor ungleich Null v so dass k_λ · · v = d_λv für alle λ, wo d_λ sind komplexe Zahlen für alle Gewichte λ so dass

d0=1,{ displaystyle d_ {0} = 1,}

dλdμ=dλ+μ,{ displaystyle d _ { lambda} d _ { mu} = d _ { lambda + mu},}

für alle Gewichte λ und μ.

Ein Gewichtsmodul heißt integrierbar, wenn die Aktionen von e_ich und f_ich sind lokal nullpotent (dh für jeden Vektor v Im Modul existiert eine positive ganze Zahl k, möglicherweise abhängig von v, so dass

eichk.v=fichk.v=0{ displaystyle e_ {i} ^ {k} .v = f_ {i} ^ {k} .v = 0}

für alle ich). Bei integrierbaren Modulen die komplexen Zahlen d_λ mit einem Gewichtsvektor verbunden erfüllen

dλ=cλq((λ,ν){ displaystyle d _ { lambda} = c _ { lambda} q ^ {( lambda, nu)}}

,^{[citation needed]} wo ν ist ein Element des Gewichtsgitters, und c_λ sind komplexe Zahlen, so dass

• 
  c0=1,{ displaystyle c_ {0} = 1,}
  
• 
  cλcμ=cλ+μ,{ displaystyle c _ { lambda} c _ { mu} = c _ { lambda + mu},}
  für alle Gewichte λ und μ,
• 
  c2αich=1{ displaystyle c_ {2 alpha _ {i}} = 1}
  für alle ich.

Von besonderem Interesse sind Darstellungen mit dem höchsten Gewicht und die entsprechenden Module mit dem höchsten Gewicht. Ein Modul mit dem höchsten Gewicht ist ein Modul, das durch einen Gewichtsvektor erzeugt wird vvorbehaltlich k_λ · · v = d_λv für alle Gewichte μ, und e_ich · · v = 0 für alle ich. In ähnlicher Weise kann eine Quantengruppe eine Darstellung mit dem niedrigsten Gewicht und ein Modul mit dem niedrigsten Gewicht aufweisen. dh ein Modul, das durch einen Gewichtsvektor erzeugt wird vvorbehaltlich k_λ · · v = d_λv für alle Gewichte λ, und f_ich · · v = 0 für alle ich.

Definieren Sie einen Vektor v Gewicht haben ν wenn

kλ⋅v=q((λ,ν)v{ displaystyle k _ { lambda} cdot v = q ^ {( lambda, nu)} v}

für alle λ im Gewichtsgitter.

Wenn G ist eine Kac-Moody-Algebra, dann in jeder irreduziblen Darstellung mit dem höchsten Gewicht von U._q((G) mit dem höchsten Gewicht ν sind die Multiplizitäten der Gewichte gleich ihren Multiplizitäten in einer irreduziblen Darstellung von U.((G) mit gleichem höchsten Gewicht. Wenn das höchste Gewicht dominant und ganzzahlig ist (ein Gewicht μ ist dominant und ganzheitlich, wenn μ erfüllt die Bedingung, dass

2((μ,αich)/.((αich,αich){ displaystyle 2 ( mu, alpha _ {i}) / ( alpha _ {i}, alpha _ {i})}

ist eine nicht negative ganze Zahl für alle ich), dann ist das Gewichtsspektrum der irreduziblen Darstellung unter der Weyl-Gruppe für unveränderlich Gund die Darstellung ist integrierbar.

Wenn umgekehrt ein Modul mit dem höchsten Gewicht integrierbar ist, dann sein Vektor mit dem höchsten Gewicht v befriedigt

kλ⋅v=cλq((λ,ν)v{ displaystyle k _ { lambda} cdot v = c _ { lambda} q ^ {( lambda, nu)} v}

, wo c_λ · · v = d_λv sind komplexe Zahlen, so dass

• 
  c0=1,{ displaystyle c_ {0} = 1,}
  
• 
  cλcμ=cλ+μ,{ displaystyle c _ { lambda} c _ { mu} = c _ { lambda + mu},}
  für alle Gewichte λ und μ,
• 
  c2αich=1{ displaystyle c_ {2 alpha _ {i}} = 1}
  für alle ich,

und ν ist dominant und ganzheitlich.

Wie bei allen Hopf-Algebren ist das Tensorprodukt zweier Module ein weiteres Modul. Für ein Element x von U._q(G)und für Vektoren v und w in den jeweiligen Modulen, x ⋅ (v ⊗ w) = Δ (x) ⋅ (v ⊗ w), damit

kλ⋅((v⊗w)=kλ⋅v⊗kλ.w{ displaystyle k _ { lambda} cdot (v otimes w) = k _ { lambda} cdot v otimes k _ { lambda} .w}

und im Fall des Nebenprodukts Δ₁,

eich⋅((v⊗w)=kich⋅v⊗eich⋅w+eich⋅v⊗w{ displaystyle e_ {i} cdot (v otimes w) = k_ {i} cdot v otimes e_ {i} cdot w + e_ {i} cdot v otimes w}

und

fich⋅((v⊗w)=v⊗fich⋅w+fich⋅v⊗kich– –1⋅w.{ displaystyle f_ {i} cdot (v otimes w) = v otimes f_ {i} cdot w + f_ {i} cdot v otimes k_ {i} ^ {- 1} cdot w.}

Das oben beschriebene integrierbare Modul mit dem höchsten Gewicht ist ein Tensorprodukt eines eindimensionalen Moduls (auf dem k_λ = c_λ für alle λ, und e_ich = f_ich = 0 für alle ich) und ein Modul mit dem höchsten Gewicht, das von einem Vektor ungleich Null erzeugt wird v₀vorbehaltlich

kλ⋅v0=q((λ,ν)v0{ displaystyle k _ { lambda} cdot v_ {0} = q ^ {( lambda, nu)} v_ {0}}

für alle Gewichte λ, und

eich⋅v0=0{ displaystyle e_ {i} cdot v_ {0} = 0}

für alle ich.

Im konkreten Fall wo G ist eine endlichdimensionale Lie-Algebra (als Sonderfall einer Kac-Moody-Algebra), dann sind auch die irreduziblen Darstellungen mit dominanten integralen höchsten Gewichten endlichdimensional.

Im Fall eines Tensorprodukts von Modulen mit dem höchsten Gewicht ist seine Zerlegung in Submodule dieselbe wie für das Tensorprodukt der entsprechenden Module der Kac-Moody-Algebra (die höchsten Gewichte sind dieselben wie ihre Multiplizitäten).

Fall 2: q ist eine Wurzel der Einheit[edit]

Quasitriangularität[edit]

Fall 1: q ist keine Wurzel der Einheit[edit]

Streng genommen die Quantengruppe U._q((G) ist nicht quasitriangular, aber es kann als “fast quasitriangular” angesehen werden, da es eine unendliche formale Summe gibt, die die Rolle eines spielt R.-Matrix. Diese unendliche formale Summe lässt sich in Generatoren ausdrücken e_ich und f_ichund Cartan-Generatoren t_λ, wo k_λ ist formal identifiziert mit q^t_λ. Die unendliche formale Summe ist das Produkt zweier Faktoren:^{[citation needed]}

qη∑jtλj⊗tμj{ displaystyle q ^ { eta sum _ {j} t _ { lambda _ {j}} otimes t _ { mu _ {j}}}}

und eine unendliche formale Summe, wo λ_j ist eine Basis für den dualen Raum zur Cartan-Subalgebra, und μ_j ist die doppelte Basis, und η = ± 1.

Die formale unendliche Summe, die die Rolle der spielt R.-Matrix hat eine genau definierte Wirkung auf das Tensorprodukt zweier irreduzibler Module mit dem höchsten Gewicht und auch auf das Tensorprodukt von zwei Modulen mit dem niedrigsten Gewicht. Insbesondere wenn v hat Gewicht α und w hat Gewicht β, dann

qη∑jtλj⊗tμj⋅((v⊗w)=qη((α,β)v⊗w,{ displaystyle q ^ { eta sum _ {j} t _ { lambda _ {j}} otimes t _ { mu _ {j}}} cdot (v otimes w) = q ^ { eta ( alpha, beta)} v otimes w,}

und die Tatsache, dass die Module beide Module mit dem höchsten Gewicht oder beide Module mit dem niedrigsten Gewicht sind, verringert die Wirkung des anderen Faktors auf v ⊗ W. zu einer endlichen Summe.

Insbesondere wenn V. ist ein Modul mit dem höchsten Gewicht, dann die formale unendliche Summe, R.hat eine genau definierte und invertierbare Wirkung auf V. ⊗ V.und dieser Wert von R. (als Element von End (V. ⊗ V.)) erfüllt die Yang-Baxter-Gleichung und ermöglicht es uns daher, eine Darstellung der Geflechtgruppe zu bestimmen und Quasi-Invarianten für Knoten, Glieder und Geflechte zu definieren.

Fall 2: q ist eine Wurzel der Einheit[edit]

Quantengruppen bei q = 0[edit]

Masaki Kashiwara hat das limitierende Verhalten von Quantengruppen als untersucht q → 0 und fand eine besonders gut verhaltene Base, die als Kristallbasis bezeichnet wird.

Beschreibung und Klassifizierung nach Wurzelsystemen und Dynkin-Diagrammen[edit]

Bei der Beschreibung endlicher Quotienten von Quantengruppen wie den oben genannten wurden erhebliche Fortschritte erzielt U._q((G) zum qⁿ = 1; man betrachtet normalerweise die Klasse von spitz Hopf-Algebren, was bedeutet, dass alle Subcoideale eindimensional sind und somit eine Summe bilden, die als Gruppe bezeichnet wird koradisch::

• Im Jahr 2002 wurde H.-J. Schneider und N. Andruskiewitsch ^[3] beendeten ihre Klassifizierung von spitzen Hopf-Algebren mit einer abelschen co-radikalen Gruppe (ohne Primzahlen 2, 3, 5, 7), insbesondere als die obigen endlichen Quotienten von U._q((G) zerlegen in E.‘S (Borel-Teil), dual F.‘S und K.‘S (Cartan-Algebra) genau wie gewöhnliche Semisimple-Lie-Algebren:

((B.((V.)⊗k[Zn]⊗B.((V.∗))σ{ displaystyle left ({ mathfrak {B}} (V) otimes k[mathbf {Z} ^{n}] otimes { mathfrak {B}} (V ^ {*}) right) ^ { sigma}}

Hier wie in der klassischen Theorie V. ist ein geflochtener Vektorraum der Dimension n überspannt von der E.‘S und σ (eine sogenannte Cocylce-Drehung) erzeugt das Nichttriviale Verknüpfen zwischen E.‘S und F.‘S. Beachten Sie, dass im Gegensatz zur klassischen Theorie mehr als zwei verknüpfte Komponenten auftreten können. Die Rolle der Quantenborelalgebra wird von einer Nichols-Algebra genommen B.((V.){ displaystyle { mathfrak {B}} (V)}

des geflochtenen Vektorraums.

verallgemeinertes Dynkin-Diagramm für eine spitze Hopf-Algebra, die vier A3-Kopien verbindet

• Inzwischen Schneider und Heckenberger^[5] haben allgemein die Existenz eines nachgewiesen Arithmetik Wurzelsystem auch im nichtabelschen Fall, wobei eine PBW-Basis erzeugt wird, wie von Kharcheko im abelschen Fall bewiesen (ohne die Annahme einer endlichen Dimension). Dies kann verwendet werden^[6] in bestimmten Fällen U._q((G) und erklärt zB die numerische Übereinstimmung zwischen bestimmten coidealen Subalgebren dieser Quantengruppen und der Ordnung der Weyl-Gruppe der Lie-Algebra G.

Kompakte Matrixquantengruppen[edit]

SL Woronowicz führte kompakte Matrixquantengruppen ein. Kompakte Matrixquantengruppen sind abstrakte Strukturen, bei denen die “stetigen Funktionen” der Struktur durch Elemente einer C * -Algebra gegeben sind. Die Geometrie einer kompakten Matrixquantengruppe ist ein Sonderfall einer nichtkommutativen Geometrie.

Die kontinuierlichen komplexwertigen Funktionen in einem kompakten topologischen Hausdorff-Raum bilden eine kommutative C * -Algebra. Nach dem Gelfand-Theorem ist eine kommutative C * -Algebra isomorph zur C * -Algebra kontinuierlicher komplexwertiger Funktionen in einem kompakten topologischen Hausdorff-Raum, und der topologische Raum wird durch die C * -Algebra bis zum Homöomorphismus eindeutig bestimmt.

Für eine kompakte topologische Gruppe Gexistiert ein C * -Algebra-Homomorphismus Δ: C.((G) → C.((G) ⊗ C.((G) (wo C.((G) ⊗ C.((G) ist das C * -Algebra-Tensorprodukt – die Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts von C.((G) und C.((G)), so dass Δ (f) (x, y) = f((xy) für alle f ∈ C.((G) und für alle x, y ∈ G (wo (f ⊗ G) (x, y) = f((x)G((y) für alle f, G ∈ C.((G) und alles x, y ∈ G). Es gibt auch eine lineare multiplikative Abbildung κ:: C.((G) → C.((G), so dass κ((f) (x) = f((x⁻¹) für alle f ∈ C.((G) und alles x ∈ G. Streng genommen macht das nicht C.((G) eine Hopf-Algebra, es sei denn G ist endlich. Andererseits eine endlich dimensionale Darstellung von G kann verwendet werden, um eine * -Subalgebra von zu erzeugen C.((G), die auch eine Hopf * -Algebra ist. Insbesondere wenn

G↦((uichj((G))ich,j{ displaystyle g mapsto (u_ {ij} (g)) _ {i, j}}

ist ein n-dimensionale Darstellung von Gdann für alle ich, j u_ij ∈ C.((G) und

Δ((uichj)=∑kuichk⊗ukj.{ displaystyle Delta (u_ {ij}) = sum _ {k} u_ {ik} otimes u_ {kj}.}

Daraus folgt, dass die * -Algebra von u_ij für alle ich, j und κ((u_ij) für alle ich, j ist eine Hopf * -Algebra: Der Rat wird durch ε (u_ij) = δ_ij für alle ich, j (wo δ_ij ist das Kronecker-Delta), der Antipode ist κund die Einheit ist gegeben durch

1=∑ku1kκ((uk1)=∑kκ((u1k)uk1.{ displaystyle 1 = sum _ {k} u_ {1k} kappa (u_ {k1}) = sum _ {k} kappa (u_ {1k}) u_ {k1}.}

Allgemeine Definition[edit]

Als Verallgemeinerung wird eine kompakte Matrixquantengruppe als Paar definiert (C., u), wo C. ist eine C * -Algebra und

u=((uichj)ich,j=1,…,n{ displaystyle u = (u_ {ij}) _ {i, j = 1, dots, n}}

ist eine Matrix mit Einträgen in C. so dass

• Die * -Subalgebra, C.₀, von C., die durch die Matrixelemente von erzeugt wird uist dicht in C.;;

• Es gibt einen C * -Algebra-Homomorphismus, der als Comultiplikation Δ bezeichnet wird: C. → C. ⊗ C. (wo C. ⊗ C. ist das C * -Algebra-Tensorprodukt – die Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts von C. und C.) so dass für alle ich, j wir haben:

Δ((uichj)=∑kuichk⊗ukj{ displaystyle Delta (u_ {ij}) = sum _ {k} u_ {ik} otimes u_ {kj}}

• Es gibt eine lineare antimultiplikative Karte κ: C.₀ → C.₀ (die Coinverse) so, dass κ((κ((v*) *) = v für alle v ∈ C.₀ und

∑kκ((uichk)ukj=∑kuichkκ((ukj)=δichjich,{ displaystyle sum _ {k} kappa (u_ {ik}) u_ {kj} = sum _ {k} u_ {ik} kappa (u_ {kj}) = delta _ {ij} I,}

wo ich ist das Identitätselement von C.. Da κ also antimultiplikativ ist κ((vw) = κ((w) κ((v) für alle v, w im C.₀.

Infolge der Kontinuität erfolgt die Komultiplikation weiter C. ist koassoziativ.

Im Allgemeinen, C. ist keine Bialgebra und C.₀ ist eine Hopf * -Algebra.

Informell, C. kann als die * -Algebra kontinuierlicher komplexwertiger Funktionen über die Quantengruppe der kompakten Matrix angesehen werden, und u kann als endlich dimensionale Darstellung der kompakten Matrixquantengruppe angesehen werden.

Darstellungen[edit]

Eine Darstellung der kompakten Matrixquantengruppe ergibt sich aus einer Kerndarstellung der Hopf * -Algebra (einer Kerndarstellung einer koitalassoziativen Kohlekohle) EIN ist eine quadratische Matrix

v=((vichj)ich,j=1,…,n{ displaystyle v = (v_ {ij}) _ {i, j = 1, dots, n}}

mit Einträgen in EIN (damit v gehört zu M (n, EIN)) so dass

Δ((vichj)=∑k=1nvichk⊗vkj{ displaystyle Delta (v_ {ij}) = sum _ {k = 1} ^ {n} v_ {ik} otimes v_ {kj}}

für alle ich, j und ε((v_ij) = δ_ij für alle ich, j). Weiterhin eine Darstellung vheißt einheitlich, wenn die Matrix für v ist einheitlich (oder äquivalent, wenn κ (v_ij) = v *_ij für alle ich, j).

Beispiel[edit]

Ein Beispiel für eine kompakte Matrixquantengruppe ist SU_μ(2), wobei der Parameter μ eine positive reelle Zahl ist. Also SU_μ(2) = (C (SU)_μ(2)), u), wobei C (SU_μ(2)) ist die von α und γ erzeugte C * -Algebra, vorbehaltlich

γγ∗=γ∗γ,{ displaystyle gamma gamma ^ {*} = gamma ^ {*} gamma,}

αγ=μγα,{ displaystyle alpha gamma = mu gamma alpha,}

αγ∗=μγ∗α,{ displaystyle alpha gamma ^ {*} = mu gamma ^ {*} alpha,}

αα∗+μγ∗γ=α∗α+μ– –1γ∗γ=ich,{ displaystyle alpha alpha ^ {*} + mu gamma ^ {*} gamma = alpha ^ {*} alpha + mu ^ {- 1} gamma ^ {*} gamma = I, }}

und

u=((αγ– –γ∗α∗),{ displaystyle u = left ({ begin {matrix} alpha & gamma \ – gamma ^ {*} & alpha ^ {*} end {matrix}} right),}

so dass die Komultiplikation bestimmt wird durch ∆ (α) = α ⊗ α – γ ⊗ γ *, ∆ (γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α *, und die Koinverse wird bestimmt durch κ (α) = α *, κ (γ) = –μ⁻¹γ, κ (γ *) = −μγ *, κ (α *) = α. Beachten Sie, dass u ist eine Darstellung, aber keine einheitliche Darstellung. u entspricht der einheitlichen Darstellung

v=((αμγ– –1μγ∗α∗).{ displaystyle v = left ({ begin {matrix} alpha & { sqrt { mu}} gamma \ – { frac {1} { sqrt { mu}}} gamma ^ {* } & alpha ^ {*} end {matrix}} right).}

Gleichermaßen SU_μ(2) = (C (SU)_μ(2)), w), wobei C (SU_μ(2)) ist die von α und β erzeugte C * -Algebra, vorbehaltlich

ββ∗=β∗β,{ displaystyle beta beta ^ {*} = beta ^ {*} beta,}

αβ=μβα,{ displaystyle alpha beta = mu beta alpha,}

αβ∗=μβ∗α,{ displaystyle alpha beta ^ {*} = mu beta ^ {*} alpha,}

αα∗+μ2β∗β=α∗α+β∗β=ich,{ displaystyle alpha alpha ^ {*} + mu ^ {2} beta ^ {*} beta = alpha ^ {*} alpha + beta ^ {*} beta = I,}

und

w=((αμβ– –β∗α∗),{ displaystyle w = left ({ begin {matrix} alpha & mu beta \ – beta ^ {*} & alpha ^ {*} end {matrix}} right),}

so dass die Komultiplikation bestimmt wird durch ∆ (α) = α ⊗ α – μβ ⊗ β *, Δ (β) = α ⊗ β + β ⊗ α *, und die Coinverse wird bestimmt durch κ (α) = α *, κ (β) = −μ⁻¹β, κ (β *) = –μβ *, κ (α *) = α. Beachten Sie, dass w ist eine einheitliche Darstellung. Die Realisierungen können durch Gleichsetzen identifiziert werden

γ=μβ{ displaystyle gamma = { sqrt { mu}} beta}

.

Wenn μ = 1 ist, dann ist SU_μ(2) ist gleich der Algebra C.(SU (2)) von Funktionen auf der Betonkompaktgruppe SU (2).

Bicrossproduct Quantengruppen[edit]

Während Kompaktmatrix-Pseudogruppen typischerweise Versionen von Drinfeld-Jimbo-Quantengruppen in einer Algebra-Formulierung mit doppelter Funktion und zusätzlicher Struktur sind, sind die zweikreuzigen eine bestimmte zweite Familie von Quantengruppen, die als Deformationen lösbarer und nicht halb einfacher Lie-Gruppen von zunehmender Bedeutung sind. Sie sind mit Lie-Aufspaltungen von Lie-Algebren oder lokalen Faktorisierungen von Lie-Gruppen verbunden und können als Kreuzprodukt oder Mackey-Quantisierung eines der auf den anderen für die Algebra wirkenden Faktoren und eine ähnliche Geschichte für das Nebenprodukt Δ mit dem zweiten Faktor angesehen werden auf den ersten zurückwirken.

Das einfachste nichttriviale Beispiel entspricht zwei Kopien von R. lokal aufeinander einwirkend und führt zu einer Quantengruppe (hier in algebraischer Form angegeben) mit Generatoren p, K., K.⁻¹sagen wir und Nebenprodukt

[p,K]=hK.((K.– –1){ displaystyle [p,K]= hK (K-1)}

Δp=p⊗K.+1⊗p{ displaystyle Delta p = p otimes K + 1 otimes p}

ΔK.=K.⊗K.{ displaystyle Delta K = K otimes K}

wo h ist der Verformungsparameter.

Diese Quantengruppe wurde mit einem Spielzeugmodell der Planck-Physik verknüpft, das die Born-Reziprozität implementiert, wenn es als Deformation der Heisenberg-Algebra der Quantenmechanik angesehen wird. Beginnen wir auch mit einer kompakten reellen Form einer halb-einfachen Lie-Algebra G seine Komplexisierung als echte Lie-Algebra mit der doppelten Dimension teilt sich in G und eine bestimmte lösbare Lie-Algebra (die Iwasawa-Zerlegung), und dies liefert eine kanonische Bicrossproduct-Quantengruppe, die mit assoziiert ist G. Zum su(2) Man erhält eine Quantengruppenverformung der euklidischen Gruppe E (3) von Bewegungen in 3 Dimensionen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

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